点线面练习题
第二章_点线面——习题
2-32 已知：三角形ABC的投影, 求作：该平面对V面的倾角。
2-33 已知MN为平面内对V面的最大斜度线， =300， 试求作该平面的两面投影。
已 知：平面ABCD的BC边平行于V面， 试完成：ABCD的水平投影。（习题2-32）
2-34 判别直线与平面的相对位置（平行、相交）。
平行
'
2-45 求两平面的交线，并判别可见性。
2-46 求两平面的交线，并判别可见性。
2-46 求两平面的交线，并判，试作其上第II 段（四棱锥台）和第IV段（四棱柱）的展开图。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。
2-42 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-43 求两平面的交线，并判别可见性。
2-44 求直线与平面的交点，并判别可见性。
2-44 求直线与平面的交点，并判别可见性。
第二章点线面习题点线面位置关系练习题点线面位置关系习题点线面体练习题点线面练习题点线面体同步习题点线面点线面平面构成图片康定斯基论点线面点线面设计
第二章 点线面——习题
2-1 根据直观图作A、B、C、D各点的投影图。
2-2 根据直观图作A、B的三面投影图。
2-3 已知各点的两面投影， 求作其第三面投影。
2-38 过点D作直线DE平行三角形ABC且与H面成300。
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
不平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-39 判别下列平面与平面是否平行。
平行
2-40 过点A作平面平行于平面BCDE。
点线面测试题及答案初一数学知识点
点线面测试题及答案初一数学知识点
点线面测试题及答案初一数学知识点
点和线练习
第1题.以下说法中正确的语句共有几个?答：( )
①两点确定一条直线;②延长直线AB到C;③延长线段AB到C，使得AC=BC;④反向延长线段BC到D，使BD=BC;⑤线段AB与线段BA 表示同一条线段;⑥线段AB是直线AB的一部分
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：B
第2题.下列说法中：①两条直线相交只有一个交点;②两条直线不是一定有一个公共点;③直线AB与直线BA是两条不同直线;④两条不同直线不能有两个或更多个公共点，其中正确的.是( )
A.①②
B.①④
C.①②④
D.②③④
答案：C
第3题.过平面上A,B,C三点中的任意两点作直线,可作( )
A.1条
B.3条
C.1条或3条
D.无数条
答案：C
第4题.下列语句正确的是( )
A.点a在直线l上
B.直线ab过点p
C.延长直线AB到C
D.延长线段AB到C
答案：D。
立体几何点线面位置关系习题精选
同步练习第I 卷（选择题）1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）.A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥nB 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC 、若n ∥,n α∥β,则α∥βD 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n 2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//bB ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα//C ．若α//a 且β//a ，则βα//D ．若αγ//且βγ//，则βα//7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ）①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.311.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A. ,////m n m n αα⊂⇒ B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥ C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒ D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥12.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥（C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ13.对于空间的一条直线m 和两个平面,αβ，下列命题中的真命题是 A.若,,mm αβ则αβ B. .若,,m m αβ则αβ⊥C.若,,m m αβ⊥⊥则αβ D. 若,,m m αβ⊥⊥则αβ⊥14.设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α； B ．若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥； C ．若l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ； D ．若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥．15.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα第II 卷（非选择题）二、解答题（本题共7道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,共0分）在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；BA17.（本题10分）如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：(1)PA ∥平面BDE ； (2)BD ⊥平面PAC ．18.（本小题8分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证:EF //平面PAD ; (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ;(3) 求二面角B PD C --的正切值.PO ECDBACBAD1B1A1C19.如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）求点A 1 到平面1AB D 的距离.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===. （1）求证：PA ABCD ⊥平面； （2）求证：//EF 平面PAD ; （3）求二面角A PB C --的余弦值.21.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点． (Ⅰ)求证：//EF 平面PAD ； (Ⅱ)求证：EF CD ⊥；(Ⅲ）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC 的体积.BA22.(本小题满分10分)P-中，底面ABCD是矩形，如图，在四棱锥ABCDAP=，E，F分别是PB,PC的中点.PA⊥平面ABCD，AB(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；AE⊥.(Ⅱ)求证：PC评卷人得分三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）评卷人得分四、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）23.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题序号是______24.设,m n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。
点线面关系练习题(有答案)
