01-向量值函数及其导数
向量函数导数
向量函数导数向量函数是一种将实数域映射到向量空间的函数，即对于每个实数t，向量函数f(t)都会返回一个向量。
向量函数是向量微积分、向量微分方程和向量场理论的基础。
在计算机图形学、机器学习和控制理论等领域中经常使用向量函数来描述物理系统。
向量函数的导数也被称为向量值函数的导数，它是描述向量函数在每个点的切线方向和强度的向量。
向量函数的导数在物理学、工程学和自然科学中都有广泛的应用。
一般来说，向量函数f(t)=<f1(t), f2(t), f3(t)>的导数f'(t)被定义为：f'(t) = df1/dt i + df2/dt j + df3/dt k其中，i、j和k是三个互相垂直的单位向量，den/dt代表f关于t的导数。
向量函数的导数具有一些与标量函数的导数类似的性质，如乘法法则、链式法则等。
此外，它还有一些特殊的性质。
例如，向量函数f(t)的定积分可以用来计算其导数：f(t) = ∫f'(t)dt此时，向量函数的导数可以被看作是向量函数的原函数。
这个性质在计算机图形学和数值分析中经常使用。
对于向量函数f(t)的导数，还有一个重要的概念是方向导数。
方向导数是指向量函数在给定方向上的导数。
对于给定的向量v，函数f在点p上沿着v方向的导数可以使用以下公式计算：Dvf(p) = lim(h→0) [f(p + hv)−f(p)]/h其中，Dvf(p)是函数f在点p上沿着v方向的方向导数。
最后，需要注意的是，向量函数的导数不一定是一定存在的。
在某些情况下，向量函数的导数可能不存在或是无限大。
例如，考虑向量函数f(t)=<sin t, cos t>在t=π/2的导数，会发现该导数不存在，因为左导数和右导数的值不同。
总的来说，向量函数的导数是向量微积分中的重要概念。
它不仅有着广泛的应用，还与向量场、物理学、工程学和计算机图形学等领域有着密切的联系。
理解向量函数导数的定义和性质，是学习向量微积分和相关学科的关键。
向量值函数的导数
由此可见,凡是一元m 维向量值的导数是各个分量 的导数所组成的一个m 维列向量.
例2： 当n=2，m=1时，有向量值函数 y=f(x),其中
x x1, x2 T D R2. 它等价于 y f x1, x2 .
如果在点x0 x10, x20 处函数的偏导都存在，则可称
A
a21
a22
副对角线 am1 am1
a1n
a2n
amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
•元素是实数的矩阵称为实矩阵,
•元素是复数的矩阵称为复矩阵.
•只有一行的矩阵 A a1, a2, , an , 称为行矩阵
(或行向量).
a1
•只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
an
定义（转置矩阵）把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
例
A
1 4
2 5
2 8
,
1 4
AT
2
5 ;
2 8
在点a 以A A1, A2, A3 T A1i A2 j A3 k 为极限的
定义是：
0, 0,x D,当0 x a 时,有
3
2
f (x) A
fk x Ak
应用数学基础 第四章-向量值函数的导数
2!2! 13
§4.2－4 方阵函数 性质
性质1 (Euler公式) XCnn, 有
eiX = cosX + isinX , cosX = ( eiX + e iX )/2 , sinX = ( eiX e iX )/2 .
两边对应的 数项幂级数 具有此性质
性质2 XCnn及 t C, 有
d eAt = AeAt = eAt A ,
征值都满足不等式 | j - 0 | < R, j = 1, 2,…, n .则方阵幂级
数 cm(X 0E)m绝对收敛. 若存在X的一个特征 m0
值k, 使得 | k - 0 | > R, 则方阵幂级数发散.
12
§4.2－3 方阵函数 几个特殊的和函数
e
Xe
z
mm00
Xz mm mm!!
1E
定理4.3 设ACnn, 则Am收敛于零矩阵 至少 存在一种方阵范数||•||, 使得||A||1.
9
定理4§.4 4设.2－Am1=[方aij阵(m级)]数Cnn收, m敛=的0,1充,2要,…条,件S=及[s性ij]质Cnn.
