01-向量值函数及其导数
向量函数导数
向量函数导数向量函数是一种将实数域映射到向量空间的函数，即对于每个实数t，向量函数f(t)都会返回一个向量。
向量函数是向量微积分、向量微分方程和向量场理论的基础。
在计算机图形学、机器学习和控制理论等领域中经常使用向量函数来描述物理系统。
向量函数的导数也被称为向量值函数的导数，它是描述向量函数在每个点的切线方向和强度的向量。
向量函数的导数在物理学、工程学和自然科学中都有广泛的应用。
一般来说，向量函数f(t)=<f1(t), f2(t), f3(t)>的导数f'(t)被定义为：f'(t) = df1/dt i + df2/dt j + df3/dt k其中，i、j和k是三个互相垂直的单位向量，den/dt代表f关于t的导数。
向量函数的导数具有一些与标量函数的导数类似的性质，如乘法法则、链式法则等。
此外，它还有一些特殊的性质。
例如，向量函数f(t)的定积分可以用来计算其导数：f(t) = ∫f'(t)dt此时，向量函数的导数可以被看作是向量函数的原函数。
这个性质在计算机图形学和数值分析中经常使用。
对于向量函数f(t)的导数，还有一个重要的概念是方向导数。
方向导数是指向量函数在给定方向上的导数。
对于给定的向量v，函数f在点p上沿着v方向的导数可以使用以下公式计算：Dvf(p) = lim(h→0) [f(p + hv)−f(p)]/h其中，Dvf(p)是函数f在点p上沿着v方向的方向导数。
最后，需要注意的是，向量函数的导数不一定是一定存在的。
在某些情况下，向量函数的导数可能不存在或是无限大。
例如，考虑向量函数f(t)=<sin t, cos t>在t=π/2的导数，会发现该导数不存在，因为左导数和右导数的值不同。
总的来说，向量函数的导数是向量微积分中的重要概念。
它不仅有着广泛的应用，还与向量场、物理学、工程学和计算机图形学等领域有着密切的联系。
理解向量函数导数的定义和性质，是学习向量微积分和相关学科的关键。
向量值函数的导数
由此可见,凡是一元m 维向量值的导数是各个分量 的导数所组成的一个m 维列向量.
例2： 当n=2，m=1时，有向量值函数 y=f(x),其中
x x1, x2 T D R2. 它等价于 y f x1, x2 .
如果在点x0 x10, x20 处函数的偏导都存在，则可称
A
a21
a22
副对角线 am1 am1
a1n
a2n
amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
•元素是实数的矩阵称为实矩阵,
•元素是复数的矩阵称为复矩阵.
•只有一行的矩阵 A a1, a2, , an , 称为行矩阵
(或行向量).
a1
•只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
an
定义（转置矩阵）把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
例
A
1 4
2 5
2 8
,
1 4
AT
2
5 ;
2 8
在点a 以A A1, A2, A3 T A1i A2 j A3 k 为极限的
定义是：
0, 0,x D,当0 x a 时,有
3
2
f (x) A
fk x Ak
应用数学基础 第四章-向量值函数的导数
2!2! 13
§4.2－4 方阵函数 性质
性质1 (Euler公式) XCnn, 有
eiX = cosX + isinX , cosX = ( eiX + e iX )/2 , sinX = ( eiX e iX )/2 .
两边对应的 数项幂级数 具有此性质
性质2 XCnn及 t C, 有
d eAt = AeAt = eAt A ,
征值都满足不等式 | j - 0 | < R, j = 1, 2,…, n .则方阵幂级
数 cm(X 0E)m绝对收敛. 若存在X的一个特征 m0
值k, 使得 | k - 0 | > R, 则方阵幂级数发散.
12
§4.2－3 方阵函数 几个特殊的和函数
e
Xe
z
mm00
Xz mm mm!!
1E
定理4.3 设ACnn, 则Am收敛于零矩阵 至少 存在一种方阵范数||•||, 使得||A||1.
9
定理4§.4 4设.2－Am1=[方aij阵(m级)]数Cnn收, m敛=的0,1充,2要,…条,件S=及[s性ij]质Cnn.