//a α//a b//a b点线面位置关系总复习● 知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a abαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ;////a γβγ//αβ2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.②判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥（3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥（3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P PA Aαβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈3 l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂● “转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直//a b a bαα⊄⊂//a α//a b●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
点线面的位置关系练习题计算与判断
点线面的位置关系练习题计算与判断在几何学中，点、线、面是基本的几何概念，它们之间的位置关系是我们学习几何学的基础。
本文将通过一系列的练习题，来帮助我们更好地理解和计算点线面之间的位置关系，并进行判断。
练习题一：点与线的位置关系计算1. 以点A(2, 3)和线段AB为例，线段AB的两个端点分别是A(2, 3)和B(4, 5)。
现在需要计算点A与线段AB的位置关系。
解答：首先，我们可以计算线段AB的斜率k，公式为k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 3) / (4 - 2) = 1。
然后，计算点A到线段AB的垂直距离h，公式为h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |1 * 2 - 3 + 1 * 2 - 3| / √(1^2 + 1^2) = 0。
当垂直距离h等于0时，表示点A在线段AB上。
2. 现在考虑点A(2, 3)与直线y = 2x的位置关系。
解答：首先，直线y = 2x的斜率为2。
然后，计算点A到直线的垂直距离h，h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |2 * 2 - 3 + 2 * 0 - 3| / √(2^2 + 1^2) = 1。
当垂直距离h不等于0时，表示点A不在直线y = 2x上。
练习题二：点与面的位置关系判断3. 现有一个平面P：2x + 3y + 5z = 10和点A(2, 1, 0)，判断点A是否在平面P上。
解答：将点A(2, 1, 0)的坐标代入平面P的方程，判断是否满足2 * 2 +3 * 1 + 5 * 0 =4 + 3 + 0 = 7 ≠ 10。
当点A的坐标代入平面P的方程不满足等式时，表示点A不在平面P上。
4. 考虑平面Q：x + 2y + 3z = 6和点A(1, 2, 0)，判断点A是否在平面Q上。
解答：将点A(1, 2, 0)的坐标代入平面Q的方程，判断是否满足1 +2 * 2 +3 * 0 = 1 +4 + 0 =5 ≠ 6。
机械制图点、线、面练习题
机械制图点、线、面练习题
我一直给大家强调做题方法，但是要想能够灵活运用形体分析法和线面分析法，必须掌握点、线、面的投影特性和定义。
这是你们在做题的时候忽视的，完全把这三个方面抛到一边，凭自己的想象做。
所以这方面必须加强！
1、由此三视图可以判断出这个面为（）
A、正平面
B、正垂面
C、水平面
D、铅垂面
2、由面的投影特征可以判断出（）
A、正平面
B、正垂面
C、水平面
D、铅垂面
3、A面为（）
A、铅垂面
B、正垂面
C、侧垂面
D、正平面
4、根据三视图的投影关系做出下题中铅垂面的左视图
5、下图中共有（）个投影面垂直面
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
6、上题中所产生的侧垂面的形状为（）边形
A、4
B、6
C、7
D、8
7、第4题中的正垂面的形状为（）边形，并标出其形状。
A、5
B、6
C、7
D、8
8、正四棱柱的左端面为一铅垂面，试完成其主视图。
9、根据两视图补全第三视图
图中共有组投影面垂直面，其中铅锤面有组。
在左视图中标出其形状。
（用45度辅助线法求点做，并保留作图痕迹。
）
10、水平提高题（要求运用求点法做出特殊面的形状，并且保留作图痕迹。
）。
点线面典型练习
1、在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，点E 是 PD 的中点。
求证：PB//平面 AEC 2、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 是 AC 的中点。
求证：AB1//平面DBC 13、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 对角线的交点。
求证：C 1O//平面AD 1B 14、在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点。
求证：MN//平面PAD7、已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF//平面PEC8、在正方体1111ABCD A BC D 中，E 是11B D 的中点，F 是1BC 的中点，求证：11//EF ABB AC'AA'CB DA1、如图1，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ， 求证：1AO ⊥平面MBD ．2、如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．3、如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．4、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D5、如图，平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：PA ⊥MN AB⊥ACC6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(1)求证：1BC A D ⊥；(2)求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； (3)求三棱锥1A BCD -的体积8、如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PCD 为正三角形，且与底面ABCD 垂直，已知底面ABCD 菱形，60ADC ∠=︒，M 为PB 的中点，求证：（1）PA CD ⊥；（2）面CDM ⊥面PAB 。
《点线面》练习
《点线面》练习一、选择题1、正垂面与侧垂面相交，其交线是（）。
A、一般位置线B、水平线C、侧垂线D、正垂线2、已知A点坐标为（10、5、20）；B点在A点左方5，上方10，前方15，则B点的坐标为（）。
A、（15，30，35）B、（30，20，15）C、（15，20，30）D、（10，20，5）3、下列关于一般位置平面上说法错误的是 ( )。
A、平面存在一条正平线B、存在一点到三个投影面距移相等C、同一点两个投影重合D、平面存在一条侧垂线4、若空间某点的两个投影在不同的投影轴上，则第三个投影必在（）。
A、原点B、第三条投影轴上C、H投影面上D、某一投影面上5、如图，已知直线AB的V，H面投影，AB线是（）A、正平线B、水平线C、一般位置线D、侧平线6、建筑工程图中球体标注正确的是（）。
A、Ｒ200B、Φ200C、SＲ200D、SΦ2007、.直线AB的V投影平行于OX轴，下列直线中符合该投影特征的为( )A.水平线B.正平线C.侧平线D.铅垂线8、如果一条直线有两个投影倾斜于投影轴，则此直线在空间。
A.一定是一般位置直线 B可能是投影面平行线C.可能是投影面垂直线D.上述三者都有可能9、已知点A坐标为（O，Z，X），则该点离H面的距离为。
A.OB.ZC.XD.X＋Z10、铅垂线与正平线之间的关系是。
