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中考数学试题-中考图形折叠、拼接问题分析 最新

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2023年九年级中考数学一轮专题练习 图形的平移、折叠和旋转(含解析)

2023年九年级中考数学一轮专题练习 图形的平移、折叠和旋转(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转5一、单选题（本大题共12小题）1. （重庆市2022年）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．2. （浙江省台州市2022年）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（ ）A ．(40,)a -B ．(40,)a -C ．(40,)a --D ．(,40)a - 3. （浙江省嘉兴市2022年）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿对角线BD 方向平移1cm 得到正方形A B C D ''''，形成一个“方胜”图案，则点D ，B ′之间的距离为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．－1)cmD ．(2－1)cm4. （浙江省杭州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在1M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()21M-，()31,4M，4112,2M⎛⎫⎪⎝⎭四个点中，直线PB经过的点是（）A．1M B．2M C．3M D．4M5. （四川省德阳市2022年）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6. （四川省广安市2022年）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）A．2 B．C．1.5 D7. （黑龙江省省龙东地区2022年）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8. （北京市2022年）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．59. （福建省2022年）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C '''，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（ ）A ．96B ．C ．192D ． 10. （广东省2022年）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）A ．()3,1B ．()1,1-C ．()1,3D ．()1,1- 11. （广西百色市2022年）如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2），将△ABC 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B 的对应点B ′的坐标为（ ）A ．（3，-3）B ．（3，3）C ．（－1，1）D ．（－1，3） 12. （浙江省金华市2022年）如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 为AD 中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A B A E '''，，与BC 相交于点G ，B A ''的延长线过点C ．若23BF GC =，则AD AB的值为（ ）A ．B ．C ．207D ．83二、填空题（本大题共6小题）13. （浙江省丽水市2022年）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是(，则A 点的坐标是 ．14. （浙江省台州市2022年）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为2cm．15. （山东省潍坊市2022年）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75︒，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B''的坐标为．16. （浙江省台州市2022年）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B 重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．17. （浙江省丽水市2022年）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是 cm ．18. （山东省潍坊市2022年）小莹按照如图所示的步骤折叠A 4纸，折完后，发现折痕AB ′与A 4纸的长边AB 恰好重合，那么A 4纸的长AB 与宽AD 的比值为 ．三、解答题（本大题共9小题）19. （浙江省丽水市2022年）如图，将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．20. （浙江省丽水市2022年）如图，在66⨯的方格纸中，点A ，B ，C 均在格点上，试按要求画出相应格点图形．ABCDEF(1)如图1，作一条线段，使它是AB 向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB 和AC 是它的两条边；(3)如图3，作一个与ABC 相似的三角形，相似比不等于1．21. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 22. （四川省广安市2022年）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）23. （黑龙江省2022年）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O的位置；（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C124. （黑龙江省齐齐哈尔市2022年）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE=；(3)当AB=m , BC=n时．GHCE=．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC （如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．25. （黑龙江省省龙东地区2022年）ABC和ADE都是等边三角形．(1)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA PB PC+=（或PA PC PB+=）成立；请证明．(2)将ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．26. （北京市2022年）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM = (2)O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P 为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）27. （河南省2022年）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平； 操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM ，BM ．