则方阵级数 Am 收敛于方阵 S=[sij]
m0
i,j=1,2,…,n,
定义 设ACnn 的谱 (A) = {1, 2,…, s }, A的最小多项式()= (-1) (m1 1) … (-s) (ms 1), f (z)是复变函数.
若对j=1, 2,…, s, f(j), f (j),…, f (mi 1)(j) 都存在, 则称 f(z)在(A)上有定义, 并称
数项级数
a(m) ij
收敛于sij.
mo
证明思路：根据矩阵级数收敛的定义，以及定理4.1。
导数与函数的向量值函数求导
导数与函数的向量值函数求导导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
而函数的向量值函数则是指函数的输出为向量的情况。
在本文中，我们将探讨导数与函数的向量值函数求导的相关内容。
一、导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，通常记为 f'(x)，可以通过极限的方法来定义。
对于实数域上的函数 f(x)，其在 x 点处的导数定义如下：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗二、向量值函数的概念向量值函数是指函数的输出是一个向量。
一般形式为 F(t) = (f₁(t),f₂(t), ..., fₙ(t))，其中 f₁(t)、f₂(t)、...、fₙ(t) 分别是关于 t 的实值函数。
向量值函数可以表示多维空间中的曲线、曲面等几何对象。
三、向量值函数的导数对于向量值函数 F(t) = (f₁(t), f₂(t), ..., fₙ(t))，其导数 F'(t) = (f'₁(t),f'₂(t), ..., f'ₙ(t)) 是一个向量，其中 f'₁(t)、f'₂(t)、...、f'ₙ(t) 分别是f₁(t)、f₂(t)、...、fₙ(t) 的导数。
四、向量值函数的求导方法向量值函数的求导方法与一般函数的求导方法类似，对每个分量分别求导。
例如，对于二维向量值函数 F(t) = (x(t), y(t))，其导数 F'(t) =(x'(t), y'(t))，其中 x'(t)、y'(t) 分别是 x(t)、y(t) 的导数。
五、基本导数规则以下是常用的向量值函数导数规则：1. 常数规则：若 c 是一个常数，则 (cF(t))' = cF'(t)2. 和差规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t) ± G(t))' = F'(t) ± G'(t)3. 数乘规则：若 F(t) 是一个向量值函数，c 是一个常数，则 (cF(t))' = cF'(t)4. 函数乘法规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t)·G(t))' = F'(t)·G(t) + F(t)·G'(t)5. 向量点积规则：若 F(t) 和 G(t) 是两个向量值函数，则 (F(t)·G(t))' = F'(t)·G(t) + F(t)·G'(t)六、实例分析考虑一个二维向量值函数 F(t) = (t², sin(t))，我们将通过求导来计算其导数。
经典：一元向量值函数及多元函数微分法的几何应用
f (t ) (t)i(t)j(t)k
则Γ 方程成为：
r
f (t )
((t) ,(t) ,(t))
t[,]
3
1、一元向量值函数的定义：
设数 D 集 R，则映 f： D射 Rn为一元
向量值函数 r ， f (t 记 ) t作 D
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为
8
4、一元向量值函数的导数：
设向量值r 函f(数 t)在 点 t0的某邻域内有定义
lim rlim f(t0t)f(t0)
t t 0
t 0
t
存在，则称 为 该 函 极 f(t数 )在 限 t0处向 的量 导数.
记作：
f
(
t
0
)或
dr dt
.
t t0
9
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数 都可导，且
y
(
t
)
z ( t )
切向量 T ( t 0 ) ( t 0 , ) ( t 0 , )
切线方程
法平面
x (t0 x)0 y (ty 0)0 z (tz00 ).
( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
另一个是： 2, 2, 1
其指向与t的增长方向一致
3 挂式滑翔机上由于快速上升气流的
影响而沿位置向量
rf(t) (3 cto )i s(3 sit)n j t2k
的路径螺旋式上升.求
（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；
（2）滑翔机在任意时刻t的速率；
向量值函数的导数
r x r x t x r u s u t u
r r r r y z u v u u u s s s s x y z y z u v v v v t t t t x y z y z u v u r v r u r v r u r v x v x u y v y u z v z u s v s u s v s u s v x v x u y v y u z v z u t v t u t v t u t v x v x u y v y u z v z
则称f是一个线性向量值函数. n m R R 线性向量值函数就是从 到 的线性变换.
