向量值函数积分学
向量值函数积分学习题课
∫
( , ) 4 4 (0,0)
π π
[sin 2 x − yϕ ( x ) tan x ]dx + ϕ ( x )dy.
∂Q ∂P 解： 由 (1) = ，得ϕ '( x ) + ϕ ( x ) tan x = 0, ∂x ∂y
通解ϕ ( x ) = c cos x ,由ϕ (0) = 2，得c = 2.
S
= =
2
∫∫ ( x + y + z )dS ,[cos α = cos β = cos γ 3
S
=
1 3
]
2
∫∫ dS = 3
S
2 3
⋅ ( S的面积)。
⎧x + y + z = 1 S的面积为圆周 ⎨ 2 的面积， 2 2 ⎩x + y + z = 1
球心到平面的距离为d =
1 3
，
1 该圆周的半径为 1 − = 3
∫∫ ( x cos α + y cos β + z cos γ )dS
π
解： F = {− y , x },
W =
∫ − ydx + xdy,
AB
⎧ x = 2 + 2 cos θ , 3 π ⎪ AB的参数方程为 ⎨ (− π ≤ θ ≤ ) 4 ⎪ y = 3 + 2 sin θ , 4 ⎩
代入功的表达式得：
W =
∫ - ydx + xdy = 2(π − 1)
∫e
L
x2 + y2
ydx + e
1− xy
xdy =
∫e
L
1− xy
ydx + e
向量值函数的积分学知识总结
向量值函数的积分学知识总结积分学是高等数学中的重要分支，它研究的是函数的积分与相关的计算方法。
在向量值函数的积分学中，我们研究的是向量值函数的积分以及相关的概念、性质和计算方法。
下面是向量值函数的积分学知识的总结。
一、向量值函数的积分概念1. 向量值函数的积分：对于定义在闭区间[a, b]上的向量值函数r(t)=(f(t), g(t), h(t))，其积分可以表示为∫r(t)dt，其中f(t)、g(t)和h(t)分别是r(t)的分量函数，积分结果是一个向量。
二、向量值函数的积分性质1. 积分的线性性质：设r(t)和s(t)是定义在闭区间[a, b]上的向量值函数，c是常数，则有∫(r(t)+s(t))dt=∫r(t)dt+∫s(t)dt，以及∫c*r(t)dt=c*∫r(t)dt。
三、向量值函数的定积分计算方法1. 分量函数分别积分：将向量值函数r(t)的分量函数f(t)、g(t)和h(t)分别积分，得到r(t)的积分为∫r(t)dt=∫(f(t) dt, g(t) dt, h(t) dt)。
2.曲线参数化方法：如果向量值函数r(t)是一条曲线的参数方程，则可以通过曲线的参数方程进行积分计算。
具体方法是将t从a到b进行积分，得到曲线上的线积分结果。
四、向量值函数的定积分应用1. 弧长：对于曲线的向量值函数r(t)，其定积分可以表示为∫，r'(t)， dt，其中，r'(t)，表示r(t)的速度，即曲线上每一点的切线长度。
2.质心：对于一条有质量的曲线，其质心的坐标可以通过曲线上的线积分计算得到。
3.曲面面积：一些曲线所围成的曲面的面积也可以通过曲线参数方程进行计算，具体方法是对曲线进行参数化，然后计算参数化曲面的面积。
五、对向量值函数的积分定理1. 格林公式：如果向量场F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))是一个有连续偏导数的向量场，那么有∬(∂Q/∂x-∂P/∂y) dA = ∮(P dx + Q dy)，其中∂Q/∂x和∂P/∂y分别是F的偏导数。
向量函数与曲线积分
向量函数与曲线积分向量函数是一个将实数域映射到n维向量空间的函数。
它的定义域是实数集，值域是n维向量空间。
在数学中，向量函数是研究向量值函数的一种重要方法。
向量值函数可以表示为f(t)=(f1(t), f2(t), ..., fn(t))，其中f1(t), f2(t), ..., fn(t)是实数函数，t是自变量。
我们可以将向量函数视为将t映射到n维向量空间中的一个点。
在实际应用中，向量函数可以表示物理运动、电磁场分布、流体运动等。
通过对向量函数的研究，我们可以了解物体的位置、速度、加速度等重要信息。
向量函数的运算包括向量之间的加法、减法、数乘以及点乘、叉乘等。
例如，两个向量函数f(t)=(f1(t), f2(t), f3(t))和g(t)=(g1(t), g2(t), g3(t))之间的加法可以表示为f(t)+g(t)=(f1(t)+g1(t), f2(t)+g2(t), f3(t)+g3(t))。
曲线积分是对向量函数在曲线上的积分。
曲线积分可以分为一类是沿着曲线的路径积分，另一类是对曲线内部的积分。
对于路径积分，我们可以用参数方程表示曲线，然后将向量函数代入参数方程，通过积分计算沿着曲线的值。
对于曲线内部的积分，我们需要定义曲线的方向，然后通过面积分来计算曲线内的取值。
曲线积分在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，通过计算流体沿着管道的曲线积分，我们可以得到流体的流量和压力变化。