A.相交B.垂直C.异面D.相交或交叉11、已知点M（20，10，10），点N（10，15，10），则点N在M的。
A.右后B.左前C.右上D.右前7、若点A的坐标为(10,5,10) ，点B的坐标为（10，5，5），则关于A、B两点下列说法正确的是（）。
A、在H面上将出现重影且A点可见B、在V面上将出现重影且B点可见C、在W面上将出现重影且A点可见D、在H面上将出现重影且B点可见二、判断题1、平面的三面投影中至少有一面投影为线框（）2、必要时，图样轮廓线可作为尺寸线。
（）3、若平面P通过一条正垂线，则P平面必定是正垂面。
第八章点线面练习题
2020-2021学年高一数学必修二第8章《立体几何初步》点线面练习题1.如图所示，下列符号表示错误的是()A.l∈αB.P∉lC.l⊂αD.P∈α答案 A解析观察图知，P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的.2.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线答案 C3.直线在平面外是指()A.直线与平面没有公共点B.直线与平面相交C.直线与平面平行D.直线与平面最多只有一个公共点答案 D解析直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外，所以直线在平面外是指直线与平面最多只有一个公共点.4.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于另外两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确的命题的个数为()A.1B.2C.3D.0答案 C解析根据面面平行的性质知①②③正确.5.(多选)在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是()A.平面P AB ⊥平面P ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.平面PBC ⊥平面PCDD.平面PCD ⊥平面P AD 答案 ABD解析 对于A ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∴平面P AB ⊥平面P AD ，故A 正确；对于B ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PBC ，故B 正确；对于D ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴平面PCD ⊥平面P AD ，故D 正确.6.互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分. 答案 8解析 互不重合的三个平面将空间分成几部分有五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空间分成8部分.7.一个正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点.过点P 将木块锯开，使截面PDEF 平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________.答案 a 24解析 由于平面PDEF 与VB 和AC 都平行，所以PF ∥DE ，PF ＝12VB ，PD ∥EF ，PD ＝12AC ，所以四边形PDEF 为平行四边形.又四面体为正四面体，所以VB ⊥AC ，且VB ＝AC ，所以PF ⊥EF ，且PF ＝FE ，则四边形PDEF 是边长为12a 的正方形，故其面积为a 24.8.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________.答案 60°解析 连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C 交BC 1于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ， 在△GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ， 故两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.9.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF .证明 (1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ， ∴AD DB ＝AE EC， 在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥BC ，折叠后，AF ⊥CF .∵在△BFC中，BC＝22，BF＝CF＝12，∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.又AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，∴CF⊥平面ABF.10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点.求证：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.证明(1)如图，连接AC，CD1.因为ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点.又M为AD1的中点，所以MN∥CD1.因为MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)连接BC1，C1D，因为B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点.又N为BD的中点，所以PN∥C1D.因为PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，所以PN∥平面CC1D1D.由(1)知MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面MNP，所以平面MNP∥平面CC1D1D.11.下列不能确定两个平面垂直的是()A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.12.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β. 其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.13.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________.(填序号)①BF∥平面ACGD；②CF∥平面ABED；③BC∥FG；④平面ABED∥平面CGF.答案①解析∵EF∥DG，EF⊄平面ADGC，DG⊂平面ADGC，∴EF∥平面ADGC，同理，BE∥平面ADGC，又∵BE∩EF＝E，∴平面BEF∥平面ACGD，∵BF⊂平面BEF，∴BF∥平面ACGD，故①正确；由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形，GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确；选项②③不能推出.14.如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________.答案34解析 如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB ，OC ，则OC ⊥l ，则∠ACO 为二面角α－l －β的平面角，∠ABC 为AB 与l 所成的角.设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ.由图象得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.15.如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，点E ，F ，G ，H 分别为P A ，PD ，PC ，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH ∥平面ABCD ； ②BC ∥平面P AD ； ③AB ∥平面PCD ； ④平面P AD ⊥平面P AB . 