课题学习 《格点多边形的面积计算》
初中数学《格点多边形的面积计算》25页精品ppt课件
描点-猜想-验 证
图象
1 由此发现规律： S b 1 2
探究新友
三、请你再画出一些格点多边形，使这些多边形 内部有且只有3个格点、4个格点……时，此时所 画的各个多边形的面积S与它边界上格点数b之间 的关系式：S= ________；
多边形的面积S
边界上格点的个数和 b
多边形内部的格点数a
解决问题：谁的面积大？
哥哥说：“弟弟的地里一圈有17棵树，而我的地一圈 只有15棵树，弟弟的地面积大。” 弟弟说：“哥哥的地里面有17棵树，我的地里只有16 棵树，哥哥的面积大？”
画龙点睛
1、你知道什么是皮克定理了吗？ 2、通过探索皮克定理，你积累了哪些 学习方法和经验？
画龙点睛
探求规律类问题的方法：
Thank You !
1、简单到复杂、特殊到一般 2、纵向、横向比较所列式子中的变量与常量， 结合函数思想，总结规律，并进行验证。 3、遇多个变量时，采用控制变量法。
皮克定理之歌
纵横平行网格美，妙画格点多边形。 面积求解方法多，皮克定理光芒闪。 a b弄清答案来，数学简约显智慧。 探索之路无穷尽，共享思维谱华章。
最强大脑
本次活动所使用的网格纸的纵、横两组平行线是互 相垂直的，如果网格纸的纵、横两组平行线不垂直， 假设每个小平行四边形的面积为1，还能应用此公式求 出多边形的面积吗？
作业布置
必做题：请以小组为单位，探究平行四 边形网格中格点多边形面积计算，并完成 探究报告. 选做题：请以小组为单位，探究等边三 角形网格中格点多边形面积计算，并完成 探究报告.
多边形内部的格点数a
4
由此发现规律：
S a2
发现规律
设格点多边形的面积为S，多边形内 部的格点数为a，它的边界上的格点数 为b.
格点多边形的面积计算教学课件
THANKS
感谢观看
解题思路
通过观察格点图形，确定多边形 边界上的格点数目，应用公式进
行计算。
解答过程
首先数出多边形边界上的格点数目 ，然后代入公式进行计算，得出面 积值。
注意事项
要确保数出的格点数目准确无误， 避免计算错误。
例题二：不规则格点多边形面积计算
解题思路
将不规则多边形划分为若干个规则多边形，分别计算规则多边形的 面积，再求和。
常见错误与误区提示
总结学生在计算过程中可能出现的错误和误区，如忽略倾斜45度的边、计算边界上格点 数目时出错等。针对这些问题，给出正确的解题方法和建议。
06
课堂小结与拓展延伸
本节课知识点回顾总结
格点多边形的定义
回顾格点多边形的定义，强调顶点均位于格点上的特点。
面积计算公式的推导
回顾格点多边形面积计算公式的推导过程，强调公式中各项的意义 和计算方法。
格点多边形性质总结
性质1
格点多边形的面积等于其内部格 点数加上边界格点数的一半再减
去1。
性质2
格点多边形的面积也可以通过将 多边形划分为若干个基本图形（ 如矩形、梯形等），然后分别计 算各基本图形的面积并求和得到
。
性质3
如果一个格点多边转换法
将格点多边形转换成其他已知面积的多边形，如矩形、三角 形等，再利用公式求解。
转化法：将复杂图形转化为简单图形求解
平移法
通过平移格点多边形使其变为规则多边形，便于计算面积。
旋转法
将格点多边形绕某点旋转一定角度，使其变为易于计算面积的图形。
03
典型例题分析与解答过程展示
例题一：规则格点多边形面积计算
02
格点多边形面积计算方法论述
格点多边形面积计算公式
格点多边形面积计算公式格点多边形面积计算公式在计算机图形学中，格点多边形是由连接在坐标点上的直线段组成的多边形。
计算格点多边形的面积是一个常见的问题，下面列举了相关的计算公式，并通过例子进行解释说明。
1. 单纯形面积法单纯形面积法是计算任意给定n个点所构成的多边形面积的一种方法，其中n至少为3。
该方法通过将多边形分割为若干个三角形，并计算各个三角形的面积之和来求得总面积。
计算公式如下：S=∑1 2n−2i=1(x1y2+x2y3+x3y1−x1y3−x2y1−x3y2)其中(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)代表相邻的三个点的坐标。
例如，对于一个三角形，顶点坐标分别为(2,3),(4,1),(6,2)，根据单纯形面积法，我们可以计算如下：S=12(2⋅1+4⋅2+6⋅3−2⋅2−4⋅3−1⋅6)=12(2+8+18−4−12−6)=3因此，该三角形的面积为3。
