7(8)向量值函数的导数
向量函数导数
向量函数导数向量函数是一种将实数域映射到向量空间的函数，即对于每个实数t，向量函数f(t)都会返回一个向量。
向量函数是向量微积分、向量微分方程和向量场理论的基础。
在计算机图形学、机器学习和控制理论等领域中经常使用向量函数来描述物理系统。
向量函数的导数也被称为向量值函数的导数，它是描述向量函数在每个点的切线方向和强度的向量。
向量函数的导数在物理学、工程学和自然科学中都有广泛的应用。
一般来说，向量函数f(t)=<f1(t), f2(t), f3(t)>的导数f'(t)被定义为：f'(t) = df1/dt i + df2/dt j + df3/dt k其中，i、j和k是三个互相垂直的单位向量，den/dt代表f关于t的导数。
向量函数的导数具有一些与标量函数的导数类似的性质，如乘法法则、链式法则等。
此外，它还有一些特殊的性质。
例如，向量函数f(t)的定积分可以用来计算其导数：f(t) = ∫f'(t)dt此时，向量函数的导数可以被看作是向量函数的原函数。
这个性质在计算机图形学和数值分析中经常使用。
对于向量函数f(t)的导数，还有一个重要的概念是方向导数。
方向导数是指向量函数在给定方向上的导数。
对于给定的向量v，函数f在点p上沿着v方向的导数可以使用以下公式计算：Dvf(p) = lim(h→0) [f(p + hv)−f(p)]/h其中，Dvf(p)是函数f在点p上沿着v方向的方向导数。
最后，需要注意的是，向量函数的导数不一定是一定存在的。
在某些情况下，向量函数的导数可能不存在或是无限大。
例如，考虑向量函数f(t)=<sin t, cos t>在t=π/2的导数，会发现该导数不存在，因为左导数和右导数的值不同。
总的来说，向量函数的导数是向量微积分中的重要概念。
它不仅有着广泛的应用，还与向量场、物理学、工程学和计算机图形学等领域有着密切的联系。
理解向量函数导数的定义和性质，是学习向量微积分和相关学科的关键。
偏导数公式大全24个
偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。
在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。
下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。
1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。
2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。
3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。
4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。
5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。
类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。
6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。
类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。
7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。
8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。
9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。
10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。
导数公式大全范文
导数公式大全范文导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
导数的求解是微积分的基本操作之一，也是许多数学应用的基础。
下面是一些常用的导数公式，可以帮助你更好地理解导数和应用它们进行计算。
1.基本导数公式：- 常数函数：如果y = C，其中C是一个常数，那么dy/dx = 0。
- 幂函数：如果y = x^n，其中n是一个实数，那么dy/dx = nx^(n-1)。
- 指数函数：如果y = e^x，那么dy/dx = e^x。
- 对数函数：如果y = ln(x)，那么dy/dx = 1/x。
- 三角函数：如果y = sin(x)，那么dy/dx = cos(x)；如果y =cos(x)，那么dy/dx = -sin(x)；如果y = tan(x)，那么dy/dx =sec^2(x)。
2.基本运算法则：- 常数乘法法则：如果y = C*f(x)，其中C是一个常数，那么dy/dx = C*f'(x)。
- 加法法则：如果y = f(x) + g(x)，那么dy/dx = f'(x) + g'(x)。
- 减法法则：如果y = f(x) - g(x)，那么dy/dx = f'(x) - g'(x)。
- 乘法法则：如果y = f(x)*g(x)，那么dy/dx = f'(x)*g(x) +f(x)*g'(x)。
- 除法法则：如果y = f(x)/g(x)，那么dy/dx = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/g(x)^23.链式法则：- 如果y = f(g(x))，那么dy/dx = f'(g(x))*g'(x)。
4.反函数的导数：-如果y=f(x)的导数存在且不为零，并且f(x)在其中一区间上是单调的、可逆的，那么y=f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。
5.高阶导数：-如果y=f(x)的导数f'(x)存在，那么f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记作f''(x)，依此类推。
向量值函数的导数与积分
v (t ) r (t ),
速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,
v(t ) r (t ) 是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).
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向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
条曲线为分段光滑曲线．
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3 2 r ( t ) {1 t , t }是否为光滑曲线？ 例2 判断曲线
解 因为 r (t ) (3t 2 , 2t ), r (0) (0,0), 所以，该曲线不是 光滑的．曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，
对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr 是一个与
曲线的切向量 T (t ) r (t ) 平行的向量，当 dt >0 时, dr与 与切向量 r (t ) 同向； 当dt <0 时, dr与切向量 r (t ) 反向.
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r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k.