其中正确的有( )A.①③B.①④C.①②③D.②③ 答案 C解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH ∥AB ，又EH ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以EH ∥平面ABCD .同理可证EF ∥平面ABCD ，又EF ∩EH ＝E ，EF ，EH ⊂平面EFGH ，所以平面EFGH ∥平面ABCD ；平面P AD ，平面PBC ，平面P AB ，平面PDC 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.同理BC∥平面P AD.16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？请说明理由.(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴CD⊥平面P AC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面P AC，∴AB⊥平面P AC，又AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AC.(3)解棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△P AB的中位线，∴EF∥P A.又P A⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴P A∥平面CEF.。
点线面体 练习
点线面练习1、夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈,可划出一个曲线,这是因为( )A、面对成体B、线动成面C、点动成线D、面面相交成线2、用钢笔写字是一个生活中的实例,用数学原理分析,它所属于的现象是( )A、点动成线B、线动成面C、线线相交D、面面相交3、我们已经认识了"点动成线,线动成面,面动成体"的数学事实,以下现象:"夜晚的流星划过天空时留下一道明亮的光线",这说明了_________的数学事实.4、汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是( )A、点动成线B、线动成面C、面动成体D、以上答案都不对5、生活中我们见到的自行车的辐条运动形成的几何图形可解释为( )A、点动成线B、线动成面C、面动成体D、以上答案都不对6、汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净,是属于( )的实际应用.A、点动成线B、线动成面C、面动成体D、以上答案都不对7、看到飞行中的萤火虫,可以说明( )A、点动成线B、线动成面C、面动成体D、不能说明什么问题8、下列现象能说明"面动成体"的是( )A、天空划过一道流星B、旋转一扇门,门在空中运动的痕迹C、抛出一块小石子,石子在空中飞行的路线D、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹9、用运动的观点来理解点,线,面,体.点动成_________,线动成_________,面动成_________.拿一枚硬币,将其立在桌面上用力一转,它形成的是一个_________体,由此说明_________。
圆规在纸上划过会留下一个封闭的痕迹,这种现象说明_________。
一个人手里拿着一个绑在一根棍上的半圆面,当这个人把这个半圆面绕着这根棍飞快地旋转起来时就会看到一个球,这种现象说明_________。
冬天环卫工人使用下部是长方形的木锨推雪时,木锨过处,雪就没了,这种现象说明_________。
点、线、面练习题(含答案)
点、线、面、体
1.围成圆柱的面有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净所属的实际应用是( )
A.点动成线
B.线动成面
C.面动成体
D.以上答案都不对
3.结合生活实际，可以帮我们更快地掌握新知识.
(1)飞机穿过云朵后留下痕迹表明；
(2)用棉线“切”豆腐表明；
(3)旋转壹元硬币时看到“小球”表明.
4.图中的立体图形是由哪个平面图形旋转后得到的？请用线连起来.
5.如图所示的立体图形是由几个面围成的？它们是平面还是曲面？
点、线、面、体
1.C
2.B
3.(1)点动成线(2)线动成面(3)面动成体
4.解：如图所示.
5.解：此立体图形是由3个面围成的，它们是2个平面和1个曲面.。
六年级点线面练习题
六年级点线面练习题在学习数学的过程中，点、线和面是基本的几何概念。
理解和掌握这些概念对于解决几何问题至关重要。
本文将为你提供一系列六年级点线面练习题，帮助你加深对这些概念的理解。
练习一：点的判断1. 以下哪个图形中的点不在其中？A. 正方形B. 三角形C. 长方形D. 矩形2. 以下哪个图形中的点在其中？A. 线段B. 圆C. 梯形D. 方形3. 以下哪个图形中的点在其中？A. 五边形B. 正方形C. 长方形D. 平行四边形练习二：线的分类4. 下列线段中，哪一条是直线？A. ACB. ABC. BCD. AD5. 下列线段中，哪一条是射线？A. EFB. CDC. PQD. ST6. 下列线段中，哪一条是线段？A. MNB. UVC. KLD. OP练习三：面的边界7. 下列哪个图形没有封闭的边界？A. 正方形B. 三角形C. 长方形D. 圆形8. 下列哪个图形的边界不是曲线？A. 五边形B. 正方形C. 矩形D. 椭圆9. 下列哪个图形的边界是曲线？A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 平行四边形练习四：几何图形的特性10. 以下哪组图形中都具有直边？A. 正方形、圆、三角形B. 长方形、正方形、梯形C. 圆、长方形、平行四边形D. 圆、三角形、长方形11. 以下哪组图形中都具有曲边？A. 正方形、长方形、平行四边形B. 圆、三角形、长方形C. 五边形、圆、正方形D. 五边形、梯形、三角形12. 以下哪组图形中都具有封闭边界？A. 圆、长方形、正方形B. 三角形、长方形、梯形C. 平行四边形、五边形、圆D. 五边形、长方形、椭圆以上是六年级点线面练习题的一部分，通过解答这些题目，你可以对点、线和面的概念有更深入的理解。
希望这些练习题能够帮助你巩固你的数学基础，提高解决几何问题的能力。
记得多加练习，不断提升自己的数学技巧。
祝你取得好成绩！。
点线面的投影试题
点、线、面的投影一、作点的投影1、已知A点的三面投影，B在A点之上10mm、之前6mm、之右14mm，AC为正垂线，C点在A正前方18mm处，求作B、C两点的三面投影。
2、求平面上点K和N的另一面投影。
3、已知A、B、C三点的两面投影，试求其第三面投影。
4、已知A、B、C三点的两面投影，求各点的第三面投影。
5、已知点A在V面之前15，点B在H面之上20，点C在V面上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸点的V、H两面投影。
6、已知点A（40，20，30），作A点的直观图。
7、已知空间点A、B、C的坐标分别为（10，5，15）、（5，0，10）、（0，10，0）试绘制A、B、C在三面投影图中投影。
8、已知点A(10,10,30)、点B(0,15,20),点C在点A的左方10，下放15，前方10，求点A、B、C的三面投影。
9、已知A点的两面投影，B点在A点左方20mm，前方15mm，上方15mm，求作线段AB的三面投影。
10、按立体图作诸点的两面投影。
11、按照立体图作诸点的三面投影。
12、已知点A在V面之前36，点B在H面之上10，点C在V面上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸点的两面投影。
二、直线的投影13、已知直线AB与CD相交，求作CD。
14、求直线CD真长及对V面、W面的倾角β、γ。
15、求下列直线的第三面投影，并判断空间位置。
AB 是线16、求下列直线的第三面投影，并判断空间位置。
EF是线18、求下列直线的第三面投影，并判断空间位置。
AB是线。
20、求下列直线的第三面投影，并判断空间位置。
AB是线。
21、点M在直线AB上，且距H面15。
绘出点M在V、H面上的投影。
22、补全直线的三面投影，并判断其空间位置AB是线CD是线23、补全直线的三面投影，并判断其空间位置。
