向量值函数的导数与积分

称过点 P 且与向量 T (t) 垂直的平面为空间曲线 的
法平面，其方程为
f (t0 )( x f (t0 )) g(t0 )( y g (t0 )) h(t0 )( z h(t0 )) 0.
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v (t ) r (t ),
速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,
v(t ) r (t ) 是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).
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向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到. 定理9.2.2 设三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k, 其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且
9.2.1 向量值函数的导数与微分
1．向量值函数导数与微分的概念 定义9.2.1 设向量值函数 r r (t ) 在 t 的某邻域内有定 义，如果极限
r r (t t ) r (t ) lim t 0 t t 0 t lim
则称向量值函数 r(t) 在 t 处可导， 并称极限值为 存在， dr 向量值函数 r(t) 在 t 处的导数，记为 r (t ) 或者 . dt 明显地， r (t ) 也是一个向量值函数．如果向量值函 数 r(t) 在 t 处可导，则r(t) 在 t 处连续.
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与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的
高阶导数，如 r(t)的二阶导数定义为 r (t )的导数, 即:
r (t ) (r (t ))
向量值函数的导数的几何解释
（a）二维向量值函数的情形
作业:教材80-82页 1(1)(3)(5), 2(2)(4), 5, 7, 10(1), 12
第九章 向量值函数的导数与积分
● §9.1 向量值函数及其极限与连续 ★ §9.2 向量值函数的导数与微分 ● §9.3 向量值函数的不定积分与定积分
§9.2 向量值函数的导数与微分
9.2.1 向量值函数的导数与微分 9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程 内容小结与作业
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对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr 是一个与
曲线的切向量 T (t ) r (t ) 平行的向量，当 dt >0 时, dr与 与切向量 r (t ) 同向； 当dt <0 时, dr与切向量 r (t ) 反向.
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r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k.
三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k 的二阶导数为
r (t ) f (t )i g (t ) j h(t )k.
同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.
证明：L(t ) M (t ).
证 由求导法则（6），知 L(t ) m (r (t ) v(t ) r (t ) v(t )), 注意到 v(t ) r (t ), a(t ) v(t ), 则
L(t ) m (v (t ) v(t ) r (t ) a(t )) m r (t ) a(t ) M (t ),
r (t ) 0, 则称 r (t ) 为曲线r(t) 在点 P 处的切向量, 过 P
点且以 r (t ) 为方向向量的直线为曲线 r(t) 在点P处的切 线．这样, 曲线r(t) 在点 P处的切向量为T (t ) r (t ).
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例4 设 r(t) 是可导的向量值函数，且 r (t ) 0, 如果
| r (t ) | C, (C为常数)，证明：r (t ) 与 r (t ) 垂直．
证 因为 r (t ) r (t ) | r (t ) |2 C 2 , 则由求导法则 (5) 知
d 0 [r (t ) r (t )] r (t ) r (t ) r (t ) r (t ) 2 r (t ) r (t ). dt 因此，r (t ) r (t ) 0, 也就是说 r (t ) 与 r (t ) 垂直．
特别，当 M(t) = 0 时, L(t ) 0, 从而L(t)为常向量. 这就是物理学中的角动量守恒定律．
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9.2.2 空间曲线的切线与法平面
空间曲线 : x f (t ), y g (t ), z h(t ) 在点 t0 处的切线 向量为
几何意义: 如果一条曲线位于一个以原点为球心的 球面上, 那么它的切向量 r (t ) 垂直于位置向量 r (t ).
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例5 如果质量为 m 的质点的位置向量为r(t), 角动量
L(t ) mr (t ) v(t ), 转动力矩为 M (t ) mr (t ) a(t ),
质点的速率为 r (t ) 1 4t 2 4sin 2 2t ,
质点的加速度为 r (t ) (0, 2, 4cos 2t).
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可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 dr r (t )dt. 对于可导的二维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j,
(2) r (t ) {a sin t, b cos t, c}, r (t ) (a cos t, b sin t,0).
这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面 上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是 三维空间上的螺旋曲线．
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d (4) [ f (t ) u(t )] f (t ) u(t ) f (t ) u(t ); dt d (5) [ u(t ) v (t )] u(t ) v (t ) u(t ) v (t ); dt d (6) [ u(t ) v (t )] u(t ) v (t ) u(t ) v (t ); dt
向量值函数的导数的物理意义: r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在 t 时刻的位置, 对应的几何曲线为质点的运动轨迹,
r r (t t ) r (t ) 是质点在时间段 [t, t + t] 上的位移,
r 是质点在这段时间内的平均速度， t
r (t )
是质点在时刻 t 的瞬时速度 v(t)，即
例6 求空间曲线 : x t , y t 2 , z t 3 在点(1, 1, 1)处的 切线方程与法平面方程． 解 因为 x 1, y 2t , z 3t 2 , 且点(1,1,1) 与 t = 1对应,
所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为 T (t ) (1, 2,3), 因此，所求切线方程为
在曲线上出现了尖点的特征．
y
尖点
o
1
x
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2 r ( t ) ( t , t ,cos 2t ), 求 例3 一个质点的位置向量为
质点的速度、加速度与速率．
解 质点的速度为 r (t ) (1, 2t, 2sin 2t),
T (t0 ) ( f (t0 ), g (t0 ), h(t0 )),
空间曲线 在点 P( f (t0 ), g (t0 ), h(t0 )) 的切线方程为
x f (t0 ) y g (t0 ) z h(t 0 ) , f (t0 ) g (t0 ) h(t0 )
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例1 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：
(1) r (t ) {a cos t, b sin t};
(2) r (t ) {a cos t, b sin t, ct}.
．
解 (1) r (t ) {a sin t, b cos t}, r (t ) (a cos t, b sin t ).
条曲线为分段光滑曲线．
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3 2 r ( t ) {1 t , t }是否为光滑曲线？ 例2 判断曲线
解 因为 r (t ) (3t 2 , 2t ), r (0) (0,0), 所以，该曲线不是 光滑的．曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，
2．向量值函数的求导法则
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定理9.2.1 设u(t), v(t)为可导的向量值函数， f (t)为可导 数值函数， C 为常向量 (即 C的各分量都为常数), k 为 常数，则有
d (1) C 0; dt d (2) [ u(t ) v (t )] u(t ) v (t ); dt d (3) [ ku(t )] ku(t ); dt
dr df (t ) i dg (t ) j f (t )dt i g (t )dt j.
对于可导的三维向量值函数 r (t ) f (t )i g (t ) j h(t ) k ,
dr d f (t ) i d g (t ) j d h(t ) k f (t )dt i g (t )dt j h(t )dt k.
（b）三维向量值函数的情形
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如果点 P 和 Q 的位置向量为 r(t) 与 r(t+t), 那么
PQ r (t t ) r (t )
这个向量可以看作是割线向量． 当 t 0 时, 割线向量 趋于曲线在点 P 处的切线向量．如果 r (t ) 存在，且
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如果一个向量值函数 r (t ) 在区间 I 上满足 r (t ) 连续， 且在区间 I 内 r (t ) 0, 我们就称 r (t ) 在区间 I 上是 光滑的．
例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的．
一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这
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( 7 ) 链式法则：设 u (s)为可导的向量值函数，s = f (t) 为可导的数值函数，则
du du ds u( s ) f (t ) u( f (t )) f (t ). dt ds dt
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x 1 y 1 z 1 , 1 2 3
所求法平面方程
( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0,
即
x 2 y 3z 6 0.
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内容小结与作业
1. 向量值函数的导数与微分的概念 2. 向量值函数的求导法则 3. 空间曲线的切线及法平面方程