三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k 的二阶导数为
r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k.
同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.
向量中值定理
向量中值定理1. 引言向量中值定理是微积分中的一个重要定理，它与实数中值定理类似，但适用于向量值函数。
该定理提供了一种方法来确定向量值函数在某个区间内的平均变化率与特定点的变化率之间的关系。
在本文中，我们将介绍向量中值定理的概念、证明以及一些应用。
2. 向量值函数在介绍向量中值定理之前，我们首先需要了解向量值函数的概念。
向量值函数是指将实数域中的一个或多个自变量映射到向量域中的函数。
通常表示为：r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩其中，r(t)是一个向量，x(t)、y(t)和z(t)是实数域中的函数。
3. 向量导数向量值函数的导数也被称为向量导数。
对于向量值函数r(t)，其导数可以表示为：r′(t)=⟨x′(t),y′(t),z′(t)⟩其中，x′(t)、y′(t)和z′(t)分别是x(t)、y(t)和z(t)的导数。
4. 向量中值定理的表述向量中值定理是指对于一个连续向量值函数r(t)，如果它在闭区间[a,b]上连续且可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一个点c，使得：r′(c)=r(b)−r(a)b−a其中，r′(c)是向量值函数r(t)在点c处的导数，r(b)−r(a)b−a是向量值函数在闭区间[a,b]上的平均变化率。
5. 向量中值定理的证明向量中值定理的证明可以通过引入一个辅助函数g(t)来完成。
定义g(t)如下：g(t)=r(t)−(r(a)+r(b)−r(a)b−a⋅(t−a))我们可以发现，g (t ) 在闭区间 [a,b ] 上连续且可导，且满足 g (a )=g (b )=0。
根据微积分中的实数中值定理，存在一个点 c ，使得 g′(c )=0。
由于 g′(t )=r′(t )−r (b )−r (a )b−a ，所以当 g′(c )=0 时，我们得到：r′(c )=r (b )−r (a )b −a证明完成。
6. 向量中值定理的应用向量中值定理在实际问题中具有广泛的应用。
应用数学基础 第四章-向量值函数的导数
2!2! 13
§4.2－4 方阵函数 性质
性质1 (Euler公式) XCnn, 有
eiX = cosX + isinX , cosX = ( eiX + e iX )/2 , sinX = ( eiX e iX )/2 .
两边对应的 数项幂级数 具有此性质
性质2 XCnn及 t C, 有
d eAt = AeAt = eAt A ,
征值都满足不等式 | j - 0 | < R, j = 1, 2,…, n .则方阵幂级
数 cm(X 0E)m绝对收敛. 若存在X的一个特征 m0
值k, 使得 | k - 0 | > R, 则方阵幂级数发散.
12
§4.2－3 方阵函数 几个特殊的和函数
e
Xe
z
mm00
Xz mm mm!!
1E
定理4.3 设ACnn, 则Am收敛于零矩阵 至少 存在一种方阵范数||•||, 使得||A||1.
9
定理4§.4 4设.2－Am1=[方aij阵(m级)]数Cnn收, m敛=的0,1充,2要,…条,件S=及[s性ij]质Cnn.
则方阵级数 Am 收敛于方阵 S=[sij]
m0
i,j=1,2,…,n,
定义 设ACnn 的谱 (A) = {1, 2,…, s }, A的最小多项式()= (-1) (m1 1) … (-s) (ms 1), f (z)是复变函数.
若对j=1, 2,…, s, f(j), f (j),…, f (mi 1)(j) 都存在, 则称 f(z)在(A)上有定义, 并称
数项级数
a(m) ij
收敛于sij.
