关于力学量算符本征函数的正交归一性
第三章-表示力学量算符-习题答案
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
量子力学证明题-副本
（五）证明题1.证明在定态中，几率流密度矢量与时间无关。
证明：几率流密度公式为：而定态波函数的一般形式为：将此式代入上式得：，所以。
2.证明厄密算符的本征值为实数。
证明：若为厄米算符，则证明为实数。
由厄米算符定义，令，，左=，右＝，，, , 为实数。
3.证明坐标算符和动量算符为厄密算符。
证明：，则由厄密算符的定义得，是厄密算符。
因为，是厄米算符4.证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。
证明：设厄米算符的本征值非简并，取其中的任意的两个本征值和本征函数：和， 有 ，， 按厄米算符的定义，有， 而上式的左端，右边，所以，。
故，这就是厄米算符本征函数的正交性的数学表达。
),(2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J Et ie r t r -ψ=ψ)(),()]()()()([2r r r r i J ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μ0=∂∂t Jλψψ=FˆF ˆλψφ=τψψψψd F F **⎰⎰=)ˆ(ˆτψλτλψψd d ⎰⎰=*2τψλτψψλd d 2⎰⎰***=0)(2=-∴⎰*τψλλd 02≠⎰τψd ∴*=λλλ xp x x x =ˆ ⎰⎰=dx x dx x ϕψϕψ**)(ˆx ˆ∴xi px ∂∂-= ˆdx px ϕψˆ⎰+∞∞-*dx dx d i ϕψ⎰∞+∞-*-= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰∞+∞-*∞+∞-*dx dx d i ψϕϕψ dx dx d i ϕψ⎰∞+∞-*=)( dx dxdi ϕψ⎰∞+∞-*-=)( dx dxd i ϕψ⎰∞+∞-*-=)( dx px ϕψ*+∞∞-⎰=)ˆ(x pˆ∴Aˆmψnψm m m a Aψψ=ˆnn n a A ψψ=ˆτψψτψψd A d A m n n m*)ˆ(ˆ⎰⎰=*=τψψd a n m n ⎰*τψψd a m n m *⎰=0)(=-⎰*τψψd a a n m m n m n a a ≠0=⎰*τψψd n m如果，而 归一。
2.7力学量算符(18)好
1
c( px ) (2)1/ 2
( x) exp( ipx x / )dx
|
c(
px
)
|2
粒子动子动量的几率密度， x
则
px px
px | c( px ) |2 dpx
px px
px | c( px ) |2 dpx
c( px ) pxc( px )dpx
( x)(i d )( x)dx dx
( x) pˆ x( x)dx
过程繁琐，略
(3) 力学量平均值公式
当系统处于状态
(r )
时，力学量
Aˆ
的平均值：
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3）两个力学量同时有确定值的条件
1．两个力学量同时有确定值的条件是它们有共同的本征函数。
2．两个力学量同时有确定值的条件是它们可对易：
Aˆ
n
(r )
n
当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系列可能值，
这些可能值均为 的H本ˆ 征值。这表明 的H本ˆ征值是体系能量的可测值，
将该结论推广到一般力学量算符提出一个基本假设。该假设给出了表示力 学量的算符与该力学量的关系。
力学如量果F 算有符确F定ˆ 值表，示这力个学值量就F，是那么当属Fˆ体于系该处本于征态Fˆ 的的本本征征值态。中时，
量子力学中的算符
px
i
x
,
py
i
y
,
pz
i
z
或
p
i
二．算符的一般性质
1．算符
某一种运算把函数 u 变为 v ，表为 Aˆ u v 则 Aˆ 称为一个算符。
I(三章3讲)常用算符本征值问题
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin 本征方程：
本征值： 本征函数： 正交归一性： 完备性： 简并度：
0
2
0
Ylm ( , )Yl* m ( , )sin d d ll mm
( p (r ''), p (r ')) (r '' r ')
平面波归一化计 算，你会了吗？
（二）位置算符
本征方程
ˆx x
ˆ x x
归一化常数： A 1
因为λ是常数，除了x=λ这一点外，x取其他任何值都有 0 即： ( x) A ( x ) 属于本征值λ的本征函数：
3. L2算符的本征值