通过计算电场沿着导线的曲线积分，我们可以得到电势差和电流变化。
在计算曲线积分时，我们首先需要找到曲线的参数方程。
然后，将向量函数代入参数方程，计算出向量函数在曲线上每个点的值。
最后，通过积分计算出曲线积分的值。
曲线积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行。
对于简单的曲线和向量函数，可以使用解析方法计算。
对于复杂的曲线和向量函数，可以使用数值方法进行近似计算。
总结起来，向量函数与曲线积分是数学中重要的概念和方法。
通过对向量函数的研究，我们可以了解向量值函数的性质和应用。
向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件
向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件向量值函数列的Bochner积分极限定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了向量值函数列在Bochner意义下的积分极限的充要条件。
在本文中，我们将介绍这个定理的定义、证明过程以及相关的一些应用。
一、定义在介绍定理之前，我们先来回顾一下向量值函数的定义。
设$E$是一个度量空间，$F$是一个赋范空间，$f:Erightarrow F$是一个从$E$到$F$的向量值函数，如果对于每一个$xin E$，$f(x)in F$都是一个向量，则称$f$为一个向量值函数。
我们用$mathcal{V}(E,F)$表示所有从$E$到$F$的向量值函数的集合。
设$f_n:Erightarrow F$是一个从$E$到$F$的向量值函数列，如果对于每一个$xin E$，${f_n(x)}_{nin mathbb{N}}$都是$F$中的一个Cauchy列，则称$f_n$在$E$上一致收敛于$f$，其中$f:Erightarrow F$也是一个向量值函数。
对于一个向量值函数$f:Erightarrow F$，我们定义其Bochner 积分为$$int_E f(x)dx=lim_{nrightarrowinfty}sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1})$$其中$x_0,x_1,cdots,x_n$是$E$中的$n+1$个点，且$x_0leqx_1leqcdotsleq x_n$。
如果对于每一个$xin E$，${f_n(x)}_{nin mathbb{N}}$都是可积的，则称$f_n$在$E$上Bochner可积。
我们现在可以给出向量值函数列的Bochner积分极限定理的定义了。
定义：设$f_ninmathcal{V}(E,F)$是一个从$E$到$F$的向量值函数列，$finmathcal{V}(E,F)$是另一个从$E$到$F$的向量值函数。
如果$f_n$在$E$上一致收敛于$f$，且对于任意的$xin E$，${f_n(x)}_{ninmathbb{N}}$都是可积的，则有$$lim_{nrightarrowinfty}int_Ef_n(x)dx=int_Ef(x)dx$$ 其中等号右边的积分是Bochner积分。
向量函数的定积分与变限积分
向量函数的定积分与变限积分在微积分学中，向量函数的积分是一个非常重要的概念。
它不仅能够应用于物理学、工程学等自然科学领域，还可以用于经济学、统计学等社会科学领域。
其中较为常见的形式有定积分和变限积分两种。
它们不仅有着不同的表达方式，而且其应用和性质也不尽相同。
一、向量函数的定积分向量函数的定积分是指将一个向量函数沿着一段固定的曲线上的积分。
如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其定积分可以用如下的形式来表达：∫ab f（t）·ds其中，a、b是曲线上任意两个点，而s是从a到b的弧长参数。
这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与弧长的路径有关。
现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的定积分。
假设有一个向量函数f（t）= (cos t, sin t)与一条圆周曲线C：x^2+y^2=1相对应。
其在曲线上的定积分可以写为：∫C f（t）·ds = ∫0^2π (cos t, sin t)·(dx,dy)= ∫0^2π cos t dx + sin t dy= 0这里可以看出，其中的积分结果是一个标量，因为对于这个圆周曲线，从起点到终点的弧长为零。
二、向量函数的变限积分向量函数的变限积分是指将一个向量函数沿着一段曲线段上的积分。
如果我们将向量函数f（t）表示为一个向量值函数，那么其变限积分可以用如下的形式来表达：∫p q f（t）·dr其中，p、q是曲线上任意两个点，而r是从p到q的位移向量。
这里需要注意的是，积分结果是一个向量，其大小和方向都与位移的路径有关。