mo
证明思路：根据矩阵级数收敛的定义，以及定理4.1。
向量的多元函数和偏导数
向量的多元函数和偏导数在微积分学中，我们学习了单变量函数的导数，这些函数有一个自变量和一个因变量。
但是在现实生活中，许多函数不仅仅有一个自变量，它们可能有多个自变量。
这些函数称为多元函数。
多元函数可表示为 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的形式，其中$x_1,x_2,...,x_n$ 是自变量，$f$ 是因变量。
向量是一种把多个变量组合在一起的数学工具。
因此，向量的多元函数是将向量作为自变量的多元函数。
向量的多元函数常见于矢量分析和物理学中。
以矢量场为例，矢量场是一个向量值函数，它将每个空间点映射到一个向量上。
矢量场是一种对流体动力学、电磁学、流量测量和应力分析等领域非常有用的工具。
对于向量的多元函数，存在多个偏导数。
偏导数可以看作在函数中固定除一个自变量之外的其他自变量，对这个自变量求导数的运算。
偏导数在向量分析、应用数学和物理学中发挥着重要作用。
例如，我们考虑一个简单的向量函数 $f(x,y) = \begin{bmatrix}x^2y \\ x+y \end{bmatrix}$，它将二维向量 $(x,y)$ 映射到一个二维向量上。
我们可以计算 $f$ 的偏导数。
当 $f$ 中只有一个自变量$(x)$ 时，$f$ 的偏导数是 $f_x(x,y) = \begin{bmatrix} 2xy \\ 1\end{bmatrix}$。
类似地，当 $f$ 中只有一个自变量 $(y)$ 时，$f$ 的偏导数是 $f_y(x,y) = \begin{bmatrix} x^2 \\ 1 \end{bmatrix}$。
我们可以将偏导数看作向量函数的导数。
在单变量函数中，导数是切线的斜率，向量函数的导数是切向量的斜率。
在向量函数中，每个偏导数都是切向量在相应坐标轴上的投影分量。
同样的方式，我们可以计算更高阶的偏导数。
当 $f$ 中有两个以上的自变量时，我们需要计算混合偏导数。
混合偏导数是多个偏导数公交相乘的结果。
导数与函数的向量值函数求导
导数与函数的向量值函数求导导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
而函数的向量值函数则是指函数的输出为向量的情况。
在本文中，我们将探讨导数与函数的向量值函数求导的相关内容。
一、导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，通常记为 f'(x)，可以通过极限的方法来定义。
对于实数域上的函数 f(x)，其在 x 点处的导数定义如下：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗二、向量值函数的概念向量值函数是指函数的输出是一个向量。
一般形式为 F(t) = (f₁(t),f₂(t), ..., fₙ(t))，其中 f₁(t)、f₂(t)、...、fₙ(t) 分别是关于 t 的实值函数。
向量值函数可以表示多维空间中的曲线、曲面等几何对象。
三、向量值函数的导数对于向量值函数 F(t) = (f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t))，其导数 F'(t) = (f'₁(t),f'₂(t), ..., f'ₙ(t)) 是一个向量，其中 f'₁(t)、f'₂(t)、...、f'ₙ(t) 分别是f₁(t)、f₂(t)、...、fₙ(t) 的导数。
四、向量值函数的求导方法向量值函数的求导方法与一般函数的求导方法类似，对每个分量分别求导。
例如，对于二维向量值函数 F(t) = (x(t), y(t))，其导数 F'(t) =(x'(t), y'(t))，其中 x'(t)、y'(t) 分别是 x(t)、y(t) 的导数。
五、基本导数规则以下是常用的向量值函数导数规则：1. 常数规则：若 c 是一个常数，则 (cF(t))' = cF'(t)2. 和差规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t) ± G(t))' = F'(t) ± G'(t)3. 数乘规则：若 F(t) 是一个向量值函数，c 是一个常数，则 (cF(t))' = cF'(t)4. 函数乘法规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t)·G(t))' = F'(t)·G(t) + F(t)·G'(t)5. 向量点积规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t)·G(t))' = F'(t)·G(t) + F(t)·G'(t)六、实例分析考虑一个二维向量值函数 F(t) = (t², sin(t))，我们将通过求导来计算其导数。
向量值函数的链式法则
向量值函数的链式法则链式法则是微积分中一条重要的求导法则，它用于计算复合函数的导数。
在向量值函数的情况下，链式法则的应用与标量值函数类似，只是需要对向量进行求导运算。
