高三数学抛物线(2019年)
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结一、抛物线的定义抛物线是平面上一个点沿着一条直线运动，同时受到一个恒定的垂直于直线的力的作用，这种轨迹叫做抛物线。
抛物线是由二次函数关系定义的曲线。
它是平面上一点到直线上一点的距离与这一点到定点的距离成比例的轨迹。
二、抛物线的标准方程1. 抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c，其中a≠0。
2. 抛物线的顶点为(-b/2a, c-b^2/4a)。
三、抛物线的性质1. 抛物线的开口方向由二次项系数a的正负号决定。
若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。
2. 抛物线的轴对称线为x=-b/2a，即抛物线的顶点为轴对称点。
3. 抛物线在顶点处的切线平行于x轴。
4. 抛物线的焦点可表示为(F, p)，其中F是焦点坐标，p=1/4a是抛物线焦点到顶点的距离。
5. 抛物线的定点到焦点的距离等于焦距。
6. 过抛物线的顶点和焦点的直线称为抛物线的焦线，焦点为该直线的对称中心。
7. 对于平行于抛物线轴的直线，其交点到焦点距离都相等。
四、抛物线的方程求解1. 已知顶点和焦点求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，则抛物线的标准方程为：(y-p)^2=2px。
2. 已知焦点和直线求抛物线方程：设焦点为(F,p)，直线为l:x=ay+b，则抛物线的标准方程为：y^2=2px3. 已知抛物线的焦点和焦距求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，焦距为2a，则抛物线的标准方程为：(y-p)^2=4ax。
4. 已知抛物线的焦点和顶点求抛物线方程：设抛物线的焦点为(F, p)，顶点为(V, q)，则抛物线的标准方程为：(y-q)^2=4a(x-v)。
5. 已知抛物线上3点求抛物线方程：设抛物线上3点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则通过抛物线的标准方程组成三元二次函数方程，再通过该方程求解。
五、抛物线的应用1. 计算机图形学中，抛物线可以用于生成曲线和图案。
2019-2020年高三数学上学期解析几何15抛物线的方程及其性质(2)教学案(无答案)
2019-2020年高三数学上学期解析几何15抛物线的方程及其性质（2）教学案（无答案）【教学目标】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程，培养学生分析问题、解决问题的能力【教学重点】能从函数的角度来理解抛物线，并能解决一些综合问题．【教学难点】抛物线的性质及简单应用．【教学过程】一、知识梳理：1．点P (x 0，y 0)和抛物线y 2=2px (p >0)的关系：（1）P 在抛物线内(含焦点)⇔20y <2px 0； （2）P 在抛物线上⇔20y =2px 0； （3）P 在抛物线外⇔20y >2px 0．2．焦半径：抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 的距离称作焦半径，记作r =PF ．（1）y 2=2px (p >0)，r = ； （2）y 2=-2px (p >0)，r = ；（3）x 2=2py (p >0)，r = ； （4）x 2=-2py (p >0)，r = ．3．焦点弦：AB 为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦的中点M (x 0，y 0) ． （1）x 1x 2=24p ； （2） y 1y 2=-p 2；（3）弦长l =x 1+x 2+p ，x 1+x 2=p ，即当x 1=x 2时，通径最短为2p ．二、基础自测：1．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 ． 2．以双曲线2213x y -=的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是 ． 3．抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是 ．4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝ ．三、典型例题：例1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； （2）1AF ＋1BF为定值； （3）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【变式拓展】设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，反思：点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O．例2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设M，N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点．例3．已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若抛物线C上有一点R(x R,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．四、课堂反馈：1．抛物线y 2＝4mx (m >0)的焦点到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的 方程为_______________．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为x 2=2py (p >0)，若直线x -y -2=0与该抛物线相切， 则实数p 的值是 .3．抛物线C ：y 2＝4x 焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF ＝3，则点P 到直线x ＝－1的距离为________．4．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .过点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，过点A 作l 的垂线，垂足为A 1，则△AA 1F 的面积是________．五、课后作业： 学生姓名：___________1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是 ．