2. 格点计数法格点计数法是一种更为直观的计算格点多边形面积的方法，其基本思想是通过计算多边形内部的格点数量来近似计算出多边形的面积。
计算公式如下：S=N+B2−1其中N代表多边形内部的格点数量，B代表边界上的格点数量。
举个例子，假设我们有一个正方形，边长为4，其中内部有一个格点。
根据格点计数法，我们可以计算如下：N=1,B=16S=1+162−1=8因此，该正方形的面积为8。
3. 区域填充法区域填充法是一种更为精确的计算格点多边形面积的方法，它通过将多边形的内部分成若干个包含整数顶点的小单元，然后计算这些小单元的面积之和来求得总面积。
具体的计算步骤如下：1.将多边形的边界上的格点标记为1，内部的格点标记为0。
2.对于每个包含多边形内部的小单元，统计其中1的个数，并将其除以单元的面积得到该小单元的面密度。
3.将所有小单元的面密度相加得到多边形的面积。
由于区域填充法相对复杂，这里就不再详细展示示例。
以上就是三种常见的计算格点多边形面积的方法，可以根据具体情况选取适合的方法进行计算。
第一讲格点多边形的面积计算市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
S=
1 2
9
+
6
-
1
=9.5
第15页
处理问题3
下面方格纸中，画出了一个“小鸟” 图案.已知每个小正方形边长为1,你能求出 “小鸟”所占面积是多少吗？
第16页
么关系呢？
C③
④
第9页
探究四
如图①②③都是满足条
图形 序号
S
N
L
件N=3格点多边形，请填 ① 5 3 6
写表格：
② 43 4
A
A
D
B
C
③ 4.5 3 5
D
D
… … ……
C
①
②B
A
D B
当N=3时，S与L
S=之L间÷关2系+又3发－生1 了
怎样改变呢？
C③
④
第10页
猜测归纳
Ｎ＝０ Ｎ＝ 1 Ｎ＝ 2 Ｎ＝ 3
格点多边形面积计 算
数格点 算面积
第1页
明确概念
A
E
假如一个多边 B
形顶点都在格点上，
那么这种多边形叫
C
做格点多边形.
D 格点多边形 面积大小与 什么相关？
第2页
提出问题：
下面是格点图形吗？假如是,你会 求它们面积吗？
1厘米
厘1
米
第3页
Байду номын сангаас
1厘米
厘1
米
大胆猜测！
图形编号多厘米边
形面积 （S）
/
平
方
☆ 1889年发觉了S、L、N 三者数量关
系“皮克公式”，并进行了证实，得到 “皮克定理”。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最主要100个数学定 理”之一。
格点多边形面积计算公式证明
格点多边形面积计算公式证明要证明格点多边形的面积计算公式，首先需要了解什么是格点多边形以及如何计算其面积。
格点多边形是指顶点都位于整数坐标点上的多边形。
计算格点多边形的面积需要使用绿公式（Green's theorem），绿公式是一个与环路围成的有界区域相关的定理，它表示该区域的面积等于沿着区域边界的线积分。
现在考虑单位正方形的一个格点多边形，其各个顶点为整数坐标点。
假设该格点多边形有n个顶点，我们可以把这个多边形分成n个三角形。
每个三角形的面积可以通过计算一个顶点和相邻两个顶点之间的行列式得到。
设格点多边形的第i个顶点坐标为(xi, yi)，那么第i个三角形的面积可以通过以下行列式计算得到：Ai = 0.5 * ，xi*y(i+1) - xi+1*yi其中i+1和i的下标需要使用取模运算，以保证当i=n-1时，i+1=0。
根据绿公式，我们可以计算该格点多边形的面积S为：S = 0.5 * Σ(xi*y(i+1) - xi+1*yi)这里Σ表示对i从0到n-1的求和。
现在我们需要证明这个格点多边形面积计算公式的正确性。
证明过程如下：首先，考虑单位正方形的情况，该格点多边形有4个顶点，我们可以将其分成4个三角形。
根据上述计算公式，这个格点多边形的面积为：S=0.5*(x0*y1-x1*y0+x1*y2-x2*y1+x2*y3-x3*y2+x3*y0-x0*y3)通过展开并合并项，可以得到：S=0.5*(x0*y1+x1*y2+x2*y3+x3*y0-x1*y0-x2*y1-x3*y2-x0*y3)这等价于四个小三角形的面积之和。
因此，当格点多边形是单位正方形时，上述格点多边形面积计算公式是成立的。