现在我们以一个简单的例子来说明一下这种向量函数的变限积分。
假设有一个向量函数f（x, y）= (x^2y, xy^2)与一条线段L: y=x, 0≤x≤1相对应。
其在曲线上的变限积分可以写为：∫L f（x, y）·dr = ∫0^1 (x^2y, xy^2)·(dx, dx)= ∫0^1 x^2y dx + xy^2 dx= 1/12这里可以看出，其中的积分结果是一个向量，其大小和方向都与从起点走到终点的路径有关。
向量微积分的基本概念和定义
向量微积分的基本概念和定义在数学中，向量微积分是研究向量值函数关于时间或空间的变化率和积分的一种分支。
向量是一种具有方向和大小的量，它可以表示为一组有序的实数。
向量微积分在现代数学、物理、工程及计算机科学中都有广泛的应用，掌握向量微积分的基本概念和定义对于理解这些学科非常重要。
1. 向量的定义和运算向量是指具有大小和方向的物理量，如力、速度等。
一般地，向量用加粗的小写字母表示，例如a。
向量的大小又称向量的模，用竖线表示，如|a|。
向量的方向可以用一个有向线段表示，其中箭头表示向量的方向。
向量的几何运算包括加法和数乘。
向量的加法和数乘可以分别表示为：a +b = (a1+b1, a2+b2, …, an+bn)k · a = (ka1, ka2, …, kan)其中a，b均为n维向量，k是实数。
向量还有重要的运算符，如点积和叉积。
点积是一个二元运算，用符号“·”表示，它的定义为：a ·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn其中a，b均为n维向量。
叉积也是一个二元运算，用符号“×”表示，它的定义为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)其中a，b均为三维向量。
2. 导数和微分向量值函数是指将实数域中的一个区间映射到向量空间中的函数。
向量值函数的导数被称为导向量或者微分，用符号“dF/dt”表示。
导向量的定义为：dF/dt = lim(h→0) [F(t+h) - F(t)]/h其中F(t)表示向量值函数，h为无穷小量。
微分可以反映向量值函数的局部变化率，它的物理意义非常重要。
3. 曲线积分和曲面积分曲线积分是指沿曲线路径对向量值函数进行积分的过程。
它的定义为：∫c F·ds = ∫c F·drt其中F为向量值函数，C为曲线，rt为其参数方程。
曲线积分可以表示向量场在曲线上的流量，也可用于计算环路积分和势力场等物理量。
向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件
向量值函数列的bochner积分极限定理的充要条件Bochner积分是一种广泛应用于数学和物理学的积分形式。
它可用于计算向量值函数的积分，并且在众多领域中都有着重要的应用。
然而，对于向量值函数列的Bochner积分极限定理，其充要条件一直以来都是一个研究热点。
本文将探讨向量值函数列的Bochner积分极限定理的充要条件。
正文Bochner积分是指对于一个向量值函数f(t)，其在区间[a,b]上的积分可以表示为：∫a^b f(t) dt = limn→∞∑i=1n f(ti)(titi1)其中，titi1是区间[a,b]上的分割，即t0=a<t1<...<tn=b，且titi1=Δti，Δti表示第i个分割的长度。
当n趋于无穷时，该积分的极限存在，即f(t)在区间[a,b]上可积。
对于向量值函数列F={fn(t)}，其在区间[a,b]上的Bochner积分可以表示为：∫a^b F(t) dt = limn→∞∑i=1n Fn(ti)(titi1)其中，Fn(ti)表示fn(t)在ti处的取值，即Fn(ti)=fn(ti)。
当n趋于无穷时，该积分的极限存在，即F(t)在区间[a,b]上可积。
那么，向量值函数列的Bochner积分极限定理的充要条件是什么呢？我们将从两个方面进行探讨。
充分条件首先，我们来讨论向量值函数列的Bochner积分极限定理的充分条件。
对于一个向量值函数列F={fn(t)}，其在区间[a,b]上的Bochner积分极限存在的充分条件是：1. F={fn(t)}在[a,b]上一致有界。
即存在一个正数M，使得对于任意的t∈[a,b]和n∈N，有||fn(t)||≤M。
2. F={fn(t)}在[a,b]上几乎处处收敛。
即存在一个可测集E[a,b]，使得m(E)=0，且对于任意的t∈[a,b]E，有F(t)=limn→∞ fn(t)。
3. F={fn(t)}在[a,b]上可积。
向量值函数的积分学知识总结
向量值函数的积分学知识总结向量值函数的积分学涉及到对向量值函数在某个区间上的积分计算。
下面是向量值函数的积分学的一些关键概念和知识总结：1. 定义：向量值函数是将一个或多个自变量映射到一个向量的函数。
通常表示为r(t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟨，其中f(t)，g(t)，h(t)分别表示函数在每个自变量上的分量。