2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ．3．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是 ．4．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边 三角形，则p ＝ ．5．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点_________．6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ．7．已知抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点距离之和为5，则以线段AB 为直径的圆与准线位置关系为 ．8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于 ．9．如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若AF 2＝AM ·AN ，求圆C 的半径．10．如右图所示,在直角坐标系xOy 中,射线OA 在第一象限,且与x 轴的正半轴成定角060,动点P 在射线OA 上运动,动点Q 在y 轴的正半轴上运动,POQ ∆的面积为（1）求线段PQ 中点M 的轨迹C 的方程;（2）12 , R R 是曲线C 上的动点, 12 , R R 到y 轴的距离之和为1,设u 为12 , R R 到x 轴的距离之积.问:是否存在最大常数m ，使u m ≥恒成立?若存在，求出这个m 值；若不存在，请说明理由.。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
抛物线的基本知识点高三
抛物线的基本知识点高三抛物线是数学中一个非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
在高三数学课程中，学生需要掌握抛物线的基本知识点。
本文将对抛物线的定义、性质以及相关公式进行介绍，帮助高三学生加深对抛物线的理解。
一、抛物线的定义抛物线是由平面上一个动点P和一个不在同一平面的定点F （称为焦点）所确定的动点P到定点F的距离等于动点P到一条定直线l（称为准线）的距离的集合。
抛物线的形状如同一个碗或者一个开口朝上的弓形。
在平面直角坐标系中，抛物线可以用二次方程的形式表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c都是实数且a不等于零。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于纵轴对称。
这意味着抛物线上的任意一点P(x,y)与焦点F(x',y')的横坐标之差等于准线上对称的点P'(x,-y)与焦点对应点F'(x',-y')的横坐标之差。
2. 相切与相交：若直线与抛物线相切，则其与准线的切点在一条直线上；若直线与抛物线相交，则其与准线的交点在一条直线上。
3. 焦距：抛物线焦点与准线间的距离称为焦距。
焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
4. 高度与开口方向：a的正负决定了抛物线的开口方向。
若a 大于零，则抛物线开口朝上；若a小于零，则抛物线开口朝下。
抛物线的最高点或最低点成为顶点，坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ(b^2-4ac)称为判别式。
三、抛物线经过的特殊点抛物线经过三个特殊点：焦点F、定点A及顶点V。
焦点F的纵坐标等于a的倒数（即1/a），横坐标为0。
焦点到抛物线对称轴的距离为p=1/(4a)。
定点A与焦点F的距离等于准线l的距离，即等于p。
顶点V的横坐标为-a/2，纵坐标为c-Δ/4a。
四、抛物线相关公式1. 对称方程：若抛物线关于x轴对称，则方程为x=ay^2+by+c；若抛物线关于y轴对称，则方程为y=ax^2-bx+c。
高三抛物线知识点归类
高三抛物线知识点归类抛物线是数学中的一个重要概念，也是高中数学课程中的重点内容之一。
在高三阶段，学生需要全面掌握抛物线的相关知识，因此本文将对高三抛物线知识点进行归类，以帮助学生更好地理解和应用。
一、基本概念1. 定义：抛物线是平面上到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹。
2. 轴线：抛物线的对称轴，垂直于准线并通过焦点。
3. 焦点：与抛物线上的任意一点距离相等的定点。
4. 准线：与抛物线上的任意一点距离相等的定直线，其中准线和抛物线的焦点不重合。
二、方程与图像1. 一般形式方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标：抛物线的最高（或最低）点，坐标为（h, k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
3. 对称轴方程：x = h，是抛物线的对称轴，与抛物线相交于顶点。
4. 开口方向：由二次系数a决定，若a > 0，则抛物线开口朝上；若a < 0，则抛物线开口朝下。
5. 图像特征：抛物线关于对称轴对称，图像左右对称。
三、性质与特点1. 焦点与准线距离的关系：抛物线上任意一点P与焦点F的距离等于P到准线的距离。
2. 焦准焦定性质：过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于对称点P'，且P'也在这条直线上的垂线上，则P'为抛物线上该点P的对称点。
3. 切线与法线关系：抛物线上任意一点P处的切线与过该点的法线垂直。
4. 焦点坐标与相关系数的关系：焦点坐标为（-b/2a, 1-Δ/4a），其中Δ为方程的判别式。
5. 最值点：抛物线的最高（或最低）点即为顶点，最值点的纵坐标等于抛物线函数的值域的下（或上）界。
四、应用1. 抛物线的平移与旋转：通过对抛物线的平移和旋转操作，可以得到不同位置和形状的抛物线函数。
2. 抛物线的最优问题：在一定约束条件下，求解抛物线上的最值点，可以用于解决最小二乘法、优化问题等。
3. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，如炮弹的抛物线轨迹、摆锤的运动、光的反射等。
高三抛物线相关知识点
高三抛物线相关知识点抛物线是数学中一个重要的曲线形状，其具有许多独特的性质和应用。
在高三数学学习中，学生们将接触到抛物线的相关知识点，了解其定义、属性、方程和应用。
本文将介绍高三抛物线相关知识点，让我们一起来了解吧！一、抛物线的定义与性质抛物线是由到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹所组成的曲线。
抛物线以准线为对称轴，焦点为焦点，开口朝上或朝下。