则方阵级数 Am 收敛于方阵 S=[sij]
m0
i,j=1,2,…,n,
定义 设ACnn 的谱 (A) = {1, 2,…, s }, A的最小多项式()= (-1) (m1 1) … (-s) (ms 1), f (z)是复变函数.
若对j=1, 2,…, s, f(j), f (j),…, f (mi 1)(j) 都存在, 则称 f(z)在(A)上有定义, 并称
数项级数
a(m) ij
收敛于sij.
mo
证明思路：根据矩阵级数收敛的定义，以及定理4.1。
导数与函数的向量值函数求导
导数与函数的向量值函数求导导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
而函数的向量值函数则是指函数的输出为向量的情况。
在本文中，我们将探讨导数与函数的向量值函数求导的相关内容。
一、导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，通常记为 f'(x)，可以通过极限的方法来定义。
对于实数域上的函数 f(x)，其在 x 点处的导数定义如下：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗二、向量值函数的概念向量值函数是指函数的输出是一个向量。
一般形式为 F(t) = (f₁(t),f₂(t), ..., fₙ(t))，其中 f₁(t)、f₂(t)、...、fₙ(t) 分别是关于 t 的实值函数。
向量值函数可以表示多维空间中的曲线、曲面等几何对象。
三、向量值函数的导数对于向量值函数 F(t) = (f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t))，其导数 F'(t) = (f'₁(t),f'₂(t), ..., f'ₙ(t)) 是一个向量，其中 f'₁(t)、f'₂(t)、...、f'ₙ(t) 分别是f₁(t)、f₂(t)、...、fₙ(t) 的导数。
四、向量值函数的求导方法向量值函数的求导方法与一般函数的求导方法类似，对每个分量分别求导。
例如，对于二维向量值函数 F(t) = (x(t), y(t))，其导数 F'(t) =(x'(t), y'(t))，其中 x'(t)、y'(t) 分别是 x(t)、y(t) 的导数。
五、基本导数规则以下是常用的向量值函数导数规则：1. 常数规则：若 c 是一个常数，则 (cF(t))' = cF'(t)2. 和差规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t) ± G(t))' = F'(t) ± G'(t)3. 数乘规则：若 F(t) 是一个向量值函数，c 是一个常数，则 (cF(t))' = cF'(t)4. 函数乘法规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t)·G(t))' = F'(t)·G(t) + F(t)·G'(t)5. 向量点积规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t)·G(t))' = F'(t)·G(t) + F(t)·G'(t)六、实例分析考虑一个二维向量值函数 F(t) = (t², sin(t))，我们将通过求导来计算其导数。
经典：一元向量值函数及多元函数微分法的几何应用
f (t ) (t)i(t)j(t)k
则Γ 方程成为：
r
f (t )
((t) ,(t) ,(t))
t[,]
3
1、一元向量值函数的定义：
设数 D 集 R，则映 f： D射 Rn为一元
向量值函数 r ， f (t 记 ) t作 D
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为
8
4、一元向量值函数的导数：
设向量值r 函f(数 t)在 点 t0的某邻域内有定义
lim rlim f(t0t)f(t0)
t t 0
t 0
t
存在，则称 为 该 函 极 f(t数 )在 限 t0处向 的量 导数.
记作：
f
(
t
0
)或
dr dt
.
t t0
9
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数 都可导，且
y
(
t
)
z ( t )
切向量 T ( t 0 ) ( t 0 , ) ( t 0 , )
切线方程
法平面
x (t0 x)0 y (ty 0)0 z (tz00 ).
( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
另一个是： 2, 2, 1
其指向与t的增长方向一致
3 挂式滑翔机上由于快速上升气流的
影响而沿位置向量
rf(t) (3 cto )i s(3 sit)n j t2k
的路径螺旋式上升.求
（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；
（2）滑翔机在任意时刻t的速率；
向量值函数的导数
r x r x t x r u s u t u
r r r r y z u v u u u s s s s x y z y z u v v v v t t t t x y z y z u v u r v r u r v r u r v x v x u y v y u z v z u s v s u s v s u s v x v x u y v y u z v z u t v t u t v t u t v x v x u y v y u z v z
则称f是一个线性向量值函数. n m R R 线性向量值函数就是从 到 的线性变换.