根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30°的角： ．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．参考答案1. 【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，故B错误；C.是轴对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，故D错误．故选：C．2. 【答案】B【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，∵飞机E的坐标为(40，a)，∴飞机D的坐标为(-40，a)，故选：B．3. 【答案】D【分析】-′求解即可．先求出BD，再根据平移性质求得BB'=1cm，然后由BD BB【详解】解：由题意，BD=，由平移性质得BB'=1cm，∴点D，B′之间的距离为DB'=BD BB-′=（1）cm，故选：D．4. 【答案】B【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y+2中可解答．【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，2+2设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线PB 的解析式为：y =x +2，当y =0+2=0，x∴点M 1（-0）不在直线PB 上，当x y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y =+2，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上． 故选：B ．5. 【答案】A【分析】根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可．轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合．【详解】A 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；故选：A ．6. 【答案】A【分析】取AB 中点G 点，根据菱形的性质可知E 点、G 点关于对角线AC 对称，即有PE =PG ，则当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，再证明四边形AGFD 是平行四边形，即可求得FG =AD ．【详解】解：取AB 中点G 点，连接PG ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，且边长为2，∴AD =DC =AB =BC =2，∵E 点、G 点分别为AD 、AB 的中点，∴根据菱形的性质可知点E 、点G 关于对角线AC 轴对称，∴PE =PG ，∴PE +PF =PG +PF ，即可知当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，且为线段FG ，如下图，G 、P 、F 三点共线，连接FG ，∵F 点是DC 中点，G 点为AB 中点，∴， 1122DF DC AB AG ===∵在菱形ABCD 中，，∴，∴四边形AGFD 是平行四边形，∴FG =AD =2，故PE +PF 的最小值为2，故选：A ．7. 【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴不符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；∵不是轴对称图形，是中心对称图形∴符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；故选C ．8. 【答案】D【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解∶如图，DC AB ∥DF AG ∥一共有5条对称轴．故选：D9. 【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC A ''的面积为sin602sin60AA AC AB AA ⋅'︒︒⋅'=，即可求解．【详解】解：依题意ACC A ''为平行四边形，∵90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，12AA '=．2AC AB ∴=∴平行四边形ACC A ''的面积=sin602sin60AA AC AB AA ''⋅︒=︒⋅2812=⨯⨯=故选B10. 【答案】A【分析】把点()1,1的横坐标加2，纵坐标不变，得到()3,1，就是平移后的对应点的坐标．【详解】解：点()1,1向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为()3,1．故选A ．11. 【答案】D【分析】根据图形的平移性质求解．【详解】解：根据图形平移的性质，B ′（1-2，2+1），即B ′（-1，3）；故选：D ．12. 【答案】A【分析】令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，易证CGA CFB ''△∽△，得出CG A G CF B F'='，进而得出y =3x ，则AE =4x ，AD =8x ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，根据勾股定理得出EH =，最后求出AD AB的值． 【详解】解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，又四边形ABCD 为矩形，∴∠A =∠B =∠D =∠BCD =90°，AD =BC ，∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，∴AB =EH ，ED =CH ， ∵23BF GC =， ∴令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，则CF =3x +y ，2B F x '=，， 由题意，得==90CA G CB F ''︒∠∠，又GCA '∠为公共角，∴CGA CFB ''△∽△， ∴CG A GCF B F '='， 则53232x yx x y x-=+，整理，得()()30x y x y +-=，解得x =-y （舍去），y =3x ，∴AD =BC =5x +y =8x ，EG =3x ，HG =x ，在Rt △EGH 中EH 2+HG 2=EG 2，则EH 2+x 2=(3x )2，解得EH=， EH=-(舍)，∴AB=，∴ADAB ==．故选：A ．13.【答案】3A【分析】 52x y A G -'=如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，证明,BOE AON 可得,,A O B 三点共线，可得,A B 关于O 对称，从而可得答案．【详解】解：如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，∴ 三个正六边形，O 为原点，,120,BM MO OH AH BMO OHA,BMO OHA ≌,OB OA 11209030,18012030,2MOE BMO MOB60,90,BOE BEO同理：120303060,906030,AON OAN,BOE AON,,A O B ∴三点共线，,A B ∴关于O 对称，3,3.A故答案为：3.A14. 【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A ′B ′C ′=S △ABC ，BC =B ′C ′，BC ∥B ′C ′，∴四边形B ′C ′CB 为平行四边形，∵BB ′⊥BC ，∴四边形B ′C ′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A ′B ′C ′+S 矩形B ′C ′CB -S △ABC=S 矩形B ′C ′CB=4×2=8(cm 2)．