2. 积分符号：向量值函数的积分通常用∫r(t) dt表示，其中r(t)表示被积函数，dt表示积分变量。
3. 曲线积分：曲线积分是指将向量值函数沿着曲线路径的积分。
它可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
●第一类曲线积分：也称为线积分，表示将向量值函数沿曲线的长度进行积分。
它可以用∫r(t)·dr来表示，其中·表示点乘，dr表示路径的微小位移。
●第二类曲线积分：也称为曲面积分，表示将向量值函数沿曲线的方向进行积分。
它可以用∫r(t)·n ds来表示，其中·表示点乘，n表示曲线的法向量，ds表示曲线上的微小位移。
4. 曲线参数化：曲线积分需要对曲线进行参数化，将曲线上的点表示为参数t的函数。
常见的参数化方式有向量参数化和标量参数化。
●向量参数化：向量参数化将曲线上的点表示为向量函数r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟨，其中x(t)，y(t)，z(t)为参数方程。
●标量参数化：标量参数化将曲线上的点表示为两个标量函数x(t)和y(t)的组合，即x = x(t)，y = y(t)。
5. 曲线的方向：曲线积分的结果受到曲线的方向影响。
对于有向曲线，可以通过指定参数的取值范围来确定曲线的方向。
6. 计算方法：曲线积分的计算方法有多种，常用的有参数法和直接计算法。
●参数法：通过将曲线参数化为一个变量的函数，将曲线积分转化为一个变量的定积分来求解。
●直接计算法：对于简单的曲线，可以直接计算积分的表达式，然后进行求解。
7. Green公式和Stokes公式：Green公式和Stokes公式是曲线积分与曲面积分之间的重要关系。
向量值函数的链式法则
向量值函数的链式法则链式法则是微积分中一条重要的求导法则，它用于计算复合函数的导数。
在向量值函数的情况下，链式法则的应用与标量值函数类似，只是需要对向量进行求导运算。
假设有两个向量值函数：向量函数f的自变量为t，因变量为向量y；向量函数g的自变量为x，因变量为向量u。
那么复合函数的形式为h(t)=g(f(t))。
为了使用链式法则，我们需要求解h(t)对于t的导数。
记f(t)的导数为f'(t)，g(u)的导数为g'(u)，则h(t)的导数可以表示为：h'(t)=(g(f(t)))'=g'(f(t))⋅f'(t)这里的"⋅"表示向量的点乘运算。
推导链式法则的核心思想是假设对于t的微小变化Δt，f(t)发生了微小变化Δy，g(u)发生了相应的微小变化Δu。
则有以下近似关系：Δh≈h'(t)⋅ΔtΔh=g'(u)⋅ΔuΔu=f'(t)⋅Δt将上述三个式子联立起来，可以得到：h'(t)⋅Δt≈g'(u)⋅f'(t)⋅Δt通过令Δt无限接近于零，可以得到：h'(t)=g'(u)⋅f'(t)这就是向量值函数的链式法则。
举例说明链式法则在向量值函数中的应用。
假设有一个自变量为时间t的向量函数f(t)=[x(t),y(t),z(t)]，其中x(t)、y(t)和z(t)分别是t的函数。
同时，有一个自变量为位置向量x的向量函数g(x)=[u(x),v(x),w(x)]，其中u(x)、v(x)和w(x)分别是x 的函数。
现在我们想要计算复合函数h(t)=g(f(t))的导数。
根据链式法则，我们先计算f(t)和g(x)的导数。
f(t)的导数为：f'(t)=[x'(t),y'(t),z'(t)]g(x)的导数为：g'(x)=[u'(x),v'(x),w'(x)]则h(t)的导数可以表示为：h'(t)=g'(f(t))⋅f'(t)即：h'(t)=[u'(f(t)),v'(f(t)),w'(f(t))]⋅[x'(t),y'(t),z'(t)]将上述式子展开，可以得到：h'(t)=[u'(f(t))⋅x'(t),v'(f(t))⋅y'(t),w'(f(t))⋅z'(t)]这样就得到了复合函数h(t)的导数。
8.5向量值函数在定向曲面上的积分
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
为向量值函数 F ( x, y, z )在定向曲面 上的积分或第 二类曲面积分 , 记为： F ( x, y, z ) dS
R( x, y, z ) cos dS 同时存在 , 则称积分 [ P( x, y, z ) cos Q( x, y, z) cos R( x, y, z) cos ]dS
流量
实例: 流向曲面一侧的流量.
A
en
A | v | cos
Av en
（2）设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k
由方程 y = y(z,x) 表示的曲面分左侧和右侧， 封闭曲面分内侧和外侧.
曲面法向量的指向决定曲面的侧. 规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是 指向曲面取定的一侧.