6.2向量值函数的导数 设有向量值函数
y f x f x1 , f x2 ,, f xn , x Dn .
f m f x f1 f 2 , , , , i 1,2,, n . xi xi xi xi
0
称为f(x)在点x0处的导数，也称为f(x)在点x0处的Jacobi 矩阵，记为 f ' x0 , Df x0 , T T x 定义中的df(x0)=J 是关于 x 的线性向量函数.
n m D , y = f ( x ), x y R , 定理6.1 设向量值函数
设x0为 D 的内点.若f(x)的每个分量fi(x)(i=1,2,…,m)关于
有向量值函数复合求导的连锁规则 左边是 m n 矩阵，右边是 m k 矩阵与 k n 矩阵的乘积. 这三个矩阵分别是向量值函数 f g ，f 以及g的导数.
f g
' x
向量函数的导数和曲线积分
向量函数的导数和曲线积分在微积分中，向量函数的导数和曲线积分是非常重要的概念。
向量函数的导数描述了向量在曲线上的变化率，而曲线积分则用于计算向量场沿曲线的总效应。
本文将详细介绍向量函数的导数和曲线积分的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、向量函数的导数向量函数是一个将实数映射到向量的函数。
设向量函数为F(t) =\<f1(t), f2(t), f3(t)\>，其中f1(t)，f2(t)，f3(t)为实数函数，t为自变量。
向量函数的导数定义为F'(t) = \<f1'(t), f2'(t), f3'(t)\>。
计算向量函数的导数时，可以将每个分量函数看作是独立变量的函数，然后分别对每个分量函数求导即可。
导数的几何意义是向量在曲线上的切向量，它的方向与曲线切线的方向相同，大小等于在单位时间内曲线上的位移。
二、曲线积分的概念曲线积分用于计算向量场沿曲线的总效应。
设曲线C为一条smooth 曲线，可以使用参数方程表示为C: r(t) = \<x(t), y(t), z(t)\>，a ≤ t ≤ b。
向量场F(x, y, z)在曲线C上的曲线积分定义为∫[C] F·dr，其中dr为曲线的微小位移向量。
曲线积分可以分为第一类和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是将向量场F(x, y, z)沿曲线C的弧长积分，表示为∫[C] F·ds。
第二类曲线积分是将向量场F(x, y, z)经过曲线C的环量积分，表示为∫[C] F·dr。
计算曲线积分时，可以将曲线参数化，并将曲线上的微小位移ds或dr用参数表示，然后将向量场F代入曲线参数方程得到F的函数形式，最后对函数形式进行积分。
三、向量函数的导数的计算方法计算向量函数的导数可以使用分量法或矩阵法。
分量法即分别对向量的每个分量函数求导，矩阵法则使用雅可比矩阵进行计算。
以分量法为例，对向量函数F(t) = \<f1(t), f2(t), f3(t)\>求导，可以得到F'(t) = \<f1'(t), f2'(t), f3'(t)\>。
向量函数求导
向量函数求导微积分是一门极其重要的学科，学习和掌握微积分的同学在进行不同的数学问题的求解时会用到各种求导公式，求导是微积分的基本操作。
本文将对向量函数求导这一求导技术进行详细的阐述，旨在能够帮助读者更加系统的掌握向量函数求导的基本概念和技术。
首先要解决向量函数求导问题，需要先掌握向量函数的定义以及相关概念，什么是向量函数？向量函数是一种特殊的函数，可以将一个实数区间上的每个点对应一个实数向量，也就是说，它的值都是实数向量。
比如，如果函数f(x)把x映射成一个二维向量（F(x) = (f1(x),f2(x))），那么就可以称f(x)为一个二维实向量函数。
向量函数的定义没有限制，可以是二维、三维甚至更多维度的实数向量，但它们都有一个共同特点，即每一个变量都可以独立被当做一个函数，而不仅仅是把其坐标向量看做一个整体。