6.2向量值函数的导数 设有向量值函数
y f x f x1 , f x2 ,, f xn , x Dn .
f m f x f1 f 2 , , , , i 1,2,, n . xi xi xi xi
0
称为f(x)在点x0处的导数，也称为f(x)在点x0处的Jacobi 矩阵，记为 f ' x0 , Df x0 , T T x 定义中的df(x0)=J 是关于 x 的线性向量函数.
n m D , y = f ( x ), x y R , 定理6.1 设向量值函数
设x0为 D 的内点.若f(x)的每个分量fi(x)(i=1,2,…,m)关于
有向量值函数复合求导的连锁规则 左边是 m n 矩阵，右边是 m k 矩阵与 k n 矩阵的乘积. 这三个矩阵分别是向量值函数 f g ，f 以及g的导数.
f g
' x
向量函数的导数和曲线积分
向量函数的导数和曲线积分在微积分中，向量函数的导数和曲线积分是非常重要的概念。
向量函数的导数描述了向量在曲线上的变化率，而曲线积分则用于计算向量场沿曲线的总效应。
本文将详细介绍向量函数的导数和曲线积分的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、向量函数的导数向量函数是一个将实数映射到向量的函数。
设向量函数为F(t) =\<f1(t), f2(t), f3(t)\>，其中f1(t)，f2(t)，f3(t)为实数函数，t为自变量。
向量函数的导数定义为F'(t) = \<f1'(t), f2'(t), f3'(t)\>。
计算向量函数的导数时，可以将每个分量函数看作是独立变量的函数，然后分别对每个分量函数求导即可。
导数的几何意义是向量在曲线上的切向量，它的方向与曲线切线的方向相同，大小等于在单位时间内曲线上的位移。
二、曲线积分的概念曲线积分用于计算向量场沿曲线的总效应。
设曲线C为一条smooth 曲线，可以使用参数方程表示为C: r(t) = \<x(t), y(t), z(t)\>，a ≤ t ≤ b。
向量场F(x, y, z)在曲线C上的曲线积分定义为∫[C] F·dr，其中dr为曲线的微小位移向量。
曲线积分可以分为第一类和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是将向量场F(x, y, z)沿曲线C的弧长积分，表示为∫[C] F·ds。
第二类曲线积分是将向量场F(x, y, z)经过曲线C的环量积分，表示为∫[C] F·dr。
计算曲线积分时，可以将曲线参数化，并将曲线上的微小位移ds或dr用参数表示，然后将向量场F代入曲线参数方程得到F的函数形式，最后对函数形式进行积分。
三、向量函数的导数的计算方法计算向量函数的导数可以使用分量法或矩阵法。
分量法即分别对向量的每个分量函数求导，矩阵法则使用雅可比矩阵进行计算。
以分量法为例，对向量函数F(t) = \<f1(t), f2(t), f3(t)\>求导，可以得到F'(t) = \<f1'(t), f2'(t), f3'(t)\>。
向量函数求导
向量函数求导微积分是一门极其重要的学科，学习和掌握微积分的同学在进行不同的数学问题的求解时会用到各种求导公式，求导是微积分的基本操作。
本文将对向量函数求导这一求导技术进行详细的阐述，旨在能够帮助读者更加系统的掌握向量函数求导的基本概念和技术。
首先要解决向量函数求导问题，需要先掌握向量函数的定义以及相关概念，什么是向量函数？向量函数是一种特殊的函数，可以将一个实数区间上的每个点对应一个实数向量，也就是说，它的值都是实数向量。
比如，如果函数f(x)把x映射成一个二维向量（F(x) = (f1(x),f2(x))），那么就可以称f(x)为一个二维实向量函数。
向量函数的定义没有限制，可以是二维、三维甚至更多维度的实数向量，但它们都有一个共同特点，即每一个变量都可以独立被当做一个函数，而不仅仅是把其坐标向量看做一个整体。
解决向量函数求导问题要从慢慢理解它的定义入手，由于向量函数的值是实数向量，我们先来回顾一下实数向量的概念，实数向量就是可以把实数表示为多个维度的一组数据，体现在数学中就是向量，它的每一个变量都可以独立被当做一个函数，我们将用这种方法来求解向量函数的求导问题。