具有以下性质：1. 焦点与准线的距离相等：抛物线上的任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
2. 准线：离焦点等距离的直线，与抛物线具有最小二乘法。
3. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
4. 顶点：抛物线的最高点或最低点，称为顶点。
二、抛物线方程与图像1. 标准形式：抛物线的标准形式方程为 y = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，a≠0。
通过调整a的正负值可以控制抛物线的开口方向。
2. 顶点形式：抛物线的顶点形式方程为 y = a(x - h)² + k。
其中，(h, k)为顶点坐标。
3. 焦点与准线定位：根据抛物线方程可以推导得出，焦点的坐标为 (h, k + 1/(4a))，准线的方程为 y = k - 1/(4a)。
4. 抛物线的图像：根据方程可画出抛物线的图像，根据方程的参数可以控制抛物线的开口大小、坐标等特性。
三、抛物线的应用抛物线作为一种特殊的曲线，在许多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等。
以下是一些常见的应用示例：1. 发射抛物线：抛物线作为物体抛射运动的轨迹，被广泛应用于发射器的设计和计算中。
2. 镜面反射：抛物线是一种反射光线的轨迹，因此在凹面镜和抛物面反射器设计中得到广泛应用。
3. 确定最佳路径：在工程和建筑设计中，抛物线可以用于确定最佳的曲线路径，以便节省材料和能源。
4. 天体运动：抛物线是天体运动中的一种常见形状，例如行星轨道和天体落体运动等。
5. 经济学模型：在经济学中，抛物线可以用于建模和预测市场趋势和销售走势。
高三抛物线定理知识点
高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。
在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。
本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。
一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。
该定点称为焦点，到直线称为准线。
1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。
3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。
二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。
对称轴是过焦点和顶点的直线。
1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。
2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。
三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。
在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。
四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。
准线的方程为 x = -f。
五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。
1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。
2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。
六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。
2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。
七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。
2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。
3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。
八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。
高三数学抛物线知识点总结
高三数学抛物线知识点总结在高中数学中，抛物线是一个重要的几何概念。
它被广泛用于解决与运动、轨迹、最值等问题相关的数学计算。
为了帮助大家更好地掌握和理解高三数学中的抛物线知识点，本文将对抛物线的定义、性质以及应用进行总结。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上到一个定点距离与到一条固定直线距离相等的点的轨迹。
这个定点称为焦点，固定直线称为准线。
抛物线的形状呈现出对称性，以焦点为中心对称。
抛物线有开口方向，开口向上时准线在抛物线的上方，开口向下时准线在抛物线的下方。
2. 抛物线的标准方程一般情况下，我们可以使用标准方程来表示抛物线。
对于开口向上的抛物线，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a > 0；对于开口向下的抛物线，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a < 0。
3. 抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是抛物线的最值点，是抛物线开口方向的转折点。
对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，顶点坐标为 (-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ = b^2 - 4ac；如果 a < 0，顶点坐标为 (-b/2a, Δ/4a)。
抛物线的对称轴是通过焦点和顶点的直线，是抛物线的中心轴线。
4. 抛物线的焦点和准线对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，焦点的纵坐标为 (-Δ/4a)，焦点的横坐标为 (-b/2a)，其中Δ = b^2 - 4ac。
准线与抛物线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离，准线的方程为 x = -b/2a。
5. 抛物线的形状和方向抛物线的形状与参数 a 的值相关。
当 a 的绝对值越大时，抛物线越“尖”，开口越窄；当 a 的绝对值越小时，抛物线越“平”，开口越宽。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