解决向量函数求导问题要从慢慢理解它的定义入手，由于向量函数的值是实数向量，我们先来回顾一下实数向量的概念，实数向量就是可以把实数表示为多个维度的一组数据，体现在数学中就是向量，它的每一个变量都可以独立被当做一个函数，我们将用这种方法来求解向量函数的求导问题。
对于向量函数f(x)=(f1(x),f2(x))，在用矩阵的方式表示的话就是：F(x)=[f1(x),f2(x)]我们可以通过每一个变量分别求导，将f1(x),f2(x)这两个函数分别求导，这样就可以得到：F(x)=[f1(x),f2(x)]很明显，F(x)就是我们要求的向量函数的求导结果，我们用一个简单的例子来验证一下这个求导结果，假设我们有这样一个向量函数：f(x)=[3x^2,x^3]那么，求f(x)的求导结果为：f(x)=[6x,3x^2]可以看出，这两个求导结果是符合预期的，因此，这样的求导方式是正确的。
与一维函数求导不同，向量函数求导需要根据每个变量的导数情况分别求导，这个求导过程是非常繁琐的，而且容易出现错误，因此，学习向量函数求导的过程中，要把握其基本原理和求导方法，反复练习更加熟练，方能更加熟练的掌握向量函数求导的基本概念和技术，从而能够在解决实际问题时用上向量函数求导这一求导技术。
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向量值函数的导数与微分
向量值函数的导数与微分当我们研究单变量函数的导数时，我们可以通过计算其斜率来衡量其变化率。
然而，当涉及到向量值函数时，这种思维方式就不再适用了。
在本文中，我们将探讨向量值函数的导数与微分的概念，并了解其在向量微积分中的应用。
一、向量值函数的定义向量值函数是指以实数为自变量，向量为函数值的函数。
一般形式为：r(t) = [f1(t), f2(t), ..., fn(t)]其中，f1(t), f2(t), ..., fn(t) 是 t 的函数，称为向量值函数的分量函数。
向量值函数可以看作是将实数映射到向量空间中的曲线。
二、向量值函数的导数我们知道，对于单变量函数 f(x)，其导数可表示为 f'(x) 或 df/dx。
类似地，对于向量值函数 r(t)，其导数可表示为 r'(t) 或 dr/dt。
向量值函数的导数是一个向量，其分量函数对应各个分量函数的导数，即：r'(t) = [f1'(t), f2'(t), ..., fn'(t)]三、向量值函数的微分向量值函数的微分是指对函数进行微小变化时，所产生的向量变化。
假设我们在 t0 时刻的函数值为 r(t0)，且函数在 t0 处可导，则向量值函数在 t0 处的微分可表示为：dr = r'(t0) dt其中，dr 是函数值的微小变化量，dt 是 t 的微小变化量。
微分可看作是近似函数值的改变。
四、向量值函数的几何意义向量值函数的导数和微分反映了函数在每个时刻的斜率和微小变化量。
从几何上讲，导数表示了函数的切线方向和斜率，微分表示了函数曲线的微小位移。
五、向量值函数的应用向量值函数的导数和微分在物理学、工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，物体的位置、速度和加速度可以用向量值函数表示，通过求导和微分可以得到物体在不同时刻的速度和加速度。
在计算机图形学中，通过对向量值函数进行导数和微分，可以生成平滑的曲线和曲面，用于三维模型的表示和动画。
向量值函数的导数与积分
平面点的运动轨迹
二维向量值函数
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
三维向量值函数 M
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
例1已知直线 过点
,其方向向量为
,
试用向量值函数表示直线.