接下来，我们使用数学归纳法来证明上述格点多边形面积计算公式对任意个数的顶点成立。
假设当格点多边形有k个顶点时，格点多边形面积计算公式成立。
现在考虑格点多边形有k+1个顶点的情况。
我们可以将其分成k个三角形和一个小三角形。
(导学案)课题学习 格点多边形的面积计算
第4章平行四边形格点多边形的面积计算【教学目标】知识与技能掌握格点多边形的概念，并会用它来判断是否是格点多边形，过程与方法通过对格点多边形面积的分析，让学生经历观察、实验、猜想、求证的数学活动，初步发展推理能力和归纳能力。
情感、态度与价值观学会用实验的方法来解决一些数学问题，获得解决问题的成功经验，提高学生学好数学的自信心。
【教学重难点】重点：难点：在格点多边形面积计算公式的确认过程中，运用控制变量法进行数学实验。
【导学过程】【情景导入】房子外面的马赛克留下了污渍，外墙清洗工需要根据污渍的面积来购买洗涤剂，你能帮帮我们的清洗工吗？已知墙面上粘贴的马赛克的规格是1cm*1cm，缝隙长度可以忽略不计。
图1-1（设计意图：马赛克是生活中较为常见、使用较广泛的一类装修材料，选取马赛克作为本课的切入点，体现了我们的数学来源于生活。
前两种情况是三角形和正方形问题，可以直接利用面积公式解决，班级学生基本上都能独立完成，第三个图虽然是个三角形问题，但是不能用面积公式来直接计算，但是也有不少学生能够想到用割补法中的补解决。
第四个图形割法补法均适用。
以一个简单的生活现象入手，轻松将学生带入格点多边形的面积计算。
）【新知探究】向学生介绍格点多边形的概念：各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形，称为格点多边形。
提出疑惑：1、格点多边形的面积与其覆盖的格点数目是否有关？2、多边形的格点从分布位置来看有哪几类？前面所涉及的马赛克中的图形只是一种特殊的格点多边形，在此特向学生讲授格点多边形的定义，旨在让学生了解它的概念，并引导学生提出格点与面积是否有关这一问题。
数学实验记格点多边形内部的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积记为S。
探究S与a、b之间的关系。
再次分析马赛克问题时，我们不易发现他们之间的关系。
通过观察表格中的结论，引导学生发现，当a相等时，b不相等，那么所得多边形的面积也不一样；当b相等，而a不相等时，所得多边形的面积也不一样；只有当a、b均相等时，才能保证，多边形面积S相等。
格点多边形的面积公式
格点多边形的面积公式
我们要找出一个格点多边形的面积公式。
首先，我们需要了解什么是格点以及如何用数学模型表示格点多边形。
假设我们有一个格点多边形，它的顶点都在格点上，也就是整数点。
我们可以用一个向量来表示多边形的每一边，这个向量的两个分量都是整数。
假设多边形的顶点坐标为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。
每条边的向量可以表示为 (xi+1-xi, yi+1-yi)，其中 i 从 1 到 n-1。
多边形的面积可以用以下公式计算：
面积= (1/2) × (x1-x2) × (y2-y1) + (x2-x3) × (y3-y2) + ... + (xn-xn-1) × (yn-yn-1)
这个公式基于多边形面积的几何定义，并利用了向量叉积的性质。
对于顶点坐标为 (0, 0), (3, 0), (0, 4) 的多边形，其面积为：
6。
格点多边形面积公式的探索教学设计
格点多边形的面积计算教学设计——浙教版八年级下课题学习丈亭镇中张荣一、教学目标知识与技能：理解格点多边形的定义，掌握求格点多边形面积的一般方法；过程与方法：1、培养学生观察能力；2、进一步提高学生推理、归纳能力；情感与价值观：1、体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；2、渗透函数的数学思想；3、培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识；二、教学重点格点多边形面积公式的理解与探索过程三、教学难点格点多边形面积公式的探索过程四、教学方法：启发式教学启发学生逐步发现格点多边形特点及探索出格点多边形面积计算公式五、教学手段计算机多媒体教学平台与板书结合六、教学过程（一）问题情境如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点。