假设有两个向量值函数：向量函数f的自变量为t，因变量为向量y；向量函数g的自变量为x，因变量为向量u。
那么复合函数的形式为h(t)=g(f(t))。
为了使用链式法则，我们需要求解h(t)对于t的导数。
记f(t)的导数为f'(t)，g(u)的导数为g'(u)，则h(t)的导数可以表示为：h'(t)=(g(f(t)))'=g'(f(t))⋅f'(t)这里的"⋅"表示向量的点乘运算。
推导链式法则的核心思想是假设对于t的微小变化Δt，f(t)发生了微小变化Δy，g(u)发生了相应的微小变化Δu。
则有以下近似关系：Δh≈h'(t)⋅ΔtΔh=g'(u)⋅ΔuΔu=f'(t)⋅Δt将上述三个式子联立起来，可以得到：h'(t)⋅Δt≈g'(u)⋅f'(t)⋅Δt通过令Δt无限接近于零，可以得到：h'(t)=g'(u)⋅f'(t)这就是向量值函数的链式法则。
举例说明链式法则在向量值函数中的应用。
假设有一个自变量为时间t的向量函数f(t)=[x(t),y(t),z(t)]，其中x(t)、y(t)和z(t)分别是t的函数。
同时，有一个自变量为位置向量x的向量函数g(x)=[u(x),v(x),w(x)]，其中u(x)、v(x)和w(x)分别是x 的函数。
现在我们想要计算复合函数h(t)=g(f(t))的导数。
根据链式法则，我们先计算f(t)和g(x)的导数。
f(t)的导数为：f'(t)=[x'(t),y'(t),z'(t)]g(x)的导数为：g'(x)=[u'(x),v'(x),w'(x)]则h(t)的导数可以表示为：h'(t)=g'(f(t))⋅f'(t)即：h'(t)=[u'(f(t)),v'(f(t)),w'(f(t))]⋅[x'(t),y'(t),z'(t)]将上述式子展开，可以得到：h'(t)=[u'(f(t))⋅x'(t),v'(f(t))⋅y'(t),w'(f(t))⋅z'(t)]这样就得到了复合函数h(t)的导数。
一元向量值函数及其导数
一元向量值函数及其导数一、引言向量值函数是一种将实数映射到向量的函数，也被称为矢量函数。
在数学和物理学中，向量值函数有着广泛的应用。
本文将介绍一元向量值函数及其导数的概念和性质，并通过具体的例子来说明其在实际问题中的应用。
二、一元向量值函数的定义一元向量值函数是指将实数映射到向量的函数，其定义可以表示为：f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))其中，t为实数，f1(t), f2(t), ..., fn(t)为向量的分量函数。
向量值函数可以看作是多个分量函数的组合。
三、一元向量值函数的导数对于一元向量值函数f(t)，我们可以定义其导数f'(t)。
一元向量值函数的导数是指每个分量函数的导数构成的向量，即：f'(t) = (f1'(t), f2'(t), ..., fn'(t))四、一元向量值函数的性质1. 一元向量值函数的导数存在性：一元向量值函数的导数存在的充分条件是每个分量函数的导数都存在。
2. 一元向量值函数的导数的计算：一元向量值函数的导数的计算方法与标量函数的导数计算方法类似，只需对每个分量函数分别求导。
3. 一元向量值函数的导数与极限：一元向量值函数的导数与其极限之间存在关系，即导数等于极限值。
五、一元向量值函数的应用1. 运动学问题：一元向量值函数可以用于描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，给定一个物体的速度向量函数v(t)，可以通过对其求导得到物体的加速度向量函数a(t)。
2. 弹道问题：一元向量值函数可以用于描述抛物线运动的轨迹。
例如，给定一个抛射物的速度向量函数v(t)，可以通过对其求导得到抛射物的加速度向量函数a(t)，进而计算出抛射物的高度、飞行时间等信息。
3. 经济问题：一元向量值函数可以用于描述经济指标的变化趋势。
例如，给定一个表示某种商品价格随时间变化的向量函数p(t)，可以通过对其求导得到商品价格的变化率，进而对市场供需情况进行分析。
经典：一元向量值函数及多元函数微分法的几何应用
f (t ) (t)i(t)j(t)k
则Γ 方程成为：
r
f (t )
((t) ,(t) ,(t))
t[,]
3
1、一元向量值函数的定义：
设数 D 集 R，则映 f： D射 Rn为一元
向量值函数 r ， f (t 记 ) t作 D
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为
8
4、一元向量值函数的导数：
设向量值r 函f(数 t)在 点 t0的某邻域内有定义
lim rlim f(t0t)f(t0)
t t 0
t 0
t
存在，则称 为 该 函 极 f(t数 )在 限 t0处向 的量 导数.
记作：
f
(
t
0
)或
dr dt
.
t t0
9
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数 都可导，且
y
(
t
)
z ( t )
切向量 T ( t 0 ) ( t 0 , ) ( t 0 , )
切线方程
法平面
x (t0 x)0 y (ty 0)0 z (tz00 ).
( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
另一个是： 2, 2, 1
其指向与t的增长方向一致
3 挂式滑翔机上由于快速上升气流的
影响而沿位置向量
rf(t) (3 cto )i s(3 sit)n j t2k
的路径螺旋式上升.求
（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；
（2）滑翔机在任意时刻t的速率；
7(8)向量值函数的导数
为定义于 D 上,在R m 中取值的n元向量值函数. 记为 y = f ( x ) 即,
r1 cos t 如, r = r (t ) = cos ti + sin t j + tk 即, r = r2 = sin t r t 2 3
yi = f i ( x1 , x2 , , xn ) , i = 1, 2, m
是一个n元向量值函数,
a = ( a1 , a2 , an ) ∈ D R ,
n
定义2
f ( x)在a点连续 lim f ( x) = f (a )
x→a
ε > 0, δ > 0, x ∈ D, 当0 < x a < δ 时,
有 f ( x) f (a) < ε
结论:
f : D R n → R m 在点a连续 lim f i ( x) = f i (a )
第八节 向量值函数的导数
向量值函数的概念 向量值函数的极限与连续性 向量值函数的导数 小结 思考题 作业
第八章 多元函数微分法及其应用
1
一,向量值函数的概念
定义1 (向量值函数)设D R n 是一个点集, 称映射 f : D → R m
( m ≥ 2)
x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ R , y = ( y1 , y2 , , ym ) ∈ R ,
0 n
T
并称下列雅可比矩阵
( f1 , f 2 , f m ) J= ( x1 , x2 , xn )
是 f 在点 x 0 的导数(又称全导数),记作
′ ( x 0 ) 或D f ( x 0 ) f
( D f (x ) = x j i =1,,m j =1,,n 是一个 m × n 阶的矩阵.
【向量值函数】图解高等数学-下02
【向量值函数】图解⾼等数学-下02 9.3 向量 - 值函数
平⾯曲线
当⼀个质点在时间区间 I 在平⾯内运动时, 可以把质点的坐标看做在 I 上的函数
点(x,y) = (f(t), g(t)) 形成平⾯上的曲线, 称它为质点的路径. 从原点到质点在时刻 t 的位置
P(f(t),g(t)) 的向量
分量函数(分量). 质点的路径是在时间区
是位置向量的分量函数
是质点的位置向量
位置向量, 函数f和g是位置向量的
间I由r绘制的曲线. 观察下⾯的向量函数
三维空间中的向量函数:
极限和连续
通过数值分量来定义向量函数的极限.
在⼀点的连续性
导数
假定 r(t)=f(t)i+g(t)j 是沿⼀平⾯曲线运动的质点的位置向量, ⽽ f 和 g 是 t 的可微函数. 则质点位置再时刻 t+△x 和时刻 t 的差是△r=r(t+△t)-r(t), ⽤分量表⽰为:
观察下图
导数
从上⾯动图可以看到, 当△t 趋于 0 时, 有三件事情同时发⽣:⾸先, Q 沿着曲线趋于 P:割线 PQ 看来趋于点 P 与曲线相切的位置;△r△t趋于极限;
如果 dr/dt 是连续且从不为 0 , 则 r 描绘的曲线是光滑的.
因为向量函数的导数是按分量逐个计算的, 对可微向量函数的求导法则对标量函数的求导法则有同样的形式.
运动
再观察下⾯的图形
不定积分
r 对 t 的不定积分是 r 的所有反导数的集合. ⽤∫r(t)dt 表⽰, 若 R 是 r 的任⼀反导数, 则
定积分
如果 r(t)=f(t)i+g(t)j 的分量在 [a,b] 上是可积的, 则 r 也如此, 并且从 a 到 b 的 r 的定积分是
(完)。
向量值函数导数的几何意义
解得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
切线方程 即
法平面方程 即
三、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面
通过其上定点
任意引一条光滑曲线
对应点 M,
且
不全为0 .
则在
点 M 的切向量为
切线方程为
下面证明: 在同一平面上.
法平面方程
2. 曲面的切平面与法线
1) 隐式情况 .
空间光滑曲面
曲面 在点
的法向量
切平面方程
法线方程
2) 显式情况. 空间光滑曲面
法向量 法线的方向余弦
切平面方程 法线方程
思考与练习
1. 如果平面 相切,
提示: 设切点为
与椭球面
则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上)
2. 设 f ( u ) 可微,证明 曲面
因此切线的方向向量为 由此得切线:
法平面: 即
在点(1,1,1) 的切线
求曲线 上对应于 解:
的点处的单位切向量.