直线的向量值函数
或
对应的参数方程为：
(
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数与空间曲线
间 内的一个原函数，则
d
向量值函数的不定积分
各分量函数的不定积分
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
向量值函数的不定积分
例9 计算
d
【例9解】
原式
d
d
d
C
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的积分
向量值函数的不定积分
例10一枚导弹以初始速度 、仰角 发射，假设导弹只受重力作 用，空气阻力可以忽略不记，求这枚导弹的位置函数 ，并问 取何值时射程最远？
数量函数求导法则
向量值函数求导法则
定理2设 为可导的向量值函数， 为可导的数值函
数， 为常向量（即 的各分量都为常数）， 为常数，则有
d (1)
d (3) d
d
(2) d d
第60讲 向量值函数的导数与积分——向量值函数的导数
向量值函数的求导法则
(4) d d
(5) d d d
(6) d
(7)链式法则：设 数值函数，则
向量值函数的定积分
例11计算
d
【例11解一】
原式
(1+ )d
d
【例11解二】 由牛顿-莱布尼兹公式，
原式
导数与函数的向量函数关系归纳
导数与函数的向量函数关系归纳函数是数学中一个非常基础的概念，而导数是函数的一个重要属性。
在研究函数的性质和变化的过程中，导数起着至关重要的作用。
在本文中，我们将探讨导数与函数的向量函数关系的归纳性质。
一、函数的导数概念回顾函数的导数在微积分中具有重要的地位。
导数描述了函数在某一点上的变化率，即函数曲线在该点处的斜率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，也可写作dy/dx。
二、向量函数的定义与性质向量函数是一种将一个或多个变量映射到向量的函数。
一般形式如下：r(t) = <f(t), g(t), h(t)>其中，f(t)、g(t)和h(t)表示关于自变量t的函数。
向量函数的性质包括长度、方向和曲线。
三、向量函数的导数定义我们可以将向量函数看作是多个函数组成的向量。
在向量函数中，每个分量函数都有自己的导数。
因此，向量函数的导数可以表示为：r'(t) = <f'(t), g'(t), h'(t)>其中，f'(t)、g'(t)和h'(t)分别表示关于自变量t的函数的导数。
四、向量函数的导数性质1. 向量函数的导数是对每个分量函数求导后组成的向量。
2. 导数运算适用于向量的加法和减法。
3. 对于向量函数与标量函数的乘法，应用乘积法则进行求导。
4. 对于向量函数与向量函数的乘法，求导过程中需要应用标量积、叉积或混合积的性质。
五、示例分析1. 向量函数 r(t) = <t^2, 2t, t+1> 的导数为 r'(t) = <2t, 2, 1>。
2. 向量函数 r(t) = <sin(t), cos(t), t^2> 的导数为 r'(t) = <cos(t), -sin(t), 2t>。
3. 向量函数 r(t) = <e^t, ln(t), t> 的导数为 r'(t) = <e^t, 1/t, 1>。
向量值函数导数的几何意义
解得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
切线方程 即
法平面方程 即
三、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面
通过其上定点
任意引一条光滑曲线
对应点 M,
且
不全为0 .
则在
点 M 的切向量为
切线方程为
下面证明: 在同一平面上.
法平面方程
2. 曲面的切平面与法线
1) 隐式情况 .
空间光滑曲面
曲面 在点
的法向量
切平面方程
法线方程
2) 显式情况. 空间光滑曲面
法向量 法线的方向余弦
切平面方程 法线方程
思考与练习
1. 如果平面 相切,
提示: 设切点为
与椭球面
则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上)
2. 设 f ( u ) 可微,证明 曲面
因此切线的方向向量为 由此得切线:
法平面: 即
在点(1,1,1) 的切线
求曲线 上对应于 解:
的点处的单位切向量.
=6 故所求单位切向量为
其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为
例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺
旋式上升, 其位置向量为
求
(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;
(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;
(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.
解: (1)
(3) 由
即
即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.
二、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
一元向量值函数及其导数
一元向量值函数及其导数一、引言向量值函数是一种将实数映射到向量的函数，也被称为矢量函数。
在数学和物理学中，向量值函数有着广泛的应用。
本文将介绍一元向量值函数及其导数的概念和性质，并通过具体的例子来说明其在实际问题中的应用。
二、一元向量值函数的定义一元向量值函数是指将实数映射到向量的函数，其定义可以表示为：f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))其中，t为实数，f1(t), f2(t), ..., fn(t)为向量的分量函数。
向量值函数可以看作是多个分量函数的组合。
三、一元向量值函数的导数对于一元向量值函数f(t)，我们可以定义其导数f'(t)。
一元向量值函数的导数是指每个分量函数的导数构成的向量，即：f'(t) = (f1'(t), f2'(t), ..., fn'(t))四、一元向量值函数的性质1. 一元向量值函数的导数存在性：一元向量值函数的导数存在的充分条件是每个分量函数的导数都存在。
2. 一元向量值函数的导数的计算：一元向量值函数的导数的计算方法与标量函数的导数计算方法类似，只需对每个分量函数分别求导。
3. 一元向量值函数的导数与极限：一元向量值函数的导数与其极限之间存在关系，即导数等于极限值。
五、一元向量值函数的应用1. 运动学问题：一元向量值函数可以用于描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，给定一个物体的速度向量函数v(t)，可以通过对其求导得到物体的加速度向量函数a(t)。
2. 弹道问题：一元向量值函数可以用于描述抛物线运动的轨迹。
例如，给定一个抛射物的速度向量函数v(t)，可以通过对其求导得到抛射物的加速度向量函数a(t)，进而计算出抛射物的高度、飞行时间等信息。
3. 经济问题：一元向量值函数可以用于描述经济指标的变化趋势。
例如，给定一个表示某种商品价格随时间变化的向量函数p(t)，可以通过对其求导得到商品价格的变化率，进而对市场供需情况进行分析。
向量值函数的导数
a1
•只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
an
定义（转置矩阵）把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
例
A
1 4
2 5
2 8
,
1 4
AT
2
5 ;
2 8
(k=1,2,…,m),点x°∈D 处对每一个自变量的偏导
数都存在,则称下列雅可比(Jacobi)矩阵.