如：点A、点B。
如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形。
如：格点多边形ABCDE。
提出问题：你能求这个格点多边形的面积吗？让学生讲述他们的方法，（1）把图形补成一个规则的图形，如：长方形用长方形面积减去补上去的部分面积。
（2）把图形分割成几个三角形或四边形，进行求解。
（二）引入新课1、直接引入主题以上方法繁琐，继而引导学生一起探索简便的格点多边形面积计算公式。
下图的4个格点多边形,其内部都只有一个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。
a 之间的函数关系a s 21=2、进一步探索引导学生继续探索多边形内部分别有2个，3个格点的情形：（1）下图的4个格点多边形,其内部都有两个格点，请计算它们的面积，并完成下面的a 之间的函数关系吗？为了帮助学生发现规律，指导学生尝试应用函数图象得到结果：发现：121+=a s（2）下图的4个格点多边形,其内部都有3个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。
①②③④从表格中，你能发现当格点多边形内部有3个格点时，面积s 与各边上格点的个数和a 之间的函数关系吗？ 为了帮助学生发现规律，指导学生尝试应用函数图象得到结果发现：221+=a s3、归纳规律 引导学生将以上通过观察表格和作函数图像得到的关系式放到一起进行观察：发现s 与a 具有线性关系'b ka s +=，其中21=k 是不变的而b ’的值等于多边形内点的个数减去1。
格点多边形面积公式的探索教学设计
格点多边形面积公式的探索教学设计一．内容分析本节课主要研究多边形面积计算公式，是小学奥数的重点内容之一。
本节内容中的探索过程在实际生活中有着广泛的应用。
一方面，计算不规则多边形面积的方法与以前所学的规则图形面积的计算方法有密切的联系；另一方面，学会探索又为进一步为学习数学归纳法和类比思想做好了准备。
同时也是培养学生数学能力的良好题材。
学习过程中要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决探索过程中的一些问题。
格点多边形是学生探究不规则多边形的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是方法上都具有积极地意义。
二、教学目标知识与技能：理解格点多边形的定义，掌握求格点多边形面积的一般方法；过程与方法：1、培养学生观察能力；2、进一步提高学生推理、归纳能力；情感与价值观：1、体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；2、渗透函数的数学思想；3、培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识；四、教学重点格点多边形面积公式的理解与探索过程五、教学难点格点多边形面积公式的探索过程六、教学方法：启发式教学启发学生逐步发现格点多边形特点及探索出格点多边形面积计算公式七、教学手段计算机多媒体教学平台与板书结合八、教学程序（一）问题情境先向同学们解释格点多边形的定义：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子, 小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点的多边形叫格点多边形在格纸上画几个规则的多边形（如正方形，矩形，梯形）让同学们讲述如何计算它们的面积。
即数出长，宽等之类后用面积计算公式计算，先埋下伏笔：长，宽都与内点和外点数有关。
进而讲不过则多边形，引导学生们将出计算方法：①分割成规则图形。
②数格子。
（二）引入新课1、直接引入主题以上方法繁琐，继而引导学生一起探索简便的格点多边形面积计算公式。
一．下图的4个格点多边形, 其内部都只有一个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。
格点多边形的面积计算-课堂导学案
《格点多边形的面积计算》课堂导学案
一、若任意两条平行线间距离为1，求这个格点多边形的面积.