故答案为：8．15.【答案】(1)【分析】连接OB ，OB '由题意可得∠BOB '=75°，可得出∠COB '=30°，可求出B '的坐标，即可得出点B ''的坐标．【详解】解：如图：连接OB ，OB '，作B M '⊥y 轴∵ABCO 是正方形，OA =2∴∠COB =45°，OB=∵绕原点O 逆时针旋转75︒∴∠BOB '=75°∴∠COB '=30°∵=OB =∴，∴∵沿y 轴方向向上平移1个单位长度∴故答案为：16. 【答案】6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF的长；【详解】解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3， OB 'MB 'MO =B '(B ''(1)(1)在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB， ∴EF =3当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC sin60°∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG =6-3故答案为：36-317. 【答案】3【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△， 即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．18. 1【分析】判定△AB ′D ′是等腰直角三角形，即可得出AB ′=AD ，再根据AB ′= AB ，再计算即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠B =∠DAB =90°，由操作一可知：∠DAB ′=∠D ′AB ′=45°，∠AD ′B ′=∠D =90°，AD =AD ′，∴△AB ′D ′是等腰直角三角形，∴AD =AD ′= B ′D ′，由勾股定理得AB ′=，又由操作二可知：AB ′=AB ，∴=AB ，∴AB AD=， ∴A 4纸的长AB 与宽AD：1．故答案为：：1．19. 【答案】(1)证明见解析 (2)163cm 【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =x ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CDPDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴PDE CDF △≌△（ASA ）；(2)如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴3GF =,设AE =x ，∴EP =x ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+， 解得，76x =， ∴BC =BG +GC = 77163663++=cm ． 20. 【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】（1）分别确定A ，B 平移后的对应点C ，D ，从而可得答案；（2）确定线段AB ，AC 关于直线BC 对称的线段即可；（3）分别计算ABC 的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定DEF 的三边长度，再画出DEF 即可．(1)解：如图，线段CD 即为所求作的线段，(2)如图，四边形ABDC 是所求作的轴对称图形，(3)如图，如图，DEF 即为所求作的三角形，由勾股定理可得：221310,2,ABAC 而2,BC = 同理：2226210,22,DF DE 而4,EF 1,2AB AC BC DF DE EF .ABC DFE ∽21. 【答案】(1)见解析；()15,3A -(2)见解析；()22,4A(3)点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．(1)解：如图所示△A 1B 1C 1即为所求，()15,3A -；(2)如图所示△A 2B 2C 2即为所求，；(3)∵ ∴点旋转到点所经过的路径长为． 22. 【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画出图形即可 ()22,4A 115AC 1A 2A 90π55π1802⨯=【详解】解：如下图所示：23. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；【分析】（1）连接对应点B 、F ，对应点C 、E ，其交点即为旋转中心的位置；（2）利用网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可；（3）根据网格结构的特点作出即可．【详解】解：（1）如图所示，连接BF ，CE 交于点O ，点O 即为所求．（2）如图所示，△A 1B 1C 1为所求；（3）如图所示，点M 即为所求．理由：连接11,B M C M ，根据题意得：111111A B AC B M C M ====∴四边形111A B MC 菱形，∴A 1M 平分∠B 1A 1C 1．24. 【答案】(1)12GH CE =，证明见解析 (2)13GH CE = (3)2GH m CE n =(4)【分析】（1）先证明△ABF ≌△CBE ，得AF =CE ，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （2）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，得到AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （3）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，用含m 、n 的代数式表达出AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （4）过M 作MH ⊥AB 于H ，根据折叠性质得∠C =∠MPN ，根据角平分线证明出∠C =∠PMH ，设CM =PM =x ，HM =y ，根据三角函数定义找到x 、y 之间的关系，再利用△AHM ∽△ABC ，得到CM BC H AM A =，代入解方程即可． (1) 解：12GH CE =，理由如下： ∵AB =BC ，四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC =∠CBE =90°，∵E 、F 为BC ，AB 中点，∴BE =BF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF =CE ，∵H 为DF 中点，G 为AD 中点，∴GH =12AF ， ∴12GH CE =． (2) 解：13GH CE =， 连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =1，BE =12BC =32， ∴， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =2:3，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =， ∴． 故答案为：． (3)解：， 连接AF ，如图所示，23AB BF BC BE ==12AF 13GH CE =132GH m CE n=由题意知，BF ==，BE ==， ∴， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =m ：n ，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =， ∴． 