x R cos t,
例3
空间螺旋线的参数方程
y
R
sin
t,
可以写成
z ct,
一元三维向量值函数 r t Rcosti Rsint j ctk,
其在点t 0 处的导数为 r 't0 Rsin t0i R cost0 j ck
m
f
k
x
Ak
2
k 1
结论：
lim
xa
f (x)
A lim
xa
fk (x)
Ak , k
1, 2,
m
特别的，当n=1，m=3时，向量值函数
f x
T
f1 x , f2 x , f3 x f1 x i f2 x j f3 x k
在点a 以A A1, A2, A3 T A1i A2 j A3 k 为极限的
定义是：
0, 0,x D,当0 x a 时,有
向量值函数及其极限与连续
高等数学分级教学A2班教学课件
根据极限的定义，二维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j 在 t0 处连续的充分必要条件是其分量函数 f (t) 与g (t) 在 t0 处连续.
关于二维向量值函数的极限与连续的概念容易推广 到三维及三维以上向量值函数上去．
高等数学分级教学A2班教学课件
x
高等数学分级教学A2班教学课件
9.1.2 向量值函数的极限与连续
对于二维向量值函数 r(t) f (t)i g(t) j, 设它在 t0 的某 去心邻域内有定义，如果
lim f (t) a, lim g(t) b,
t t0
t t0
则称当 t t0 时, 向量值函数 r (t)的极限存在，其极限为
例2 设 r(t) sin 2t i ln(1 t) j, 求 lim r(t).
t
t 0
解
lim
t 0
r(t)
lim
t0
sin t
2t
i
lim ln(1 t)
t0
j (2, 0).
2
1.5
1
0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
上图给出了这个二维向量值函数的图形．从图中能直观 地得到这个极限．
第九章 向量值函数的导数与积分
★ §9.1 向量值函数及其极限与连续 ● §9.2 向量值函数的导数与微分 ● §9.3 向量值函数的不定积分与定积分
§9.1 向量值函数及其极限与连续
9.1.1 向量值函数的概念 9.1.2 向量值函数的极限与连续 内容小结与作业
9.1.1 向量值函数的概念
向量值函数是指分量都是关于同一自变量的一元 函数，即 n 元向量值函数是Ｒ到Ｒn上的映射．
向量求导法则范文
向量求导法则范文向量的求导法则是矢量微积分中非常重要的一部分。
本文将介绍向量的求导法则，包括向量的标量函数的导数、向量函数的导数、向量的点乘、向量的叉乘等内容。
具体内容如下：一、向量的标量函数的导数设向量函数f(f)的各个分量函数f₁(f)、f₂(f)、…、ff(f)都关于f可导，则向量函数f(f)的导数f′(f)定义为：f′(f)=(f₁′(f),f₂′(f),…,ff′(f))这意味着向量函数的导数就是每个分量函数的导数构成的向量。
例如，若向量函数f(f)=(f²,2f,fˣ)，则向量函数f(f)的导数为：f′(f)=(2f,2,fˣ)这与普通函数的导数类似，只是在向量函数中，每个分量函数都需要分别求导。
二、向量函数的导数设向量函数f(f)的各个分量函数f(f)、f(f)、f(f)都关于f可导，则向量函数f(f)的导数f′(f)定义为：f′(f)=(f′(f),f′(f),f′(f))例如，若向量函数f(f)=(f²,2f,fˣ)，则向量函数f(f)的导数为：f′(f)=(2f,2,fˣ)这与向量的标量函数的导数定义相同。