二、探究格点多边形的面积
请分别计算下图格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为_______________.
当N=0时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=0时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
探究2
当N=1时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=1时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
当N=2时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=2时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
探究4
当N=3时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=3时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
归纳总结：
观察分析上述4种情形下面积s与各边上格点的个数和L之间的函数关系；当格点多边形内部有N个格点时，s与L，N之间满足等量关系为：
——————————————————
三、格点多边形面积公式的应用
1、求下图的面积：
2、下图中每个小正方形的边长为1，A、B、C三点都在格点上，求点C到线段AB的距离.
拓展延伸：
如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?。
格点多边形面积计算公式证明
格点多边形面积计算公式证明要证明格点多边形面积的计算公式，首先需要了解什么是格点多边形。
我们知道，格点多边形的面积可以通过计算多边形内部格点的个数来得到。
具体的计算方法如下：1.首先，找到格点多边形的一个顶点，用坐标(a,b)表示。
这个点可以是任意一个顶点，选择哪一个作为起点都不会改变最后的计算结果。
2.接下来，我们需要遍历整个格点多边形的内部，并计算其中的格点数目。
遍历的方式可以是沿着多边形的边界，一点一点地遍历。
3.为了计算内部的格点数目，我们需要用到一条性质：对于一条直线，穿过的格点数目等于这条直线与横纵坐标轴的交点数目减1、这个性质可以通过简单的观察得到。
4.因此，遍历多边形的每条边，计算出相应的格点数目，再求和即可得到多边形的内部格点数目。
5.最后，我们可以使用该格点数目来计算多边形的面积。
具体计算公式如下：面积=格点数目+1/2现在，我们来证明这个计算公式。
首先，我们知道格点的横纵坐标都是整数。
所以，内部的格点必然是整数个数，不会出现小数。
其次，我们来证明公式面积=格点数目+1/2我们知道，一条直线穿过的格点数目等于这条直线与横纵坐标轴的交点数目减1、因此，当我们计算多边形内部格点的数目时，可以看作是通过计算多边形的边界与横纵坐标轴的交点数目来实现的。
对于任意一条边，由于直线是连续的，所以可以将直线分为无数段线段。
每一段线段的斜率都可以看作是一个近似值。
我们可以通过这些线段来计算格点的个数。
假设我们选取一段线段，斜率为k。
我们将这段线段进一步分成无数小段，每一小段的斜率近似为k。
我们知道，当一条直线斜率为k时，与横坐标轴的交点的横坐标表示为整数时，与纵坐标轴的交点的纵坐标也表示为整数。
所以，我们只需要关注与横坐标轴交点的个数。
假设与横坐标轴的交点个数为n，则这段线段穿过的格点数目为n-1、我们将这些线段累加起来，即可得到整个多边形内部格点的数目。
最后，我们需要证明这个数目加上1/2才是多边形的面积。
格点多边形面积公式的探索教学设计
格点多边形面积公式的探索教学设计教学目标：1.了解格点多边形的概念和性质。
2.掌握格点多边形面积的计算方法。
3.培养学生探索和合作的能力。
教学内容：1.格点多边形的定义和性质介绍。
2.计算格点多边形面积的公式推导。
3.实际问题的解决。
教学步骤：第一步：导入（10分钟）1.教师引导学生回顾并复习多边形的定义和性质。
2.通过提出一个问题来引起学生的思考：如果多边形的顶点都在格点上，我们会发现哪些特点？第二步：引导探索（25分钟）1.教师组织学生进行小组合作探索。
每个小组可以选择不超过5个顶点的格点多边形进行研究。