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
因为它只与
, 有关，所以其本征函数应具有如下形式
Y ( , )
设它的本征值为： L
2
则其本征方程可写成：
ˆ2Y ( ,) L Y ( ,) 2Y ( ,) L
你会直角坐标与球坐标 的相互转换吗？
z
r
r
y
(II) 球坐标
直角坐标与球坐标之间的变换关系
2 2 2 2 r x y z cos z / r tan y / x
x
球 坐 标
x r sin cos y r sin sin z r cos
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
高等量子力学-基本原理-2要点
* dx
n
* dx 0
2。 完备性：
x C n n x x c x d
n
3.归一化条件：
n
| c n | 2 c d 1
2
4.平均值公式：
§7
全同性原理
(一) 全同粒子体系交换对称性 1.全同粒子
固有性质相同的粒子称为全同粒子 固有性质指的是：质量、电荷、自旋、磁矩、 宇称、寿命等 例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子、 微子……同类核原子、分子…… 全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它 们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另 一粒子，不引起物理状态的变化
表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本 征函数系。
ˆ的本征函数 力学量算符F {1 , 2 ,n }是正交归一的而且是完 备的 对于任意波函数有 ： r Cnn r
n
波函数完全描述了体系状态 若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值 的相应的概率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全 描述了体系状态。
2．不可区分性 经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分， 因各自有确定轨道。
位置 轨道 速度
1
2
微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象性，无确 定轨道。粒子的位置是由波函数来决定。而波函数只 能提供粒子在每一个位置的概率。随着时间演变，几 个粒子的波函数会扩散蔓延，互相重叠。在波函数重 叠处就不能区分是哪个粒子。
4．全同粒子体系波函数的特性-交换对称性
设体系由N个全同粒子组成 以 q i 表示第i个粒子的坐标和自旋
qi (ri , si )
量子力学习题解答-第3章
2. 广义统计诠释
设力学量 具有分离谱的正交归一本征函数系 本征值为 ，即
或
这个本征函数系是完备的，即 （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开
*习题证明如果对于所有（希尔伯特空间中）的函数 都有 ，那么，对于所有的 和 就有 （即，两种对于厄密算符的定义—等式和—是等价的）。提示：首先设 ，然后令 。
证明：
若对于Hilbert空间中任意函数 ，都有
，
设
，其中 是一任意常数（复数）
我们有
上式对任意常数 都成立， 分别取 ，有
两式相加得到所要结果
证明:假设 和 （即： 是 和 的共同本征方程），并且函数集 是完备的，因此任意（Hilbert空间中的）函数 都能表示成 线性叠加 ，那么有
因为上式对任意的 都成立，所以得到 ，这显然与所给条件矛盾，所以两个非对易算符不能具有共同的完备本征函数系。
习题求式所给方程
的解。注意 和 都是实常数。
解:
习题在下面的具体例子中应用公式 ：（a） =1；（b） ；（c） ；（d） 。在每种情况下，解释结果，特别是参考公式，，和能量守恒（式后的评注）。
（c）在这个基中，求出算符 里的9个矩阵元，并写出矩阵 。它是厄密矩阵么
解：（a） ;
（b）
（c）
显然它不是厄密矩阵。
习题一个两-能级体系的哈密顿为：
，
这里 ， 是正交归一基， 是量纲为能量的一个实数。求出它的本征值和归一化的本征矢（用 和 的线性迭加）。相应于这个基表示 的矩阵 是什么
量子力学算符本征函数正交归一性的探索
教改聚焦2014-06在量子力学中，表示力学量的算符必定都是厄密算符。
厄密算符对应的本征函数具有正交归一性，但在部分教材中没有给出详细的证明过程，给学习者研读带来困难。
在此，本人对一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算符L 的本征函数正交归一性证明如下，仅供学习量子力学者参考。