6. 抛物线的焦距焦距是指焦点到准线的距离，记为 f。
高三数学《抛物线》教案
高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的第二节《抛物线》。
详细内容包括：1. 抛物线的定义与标准方程；2. 抛物线的简单几何性质；3. 抛物线的焦点、准线及其应用；4. 实践活动中抛物线的绘制。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；2. 培养学生运用抛物线的焦点、准线解决实际问题的能力；3. 激发学生学习兴趣，培养空间想象力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程、简单几何性质及焦点、准线。
难点：抛物线焦点、准线的求解与应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 引入：通过展示生活中抛物线的实例（如抛物线运动、拱桥等），引出本节课的主题——抛物线。
2. 新课导入：讲解抛物线的定义，引导学生观察抛物线的特点，推导抛物线的标准方程。
3. 知识讲解：（1）抛物线的定义与标准方程；（2）抛物线的简单几何性质；（3）抛物线的焦点、准线及其应用。
4. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线的焦点、准线；（3）抛物线在实际问题中的应用。
5. 随堂练习：针对例题进行变式训练，巩固所学知识。
6. 实践活动：分组讨论，利用学具绘制抛物线，观察抛物线的性质，加深对知识的理解。
六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 简单几何性质：对称性、开口方向、顶点、渐近线；4. 焦点、准线：F（p,0），x=p；5. 例题与解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）求抛物线x^2=4y的顶点、对称轴；（3）抛物线y^2=4x与直线y=2x+1相交，求交点坐标。
2. 答案：（1）焦点F（2,0），准线x=2；（2）顶点（0,0），对称轴y轴；（3）交点（2,5）。
高三数学《抛物线》教案
高三数学《抛物线》教案教学文档一、教学内容本节课选自高中数学教材选修21第三章《圆锥曲线与方程》中的第四节《抛物线》。
详细内容包括抛物线的定义、标准方程、几何性质以及应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和简单性质。
2. 能够运用抛物线知识解决实际问题和相关数学问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：抛物线标准方程的推导和应用。
教学重点：抛物线的定义、标准方程及几何性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线的特点。
2. 知识讲解（1）抛物线的定义（2）抛物线的标准方程（3）抛物线的几何性质3. 例题讲解（1）求抛物线y^2=4x的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F(p/2,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。
4. 随堂练习（1）求抛物线x^2=4y的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线x^2=8y的焦点为F(0,2)，求抛物线上一点M 到焦点F的距离与到准线的距离之和。
5. 小结六、板书设计1. 黑板左侧：抛物线的定义、标准方程、几何性质。
2. 黑板右侧：例题及解答、随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目（1）求抛物线y^2=8x的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线y^2=12x的焦点为F(3,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。
2. 答案八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义、标准方程和几何性质掌握程度，以及对例题和随堂练习的完成情况。
2. 拓展延伸：引导学生思考抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析1. 抛物线标准方程的推导过程。
2. 例题的选取和讲解，尤其是涉及抛物线性质的应用。
第8章 第7节 抛物线-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
基础个条件的点的轨迹是抛物线 (1)在平面内．
(2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相__等__． (3)定点不__在__定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(2)设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则①x1x2＝p42，y1y2＝－p2. ②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α为弦 AB 的倾斜角)． ③以弦 AB 为直径的圆与准线相切． ④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过 焦点最短的弦．
可得 y2－2y＋2t＝0.
所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.
代入
C
的方程得
x1＝3，x2＝13.故|AB|＝4
13. 3
►规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的 位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过 抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝ x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一 般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等 解法．
B． 13
C．2
3 3
D． 5
(2)如图，设 A(x0，y0)，
则|AF|＝2x0－p2， 又|AF|＝x0＋p2， ∴2x0－p2＝x0＋p2， ∴x0＝32p，y0＝ 23|AF|＝ 23·2p＝ 3p.
