培优 易错 难题反比例函数辅导专题训练及详细答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标

是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；

（3）求△PAB的面积．

【答案】（1）解：把x=4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y1= ，得k=4．

反比例函数的表达式为y1=

（2）解：∵点A与点B关于原点对称，∴A的坐标为（﹣4，﹣1），

观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2

（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图，

∵点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP，

∴S△PAB=2S△AOP．

y1= 中，当x=1时，y=4，

∴P（1，4）．

设直线AP的函数关系式为y=mx+n，

把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

则，

解得．

故直线AP的函数关系式为y=x+3，

则点C的坐标（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

= OC•AR+ OC•PS

= ×3×4+ ×3×1

= ，

∴S△PAB=2S△AOP=15．

【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1=

，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解集；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么S△AOP=S△BOP，S△PAB=2S△AOP．求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出

S△AOP= ，则S△PAB=2S△AOP=15．

2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．

（1）点C的坐标________；

（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；

（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，

使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．

【答案】（1）（3，0）

（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，

∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），

设直线AC的解析式为y=ax+b，

则，解得：，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．

∵点E（2，m）在直线AC上，

∴m=﹣ ×2+ = ，

∴点E（2，）．

∵反比例函数y= 的图象经过点E，

∴k=2× =3，

∴反比例函数的解析式为y=

（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．

在y= 中，当x=3时，y=1，

∴F（3，1）．

过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．

设直线EF的解析式为y=a'x+b'，

∴，解得，

∴y=﹣ x+ ．

设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，

代入M（3，﹣0.5），得：c=1，

∴y=﹣ x+1．

当x=1时，y=0.5，

∴点P（1，0.5）．

同理可得点P（1，3.5）．

∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．

【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），

∴OC=3，

∴C（3，0）．

故答案为（3，0）；

【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解

析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接

EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．

3．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；

（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．

【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）

∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）

∵顶点在直线y=x+3上，

∴﹣2+3=m﹣1，

得m=2；

（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，

∵点N在抛物线上，

∴点N的纵坐标为： a2+a+2，

即点N（a， a2+a+2）

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，

∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，

而NB2=（ a2+a+2）2，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4