一、一维无限深势阱哈密顿算H 征函数的正交归一性任取两个一维无限深势阱哈密顿算符的本征函数[1]：则有：淤当m=n 时，上式为：即有，也就是一维无限深势阱哈密顿算H 本征函数具有正交归一性。
二、线性谐振子哈密顿算H 征函数的正交归一性线性谐振子哈密顿算H本征函数为[2]：其中任取两个函数和，令，所以，则有：上式第一项为，且最高次项的系数为2014-06教改聚焦当m ≥0时，；当m =0时，为关联勒让德函数：关联勒让德函数的正交性无法直接证明，在此，我们任取两个本征函数进行验证。
1.验证的正交性所以是相互正交的。
2.验证归一性至此，我们证明或验证了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算L 2的本征函数的正交归一性。
参考文献：［1］陈鄂生.量子力学教程.山东大学出版社，2002-05.［2］周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979-02.［3］大卫·J ·格里菲斯.量子力学概论.贾瑜，胡行，李玉晓，译.机械工业出版社，2013-03.（作者单位毕节职业技术学院）•编辑张珍珍语文在人际交往中有着特殊的作用，它是其他学科所替代不了的，同时也是工具性和人文性相结合的一门最基本的学科。
当前的语文教学以培养学生的实践能力为最终的目标，需要将所学的知识与实际生活更好地融合在一起来满足社会的需要。
一、在书写方面强化训练，促进学生逻辑思维的培养，为实践能力的提升提供条件在语文教学中，对学生的写字不仅要求美观，更深层次上是让学生有一个良好的学习习惯。
因为在书写的过程中可以不断培养学生的逻辑思维。
例如，在教学《荷塘夜色》时，其中包含很多优美的句子，教师可以要求学生对其进行仿写，在这个过程中可以进行创新。
量子力学 第三章3.5厄米算符本征函数的正交性
'
d
(
'
)
0, ,
' '
于是称{ }为厄米算符 Fˆ 的正交归一本征函数系。
三、厄米算符属于相同本征值的本征函数的正交性（简并情况）
如果 Fˆ的一个本征值 是n 度f简并的，既有 个（f 而不是一个）本
征函数
n1, 都n2属, 于n3相,同的本nf 征值 ，而且是线性无关n
的，则有：
本征值为 ( 1)， 2对于确定的 ， 其本征函数 是Ym
重简2并1的。用与 对易的Lˆ 算2 符 的本征Lˆ值z 来确定m
态函数 ，此Y时m，它对应的本征值为
，
这时[，( 波1函) 2数, m是唯] 一确定的。
综合上述讨论可得如下结论：
既然厄密算符本征函数总可以取为正交 归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本 征函数时，都是正交归一化的，即组成正交 归一系。
j, j' 1,2,f
即待定系数
A ji 必须满足的条件有
f (f 1) 2
个方程，其
中 j j' 的归一化条件有 f 个； j j' 的正交条件有
f (f 1) 2
C
2 f
个。
而待定系数 A ji 共有 f 2 个值。
于是只要 f ，1就有
f 2 f，(f即待1) 定系数
2
的个数A大ji
于条件方程的个数，所以 可以有许A多ji 选择方式，使
得函数 满足正交归n一j 化条件。
由简并的这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函 数，它们仍属于原本征值且满足正交归一化条件。
说明：在实际计算中，当出现简并时，为了把 Fˆ 的本
征态确定下来，往往用与 Fˆ 对易的其它的力学量算符
算符与力学量的关系_第三章
2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e
i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0
r a0
[e
i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系（续８）
a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系（续２）
| Cn |2 具有概率的意义，它表示在 态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率，故 Cn 常称为概率幅
基 本 假 设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算 符，它们的本征函数 组成完全系。当体系 处于波函数 所描写的状态时，测量力 ˆ 学量 F 所得的数值，必定是算符 F 的本征值 之一，测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2