又 A32p，
3p在双曲线的一条渐近线上．
高三数学知识点总结抛物线
高三数学知识点总结抛物线高三数学知识点总结：抛物线抛物线是数学中一个重要且有趣的曲线形状，它在几何、物理以及工程学等领域中都有广泛的应用。
而在高三数学学习中，对于抛物线的理解和掌握则显得至关重要。
本文将围绕着抛物线在高三数学中的重要性以及具体的知识点进行总结和探讨。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上任意一点到定点和定直线的距离相等的点的轨迹。
它的定义可以通过几何方法来解释，也可以通过二次方程来表达。
抛物线有很多基本性质，包括对称性、焦点和准线等。
对于一个标准形式的抛物线，其对称轴与x轴平行，并且与对称轴垂直的直线称为准线。
二、抛物线的图像和方程在高三数学中，我们通常会遇到求抛物线的方程或者给定方程画抛物线的问题。
要确定一个抛物线的方程，我们需要知道它的焦点和准线，以及一些已知的坐标点。
通过解方程组，我们可以找到抛物线的标准方程或顶点形式方程。
而给定一个方程，我们可以通过分析求解，找到抛物线的一些基本特征。
三、抛物线的性质和相关应用在高三数学学习中，我们需要掌握抛物线相关的一些重要性质，如最值、切线和法线、焦点和准线等。
这些性质可以帮助我们解决各种与抛物线相关的问题，比如最值问题、弦长问题、轨迹问题等。
在物理学中，抛物线也有广泛的应用，例如炮弹的抛物线轨迹、反射器的抛物线形状等。
四、抛物线与其他函数的关系抛物线和其他函数如直线、圆以及其他二次曲线等都有一定的联系和区别。
通过比较抛物线与直线的方程、圆与抛物线的交点等，我们可以深入了解抛物线与其他函数的不同特点。
在高三数学中，我们还需要掌握如何通过转化和组合函数，将抛物线与其他函数相互转化或者求解。
五、抛物线的实际问题解析在高三数学学习中，我们还需要解决一些实际问题，例如抛物线的拟合问题、抛物线的最值问题以及抛物线在工程学中的应用等。
通过结合实际问题，我们可以更好地理解和应用抛物线的知识，提高我们的数学建模和问题解决能力。
总之，掌握抛物线的相关知识点是高三数学学习中的重要任务。
高三抛物线的基本知识点
高三抛物线的基本知识点在高三数学学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅是高考重点，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本知识点，包括定义、特点、方程和性质等方面。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中一种重要的曲线，它是一个二次曲线。
抛物线由一个定点（焦点）F和一条定直线（准线）l组成。
准线l 与焦点F之间的距离等于点P到焦点F的距离，即PF = PM。
其中P是抛物线上任意一点，M是准线上的垂足。
二、抛物线的特点抛物线具有以下特点：1. 对称性：抛物线是关于准线对称的，即抛物线上任意一点P关于准线l有相应的对称点P'。
对称轴是准线l，焦点F在对称轴上。
2. 焦点和准线的关系：焦点F到抛物线上任意一点的距离等于焦距，焦距等于焦点到准线的垂直距离。
在抛物线上，焦点F距离准线的距离相等，且等于焦距的一半。
3. 宽度和高度：抛物线的宽度取决于焦点到准线的距离，高度取决于焦点到顶点的距离。
三、抛物线的方程抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
根据a的正负可以确定抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
通过已知条件可以确定抛物线方程的具体形式。
例如，已知抛物线过定点P(x1, y1)，则可以将这个点带入标准方程，得到一个方程组。
通过解方程组可以求得a、b、c的值，从而确定抛物线方程。
四、抛物线的性质抛物线具有以下性质：1. 切线和法线：抛物线上任意一点处的切线方向与过此点的准线方向垂直。
法线方向与切线方向相互垂直。
2. 定点关系：抛物线上任意一点P到焦点F的距离等于焦点到准线的距离，即PF = PM。
3. 对称性：抛物线是关于准线对称的。
对称轴是准线，焦点F 在对称轴上。
4. 最值问题：抛物线的顶点是抛物线的最值点。
当抛物线开口向上时，顶点是最小值点；当抛物线开口向下时，顶点是最大值点。
除了以上介绍的基本知识点外，抛物线还与其他数学概念和定理密切相关，例如二次函数、平移变换、焦半径定理等。
【导与练】(新课标)2019届高三数学一轮复习 第8篇 抛物线学案 理
第五十四课时 抛物线课前预习案1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；会求抛物线的标准方程，能运用抛物线的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。
2.熟练掌握抛物线的范围、对称性、顶点等简单几何性质，并能运用性质解决相关问题.3.能解决直线与抛物线的相交问题.1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ，定点F 定直线l 上。
3.根据抛物线的定义，可知22(0)y px p =>上一点11(,)M x y 到焦点 的距离为 。
4. 抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则有如下结论：（1）｜AB ｜＝ ；（2）12y y ＝ ；12x x ＝ 。
5. 在抛物线22(0)y px p =>中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ，连结这两点的线段叫做 ，它的长为 。