若光滑曲面 的方程为： z( x, y ) , z 取上侧 , 则法向量 n 的指向朝上 , 即： n ( z x ( x, y ) , z y ( x, y ) , 1 ) , 取下侧 , 则法向量 n 的指向朝下 , 即： n ( z x ( x, y ) , z y ( x, y ) , 1 ) ,
向量值函数bochner积分序列极限定理
向量值函数bochner积分序列极限定理Bochner积分序列极限定理是一个重要的数学定理，它描述了在复平面上定义的值函数f（z）如何转换为向量空间上定义的积分序列，这种转换对于理解函数的性质是至关重要的。
Bochner积分序列极限定理说明，如果值函数f（z）被定义在复平面上，且具有f（z）的两个连续一阶可微分性，那么这个函数f（z）可以被表示成一个积分序列tn，由tn（z）=∫f（z，w）dw来定义；并且，如果f（z）具有足够好的性质，那么tin（z）就会收敛于某个空间上的一个向量函数F（z）。
Bochner积分序列极限定理的作用在于它可以揭示一个函数f（z）在复平面上的表示，以及在空间上的表示。
像Fourier级数、集合函数（集合的可积性）分析和拉普拉斯积分变换这样的变换以及拉普拉斯方程等都是Bochner积分序列极限定理的应用。
Bochner积分序列极限定理也可以适用于在复平面上定义的连续函数，从而使得可以将连续函数表示为一个积分序列的极限。
Bochner积分序列极限定理的原理可以用作一种基本的分析工具，它可以帮助求解许多分析性问题、应用数学和各种分析工具，以及分析和理解函数特性。
它可以用来求解凸性、曲线拟合、算法优化、概率分析和统计推断等。
Bochner积分序列极限定理为统计物理学提供了一个强大的理论框架，它可以帮助研究人员更好地理解许多复杂的例证，包括统计力学和量子理论。
该定理也可以用来解决许多具体的应用，如氢气结构的研究、混合器的计算和凝聚态物理等。
此外，Bochner积分序列极限定理也被广泛用于科学计算和机器学习领域。
它可以帮助计算机科学家更好地理解程序的运行，以及更好地优化程序的性能。
它在图像处理和机器学习领域的应用也会更多，例如可以使用Bochner积分序列极限定理来开发更加精确和有效的图像分类算法，以及改进现有的机器学习系统的准确性。
Bochner积分序列极限定理是一个重要的数学定理，它给函数的理解和分析带来了很多帮助，同时也被广泛用于科学计算和机器学习领域，为各领域的发展提供了重要的技术支持。
向量值函数的积分
向量值函数的积分向量值函数的积分是指对于一个向量值函数，通过积分运算得到其在某一区域内的平均值或总和。
在数学中，向量值函数是指自变量为一个或多个实数的函数，其返回值为一个向量。
对于一个标量函数f(x)，我们可以通过积分运算得到其在某一区间[a,b]内的平均值或总和。
而对于一个向量值函数F(x)，我们需要定义如何进行积分运算。
设F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))为n维向量值函数，其中fi(x)为标量函数，则F(x)在区域D上的积分定义为：∫F(x)·ds = ∫(f1(x), f2(x), ..., fn(x))·ds其中ds表示曲线段元素，即ds = ||r'(t)||dt，r(t)是曲线C上的参数方程。
例如，在二维平面上，设F(x,y) = (x^2, y^2)，则其在曲线C：y=x^2上的积分可以表示为：∫F(x,y)·ds = ∫(x^2, y^2)·ds= ∫(x^2, x^4)·sqrt(1+4x^2)dx= ∫x^2sqrt(1+4x^2)dx + ∫x^4sqrt(1+4x^2)dx这里需要注意的是，在进行向量值函数的积分运算时，需要对每个分量进行独立的积分运算，然后将结果合并成一个向量。
另外，向量值函数的积分也可以表示为对曲面上的某一物理量的平均值或总和。
例如，在三维空间中，设F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为流体速度场，则其在曲面S上的通量可以表示为：Φ = ∫F(x,y,z)·n·dS其中n为曲面S上的单位法向量，dS表示曲面元素。
总之，向量值函数的积分是一种广泛应用于物理、工程等领域中的数学工具，其可以帮助我们计算出某一物理量在某一区域内的平均值或总和。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的积分方法，并注意对每个向量分量进行独立计算。
第五节向量值函数在定向曲面上的积分(第二类曲面积分)
v(
x,
y,
z)
P(
x,
y,
z)i
Q(
x,
y,
z
)
j
R(
x,
y,
z)k
的流体，在单位时间内流向Σ指定侧的流量：
r
r
= v( x, y, z) dS
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
注：若是封闭曲面，则在上的第二型曲面积
分可记为
是定向曲面 上点( xz)cos dS 、 Q( x, y, z)cos dS 、
R( x, y, z)cos dS 同时存在，则称
4 第二型曲面积分的定义
[P( x, y, z)cos Q( x, y, z)cos R( x, y, z)cos ]dS
其中
r
r
r
r
v( x, y, z) P( x, y,rz)i Q( xr, y, z) j R( x, y, z)k
r enr
流量元素为 d r[v( x, y, z)ren( x, y, z)r]dS
(于x,是y,河z)水经c过os整个i 曲 面co指s 定一j 侧c的os流 量k 为
r
r
r
n
(
y
x
,
1,
yz
)
y=y(x,z)
右侧 y
cos cos
> 0 为上侧 < 0 为下侧 > 0 为右侧 < 0 为左侧
x
2 定向曲面的侧
指定了侧的双侧曲面叫定向曲面， 用法向量指向来确定定向曲面的侧：方向余弦 侧的规定