三、向量的点乘设向量函数f(f)和f(f)是可导函数，则向量函数f(f)和f(f)的点乘定义为：f(f)·f(f)=f₁(f)f₁(f)+f₂(f)f₂(f)+…+ff(f)ff( f)其中，f₁(f)、f₂(f)、…、ff(f)是向量函数f(f)的分量函数，f₁(f)、f₂(f)、…、ff(f)是向量函数f(f)的分量函数。
点乘的导数有如下规则：1.(f(f)+f(f))′=f′(f)+f′(f)(和的导数等于各个向量的导数之和)2.(ffff(f)f(f))′=ffff(f)f′(f)+ffff′(f) f(f)(乘法的导数等于其中一个向量的导数与另一个向量的导数之积再相加)3.(ffffffff(f)f(f))′=ffffffff(f)f′(f )(乘法的导数等于标量乘以向量的导数)4.(f(f)·f(f))′=f′(f)·f(f)+f(f)·f′(f)其中，ffff(f)表示单位向量函数，ffffffff(f)表示标量函数。
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(
x,
y)
y
x ,
Df (1,1) 1 1 .
0
2 y
0 2
3 df (1,1) 1
10
x
3x x y
0 2 y 2y
(
x0
)
fi (x0 x j
)
mn
当m=n时,Jacobi矩阵的行列式称为f 在x0处的Jacobi行列式.
记为
J
f
(
x0)
1((
f 2
x1
, ,
f , , n
x2 , ,
f xn
) )
x
0
当m=1时， f 为数量值函数
例如f x 2 2 xy , g y 2 x
则 ( f , g) ( x, y)
质点v的(t速) 度li向m量r(为t
t
)
r (t
)
t0
t
dr dt
(dx , dy , dz )T dt dt dt
质点a的(t加) 速li度m向v(量t 为t
)
v(t
)
t0
t
dv dt
(d2 x , d2 y , d2 z )T dt 2 dt 2 dt 2
3 一元向量值函数的微分
记为lim
x x0
k (x) ak
f ( x) （k
a. 1,2,,m）
2 一元向量值函数连续的概念
定义2
设一元向量值函数f
( f1( x),
f2 ( x),,
fm
(
x)) T
在U (
x
)
0
内有定义，若有
lim f (x) f ( x0 )
x x0
则称向量值函数 f ( x)在点x0处连续.
由定理
2知
f ( x)在点x0处连续
fi ( x)在点x0处连续(i 1,2, , m )
例如， f ( x ) ( x 3 ,sin x, cos 2 x)T 在R上每一点处连续 .
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
若定存义在4 一设个f与: Ux(无x0关) 的R向量Ra
m
, (a
x0 ,a
12
x ,,
U ( x0 am ) R
), 若 m ,使
则称f在x
0处f可可微( x微0.并x称) afx(为x0
) f在
ax o( x ) x 0处的分微分,
记作df
即df ( x 0 ).
(
x0
)
ax
若f在x0可微 f ( x0 x) f ( x0 ) ax o( x )
x
f
(
f( 1
x),
f ( x),, 2
fm ( x))T 在x可导
f1( x), f2 ( x),, fm ( x)均在x可导
且有 f ( x) ( f1( x), f 2 ( x), , f m ( x))T
类似可定义一元向量值函数的高阶导数.
sin 2x
2cos2 x
4sin2 x
2 x 2y 1
2x 2y
Df
(
x0
)
f (x0 x1
)
f (x0 ) x2
f ( x0 ) xn
记为
f (x0)
称为 f在点x0 处的梯度向量.
例2 设有二元向量值函数 f ( x, y) x 3 , xy, y2 T ,试求f
在点(1,1)T处的导数和微分 .