1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F （0，－3）；（2）准线方程 是x = 14； （3）焦点到准线的距离是2。
2. 过点A （4，－2）的抛物线的标准方程为（ ）A ．2y x =或28x y =-B ．2y x =或28y x =C ．28y x =-D ． 28x y =- 3. 抛物线214x y a=的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a - B ．(,0)a - C ．1(,0)aD ． (,0)a 4. 抛物线214y x =上点P 的纵坐标是4，则其焦点F 到点P 的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ． 65.点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．课堂探究案考点1求抛物线的标准方程【典例1】 根据下列条件求抛物线的标准方程（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；（2）过点P （2，－4）；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =.【变式1】【2018陕西】如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.考点2 抛物线定义的应用【典例2】已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求｜PA ｜+｜PF ｜的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．【变式2】（1） 在22y x = 上有一点P ，它到A （2，10）的距离与它到焦点F 的距离之和最小，则P 的坐标为（ ）A ．（－2，8）B ．（2，8）C ．(2,8)--D ．（ 2，－8）（2）已知抛物线24y x =，点P 是抛物线上的动点，又有点A （6，3），｜PA ｜+｜PF ｜的最小值是__________.考点3 抛物线几何性质的应用【典例3】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、、、4 D 、【变式3】已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB ∆的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）A.x=3pB.x=pC.x=52p D.x=32p1.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3CD ．922. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则11A FB ∠为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ．课后拓展案组全员必做题1．（2019年四川（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B ．1 D 2．（2018辽宁理3）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB的中点到y 轴的距离为( ). A ．34 B ．1 C ．54 D ．743．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.115 D.37164．（2019年课标Ⅰ（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．4组提高选做题 1．（2018山东文）抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163B ．83C ．332D ．334 2．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =参考答案1.（1）212x y =-；（2）2y x =-；（3）24x y =，24x y =-，24y x =，24y x =-.2.A3.D4.C5. 216y x =【典例1】（1）212y x =-；（2）28y x =或2x y =-；（3）x y 22±=或x y 182±=【变式1】【典例2】最小值为72；(2,2)P . 【变式2】（1）B ；（2）7.【典例3】B【变式3】C1.A2.C3. 28y x =组全员必做题1.B2.C3.A4.C组提高选做题1.D2.C。
高三抛物线的知识点归纳
高三抛物线的知识点归纳抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有很多特殊的性质和应用。
本文将对高三阶段学习抛物线时需要掌握的知识点进行归纳和总结。
一、抛物线的基本定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点F（焦点）和一条定直线D（准线）的距离之比为定值（离心率）的点集合。
2. 抛物线的几何特征：对称轴、焦点、准线、顶点。
3. 抛物线的方程：标准形式、一般形式。
4. 抛物线的性质：对称性、单调性、开口方向、顶点坐标计算等。
5. 抛物线的图像与实际应用：拱桥、炮弹运动路径等。
二、抛物线的顶点和焦点1. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线曲线的最高或最低点，对称轴上的点。
2. 求抛物线的顶点：配方法、二次函数的顶点公式。
3. 抛物线的焦点：焦点是指满足抛物线定义的那个固定点，与准线和顶点构成一个等边三角形。