C p 与动量值 P 的大小有关，与 p的方向无关， 由此得到动量 的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4
9
3.6 算符与力学量的关系（小结）
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开（态叠加 原理）
① 此假设的正确性，由该理论与实验结 注 果符合而得到验证 意 ② 一般状态中，力学量一般没有确定的数 值，而是具有一系列的可能值，这些可能值 就是该力学量算符的本征值，测得该可能值 的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系（续３）
判断,名词解释缩版
1.量子力学是18世纪20年代诞生的科学。
（(错，应为20世纪）2.量子力学的建立始于人们对光的波粒二象性的认识。
（对，1905年爱因斯坦提出光子假说）3.量子的概念是由爱因斯坦提出的。
（错，应是普朗克）4.光量子的概念首先由普朗克引入。
（错，应为爱因斯坦）5.按照光的电磁理论，光的强度与频率有关。
（错，与频率无关）6.黑体必须是表面很黑的物体。
（错，不一定是很黑的物体，指对光的吸收情况而言）7.普朗克常数起重要作用的现象可称为量子现象。
（对，如果普朗克常数起重要作用的现象，则认为是量子现象）8.按玻尔理论，谐振子不存在零点能。
（对，零点能是量子力学的必然结果）9.玻尔理论认为微观粒子是质点。
（对，玻尔理论是半经典、半量子的产物）10.微观实物粒子的波粒二象性由玻尔首先提出。
（错，应是德布罗意）11.自由粒子的能级是简并的。
（对，为二重简并）12.任意态的几率流密度都与时间无关。
（错，必须是定态）13.波函数归一化后就完全确定。
（错，仍含有不定相因子）14.波函数通常不可能是纯实数或纯虚数。
（对，这是薛定谔方程和几率连续性方程的必然要求）15.波函数就是描写系统状态的态函数。
（对，物理量都可以通过波函数描写）16.波函数不是物理量。
（对，波函数本身没有物理意义）17.由波函数可以确定微观粒子的轨道。
（错，量子力学无轨道可言）18.量子力学中自由粒子的概念比经典力学宽广的多。
（对，不同的表象可以有不同的态函数）19.量子力学中的物理量都是分立的。
（错，量子力学也有连续的物理量）20.无限深势阱越宽就越接近经典规律。
（错，势阱越窄，量子效应更加明显）21.量子力学中用算符表示微观粒子的力学量。
（错，用线性厄密算符表示）22.量子力学仅讨论在经典物理中存在的力学量。
（错，比如自旋。
量子力学也讨论在经典物理中不存在的物理量）23.量子力学中的算符都是幺正算符。
（错，应是线性厄米算符）24.角量子数为零的态称为s态。
量子力学习题集及答案
波函数为（ ）。
34． 一维线性谐振子处在的本征态的迭加态中，则在表象中
一维线性谐振子的波函数为=（
（0，0，3/5，
0，-4/5，0,…） ）。 35． 斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在
任何方向上投影只能取两个值（ ）和（ ）。 36． =（ ），=（ ）。 37． =（ 0 ），[]=（ 0 ）。 38． 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。 39． 在表象中，粒子处在自旋态中，=（ ）。 40． 在表象中，，则在状态中，=（ ）。 41． 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两
于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。
24． 力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互
（ 正交 ）。
25． 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量
算符的本征函数组成（ 完全 ）系。
26． 算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在
表象中=（ ）。
27． 如果[]=0，则存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，的
对应的本征为： ， （2）
17．设，[]=1，为的本征态，对应的本征值为。求证：也是的本征 态，并求出对应的本征值。 解： ，
所以，也是的本征态，对应的本征值为（） 18．一维线性谐振子处于基态，求该谐振子的动量处于内的几率。
（提示：） 解：
= = 内的几率为 19．一维线性谐振子处于基态，求该谐振子在动量表象中的波函数。（ 提示：）
解：设当时，.
代入
得
.
.