3x2 0
3 0
解
Df
[
,
]
z z(t ),
可以表示为r
x(t ) y(t),
z(t )
或r r(t)
2 多元向量值函数的概念
设A Rn ,称映射 f : A Rm (m 2)为定义在A上的n元
向量值函数，记为
f1 (x) f1( x1, x2 ,, xn )
f ( x) f ( x , x ,, x )
例1
设f(x)
x2 e cos x
x
,
则f
( x)
2x e x , sin x
f
(x)
2 ex cos x
.
2 一元向量值函数导数的物理意义 设r (t )表示质点在 t时刻空间位置的向径，
则质点在空间R3中运 动的方程可表示为向量值函数 r r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))T
1 一元向量值函数的概念
设A R, 称映射 f : A Rm (m 2)为定义在A上的一元
向量值函数，记为 f1( x)
f
(
x)
f2
(
x)
x A
f
m
(
x)
或y f (x),
y1 y
f1( x) f (x)
2
2
ym fm (x)
例如 空间R3中的曲线
x y
x(t ), y(t ),t
1 一元向量值函数的导数
定义3
设f
:U
( x0 )
R
m
R,
x0 x U ( x0 ), 若
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
存在，则称 记为f ( x0 ),
fd在fd(xxx0)处,可或导Df，(并x0称). 此极限值为
f
在x0处的导数，
x0
如果f在I上每一点都可导，则称 f 在I上可导.
f1( x0 ) f1 (x0 )
x2 f2 (x)
x2 fm (x0 )
xn f2 (x0 )
xn
dx1
dx
2
fm
(
x0
)
dxn
x1
x2
xn
称为f在x0处的微分. 此也矩称阵为称f 在为xf0处在的xJ0处aco的bi导矩数阵..记为Df ( x0 ).
2 Jacobi（雅可比）行列式与梯度向量 设f ( f1 , f2 ,, f m )T 为n元向量值函数，Df
若m 1, n 1, 则称f为n元向量值函数 . 统一记为 y f (x) x A
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
1 一元向量值函数的极限
定义1 设一元向量值函数f ( f ( x), f ( x),, f ( x))T 在点x
1 多元向量值函数的导数与微分
定义5 设f : Rn Rm为n元向量值函数，如果 f 的每个
分量fi (i 1,, m)在点x0处可微，则称 f在x0处可微. 并将
f1( x0 )
df
(x0
)
df1( x0 )
df
2( x0
)
dfm ( x0 )
f(xx1 )
2 0
x1
fm ( x0 )
o
1
的某去心邻域U( x 0 )内有定义，a
2
m
(a ,a ,,a )T
12
m
Rm ,
0
若 0, 0,当0 x x0 时，有
m
f ( x) a ( fi ( x) ai )2
则称当x 定理1
x 时f ( x)以
0
lim f ( x) a
x x0
a 为极i限1 ,
lim f x x0
定理2
一元向量值函数
f
(
f ( x), 1
f ( x), , 2
f ( x))T m
在x0可微的充要条件是 f的每个分量都在 x0处可微.
且当f在x0处可微时，有 df (x0 ) f ( x0 )x （或f ( x0 )dx）
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
f
(
x)
2
2
1
2
n fm ( x)来自f m(x 1
,
x 2
,,
x n
)
x A
其中fi为n元数量值函数 x ( x1, x2 ,, xn ).
3 数量值、向量值函数的统一定义
设A Rn ,映射 f : A Rm 若m 1,n 1, 则称f为一元数量值函数 . 若m 1,n 1, 则称f为n元数量值函数 . 若m 1, n 1, 则称f为一元向量值函数 .
fi ( x0 x) fi ( x0 ) ai x oi ( x )(i 1,, m)
a
(a 1
,
a 2
fi在x0可微，且ai
, , am
)T
(
f
1(
x 0
),
f 2(
fi( x0 )(i 1,,m)
x ),, 0
f m
(
x 0
))T
f
(
x0
)
df (x0 ) ax f (x0 )x
此时，x I ,都有f ( x), 称f ( x)为f ( x)的导函数.
设 f ( f1( x), f2( x),, fm ( x))T , 利用极限存在的充要条件知
lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在 lim fi ( x0 x) fi ( x0 ) 存在
x0
x
x0
第九章 多元函数微分法及其应用
9.9 向量值函数及其导数
数学与统计学院 李换琴
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分