对于向量函数f(x)=(f1(x),f2(x))，在用矩阵的方式表示的话就是：F(x)=[f1(x),f2(x)]我们可以通过每一个变量分别求导，将f1(x),f2(x)这两个函数分别求导，这样就可以得到：F(x)=[f1(x),f2(x)]很明显，F(x)就是我们要求的向量函数的求导结果，我们用一个简单的例子来验证一下这个求导结果，假设我们有这样一个向量函数：f(x)=[3x^2,x^3]那么，求f(x)的求导结果为：f(x)=[6x,3x^2]可以看出，这两个求导结果是符合预期的，因此，这样的求导方式是正确的。
与一维函数求导不同，向量函数求导需要根据每个变量的导数情况分别求导，这个求导过程是非常繁琐的，而且容易出现错误，因此，学习向量函数求导的过程中，要把握其基本原理和求导方法，反复练习更加熟练，方能更加熟练的掌握向量函数求导的基本概念和技术，从而能够在解决实际问题时用上向量函数求导这一求导技术。
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(
x,
y)
y
x ,
Df (1,1) 1 1 .
0
2 y
0 2
3 df (1,1) 1
10
x
3x x y
0 2 y 2y
(
x0
)
fi (x0 x j
)
mn
当m=n时,Jacobi矩阵的行列式称为f 在x0处的Jacobi行列式.
记为
J
f
(
x0)
1((
f 2
x1
, ,
f , , n
x2 , ,
f xn
) )
x
0
当m=1时， f 为数量值函数
例如f x 2 2 xy , g y 2 x
则 ( f , g) ( x, y)
质点v的(t速) 度li向m量r(为t
t
)
r (t
)
t0
t
dr dt
(dx , dy , dz )T dt dt dt
质点a的(t加) 速li度m向v(量t 为t
)
v(t
)
t0
t
dv dt
(d2 x , d2 y , d2 z )T dt 2 dt 2 dt 2
3 一元向量值函数的微分
记为lim
x x0
k (x) ak
f ( x) （k
a. 1,2,,m）
2 一元向量值函数连续的概念
定义2
设一元向量值函数f
( f1( x),
f2 ( x),,
fm
(
x)) T
在U (
x
)
0
内有定义，若有
lim f (x) f ( x0 )
x x0
则称向量值函数 f ( x)在点x0处连续.
由定理
2知
f ( x)在点x0处连续
fi ( x)在点x0处连续(i 1,2, , m )
例如， f ( x ) ( x 3 ,sin x, cos 2 x)T 在R上每一点处连续 .
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
若定存义在4 一设个f与: Ux(无x0关) 的R向量Ra
m
, (a
x0 ,a
12
x ,,
U ( x0 am ) R
), 若 m ,使
则称f在x
0处f可可微( x微0.并x称) afx(为x0
) f在
ax o( x ) x 0处的分微分,
记作df
即df ( x 0 ).
(
x0
)
ax
若f在x0可微 f ( x0 x) f ( x0 ) ax o( x )
x
f
(
f( 1
x),
f ( x),, 2
fm ( x))T 在x可导
f1( x), f2 ( x),, fm ( x)均在x可导
且有 f ( x) ( f1( x), f 2 ( x), , f m ( x))T
类似可定义一元向量值函数的高阶导数.
sin 2x
2cos2 x
4sin2 x
2 x 2y 1
2x 2y
Df
(
x0
)
f (x0 x1
)
f (x0 ) x2
f ( x0 ) xn
记为
f (x0)
称为 f在点x0 处的梯度向量.
例2 设有二元向量值函数 f ( x, y) x 3 , xy, y2 T ,试求f
在点(1,1)T处的导数和微分 .
3x2 0
3 0
解
Df
[
,
]
z z(t ),
可以表示为r
x(t ) y(t),
z(t )
或r r(t)
2 多元向量值函数的概念
设A Rn ,称映射 f : A Rm (m 2)为定义在A上的n元
向量值函数，记为
f1 (x) f1( x1, x2 ,, xn )
f ( x) f ( x , x ,, x )
例1
设f(x)
x2 e cos x
x
,
则f
( x)
2x e x , sin x
f
(x)
2 ex cos x
.