8．证明力学量算符的本征值必为实数。
解：
设
在中
令
得
9．证明：力学量在任意态中的平均值为实数。 解： 设已归一化，则
量子力学中的量子力学力学量的本征态问题
量子力学中的量子力学力学量的本征态问题量子力学是描述微观领域中粒子行为的理论，它具有独特的性质和规律。
在量子力学中，存在一些基本的物理量，称为力学量。
这些力学量包括位置、动量、角动量等，它们是描述粒子运动和性质的重要指标。
在量子力学中，研究力学量的本征态问题是解决量子系统的基本方法之一。
本文将从本征值问题、本征态问题和应用三个方面介绍量子力学中力学量的本征态问题。
一、本征值问题在量子力学中，力学量可以用算符表示。
对于一个力学量对应的算符，它的本征值即为测量该力学量时可能得到的结果。
本征值问题是指找到力学量算符的本征值和本征态的问题。
对于一个给定的力学量算符，我们需要找到它的本征值和本征态，以描述量子系统的性质。
量子力学中，力学量算符的本征值问题可以表示为如下方程：\[\hat{A}|\Psi\rangle = a|\Psi\rangle \]其中，\(\hat{A}\)表示力学量算符，\(|\Psi\rangle\)表示该力学量的本征态，\(a\)表示对应的本征值。
通过求解这个方程，我们可以得到力学量算符的本征值和本征态。
二、本征态问题对于力学量的本征值问题，我们还可以进一步研究力学量的本征态问题。
在量子力学中，本征态是相对于某个力学量的算符，它是力学量所对应的本征值的特定状态。
通过求解本征值问题，我们可以得到一系列的本征态，它们构成了力学量算符的本征态空间。
量子力学中，力学量算符的本征态满足正交归一条件，即：\[\langle\Psi_i|\Psi_j\rangle = \delta_{ij}\]其中，\(\langle\Psi_i|\)表示第\(i\)个本征态的共轭转置，\(\Psi_j\rangle\)表示第\(j\)个本征态。
通过求解本征态问题，我们可以得到一组满足正交归一条件的本征态，它们是力学量算符的基态。
三、应用量子力学中力学量的本征态问题在许多应用中起着重要的作用。
例如，动量算符的本征态问题可以用于描述粒子的动量分布和运动状态。
量子力学 第三章3.5厄米算符本征函数的正交性
f
f
nj
'
d
i 1 i 1
'
A ji A
*
ji
' '
1, * ni ' d ni 0,
j j
'
f 个
'
j j
'
C f
2
个
j, j 1 , 2 , f
即待定系数 A j i 必须满足的条件有 中
j j
'
f ( f 1) 2
n3
本征函数
n1
,
,
, 都属于相同的本征值 nf
ˆ F
ni
，而且 n
是线性无关的，则有：
n
ni
i 1、 、 f 2
，
于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但 我们总可以用 f 2 个常数 A
ji
把这 f 个函数线性组合成 f 个新的
f
nj
线性独立的待定函数 nj ，即： 其中 nj 仍然是
Y m ( , ) N m P
m
(c o s )e
im
组成正交归一系：
0
2
0
Y m ( , ) Y
*
m
'
( , ) sin d d
'
②
把①②合写
0
2
0
Y m ( , ) Y
*
m
'
( , ) sin d d
量子力学曾谨言习题解答第七章
第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p pˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x xyxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c qp pˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4） 正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） （解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势A ˆ 的一种可能情形是022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22yx v v +对易，而： ()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。
动量算符本征函数的归一化
动量算符本征函数的归一化动量算符是量子力学中一个重要的概念，它给出了实粒子在动量空间中的状态。
此外，它还能够用来描述量子体系中的粒子数量和碰撞过程。
因此，动量算符的本征函数的归一化是一个重要的研究课题。
首先，定义动量算符，它是一个具有特定的本征函数的操作符。
它满足关于坐标和动量方程的共轭关系，可以表示一个量子体系中具有独特形状的波函数。
这些波函数可以用来描述粒子的状态，准确地获得粒子的特性。
动量算符的本征函数的归一化是动量空间的基础。
它可以用来计算量子力学模型中的粒子总数，也可以用来描述碰撞过程。
此外，它还提供了一种测量系统的精确状态的方法。
因此，正确的归一化对于科学研究和工程实际应用至关重要。
动量算符本征函数归一化有2种常用的方法，分别是投射归一化和完全归一化。
投射归一化是一种较为简单的方法，它只考虑在投影子空间内的归一化状态，不考虑外部因素。
它可以被用来解决普遍性的问题，如计算总粒子数量。
然而，由于投射归一化只考虑了小部分情况，而忽略了外部因素，因此它可能会导致计算结果的误差。
完全归一化则考虑了整个空间，因此可以精确地计算出本征函数的值。
但它的实施较为复杂，因为它有可能将外部因素引入到量子模型中，从而影响计算结果。
此外，也有其他一些量子力学模型也可以用来计算本征函数的归一化，这些模型结合了投射归一化和完全归一化的优点，它们更加精确、高效，并且考虑了外部因素。