z
r n (1, xy , xz )
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点一、向量值函数向量值函数是指函数的取值为向量的函数，常用符号表示为r(t)或F(t)。
向量值函数的微分即为向量的微分。
二、多元函数的连续性与可微性多元函数在点(x0,y0)连续的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)连续；多元函数在点(x0,y0)可微的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)可微。
三、多元函数的偏导数多元函数f(x,y)对x的偏导数记为∂f/∂x，对y的偏导数记为∂f/∂y。
偏导数可以通过限制一个变量，将多元函数转化为一元函数进行求导。
四、多元函数的微分与高阶导数对于多元函数f(x, y)，其微分为df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
高阶偏导数的计算可以通过多次对一个变量进行偏导来得到。
五、多元函数的极值与最值多元函数的极值包括极大值与极小值，可以通过偏导数的方法求得。
为了确定是极大值或极小值，还需要进行二阶偏导数的判别。
六、多元函数的不定积分多元函数的不定积分即求解原函数，其中一个变量看作常数即可。
不定积分具有可加性，也可以用变量代换等方法来简化计算。
七、多元函数的定积分多元函数的定积分是指对多元函数在一个区域上的积分。
定积分的计算需要根据具体的区域进行定积分化简。
八、偏导数的几何意义与方向导数偏导数的几何意义是函数在其中一点上沿各个坐标轴方向的切线的斜率。
方向导数是函数在其中一点沿其中一方向的变化率。
九、梯度与梯度的性质多元函数的梯度是一个向量，表示的是函数在其中一点上沿着变化最快的方向。
梯度具有线性和方向导数的性质。
十、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解带有约束条件的极值问题的方法。
通过引入拉格朗日乘子，将问题转化为无约束条件的极值问题。
综上所述，多元函数微积分是研究多变量函数的微积分学科，其知识点包括向量值函数、多元函数的连续性与可微性、多元函数的偏导数、多元函数的微分与高阶导数、多元函数的极值与最值、多元函数的不定积分、多元函数的定积分等。
向量值函数的积分
为偏序是一个定向集. 称 X 的级数
i
% x i 收敛如果网 ( % x i
J i F
| F
F( J ) ) 收敛, 其极限记为
%xi
J
或
% ( xi |
i
J ) . 在 K n中级数
% ( xi |
i
i
J ) 收敛当且仅当级数 J ) , 定义
i
收敛. 给定 [ 0, + & ] 的一个 J - 元组 ( F F(J)}. 命题 1. 2
( 3) 设 X 是局部凸的, 若 lim A i = x , 则 lim C( A i) = x , 此处 C( A i ) 代表 A 的凸包 [. 1] i I i I 设 P 是 x 的一个命题而 A 是一个集合 , 命 A [ P ] = { x A | P( x )}. 正则测度 设 R是集合 上的环, 是 R上的测度 . R的一个子簇 A称为是( 拟) 正则的 如果对于每个 B A } . 称测度 (
i I i I i I
|
( f i ( t i ) ) 和对角线上的 Cartesian 积
i
(|
I
gi :Biblioteka i(Ii!:
t|
( g i ( t i ) ) 可测.
拓扑可测性 给定一个拓扑空间 ( X , T) , ! - 环 S( T) 记为 O!( X ) . 连续映射是拓扑可测 的. 对于 X 的子空间 A , O!( A ) = A # O!( X ) . 因此若映射 f : X 的值域 f ( ) 含于 A 中 , 则f: X 可测当且仅当 w %: A 可测, 此处 f#( t ) = f ( t ) , t . 局部紧 Hausdorff 空间 X 的 G # 型紧集全体记为 C!( X ) . 命 B ( X ) = S( C!( X ) ) , 其中的元 素是 X 的 Baire 集[ 2] . 如果 X i ( i I ) 是一些局部紧 Hausdorff 空间, 除有限个外都是紧的 , 则B ( (( X i | i I ) ) = (( B ( X i) | i I ). 定理 1. 9 给定局部紧空间 Hausdorff X 和 Y , 连续映射 f : X Y 是 Baire 可测的. 证明 对于 K C !( X ) , 由定理 D( 参见[ 2] 第 50 节 ) 知 f ( K ) 含于一个 L C!( Y ) 中 . -1 而对于任何 K C!( X ) 及 L C !( Y ) , K # f ( L ) C !( X ) . 因 B ( X ) = S( C !( X ) ) 及 B ( Y ) = S( C!( Y ) ) , 结论得证 . 因此 , 如果 G 是一个局部紧群 , 则乘积映射 ( x , y ) | xy 和求逆映射 x | x - 1 是 Baire 可 测的 . 可测函数 设 X 是一个拓扑向量空间, 可测映射 f : X 也称为可测函数 . 如果 X 是局 * 部凸的, 弱可测性和弱 可测性分别对应于 ! - 环 O!( X , w ) 和 O!( X * , w * ) . 引理 1. 10 设 X 是一个可分的赋范空间, 设 D 和 ∃ 分别是 X 和 X -1 密和弱 *稠密 子集, 则 O!( X ) = !( ∃ ) , 此处 !( ∃ ) = S( { % ( E) | E O!( X * , w * ) = !( D ^ ) , 此处 D ^ = {x ^ | x D }, x ^ ( %) = %( x ) .