AB是线CD是线24、作直线的三面的投影;(1)水平线AB,从点A向左,向前, 长18,β=30°。
(2)正垂线CD,从点C向后,长12。
点、线、面、体同步练习题
第四章几何图形初步4.1.2点、线、面、体一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是A．B．C．D．【答案】D【解析】绕直线l旋转一周，可以得到圆台，故选D．2．将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、上面小下面大，侧面是曲面，故A正确；3．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于__________的实际应用．A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上答案都不对【答案】B【解析】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．故选B．4．一个直角三角形绕其直角边旋转一周得到的几何体可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】以直角三角形的一条直角边所在直线为对称轴旋转一周，得到一个圆锥，故选D．学科@#网5．生活中我们见到的自行车的辐条运动形成的几何图形可解释为A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上答案都不对【答案】B【解析】生活中我们见到的自行车的辐条运动形成的几何图形可解释为：线动成面，故选B．二、填空题：请将答案填在题中横线上．6．雨点从高空落下形成的轨迹说明了点动成线，那么一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了__________．【答案】面动成体【解析】一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了面动成体，故答案为：面动成体．7．将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是__________．【答案】球【解析】将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故答案为：球．8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积为__________cm3．（结果保留π）【答案】27πcm39．笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C，这说明了__________．【答案】点动成线【解析】笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C，这说明了点动成线；故答案为：点动成线．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．将第一行的图形绕轴旋转一周，便得到第二行的几何体，用线连一连．【解析】如图所示，A旋转后得出图形c，B旋转后得出图形d，C旋转后得出图形a，D旋转后得出图形e，E旋转后得出图形b．11．现将一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的相邻两边所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大？通过计算你发现了什么？（π取3.14）学#@科网人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是()A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为() A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A ．x ＝yB ．ax ＋1＝ay －1C ．ax ＝－ayD ．3－ax ＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为( ) A ．100元 B ．105元 C ．110元D ．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是( ) A ．130° B ．40° C ．90°D ．140°9．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，EF ＝m ，CD ＝n ，则AB 的长是( )A ．m －nB ．m ＋nC ．2m －nD ．2m ＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解； ③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0； ④若|a |>|b |，则a －ba ＋b >0.其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④ 二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________． 14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC＝12∠AOB，则射线OC是∠AOB的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a△b＝a·b－2a－b＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1.22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．日期9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日9月6日9月7日电表读123130137145153159165 数/度该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOE ＝2∠EOF ＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE ＝2∠COF .(2)∠BOE ＝2∠COF 仍成立．理由：设∠AOC ＝β，则∠AOE ＝90°－β，又因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOF ＝90°－β2.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF ＝∠AOF ＋∠AOC ＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE ＝2∠COF .25．解：(1)0.5x ；(0.65x －15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a 度．根据题意，得0.65a －15＝0.55a ，解得a ＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C 在原点右边，则点C 表示的数为100÷(3＋1)＝25； 若点C 在原点左边，则点C 表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50. 故点C 表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D 经过的时间为t s ，则6t －4t ＝130， 解得t ＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D 表示的数为－290.(4)ON －AQ 的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
初中数学点线面专项练习
（2）如图2，若∠AOC=15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒钟，此时∠AOM︰∠BON=7︰11，如图3所示，求x的值．
72．根据题意，将证明过程的理由填写在后面的括号内。
等于____cm．
57．如图， ， ， .则 的度数为.