总之，动量算符本征函数的归一化看似简单，实际上却涉及到一些复杂的概念，并且非常重要。
它可以帮助我们准确地计算系统中的粒子数量，从而更好地理解量子力学的性质。
随着量子计算技术的发展，动量算符本征函数的归一化将越来越受到重视，并可能使量子技术能够快速发展。
量子力学 填空题
二 填空题pton 效应证实了 。
2.Bohr 提出轨道量子化条件的数学表达式是 。
3.Sommerfeld 提出的广义量子化条件是 。
4.一质量为μ的粒子的运动速度远小于光速，其动能为E k ，其德布罗意波长为 。
5.黑体辐射和光电效应揭示了 。
6.1924年,法国物理学家De Broglie 提出了微观实物粒子具有 。
7.自由粒子的De Broglie 波函数为 。
8.用150伏特电压加速的电子，其De Broglie 波的波长是 。
9.玻恩对波函数的统计解释是 。
10.一粒子用波函数Φ(,) r t 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。
11.描写粒子同一状态的波函数有 个 。
12.态迭加原理的内容是 。
13.一粒子由波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t i px dp =-∞∞⎰12π 描写，则c p t (,)= 。
14.在粒子双狭缝衍射实验中，用ψ1和ψ2分别描述通过缝1和缝2的粒子的状态,则粒子在屏上一点P 出现的几率密度为 。
15.一维自由粒子的薛定谔方程是 。
16.N 个粒子体系的薛定谔方程是 。
17.几率连续性方程是由 导出的。
18.几率连续性方程的数学表达式为 。
19.几率流密度矢量的定义式是 。
20.空间V 的边界曲面是S ，w 和 J 分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量，则⎰⎰⋅-=∂∂V SS d J dV t w 的物理意义是 。
21.量子力学中的质量守恒定律是 。
22.量子力学中的电荷守恒定律是 。
23.波函数应满足的三个标准条件是 。
24.定态波函数的定义式是 。
25.粒子在势场U r () 中运动，则粒子的哈密顿算符为 。
26.束缚态的定义是 。
27.线性谐振子的零点能为 。
28.线性谐振子的两相邻能级间距为 。
29.当体系处于力学量算符 F的本征态时,力学量F 有确定值，这个值就是相应该态的 。
30.表示力学量的算符都是 。
31.厄密算符的本征值必为 。
白痴物理学——量子力学、厄米算符本征函数的正交性
白痴物理学——量子力学——厄米算符本征函数的正交性厄米算符具有本征值和本征函数。
厄米算符的本征函数具有正交性这个基本性质。
1、什么是厄米算符？满足下面这个条件的就是厄米算符ττvd Fu vd F u **)(⎰⎰∧∧≡。
注：u 是一个函数v 是另一个函数*表示共轭符号，具体来说，就是在虚数单位i 前面加上—（负号，读作fu4声）。
虚数就是带有单位i 的数。
i 的平方等于-1（实数负一）。
如i 的共轭为-i 。
如P= -（ih ▽）/（2π）。
则*P =（ih ▽）/（2π）。
d 表示求微分τ（读作套）表示一个非常小的体积，理解为体积元，说白了就是一个极小的体积。
具体问题里是包裹着某个特定点的空间。
⎰表示积分，通常与d 搭配使用，也可以单独使用。
一般这样表示：“⎰Adx ”。
式子中A 是某个函数，dx 表示函数分成x 份，⎰表示将这个函数分成x 份后，再将这x 份加起来。
ττvd Fu vd F u **)(⎰⎰∧∧≡这个厄米算符不好记忆，可以这么理解。
小三（指的是u ）拿着一把刀（用*表示），闯进了夫妻（∧F 和v ）的家里（家指的是⎰d τ，⎰和d τ中间是空的 ），要夫妻（∧F 和v ）俩离婚，结果丈夫（∧F ）就和小三（u ）在一起了（“（∧F u ）”），并且拿着小三u 的刀（*），变成*)(∧Fu ，一起来对付自己的老婆（v ）。
2什么叫本征值？什么叫本征函数量子力学中若λϕϕ=∧F则称λ为本征值，ψ叫做本征函数。
注：∧F 是一张算符。
算符是将一种函数变成另一种函数的对应关系。
类似于函数，但函数是建立因变量和自变量的关系。
原理类似，作用对象不同，大同小异而已。
如医生之于兽医。
ψ是某个函数。
λ是本征值，一般来说，是一个数。
可以使实数，可以是虚数。
3、什么是正交性。
正交性是厄米算符的一种基本性质。
有什么用，我也不知道，就是量子力学这门游戏的玩法。
动量算符的不同本征值的两个本征函数ψ1和ψ2相互正交（记下来）。
算符与力学量的关系
1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k
)2
5k 22
8
2 4
2
(
k
)2
(I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 （参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函数概 论》1.10 用正交函数组展开 P41），即若：
Fˆn nn
则任意函数ψ(x) 可 按φn(x) 展开：
(x) cnn( x)
n
(II) 除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量
表明，测量 F 得λm 的几率为 1， 因而有确定值。
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
同样，在任一态ψ(x)
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1 2 x2
*Y21
2 9
Y11
*Y21
2 9
Y21
*Y11
d