多元向量值函数积分
L1 L2
高 等 数 学 dl A dl.
L
i 1 Li
7 /24
四、两型曲线积分的关系
第 八
若 L为空间有向曲线,则
A(M ) dl P( x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
章L
L
第 一
其中dl (dx,dy,dz)是空间曲线L在点M(x, y, z)
二、第二型曲线积分
定义8.3.1 设向量场A(M ), L是其场域中一条
节
1
由A到B的可求长的光滑有向曲线.将有向曲线
1
|| 1 2
L任意分成n个小弧段;在小 弧段Mi1Mi 上任取 点Ti (i 1,2,, n),作乘积A(Ti ) Mi1Mi ;再作
高 等
和式
数
n
F (Ti ) Mi1Mi ;
高
等 数
(2)沿上半圆周y
2x x2由点(0,0)到点(1,1).
学
9 /24
解 (1)直线上指定方向的切向量 (1,1),
第
单位化得方向余弦
e
(cos ,cos ) (
1 2
,
1 ),
2
八
章 所以
Pdx Qdy P Qdl.
第 一
L
L2
节 (2)圆弧上指定方向的切向量
y y 2x x2
zi 1 j
zi ), zi k ,
八
章 第
Ti
n
(
i
,i
,
i
)
M
i 1
M
i
n
一
节
1
lim
0
i 1
A(Ti )
§2 向量函数微积分
∂r ∂u
=
ru
=
(−sin
u
,
cos
u
,
0)
，
∂r ∂v
=
rv
=
(0,
0,
1)
，
∂2r ∂u2
=
ruu
=
(−cos
u
,
−sin
u
,
0)
，
∂r ∂u
×
∂r ∂v
=
(cos
u
,
sin
u
,
0)
，
∫ rv dv = (c1(u) , c2(u) , v + c3(u)) = (0, 0, v) + c ， 其中c = (c1 , c2 , c3) 是u的一元向量函数而与v无关．
注记 2 上述充要条件③的前提条件“r(t)×r′(t) 处处非零”是必不可少 的实质性条件．参见下面的例子．
{ { 0 , t ≥0 ，
0 , t ≤0 ，
例 8 设 x(t) = e−t2−1/t2, t < 0 ； y(t) = t + 1 ；z(t) = e−t2−1/t2, t >0 ；
令 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ， t∈R ． 则
r(t)
=
lim
Δt→0
r(t+Δt) − Δt
r(t)
=
(−sin
t
,
cos
t
,
0)
，
∫ r(t) dt = (sin t , −cos t , 0) + (c1 , c2 , c3) ， 其中 c = (c1 , c2 , c3) = const. ．
向量值函数的导数与积分
这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面 上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是 三维空间上的螺旋曲线．
如果一个向量值函数 r(t) 在区间 I 上满足 r(t) 连续， 且在区间 I 内 r(t) 0, 我们就称 r(t) 在区间 I 上是 光滑的． 例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的． 一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这 条曲线为分段光滑曲线．
du du ds u(s) f (t) u( f (t)) f (t). dt ds dt
第九章 向量值函数的导数与积分
● §9.1 向量值函数及其极限与连续 ★ §9.2 向量值函数的导数与微分 ● §9.3 向量值函数的不定积分与定积分
§9.2 向量值函数的导数与微分
9.2.1 向量值函数的导数与微分 9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程 内容小结与作业
9.2.1 向量值函数的导数与微分
向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
r(t) f (t)i g(t) j h(t)k.
三维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j h(t)k 的二阶导数为
(4) d [ f (t)u(t)] f (t)u(t) f (t)u(t); dt
(5) d [u(t)gv(t)] u(t)gv(t) u(t)gv(t); dt
(6) d [u(t) v(t)] u(t) v(t) u(t) v(t); dt
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x x(t),
y
y(t ),
z z(t),
r (t )
x(t)i
y(t) j
z(t)k,
t
.
因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x
Q(
x)
,
lim
x0
R(
x
x) x
R(
x)
dP dx
,
dQ dx
,
dR dx
dP dx
r i
dQ dx
r j
dR dx
r k
r
即 df {dP , dQ , dR } dx dx dx dx
例：设f (t ) t i t 2 j t 3k .
(1)(C ) 0,其 中C是 常 向 量 ；
（2）(a u b v) a u b v, a, b是 常 数 ；
（3）(u v) u v u v;
(4)(u v) u v u v;
(5)r
r( (t )),
( x)v2 u2v2
(
x)u,
v
u
v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义
rr(t )
r x(t )i
r y(t) j
r z(t )k
位移
向 量r
r (t
t
)
r (t
),
dr 是质点运动的速度向量，
dt
dr ( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2是速度的大小，
t 2 r t 3 r t 4 r ur
i j k C.