=6 故所求单位切向量为
其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为
例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺
旋式上升, 其位置向量为
求
(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;
(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
二、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
向量值函数的导数与微分
向量值函数的导数与微分当我们研究单变量函数的导数时，我们可以通过计算其斜率来衡量其变化率。
然而，当涉及到向量值函数时，这种思维方式就不再适用了。
在本文中，我们将探讨向量值函数的导数与微分的概念，并了解其在向量微积分中的应用。
一、向量值函数的定义向量值函数是指以实数为自变量，向量为函数值的函数。
一般形式为：r(t) = [f1(t), f2(t), ..., fn(t)]其中，f1(t), f2(t), ..., fn(t) 是 t 的函数，称为向量值函数的分量函数。
向量值函数可以看作是将实数映射到向量空间中的曲线。
二、向量值函数的导数我们知道，对于单变量函数 f(x)，其导数可表示为 f'(x) 或 df/dx。
类似地，对于向量值函数 r(t)，其导数可表示为 r'(t) 或 dr/dt。
向量值函数的导数是一个向量，其分量函数对应各个分量函数的导数，即：r'(t) = [f1'(t), f2'(t), ..., fn'(t)]三、向量值函数的微分向量值函数的微分是指对函数进行微小变化时，所产生的向量变化。
假设我们在 t0 时刻的函数值为 r(t0)，且函数在 t0 处可导，则向量值函数在 t0 处的微分可表示为：dr = r'(t0) dt其中，dr 是函数值的微小变化量，dt 是 t 的微小变化量。
微分可看作是近似函数值的改变。
四、向量值函数的几何意义向量值函数的导数和微分反映了函数在每个时刻的斜率和微小变化量。
从几何上讲，导数表示了函数的切线方向和斜率，微分表示了函数曲线的微小位移。
五、向量值函数的应用向量值函数的导数和微分在物理学、工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，物体的位置、速度和加速度可以用向量值函数表示，通过求导和微分可以得到物体在不同时刻的速度和加速度。
在计算机图形学中，通过对向量值函数进行导数和微分，可以生成平滑的曲线和曲面，用于三维模型的表示和动画。
7(8)向量值函数的导数
7(8)向量值函数的导数随着高维数据的广泛应用，7(8)向量值函数的导数也就成为了重要的研究领域。
本文将详细介绍7(8)向量值函数的导数及其应用。
首先，我们需要明白什么是7(8)向量值函数。
7(8)向量值函数又称为多元向量值函数，指的是一个函数的自变量是一个7(8)元向量，而函数的值是一个向量。
比如，一个7(8)向量值函数可以表示为：f(x1,x2,...,x7(8)) = (y1,y2,...,ym)与标量函数的导数不同，7(8)向量值函数的导数不再是一个标量，而是一个矩阵。
其定义如下：设函数f:D->R^m，在点x0处可导，即存在一个m*n的矩阵J，满足：当△x->0时，有f(x0+△x)-f(x0)-J△x = o(||△x||)其中，||△x||表示△x的模长，o(||△x||)表示当△x趋近于0时，o(||△x||)趋近于0。
这里的J就是7(8)向量值函数f的导数，也称为Jacobian矩阵。
对于一个7(8)向量值函数的导数，其计算方法与标量函数的导数有很大的不同。
在这里我们给出一些常见的计算方法：（1）数值微分法数值微分法是最常用的计算方法之一。
它将导数的定义公式以有限差分的形式进行近似，从而得到导数值的估计。
但是该方法存在精度低、计算量大等问题，不适用于高维数据。
解析微分法是一种更高效的计算方法，它可以通过对函数f的表达式进行求导来得到函数的导数。
但是对于高维数据，求导过程变得十分复杂，需要消耗大量的计算资源。
（3）自动微分法（AD）自动微分法（AD）是一种基于微分原理的计算方法。
它将函数的计算过程表示成一系列基本的函数运算，然后根据链式法则逐步计算导数，得到最终的导数值。
与数值微分法和解析微分法相比，AD算法具有高精度、高效率等优点，尤其适用于高维数据的计算。
7(8)向量值函数的导数在机器学习、优化问题、物理模拟以及计算机图形学等领域都有广泛的应用。
下面简单介绍一下其中的几个应用：（1）机器学习在机器学习中，7(8)向量值函数的导数通常用于梯度下降等优化算法中。
向量值函数若干问题
向量值函数若干问题向量值函数是一种非常重要的数学概念，它定义了一个从实数域映射到向量空间的函数。
这种类型的函数在许多不同的领域中都有着应用，包括物理学、工程学、生物学、计算机科学和经济学等。
然而，这种函数也存在一些常见问题和挑战，需要有一定的技巧和知识才能够适当地解决。
本文将介绍一些关于向量值函数的重要问题和解决方法。