2.每个小组分工合作，共同发现格点多边形的性质和规律。
3.学生们可以通过观察和实践，找出一些格点多边形面积与顶点坐标之间的关系，进一步推导出格点多边形面积的公式。
第三步：公式推导（30分钟）1.教师引导学生讨论不同的推导方法，鼓励学生进行思考和提问。
2.教师根据学生的发现和提问，逐步引导学生推导出格点多边形面积的公式。
3.教师与学生共同讨论公式的正确性和适用性。
第四步：实际问题解决（25分钟）1.教师提供一些实际问题，要求学生运用所学的格点多边形面积公式进行计算和解决问题。
2.学生们分组讨论，共同解决问题，并将解决过程和结果进行展示。
3.教师在展示过程中对学生的答案进行评价和指导。
第五步：总结反思（10分钟）1.教师与学生一起回顾学习的内容和过程，总结探索的方法和成果。
2.引导学生思考学习过程中遇到的困难和解决方法。
3.鼓励学生表达对这种探索式学习的认识和感悟。
教学辅助工具：1.格点多边形的图片和例子。
2.计算器和纸笔。
教学评估：1.观察学生在小组合作中的表现和积极参与程度。
2.评价学生在探索过程中的思考能力和解决问题的能力。
3.评价学生在总结反思中对所学内容的理解和应用。
4.评价学生各个阶段的学习笔记和相关作业。
教学延伸：1.引导学生思考其他形式的多边形面积计算方法和公式。
2.引导学生探索其他与格点多边形相关的数学问题，如周长、对称性等。
三角形格点多边形面积计算公式
三角形格点多边形面积计算公式
一、三角形格点多边形的概念。
1. 三角形格点。
- 在平面上，由等边三角形组成的网格，这些等边三角形的顶点就称为三角形格点。
2. 三角形格点多边形。
- 多边形的顶点都是三角形格点的多边形就叫做三角形格点多边形。
1. 皮克定理（适用于三角形格点多边形）
- 设三角形格点多边形内部的格点数为N，边界上的格点数为L（包括顶点），则三角形格点多边形的面积S = 2N+L - 2。
- 例如，有一个三角形格点多边形，内部格点数N = 3，边界上的格点数L= 6。
- 根据公式S = 2×3+6 - 2=6 + 6-2=10，该三角形格点多边形的面积为10（这里的面积单位是与三角形格点所构成的小等边三角形面积为单位1的情况）。
八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解格点的概念，掌握格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点；
2.学会利用格点计算多边形面积的方法，特别是不规则多边形的面积计算；
3.能够运用三角剖分、拼凑等方法将复杂多边形转化为简单多边形，从而求解其面积；
4.掌握计算多边形面积的公式，如海伦公式、向量叉乘等，并能够灵活运用；
教学活动：使用多媒体动画演示格点多边形的形成过程，结合实物模型，让学生直观地理解多边形的构成。
3.设想三：采用分组讨论、合作探究的方式，引导学生发现并总结多边形面积计算的方法。
教学活动：设计具有挑战性的问题，让学生分组讨论、合作探究，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作能力。
4.设想四：设计丰富的例题和练习，巩固提高作业：选取一道生活中的实际问题，如测量不规则地块的面积，运用所学知识进行计算，并撰写解题报告。报告内容包括问题背景、解决方法、计算过程和结果。
3.创新作业：鼓励学生尝试编写一个程序（如使用Scratch、Python等编程语言），实现格点多边形面积的计算。此作业旨在培养学生的编程兴趣和跨学科综合运用能力。
（二）讲授新知
1.教学活动一：讲解格点的概念及基本性质
从定义入手，详细讲解格点的概念，并通过示例说明格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点。
2.教学活动二：介绍多边形面积计算方法
以具体的图形为例，讲解如何利用格点计算多边形面积，特别是不规则多边形的面积计算方法，如三角剖分、拼凑等。
3.教学活动三：推导面积计算公式
3.教学活动三：小组代表展示讨论成果
每个小组选派一名代表，展示他们的讨论成果，分享解题思路和经验。
课题学习格点多边形的面积计算
1、什么是一次函数？ 2、一次函数的图像是什么？
1
概念讲解
多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线 的交点）上，这样的多边形叫做格点多边形.