2 一元向量值函数导数的物理意义 设r (t )表示质点在 t时刻空间位置的向径，
则质点在空间R3中运 动的方程可表示为向量值函数 r r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))T
1 一元向量值函数的概念
设A R, 称映射 f : A Rm (m 2)为定义在A上的一元
向量值函数，记为 f1( x)
f
(
x)
f2
(
x)
x A
f
m
(
x)
或y f (x),
y1 y
f1( x) f (x)
2
2
ym fm (x)
例如 空间R3中的曲线
x y
x(t ), y(t ),t
1 一元向量值函数的导数
定义3
设f
:U
( x0 )
R
m
R,
x0 x U ( x0 ), 若
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
存在，则称 记为f ( x0 ),
fd在fd(xxx0)处,可或导Df，(并x0称). 此极限值为
f
在x0处的导数，
x0
如果f在I上每一点都可导，则称 f 在I上可导.
f1( x0 ) f1 (x0 )
x2 f2 (x)
x2 fm (x0 )
xn f2 (x0 )
xn
dx1
dx
2
fm
(
x0
)
dxn
x1
x2
xn
称为f在x0处的微分. 此也矩称阵为称f 在为xf0处在的xJ0处aco的bi导矩数阵..记为Df ( x0 ).
2 Jacobi（雅可比）行列式与梯度向量 设f ( f1 , f2 ,, f m )T 为n元向量值函数，Df
若m 1, n 1, 则称f为n元向量值函数 . 统一记为 y f (x) x A
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
1 一元向量值函数的极限
定义1 设一元向量值函数f ( f ( x), f ( x),, f ( x))T 在点x
1 多元向量值函数的导数与微分
定义5 设f : Rn Rm为n元向量值函数，如果 f 的每个
分量fi (i 1,, m)在点x0处可微，则称 f在x0处可微. 并将
f1( x0 )
df
(x0
)
df1( x0 )
df
2( x0
)
dfm ( x0 )
f(xx1 )
2 0
x1
fm ( x0 )
o
1
的某去心邻域U( x 0 )内有定义，a
2
m
(a ,a ,,a )T
12
m
Rm ,
0
若 0, 0,当0 x x0 时，有
m
f ( x) a ( fi ( x) ai )2
则称当x 定理1
x 时f ( x)以
0
lim f ( x) a
x x0
a 为极i限1 ,
lim f x x0
定理2
一元向量值函数
f
(
f ( x), 1
f ( x), , 2
f ( x))T m
在x0可微的充要条件是 f的每个分量都在 x0处可微.
且当f在x0处可微时，有 df (x0 ) f ( x0 )x （或f ( x0 )dx）
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分
f
(
x)
2
2
1
2
n fm ( x)来自f m(x 1
,
x 2
,,
x n
)
x A
其中fi为n元数量值函数 x ( x1, x2 ,, xn ).
3 数量值、向量值函数的统一定义
设A Rn ,映射 f : A Rm 若m 1,n 1, 则称f为一元数量值函数 . 若m 1,n 1, 则称f为n元数量值函数 . 若m 1, n 1, 则称f为一元向量值函数 .
fi ( x0 x) fi ( x0 ) ai x oi ( x )(i 1,, m)
a
(a 1
,
a 2
fi在x0可微，且ai
, , am
)T
(
f
1(
x 0
),
f 2(
fi( x0 )(i 1,,m)
x ),, 0
f m
(
x 0
))T
f
(
x0
)
df (x0 ) ax f (x0 )x
此时，x I ,都有f ( x), 称f ( x)为f ( x)的导函数.
设 f ( f1( x), f2( x),, fm ( x))T , 利用极限存在的充要条件知
lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在 lim fi ( x0 x) fi ( x0 ) 存在
x0
x
x0
第九章 多元函数微分法及其应用
9.9 向量值函数及其导数
数学与统计学院 李换琴
主要内容
1 向量值函数的概念 2 一元向量值函数极限和连续的概念 3 一元向量值函数的导数及其物理意义 4 多元向量值函数的导数和微分