一、定义问题向量值函数通常被定义为一个从实数域到向量空间的映射，它的形式通常是f (x) = y，其中x是实数域上的一个变量，y是向量空间上的函数。
但是在定义此类函数时，需要注意以下问题：1.向量空间的选择。
向量值函数可以定义在任何向量空间中，但在选择向量空间时需要根据具体应用场景来选择。
同时，在进行向量运算时，必须确保在相同的向量空间中进行。
2.函数的取值域问题。
向量值函数的取值范围通常是向量空间，但在实际应用中，可能需要对此进行限制以确保函数的合理性。
例如，某些问题可能需要保证函数的值在一个特定区域内，或者必须限制函数的范围，以确保解决方案的可行性。
二、连续问题在解决向量值函数的问题时，连续性是一个重要的方面。
一个向量值函数f(x)在点a上具有连续性，当且仅当：对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得|x-a|<δ 时，|f(x)-f(a)|<ε。
因此，在连续问题中，需要解决以下问题：1.存在性问题。
为了证明一个向量值函数的连续性，需要证明存在一个给定的ε，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε。
然而，在某些情况下，可能很难找到一个ε，因此需要通过其他方法来证明函数的连续性。
2.存在唯一性问题。
在一些特殊情况下，可能存在多个数满足上述定义，因此需要通过其他方法来证明连续性。
例如，在某些情况下，可以通过极限或微积分来证明函数的连续性。
三、微分问题微分是另一个与向量值函数相关的重要问题。
一个向量值函数在点a上可微当且仅当：存在一个线性变换L，使得当x趋近a时，f(x) – f(a) – L(x-a)趋近于0 。
方向向量求导
方向向量求导在微积分中，我们经常需要求取一个向量值函数关于自变量的导数。
这个导数可以用来描述向量函数在某一点的变化率和方向。
方向向量求导是一种特殊的向量导数，它可以用来描述向量函数沿着某一方向的变化率。
1. 向量函数的导数在介绍方向向量求导之前，我们先回顾一下向量函数的导数。
对于一个向量值函数r（t）= ⟨x(t), y(t), z(t)⟨，其中 x(t)，y(t)，z(t) 分别表示向量函数的三个分量函数。
向量函数的导数定义为：r’(t) = ⟨x’(t), y’(t), z’(t)⟨其中x’(t)，y’(t)，z’(t) 分别表示向量函数的三个分量函数的导数。
对于一个向量函数，它的导数是一个新的向量函数，描述了原向量函数在每个点的切线方向和变化率。
2. 方向向量的定义方向向量是一个表示方向的向量。
它可以用来描述一个线段、曲线或者曲面在某一点的切线方向。
方向向量的长度为1，它只描述方向而不包含大小信息。
一个方向向量可以通过一个单位向量来表示，单位向量是一个长度为1的向量。
我们可以通过将一个向量除以它的模长来得到一个单位向量。
假设有一个向量v = ⟨a, b, c⟨，那么它的模长可以表示为：|v| = √(a² + b² + c²)单位向量u可以表示为：u = v / |v|3. 方向导数方向导数描述了函数在某一点沿着某一方向的变化率。
对于一个标量函数 f(x, y, z)，它的方向导数可以表示为：Duf(x, y, z) = ∇f · u其中∇f 表示 f 的梯度向量，u表示方向向量。
方向导数可以告诉我们函数在某一点沿着某一方向的变化速率最快的方向。
当方向向量与梯度向量的夹角为 0 时，方向导数达到最大值。
4. 方向向量求导方向向量求导是一种特殊的向量导数，它可以用来描述向量函数沿着某一方向的变化率。
对于一个向量值函数r（t）= ⟨x(t), y(t), z(t)⟨，我们可以求取它在某一点沿着某一方向的导数。
向量求导的链式法则
向量求导的链式法则向量求导的链式法则是求导中的一种重要方法，它可以帮助我们对复合函数进行求导。
具体来说，链式法则告诉我们如何对一个函数进行求导，这个函数由另一个函数的复合而成。
在向量求导中，链式法则的应用更为广泛。
通过链式法则，我们可以对向量值函数进行求导，而这些函数往往是由多个标量函数组合而成的。
链式法则的核心思想是将复合函数的导数分解成一系列简单的导数。
具体来说，假设我们有一个由两个函数组成的复合函数：f(g(x))。
则该函数的导数可以用以下公式进行计算：f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(g(x))表示函数f在g(x)处的导数，而g'(x)表示函数g在x处的导数。
这个公式告诉我们，复合函数的导数可以分解成两个简单函数的导数之积。
在向量求导中，链式法则的应用更为复杂。
因为向量值函数往往是由多个标量函数组合而成的，我们需要对每个标量函数进行求导，然后将它们组合成向量的导数。
具体来说，假设我们有一个由两个标量函数组成的向量值函数：f(x)=[f1(x),f2(x)]。
则该函数的导数可以用以下公式进行计算：f'(x) = [f1'(x),f2'(x)]其中，f1'(x)和f2'(x)分别表示f1(x)和f2(x)在x处的导数。
这个公式告诉我们，向量值函数的导数可以通过对每个标量函数分别求导，然后将它们组合成向量的导数。
总之，向量求导的链式法则是求导中的一种重要方法，它可以帮助我们对复合函数进行求导。
通过链式法则，我们可以对向量值函数进行求导，而这些函数往往是由多个标量函数组合而成的。