例如：
1
概念讲解
下列图形中，属于格点多边形的是
2
提出问题
你能求出其中的格点多边形的面积吗？
规则图形一般用面积公式 不规则图形一般用割补法 有没有一种普适性的更加简洁的方法呢？
3
探究新知
记内部点数为a，边界点数为b，面积为S，填写下表
Hale Waihona Puke 图形3探究一
记内部点数为a，边界点数为b，面积为S，填写下表
图形
3
探究二
记内部点数为a，边界点数为b，面积为S，填写下表
图形
3
探究三（合作学习）
记内部点数为a，边界点数为b，面积为S，
4
归纳猜想
……
5
验证与证明
皮克定理是否适用于凹多边形中？
6
课堂小结
两种方法
割补法 皮克定理
一个过程
实验 归纳 猜想 建模
三种思想
化归思想 函数思想 建模思想
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作业布置
1、查阅有关皮克定理的资料，并和课堂探索 过程作比较；
2、拓展：探索在等边三角形形成的格点多边 形中的格点多边形面积公式.
格点多边形面积定义
格点多边形面积定义格点多边形面积是计算多边形的一个重要概念，它在几何学和计算机图形学中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍格点多边形面积的定义和计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、格点多边形的定义格点多边形是指顶点坐标都为整数的多边形。
每个顶点都位于二维坐标系中的格点上，即坐标的横纵坐标都是整数。
格点多边形可以是凸多边形或凹多边形，可以有任意多个顶点。
二、格点多边形面积的计算格点多边形面积的计算可以通过两种方法实现：直接计算和Pick定理。
1. 直接计算方法直接计算方法是最常用的计算格点多边形面积的方法之一。
根据多边形的顶点坐标，可以使用向量叉积的方法计算面积。
对于一个n 边形，将其顶点按照顺时针或逆时针顺序排列，计算每个相邻顶点的向量，然后计算这些向量的叉积之和，再取绝对值，最后除以2，即可得到格点多边形的面积。
2. Pick定理Pick定理是一种基于格点多边形内部和边界上的点的统计关系的计算方法。
根据Pick定理，一个格点多边形的面积可以表示为：面积= 内部格点数 + 边界上格点数的一半 - 1。
其中，内部格点数表示多边形内部的格点个数，边界上格点数表示多边形边界上的格点个数。
三、格点多边形面积的应用格点多边形面积的计算方法在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 计算地图上某个区域的面积：地图上的区域通常可以用格点多边形来表示，通过计算格点多边形的面积，可以得到该区域的实际面积。
2. 计算图像中某个区域的面积：在图像处理领域，格点多边形面积的计算可以用于计算图像中某个区域的像素个数，从而得到该区域的面积。
3. 计算多边形的形状和大小：通过计算格点多边形的面积，可以判断多边形的形状和大小，从而进行相应的分析和处理。
4. 计算生态系统的面积：生态系统的研究中，常需要计算不同生物群落的面积，通过格点多边形面积的计算，可以得到不同生物群落的面积分布情况。
总结：格点多边形面积是计算多边形面积的一种方法，在几何学和计算机图形学中有着广泛的应用。
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S
1 b 2
画出内部只有2个格点的格点多边形。
11 S与 b又有什么关系呢？ S与 b仍相等吗？ 22
活动收获
格点多边形的面积S和多边形内部的 格点数a，它的边上的格点数b之间存在 一定的数量关系
S=
1 b a 1 2
应用新知
（1）请在图甲中画一个格点正方形，使它内部只有4个格点，
并写出它的面积。 （2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为 3.5 ，且 每条边上除顶点外无其它格点。
“一师一优课、一课一名师”
课程名称：《格点多边形的面积计算》 学 科：数 学 版 本：浙教版 学 段：八年级 主讲教师：侯小敏 学 校：温州市第二十五中学
格点多边形的面积计算
概念：
如果一个多边形的顶点都在格点 上， 那么这种多边形叫做格点多边形。
画一画：(S表示面积，b表示边上格点)
画出内部只有1个格点的格点多边形。 你画出的图形，它的面积会求吗？
图甲
图乙
通过本节课的课题学习， 你有什么收获？
作业：
1.查找有关皮克定理的资料，并与你的探索作比较。 2. 如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是 1 ，那么 还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？