三、抛物线的对称性与轴线方程1. 抛物线的对称轴：对称轴是抛物线的一个特殊直线，使抛物线左右对称。
2. 对称轴的性质：过焦点、顶点的直线，与抛物线的曲线图像有对称关系。
3. 对称轴的方程：求解对称轴的方程，考虑焦点坐标、顶点坐标等信息。
四、抛物线的判定条件1. 抛物线的离心率：离心率决定了抛物线的形状和特征。
2. 离心率的计算和判定：通过焦点和顶点的距离关系计算离心率，在图像上判断抛物线的形状和方向。
五、抛物线的方程及其应用1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不为零。
2. 抛物线方程的求解：已知焦点和准线，求解抛物线的方程。
3. 抛物线方程的应用：物体的抛射运动、摄影、建筑设计等领域。
六、抛物线与其他数学概念的关系1. 抛物线与二次函数：抛物线可以看作是二次函数的一种特殊形式。
2. 抛物线与直线：抛物线与直线有着密切的联系，焦点、准线与直线的交点等。
3. 抛物线与导数：通过求解抛物线的导函数，可以得到切线的斜率和切线方程。
七、抛物线的综合应用1. 抛物线在物理学中的应用：炮弹的抛射运动、天体的运动轨迹等。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，在高中数学中经常遇到。
抛物线的定义是平面上到定点和定直线的距离相等的点的集合。
抛物线有许多基本性质和相关公式，下面是对抛物线的知识点的总结。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点的集合。
2. 抛物线的方程抛物线的一般方程形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最低点（顶点在上凸抛物线中为最高点）。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为抛物线方程。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于准线的直线。
5. 抛物线的焦点和准线焦点是到定点相等距离的点，准线是到定直线相等距离的点。
焦点的坐标为(-b/2a, c - (b^2-1)/4a)，准线的方程为y = c - (b^2-1)/4a。
6. 抛物线的开口方向抛物线的开口方向取决于系数a的正负。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
7. 抛物线的对称性抛物线具有对称性，即抛物线上的任意一点关于对称轴的对称点也在抛物线上。
8. 抛物线的性质- 抛物线是一条连续曲线。
- 抛物线没有最大值或最小值。
- 开口向上的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都大于或等于对称轴上的点的纵坐标。
- 开口向下的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都小于或等于对称轴上的点的纵坐标。
9. 抛物线与二次函数的关系二次函数是一种特殊的抛物线，即二次函数的图像为一条抛物线。
10. 抛物线的平移和缩放抛物线的平移可以通过改变抛物线方程中的常数项b和c的值来实现。
抛物线的缩放可以通过改变抛物线方程中的系数a的值来实现。
11. 抛物线的判别式抛物线的判别式D用来判断抛物线的开口方向和是否与x轴相交。
当D > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当D = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当D < 0时，抛物线与x 轴无交点。
数学高三抛物线知识点
数学高三抛物线知识点高中数学的抛物线是一种非常重要的曲线，它在生活中的应用广泛。
在数学高考中，抛物线相关的知识点也是必考内容之一。
本文将详细介绍高三数学中与抛物线相关的重要知识点，帮助高三学生系统地掌握这一部分内容。
一、抛物线的定义及性质抛物线是平面上一点到定直线（称为准线）和定点的距离之比（称为离心率）为常数的轨迹。
它的定义可以用数学方程表示为：y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
1. 对称性：抛物线关于准线和对称轴对称。
2. 焦点与准线之间的关系：离心率e=焦距f/准线与焦点之间的距离。
3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线与过该点的准线垂直，且过该点的法线经过焦点。
二、抛物线的方程和图像1. 标准方程：当抛物线的顶点为原点时，抛物线的标准方程为y^2=4ax。
2. 顶点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的顶点为(0,0)。
3. 对称轴和焦点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的对称轴为x轴，焦点坐标为(F,0)，其中焦距F=a/2。
三、抛物线的平移和旋转1. 平移：抛物线的平移是指将抛物线上所有点的坐标同时增加或减少一个固定的数值。
设抛物线的标准方程为y^2=4ax，平移后的抛物线的方程为(y-k)^2=4a(x-h)，其中(h,k)为平移的距离。
2. 旋转：抛物线的旋转是指将抛物线绕原点或其他点旋转一定角度。
抛物线的旋转方程相对复杂，这里不再展开。
四、抛物线的焦点与准线问题1. 已知抛物线方程求焦点和准线：根据抛物线的标准方程或一般方程，可以求得焦点和准线的坐标。
2. 已知焦点和准线求抛物线方程：通过已知的焦点和准线的坐标，可以推导出抛物线的方程。