23 4
1 f (t)dt
1
t
i
t2 j
t 3k dt
0
0
1r tdt i
1
t 2dt
r j
1 t 3dt
r k
1
r i
1
r j
1
r k.
0
0
0
23 4
2、一元向量值函数求导运算法则
dr
dr
d
(r
r (s), s
(t )).
仅
证
（3）, 并
且
设dtu,
vd是s
dt
平
面ห้องสมุดไป่ตู้
向
量
：
u
{u1
(
x),
u2
(
x)},v
{v1
(
x),v
2
(
x)},则
u(uvv) uu11(vx1
)v1 ( x u1v1
)
u2 u2 v 2
br
b
b
b
rr
(4) f (x)dx { P(x)dx, Q(x)dx, R(x)dx} F(b) F(a).
a
a
a
a
dF
f (t)
dt
设f ( x) P( x)i Q( x) j R( x)k {P( x), Q( x), R( x)};
y,
z )等 。
如果场描述的物理量在所考察的时间段内不随 时间的变化而变化，称其为稳定场；而随时间的变 化而变化的场称其为不稳定场。
本课程中主要研究稳定场。
小结
一、一元向量值函数的概念 二、一元向量值函数的导数与积分 三、多元向量值函数
向量值函数的极限存在性、连续性、可导、可微、 可积等均依赖于其坐标的极限存在性、连续性、可导、 可微、可积等。
一、向量值函数的概念
空间曲线的切向量：Tr x(t), y(t), z(t)
空间曲面F ( x, y, z) 0的法向量：n {F , F , F } x y z
定 义1 设I是 一 个 区 间，V3是 一 个 三 维 向 量 空 间 ，
从I到V3的 映 射 ，
r
r
r
注：df ( x) lim f ( x x) f ( x)
dx x0
x
lim
x0
1 x
P(
x
x),
Q(
x
x),
R(
x
x)
P(
x),
Q(
x),
R(
x)
lim
x0
P(
x
x) x
P(
x)
,
lim
x0
Q(
x
x) x
元数量值函数。
注：（1）一元向量值函数的物理意义与几何意义
设 起 点 在 原 点O(0,0,0),终 点 在M ( x, y, z)
的 向 量 记 为r, 质 点 运 动 的 参 数 方 程 ： x x(t), y y(t),z z(t), t ,
则 质 点 的 位 置 变 化 可 表示 为
x x0
x x0
x x0
df dP dQ dR dP dQ dR
(2) i j k { , , };
dx dx dx dx dx dx dx
r
r
r
(3) f ( x)dx P( x)dx, Q( x)dx, R( x)dx F ( x) C;
dt
dr (
)0
{x(t), y(t), z(t)}
是速度的方向。
dt
( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2
r r (t )
r x(t )i
r y(t) j
r z(t )k
从几何上看，当 drr
r 0时，
dt t t0
r
dr dt
tt0 { x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}是曲线rr(t)
r x sin( xy)i .
x
1 x y
物理量在空间的某个范围内的分布称为一个物
理场。场有两类：数量场（用数量值函数描述）与 向量场（用向量值函数描述）。
数量场如：密度场( x, y, z),温度场T( x, y, z)等；
向
量场如：速
度
场v(
x,
y,
z),力
场F (
x,
（2）
设是
空
间
区
域
，V3是
三
维
向
量
空
间
，
从
到V3的
映
射
，
记
为F
,
称
为
定
义
在上
的
三
元
向
量
值 函 数 ， 即F
:
V3 ,(
x,
y,
z)
,
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
{P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)}.
r
r r r rrr
则有：lim f (t) lim t i t 2 j t 3k 2 i 4 j 8k
t2
t2
d
dt
r f (t)
d dt
rrr t i t2 j t3k
rr r i 2t j 3t 2k
r
r
r
r
f (t)dt tdt i t2dt j t3dt k
注：当 drr dt
tt0 0r时，曲线rr(t )在t t0对应的点处
可能没有切线。
三、 多元向量值函数
定
义2（1）
设D是
平
面
区域
，V2是
二
维
向
量
空
间
，
从D到V2的
映
射
，
记
为F
,
称
为
定
义
在D上
的
二
元
向量
值
函
数
，
即F :
D
V2
, (
x,
y)
D,
F ( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j {P( x, y), Q( x, y)}.
一 般 地 ， 从m维 空 到n维 向 量 空 间Vn
间R m
{(x1 , x2 ,
{x {x1 , x2 , x
xn ) : n } : ai
xi
R}, R}的
映
r
射
，
当n
2时
都
称
为
多
元
向
量
值
函数.
F( x1, x2,K ，xm )
{ f1( x1, x2,K ，xm ), f2( x1, x2,K ，xm ),K , fn( x1, x2,K ，xm )}.