c2 1 4 5 c2 9 9 9
c 3 5
归一化波函数
c
1 3
Y11
2 3
Y21
3 5
1 3 Y11
2 3
Y21
1 5
Y11
2Y21
L2 * Lˆ2d
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
证明这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的如果波函数未归一化则能谱分布情况分立谱连续谱cossincossinmama写出t时刻的波函数
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集一、填空题1．设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125 ）。
2．索末菲的量子化条件为（），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级（）。
3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（）和（）。
4．三维空间自由粒子的归一化波函数为=（），（）。
5．动量算符的归一化本征态（），（）。
6．t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（）。
7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（），几率流密度=（）。
8．设描写粒子的状态，是（粒子的几率密度），在中的平均值为=（）。
9．波函数和是描写（同一）状态，中的称为（相因子），不影响波函数的归一化，因为（）。
10．定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。
11．是定态的条件是（），这时几率密度和（几率密度）都与时间无关。
12．（粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象）称为隧道效应。
13．（无穷远处波函数为零）的状态称为束缚态，其能量一般为（分立）谱。
14． 3．t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函数，则（）。
15．粒子处在的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为（），第一激发态的波函数为（）。
16．基态是指（能量最低）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（）。
17．一维线性谐振子的第一激发态的能量为（）、第一激发态的波函数为（）。
18．（对应于同一本征值的本征函数的数目）称为简并度，不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（n2 ）。
19．一维无限深势阱第n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为（n2）。
20．一维线性谐振子第n个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原子的第n个能级的简并度为（2n2 ）。
21．氢原子的状态为，角动量平方是（）、角动量分量是（）。
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关于力学量算符本征函数的正交归一性
一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期
量子力学中关于力学量的基本假设要求：
设某力学量用算符表示，则
（分立谱） （1）
例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数与量子数有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数和有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数
其归一化系数，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。
又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数的归一化系数为，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。
（4）
3 几率描述：
在（3）或（4）的态中测力学量A所得的值必在（1）的或（2）的之内。若、、均是归一化的，则在（1）中测得A的值为的几率为；在（4）中测A得的值在内的几率为
* 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。
（连续谱） （2）
1 力学量用线性厄米算符表示；
2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数可用力学量算符的本征函数或展开：
（3）
* 力学量算符本征函数的正交归一性是力量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交
几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的
读书如饭，善吃饭者长精神，不善吃者生疾病。——章学诚
* 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交
力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。