58．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．
59．已知一个多边形的内角和是外角和的 ，则这个多边形的边数是.
60．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=．
61．如图，△ABC中，∠A=96°，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，则∠A1的大小是,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依次类推，∠A2012BC与∠A2012CD的平分线相交于∠A2012的大小是
其中正确的结论有,个，其序号是；
32．如图，∠C=45°，∠B=45°+2 ，∠C=45°+3 ，AE平分∠BAD，则∠CAE=；
33．
34．下列命题①不相交的直线是平行线；②同位角相等；③矩形的对角线相等且互相
平分；④平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；⑤同圆中同弦所对的圆周角相等。
其中错误的序号是。
A． B． C． D．
3．如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3:00）开始,在1分钟的时间内,3根针中,出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( )
（A）1次（B）2次（C）3次（D）4次
4．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分
∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON是（）
三、计算题（题型注释）
高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）
高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）高中数学《点线面的位置关系》专题训练30题（含解析）1．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.2．如图,四边形为矩形,且平面,,为的中点.（1）求证:；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.【答案】（1）见解析;（2）;（3）见解析.【解析】【分析】(1)连结,由几何体的空间结构可证得,利用线面垂直的定义可知.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得.(3)在上存在中点,使得.取的中点,连结.易证得四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.【详解】(1)连结,∵为的中点, ,∴为等腰直角三角形,则,同理可得,∴,∴,又,且,∴,?又∵,∴,又,∴.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,∴,而是三棱锥的高,∴.(3)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结.∵是的中点,∴,且,?又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．【详解】（1）因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且由知．由知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得取平面的法向量．设，则．设平面的法向量为．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以与平面所成角的正弦值为．【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．4．如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线和所成角；（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.【答案】(1)证明见解析；(2)(3).【解析】【分析】（1）先证明平面平面，再证明平面；（2）分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线和所成角；（3）设，，利用向量法得到，解方程即得t的值和的长.【详解】（1）∵，，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）∵，，∴，，如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,∵，，，，∴，，∵，∴异面直线和所成角为.（3）设为平面的法向量，∵，，∴，即，设，，∴，设与平面所成角为，∵，∴，，，，（舍），，∴的长为.【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的证明，考查异面直线所成的角和线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5．如图，在三棱锥中，，，为的中点．?（1）证明：平面；?（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．【答案】（1）详见解析（2）．【解析】【详解】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM 的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM= ，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.6．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.【详解】（1）连接，，分别为，中点?为的中位线且又为中点，且且四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）在菱形中，为中点，所以，根据题意有，，因为棱柱为直棱柱，所以有平面，所以，所以，设点C到平面的距离为，根据题意有，则有，解得，所以点C到平面的距离为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.7．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点．（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．试题解析：（1）取中点，连结，．因为为的中点，所以,,由得，又所以．四边形为平行四边形，．又，，故（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则，，，，,则因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABC D的法向量，所以，即（x-1）2+y2-z2=0又M在棱PC上,设由①，②得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m，n>|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．8．如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.9．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.【详解】证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，因为，所以，所以，，设是平面的法向量，所以，设是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的绝对值为，所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.10．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．【详解】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因为，所以，即．故四棱锥的体积．[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法?由（2）知,所以．建立如图所示的平面直角坐标系，设．因为，所以，，，．从而．所以，即．下同方法一.[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法?建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空间向量法?由，得．所以．即．又底面，在平面内，因此，所以．所以，由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，得，即．所以，即．下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.11．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN ，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1 AMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案.【详解】（1）分别为，的中点，，又，，在中，为中点，则，又侧面为矩形，，，，由，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又平面，平面，平面，平面平面.(2)[方法一]：几何法如图，过O作的平行线分别交于点，联结，由于平面，平面，，平面，面，所以平面平面．又因平面平面，平面平面，所以．因为，，，所以面．