向量中值定理
向量中值定理向量中值定理（Mean Value Theorem for Vectors）是微积分中的一条重要定理，它是一维中值定理的自然推广。
这个定理在向量函数中起到了至关重要的作用，可以帮助我们理解向量函数的性质和行为。
我们来看一维中值定理。
一维中值定理表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么总存在一个点c∈(a, b)，使得函数在c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
这个定理可以用下面的式子来表示：f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
在向量函数中，我们可以将函数的值看作是一个向量。
向量的平均变化率可以通过向量的减法来计算，即两个向量的差值再除以它们之间的差值。
向量函数的导数可以通过对每个分量分别求导来计算。
向量中值定理的表述是：如果一个向量函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么总存在一个点c∈(a, b)，使得函数在c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
通过向量中值定理，我们可以得到一些重要的结论。
首先，在向量函数中，存在一个点c，使得函数在c处的导数等于函数在整个区间[a, b]上的平均变化率。
这个结论对于理解向量函数的性质和行为非常有帮助。
向量中值定理还可以用来证明其他定理。
例如，我们可以通过向量中值定理来证明柯西-施瓦茨不等式和拉格朗日中值定理。
这些定理在数学和物理中都有广泛的应用。
向量中值定理还可以用来解决一些实际问题。
例如，在物理学中，我们经常需要计算物体在某个时间点的瞬时速度。
通过向量中值定理，我们可以将瞬时速度与平均速度联系起来，从而可以用平均速度来估计瞬时速度。
总结起来，向量中值定理是微积分中的一条重要定理，它在向量函数的研究中起到了至关重要的作用。
通过向量中值定理，我们可以理解向量函数的性质和行为，并且可以解决一些实际问题。
同时，向量中值定理还可以用来证明其他定理，具有广泛的应用价值。
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,m
j 1,
,n
是一个 m n 阶的矩阵.
同样可定义微分: dy f x0 dx
8
二、小结
了解向量值函数的极限,连续,导数概念.
9
作业
习题７.8(97页) 3.
103ຫໍສະໝຸດ 结论:limxa
f
(x)
A
lim
xa
fi
(x)
Ai ,
i
1,
2,
m
4
2. 连续性
设 f f1, f2, fm : D Rn Rm
是一个n元向量值函数,
a a1, a2, an D Rn,
定义2 f (x)在a点连续 lim f (x) f (a) xa
0, 0,x D,当0 x a 时,
1. 极限
设 f f1, f2, fm : D Rn Rm
是一个n元向量值函数,
a a1, a2, an D Rn, A A1, A2, Am Rm
定义2 lim f (x) A lim f (x) A 0
xa
xa
0, 0,x D,当0 x a 时,
有 f (x) A
有 f (x) f (a)
结论:
f
:D
Rn
Rm在点a连续
lim
xa
fi (x)
fi (a)
即,向量值函数的连续性归结为多元函数的连续性. 5
三、向量值函数的导数
同样可以定义微分
1. 一元向量值函数的导数
dy f (x0 )dx
设 f f1, f2, fm : D R Rm
x R, y f (x)
定义 设 x0 D Rn , 并设每一个 fi 都在点 x0
可微,则称向量值函数 f 在点 x0可微,
并称下列雅可比矩阵
J
f1, f2, x1, x2,
fm xn
是 f 在点 x0 的导数(又称全导数),记作
f x0 或D f x0
7
即,
D f x0
fi x j
i1,
x x1, x2, , xn Rn, y y1, y2, , ym Rm,
如,
yi fi x1, x2, , xn , i 1, 2, m r1 cos t
r r(t) cos ti sin t j tk
即,r
r2
sin
t
r3 t 2
二、向量值函数的极限与连续性
其中y= y1, y2, ym f1(x), f2 (x), fm (x)
定义
f1 ( x0
)
dy dx
lim
x0
f
( x0
x) x
f (x0 )
f
2
(
x0
)
f (x0 )
f
m
(
x0
)
6
一般地,设
f f1, f2, fm : D Rn Rm
f x1, x2, xn f1 x1, x2, xn , , fm x1, x2, xn T
第八节 向量值函数的导数
向量值函数的概念 向量值函数的极限与连续性 向量值函数的导数 小结 思考题 作业
第八章 多元函数微分法及其应用
1
一、向量值函数的概念
定义1 (向量值函数)设D Rn 是一个点集,
称映射 f : D Rm m 2
为定义于 D 上,在Rm 中取值的n元向量值函数.
记为 y f (x) 即,