五、抛物线的应用抛物线在生活中有着广泛的应用，以下举几个例子：1. 投射问题：抛物线可以用来描述抛体的运动轨迹，比如抛物线的顶点表示抛体的最高点，焦点表示抛体的着地点。
高三抛物线定理知识点归纳总结
高三抛物线定理知识点归纳总结高三学生在学习数学的过程中，会接触到抛物线这一重要的数学概念。
抛物线是数学中的一个曲线，具有许多特殊的性质和定理。
本文将对高三抛物线定理的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用抛物线定理。
一、基本概念1. 抛物线的定义：抛物线是平面上一点到定点和定直线的距离之差等于常数的轨迹。
2. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二、顶点与对称轴1. 顶点的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。
2. 对称轴的方程：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为x = -b/(2a)。
三、焦点与准线1. 焦点的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，焦点的坐标为(-b/(2a), f(-b/(4a)))。
2. 准线的方程：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，准线的方程为y = (1 - 1/(4a))。
四、判别式与图像开口方向1. 判别式的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，判别式的值Δ = b^2 - 4ac。
a) 当Δ > 0时，抛物线开口向上。
b) 当Δ < 0时，抛物线开口向下。
c) 当Δ = 0时，抛物线开口朝上或朝下，具有最小值或最大值。
五、焦距与准线的关系1. 焦距的求解：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，焦距的值为f = |1/(4a)|。
2. 焦距与准线的关系：焦距的值为准线到焦点的距离，即f = d(P,D)/2，其中P为焦点，D为准线。
六、渐近线1. 抛物线的渐近线：对于标准抛物线方程y = ax^2 + bx + c，纵坐标趋势无限增大时，横坐标趋势无穷大或无穷小，即y趋于∞时，如果a ≠ 0，则直线y = 0为横渐近线；如果a = 0，则不存在横渐近线。
高三抛物线的知识点
高三抛物线的知识点一、概念介绍抛物线是解析几何中的一种曲线，它具有特殊的对称性和独特的性质。
具体而言，抛物线是一种由平面上一动点P和定点F （焦点）以及定直线d（准线）所确定的曲线。
在抛物线上，任意点P到焦点F的距离等于该点到准线d的距离。
二、一般方程抛物线的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
这是抛物线的标准形式，它描述了不同抛物线的形状和位置。
三、顶点坐标对于抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，抛物线的顶点坐标可以通过以下公式计算得到：顶点的横坐标 x = -b / (2a)顶点的纵坐标 y = (4ac - b^2) / (4a)四、对称性质抛物线具有对称性，即抛物线的焦点F关于抛物线的准线d对称，抛物线上的任意一点P与准线d之间的距离等于点P的对称点P'与准线d之间的距离。
五、焦点与准线的关系在抛物线上，焦点F的横坐标等于准线d与抛物线的顶点的横坐标的平均值。
即焦点的横坐标 x_F = (2a^2 - b) / (4a)六、抛物线的方向抛物线的开口方向由a的值所决定。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
七、焦距和准线长度的关系在抛物线上，焦距等于准线长度的绝对值。
即焦距的长度等于|4a|。
八、抛物线的性质总结1. 抛物线是关于y轴对称的；2. 焦点F在抛物线的对称轴上，对称轴与准线d垂直；3. 抛物线的拱度由参数a的绝对值决定，|a|越小则拱度越大，反之越小；4. 抛物线与x轴的交点称为抛物线的零点。
九、高三学习抛物线的重要性抛物线是高三数学课程的重要内容之一，它在解析几何、函数与方程等领域发挥着重要作用。
学习抛物线的知识点有以下几个重要的作用：1. 拓展思维：抛物线的独特形状和性质需要学生用几何的思维去理解和分析，培养了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
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丈夫对我说：“听听它们有多好，你听——。”接着他把铃铛轻轻一摇。那一声微小的铃声，好似一阵微风细雨吹拂过干裂的大地，一丝又一丝余音，绕着心房打转。方要没了，丈夫又轻轻一晃， 那是今生没有听过的一种清脆入谷的神音，听着、听着，心里积压了很久的郁闷这才变做一片湖水，将胸口那堵住的墙给化了。
365正网开户 以后我们家中有过风铃和竹条铃，都只挂了一阵就取下来了。居住的地区一向风大，那些铃啊，不停的乱响，听着只觉吵闹。不如没风的地方，偶尔有风吹来，细细碎碎的洒下一些音符，那种偶尔
才得的喜悦，是不同凡响的。
以后又买过成串成串的西班牙铃铛它们发出的声音更不好，比咳嗽还要难听，就只有挂着当装饰，并不去听它们。一次我们住在西非奈及利亚，在那物质上吃苦，精神上亦极苦的日子里，简直找不 到任何使人快乐的力量。当时，丈夫日也做、夜也做，公司偏偏赖帐不给，我看在眼里心疼极了，心疼丈夫，反面歇斯底里的找他吵架。那一阵，两个人吵了又好，好了又吵，最后常常抱头痛哭，不知 前途在哪里，而经济情况一日坏似一日，那个该下地狱去的公司，就是硬吃人薪水还扣了护照。