又因，所以面，所以与平面所成的角为．令，则，由于O为的中心，故．在中，，由勾股定理得．所以．由于，直线与平面所成角的正弦值也为．[方法二]【最优解】：几何法因为平面，平面平面，所以．因为，所以四边形为平行四边形．由（Ⅰ）知平面，则为平面的垂线．所以在平面的射影为．从而与所成角的正弦值即为所求．在梯形中，设，过E 作，垂足为G，则．在直角三角形中，．[方法三]：向量法由（Ⅰ）知，平面，则为平面的法向量．因为平面，平面，且平面平面，所以．由（Ⅰ）知，即四边形为平行四边形，则．因为O为正的中心，故．由面面平行的性质得，所以四边形为等腰梯形．由P，N为等腰梯形两底的中点，得，则．设直线与平面所成角为，，则．所以直线与平面所成角的正弦值．[方法四]：基底法不妨设，则在直角中，．以向量为基底，从而，，．，，则，．所以．由（Ⅰ）知平面，所以向量为平面的法向量．设直线与平面所成角，则．故直线与平面所成角的正弦值为．【整体点评】(2)方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问题的关键；方法二：等价转化是解决问题的关键，构造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直线的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立体几何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其关键之处在于找到平面的法向量和直线的方向向量.12．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．【答案】（1）见详解；（2）18【解析】【分析】（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，平面；平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面；?（2）设长方体侧棱长为，则，由（1）可得；所以，即，又，所以，即，解得；取中点，连结，因为，则；所以平面，所以四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.13．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；（2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内.［方法二］：空间向量共线定理以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．设，则．所以．故．所以，点在平面内．［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以．故．所以点在平面内．［方法四］：根据题意，如图3，设．在平面内，因为，所以．延长交于G，平面，平面．，所以平面平面①．延长交于H，同理平面平面②．由①②得，平面平面．连接，根据相似三角形知识可得．在中，．同理，在中，．如图4，在中，．所以，即G，，H三点共线．因为平面，所以平面，得证．［方法五］：如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O 为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内．（2）［方法一］【最优解】：坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.则、、、，，，，，设平面的一个法向量为，由，得取，得，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，则，，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为.［方法二］：定义法在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角．?在中，．所以，则．［方法三］：向量法由题意得，由于，所以．如图7，在平面内作，垂足为G，则与的夹角即为二面角的大小．由，得．其中，，解得，．所以二面角的正弦值．［方法四］：三面角公式由题易得，．所以．．．设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得，所以．【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．14．如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到=90，即，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC =CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足为E，则．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE =1．因此，三棱锥的体积为．点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求证：平面.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面平面；（3）取中点，连接，证明，则平面.【详解】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法.证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.16．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P?ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.?【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.17．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】【详解】分析：（1）先证,再证，进而完成证明．（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为上异于C，D 的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．18．四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;（2）若△面积为，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积.试题解析：（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积【详解】19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.【解析】【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接，易知，，又由，故，又因为平面，。
点线面投影练习题
点、线、面投影练习题班级_____________姓名______________得分______________一：填空1 投影可分为______________和________________两类。
2．平行投影可分为_______________和________________两类。
3．正投影的基本性质有_____、______ 、______、______。
4．物体的左视图反映了物体高度和___________两个方向的尺寸。
5．点A的坐标为(35，20，15)，则该点对W面的距离为_______。
6 .平面与某投影面垂直，则在该投影面的投影为_______。
7 .直线AB的V、W面投影均反映实长，该直线为_______。
8. 点A的坐标为(10，15，20)，则该点在H面上方___________。
9 .水平线的H投影反映直线的实长及对_______________投影面的倾角。
10．三投影图的投影特性为长对正、__________、__________。
二选择1. 投射方向垂直于投影面,所得到的平行投影称为_______。
A 正投影B 斜投影C 平行投影D 中心投影2．B点相对于A点的空间位置是（）A．左、前、下方B．左、后、下方C．左、前、上方D．左、后、上方3.直线AB的V、H面投影均反映实长，该直线为( )。
A.水平线B.正垂线C.侧平线D.侧垂线4.已知点A(10，10，10)，点B(10，10，50)，则( )产生重影点。
A.在H面B.在V面C.在W面D.不会5.某平面的H面投影积聚成为一直线，该平面为（）。
A.水平面B.正垂面C.铅垂面D.一般位置线6.某直线的V面投影反映实长，该直线为（）。
A.水平线B.正平线C.侧平线D.铅垂线7.直线AB仅W面投影反映实长，该直线为( )。
A.水平线B.正平线C.侧平线D.侧垂线8.平面的W面投影为一直线，该平面为( )。
A.侧平面B.侧垂面C.铅垂面D.正垂面9.直线AB的V投影平行于OX轴，下列直线中符合该投影特征的为( )。
点线面达标检测试题
达标检测一、填空1、直线上两点和两点之间的部分叫做（），线段有（）个端点。
2、（）、（）都可以无限延长，其中（）没有端点，（）只有一个端点。
3、从一点引出两条射线所组成的图形叫做（）。
这个点叫做它的（），这两条射线叫做它的（）。
4、线段是直的，有（）个端点；将线段向两个方向无限延长，就形成了（）线；从线段的一个端点向一个方向无限延长，就得到一条（）线。
5、过一点可以画出（）条直线，过两点只能画出（）条直线；从一点出发可以画（）条射线。
6、手电筒、太阳等射出来的光线，都可以近似地看成是（），因为它们都只有（）端点。
二、请在括号里对的画“√”，错的画“×”。
（1）小于90度的角是锐角。
（）（2）大于90度的角是钝角。
（）（3）1平角=2直角（）（4）1周角=2平角=2直角（）（5）平角就是一条直线。
（）（6）周角就是一个圆。
（）（7）用三角尺可以画出75°、120°、140°的角。
（）（8）经过一点可以画一条直线。
