北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除3 完全平方公式

例1 利用完全平方公式计算：
(1) .(2x＋3)2 (2). (4x－5y)2 (3).(－x＋3y)2
解：（1） (2 x 3)
2
(2x) 2 (2x) 3 3
2
2
4 x 12x 9
2
(4x 5 y)2 (4x)2 2 (4x) (5 y) (5 y)2 （2） 2 2 16x 40xy 25y
----根据幂的定义 ----合并同类项
(a＋b)2
= a2＋2ab ＋b2
b
ab a2 a
b2 ab b
由面积相等可得 : a (a＋b)2 = a2＋2ab ＋b2
能不能从运算的角度得到： (a+b)2 = a2+2ab+b2
---------- 幂的意义 (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a2+ab+ab+b2 ----------多项式乘法法则 = a2+2ab+b2
四.记忆口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央。
提高篇：
一.填空题：
1.(－3x＋4y)2 = 9x2－24xy＋16y2 2.(a－2b)2＋(a＋2b)2 = 2a2＋8b2
二.计算： 1. (x＋y－z）2 2.如果 x2＋mx＋4是一个完全平方式，求m的值. 3.若(a＋b)2=7,(a－b)2=3,分别求a2＋b2和 ab的值 4.已知：a+b=5,ab=6,求a2+b2 值
仿照上述结果， 你能说出(a−b+c)2 所得的结果吗?
1.已知:a+b=5,ab=-6,求下 列各式的值：
2 (1)(a+b) 2+b2 (2)a
2.若条件换成a-b=5,ab=-6, 2+b2的值吗? 你能求出a
完全平方公式（1）
一块边长为 a 米的正方形试验田，因需要将其 边长增加 b 米， 形成四块试验田，以种植不同的新 品种．
用不同的形式表示试 验田的总面积，并进行比 较．你发现了什么？
b
1 : (a b)(a b)
a
2
2 : a ab ab b
2
a
b
(a + b) (a + b) = a2+ab+ab+b2
平方
所以
：
(a+b)2 = a2+2.a.b+b2
平方
(a b)
2
等于什么？
变形： (a b)2 [a (b)]2 根据： (a b) 2 a 2 2ab b2
可得： (a b)2 [a (b)]2 a 2 2a(b) (b) 2
a 2ab b
（3）
( x 3 y) (3 y x) (3 y) 2 (3 y) x x 2 2 9 y 6 xy x
2 2 2

2
1、计算：
1 1 x 2 y 2
2
1 2 2 xy x 5
2
3 n 1
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2
归纳
(a±b)2=a2±2ab＋b2
完全平方公式的结构特征：
公式的左边是两数的和（或差）的平方， 右边是这两个数的平方和加上（减去）这两个数 的积的2倍。
记忆口诀：
首平方，尾平方，2倍乘积在中央。 注意：公式中的字母 a，b 可以是单项式，多项式
a，b怎样确定？
2 102
2 =(100+2)
2+2×100×2+22 =100
=10000+400+4
=10404
2 197
2 =(200-3) 2-2×200×3+32 =200
=40000-1200+9
=38809
随堂练习
1.利用整式乘法公式计算：
(1) (2)
2 96 2 203
； .
2
2
平方
所以 ： (a－b)2 = a2－2.a.b＋b2
平方
完全平方公式
公式 : (a b) 2 a 2 2ab b2 1
公式2 : (a b) a 2ab b
2 2 2
公式1可描述为：两个数的和的平方等于这两 个数的平方和与它们积的2倍的和 公式2可描述为：两个数的差的平方等于这两 个数的平方和与它们积的2倍的差
例3计算:(2)(x+5)2–(x-2)(x-3)
解:
2-(x-2)(x-3) (2)(x+5)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
温馨提示：1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括 号。
例3 计算：(3)(a+b+3)(a+b-3)
解题中渗透了整体的思想
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，
巩固练习
(1)(a-b+3)(a-b-3)
(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (3) (4)
2-(ab-1)2 (ab+1) 2-4(x-y)(x+2y) (2x-y)
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和 正确认识a，b表示的意义，它们可以 是数、也可以是单项式还可以是多项
观察 思考
若不用一般的多项式乘以多项式 , 怎 样用公式来计算 ?
因为两多项式不同, 即不能写成 ( )2,故不能用完全平方公式来计算
，只能用平方差公式来计算 .
三项能看成两项吗?
平方差公式中的相等的项(a)、符号 相反的项(b)在本题中分别是什么？
解: (a+b+3) (a+b−3) = [ (a+b) +3] [ (a+b) -3] 2 − 32 =( a+b ) 2 +2ab+b2－9 =a
2
n
2
4 3mn 2
2
一.完全平方公式：
公式1.(a＋b)2=a2＋2ab＋b2 归纳 (a±b)2=a2±2ab＋b2 公式2.(a－b)2=a2－2ab＋b2
二.描述：
公式1.两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2 倍的和 公式2.两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2 倍的差 三.完全平方公式的结构特征： 公式的左边是两数的和（或差）的平方，右边是这两个数的平 方和加上（减去）这两个数的积的2倍。
完全平方公式（2）
1. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 2 = a2 - 2ab + b2 (a-b)
2. 口诀：
首平方，末平方，两倍乘积放中央。 加减看前方，同号加，异号减，结 果有三项
例 利用完全平方公式计算： (1) 1022 ; (2) 1972 .
把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ?
式，所以要记得添括号。 2.解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同 的方法会有不同的效果，要学会优化选择。
如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公式 中的“b”换成“p”，那么 (a+b)2 变成怎样的式子? 怎样计算(m+n+p)2呢?
(a+b)2变成(m+n+p)2。逐步计算得到： (m+n+p)2=[(m+n)+p]2 =(m+n)2+2(m+n)p+p2 =m2+2mn+n2+2mp+2np+p2 =m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np 把所得结果作为推广了的完全 平方公式，试用语言叙述这一公式： 三个数和的完全平方等于 这三个数的平方和， 再加上每两数乘积的2倍。
学一学
例3 计算：(1)
2 (x+3)
-
2 x
你能用几种方法进行计算?试一试。 解:方法一： 完全平方公式合并 同类项
2-x2 (x+3)
2＋6x+9-x2 =x
=6x+9
解:方法二：平方差公式单
项式乘多项式.
2-x2 (x+3)
=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)· 3=6x+9