（）（9）线段是直线上两点之间的部分。
（）（10）过一点只能画出一条直线。
（）（11）一条射线长6厘米。
（）（12）手电筒射出的光线可以被看成是线段。
（）（13）过两点只能画一条直线。
（）（14）、线段比射线短，射线比直线短。
( )（15）、经过一点可以画一条直线。
( )（16）、一条射线OA，经过度量它的长度是5厘米。
（）。
（17）、角的两边越长，角的度数越大（）。
（18）、钝角一定比直角大（）。
（19）、小军画了一条4厘米长的直线（）。
三、选择1.直线与射线比较（）。
①直线长一些②一样长③无法比较/2.、过两点能画（）条直线。
A．0 B．1 C．3 D．无数3.下面（）是射线。
A、米尺B、手电筒的光C、D、竹棍4.小强画了一条（）长5厘米。
A、直线B、射线C、线段D、角四、解决问题1、一张贺卡长2分米，宽10厘米，在它的四周镶上金边线，金边线的长度是多少？2、一块长方形的木牌,它的宽是3分米,长是宽的2倍。
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A
（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A 组] 一、选择题
1．下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）
A ．有一个角是直角的四边形
B ．有两个角是直角的四边形
C ．有三个角是直角的四边形
D ．有四个角是直角的四边形 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
4．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，
,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是
（ ）
A ．0
30 B ． 090 C ． 0
60 D ．随P 点的变化而变化。
5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分 A ．4 B ．5 C ．7 D ．8
6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A ．90 B ．60 C ．45 D ．30
二、填空题
1． 已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________________。
2． 直线l 与平面α所成角为0
30，,,l A m A m αα=⊂∉ ，则m 与l 所成角的取值范围
是 _________ 3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1234,,,d d d d ，则1234d d d d +++的值为。
4．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面,αβ内各有一条射线AB ，
AC 与l 成045，,AB AC αβ⊂⊂，则BAC ∠=。
5．下列命题中： （1）、平行于同一直线的两个平面平行；
（2）、平行于同一平面的两个平面平行；
（3）、垂直于同一直线的两直线平行； （4）、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________。
三、解答题
1．已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .
H G F
E
D B A
C
2．自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B 组] 一、选择题 1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） Ａ．16π Ｂ．20π
Ｃ．24π Ｄ．32π
2．已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥， 则EF 与CD 所成的角的度数为（ ）
Ａ．90 Ｂ．45
Ｃ．60 Ｄ．30
3．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）
Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条
4．在长方体1111ABCD A B C D -，底面是边长为2的正方形，高为4，
则点1A 到截面11AB
D 的距离为( ) A ．
83 B ． 38 C ．43 D ． 3
4
5．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，
连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（ ） A ．
361a B ．3123a C ．3
6
3a D ．3121a 6．下列说法不正确的．．．．
是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B ．同一平面的两条垂线一定共面；
C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
二、填空题
1．正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。
2．空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，则BC 与AD 的 位置关系是_____________；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形EFGH 是正方形
3．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V AB C --的平面角为_____________。
4．三棱锥,10,8,6,P ABC PA PB PC AB BC CA -=====则二面角 P AC B --的大小为____
5．P 为边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一点且PA PB PC a ===，则P 到
AB 的距离为______。
三、解答题
1．已知直线//b c ，且直线a 与,b c 都相交，求证：直线,,a b c 共面。
2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
3．如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且
SM AM =ND
BN
， 求证：//MN 平面SBC
（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练C 组] 一、选择题
1．设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m
⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
其中正确命题的序号是 ( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
2．若长方体的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体体对角线长为（ ）
A
C
3．在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面0,,,,30BCD BD DC BD DC AC a ABC ⊥==∠=, 则点C 到平面ABD 的距离是( )
A B C D 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11AC 的中点，则直线CE 垂直于（ ） A ．AC B ．BD C ．1A D D ．11A D
5．三棱锥P ABC -的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
6．在四面体ABCD 中，已知棱AC 1，则二面角 A CD B --的余弦值为（ ）
A ．
12 B ．13 C ．3
7．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，
,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）
A ．090
B ．060
C ．045
D ．0
30
二、填空题
1．点,A B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到α平面的 距离为_________________．
2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。
3．一条直线和一个平面所成的角为0
60，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．
4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_____。
5．在正三棱锥P ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，4,8AB PA ==,过A 作与,PB PC 分别交于D 和E 的截面，则截面∆ADE 的周长的最小值是________
三、解答题
1．正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点．求证：平面MBD ⊥平面BDC ．
2．求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
-中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面3.在三棱锥S ABC
AB SB的中点。
==M、N分别为,
,
ABC SA SC
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。