故答案为：． (4)解：过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示，由折叠知，CM =PM ，∠C =∠MPN ，12AB 2m 12BC 2n AB BF m BC BE n==12AF 2GH m CE n =2mn∵PM 平分∠APN ，∴∠APM =∠MPN ，∴∠C =∠APM ，∵AB =2，BC =3，∴AC设CM =PM =x ，HM =y ，由知，， 即，∵HM ∥BC ，∴△AHM ∽△ABC ，∴， 即，， ∴，解得：x， 故答案为：． 25. 【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析(3)图③结论：PA PB PC +=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，sin sin C APM ∠=∠AB HM AC PM =y x =y =C M BC H AM A =3y =3y =3=∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形， ∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AC =AB ，CP =BF ，∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF ∠=∠，AF AP =， ∴CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠， ∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC BAE DAE BAE ∠+∠=∠+∠，∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP ∠=∠，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF ∠+∠=∠+∠，∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．26. 【答案】(1)见解析(2)42t -【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；②延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ≅，得到12TA TO OA ==，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出12NT ON OT OM =-==； （2）连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，则()()max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS -=+--=．(1)解：①点Q 如下图所示．∵点(1,1)M ，∴点(2,0)P -向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'， ∴()'1,1P -，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，()2,2N ，∴点Q 的横坐标为：()2215⨯--=，纵坐标为：2213⨯-=，∴点()5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，∵ //AQ OP ，∴AQT OPT ∠=∠，在ΔAQT 与ΔOPT ∠中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ΔΔAQT OPT AAS ≅， ∴12TA TO OA ==， ∵ ()3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，∴OA ==OMON =∴12TO OA ==∴NT ON OT =-= ∴12NT OM =； (2)解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，∵(,)M a b ，点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，∴'1PP OM ==，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，∴'NP NQ =，又∵OP OS =，∴OM ∥ST ，∴NM 为Δ'P QT 的中位线，∴//NM QT ，1=2NM QT ， ∵1NM OM ON t =-=-，∴222TQ NM t ==-，∴()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS -<<+，结合题意，max PQ PS QS =+，min PQ PS QS =-，∴()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -．27. 【答案】(1)BME ∠或ABP ∠或PBM ∠或MBC ∠(2)①15，15；②MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析 (3)4011AP =cm 或24cm 13【分析】（1）根据折叠的性质，得12BE BM =，结合矩形的性质得30BME ∠=︒，进而可得30ABP PBM MBC ∠=∠=∠=︒； （2）根据折叠的性质，可证()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆，即可求解；（3）由（2）可得QM QC =，分两种情况：当点Q 在点F 的下方时，当点Q 在点F 的上方时，设AP PM x ==，分别表示出PD ，DQ ，PQ ，由勾股定理即可求解．(1) 解：12AE BE AB AB BM ===， 12BE BM =∴ 90BEM ∠=︒∵30BME ∠=︒∴60MBE ∠=︒∴ABP PBM ∠=∠∵30ABP PBM MBC ∠=∠=∠=︒∴(2)∵四边形ABCD 是正方形∴AB =BC ，∠A =∠ABC =∠C =90°由折叠性质得：AB =BM ，∠PMB =∠BMQ =∠A =90°∴BM =BC①BM BC BQ BQ ==∵，∴()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆MBQ CBQ ∠=∠∴30MBC15MBQ CBQ ∠=∠=︒∴②BM BC BQ BQ ==∵，()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆∴MBQ CBQ ∠=∠∴(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，1cm 4cm 8cm FQ DF FC AB ====∵，，8413(cm)QC CD DF FQ =--=--=∴，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm) 由（2）可知，QM QC =设8AP PM x PD x ===-，，222PD DQ PQ +=∴，即()()222853x x -+=+ 解得：4011x =∴40cm 11AP =； 当当点Q 在点F 的上方时，如图，1cm 4cm 8cm FQ DF FC AB ====∵，， 5QC =∴cm ，DQ =3cm ， 由（2）可知，QM QC =设8AP PM x PD x ===-，，222PD DQ PQ +=∴，即()()222835x x -+=+ 解得：2413x =∴24cm 13AP =．。

中考数学压轴题分析：平行四边形折叠与面积问题

中考数学压轴题分析：平行四边形折叠与面积问题

中考数学压轴题分析：平行四边形折叠与面积问题本文内容选自2021年临沂中考数学压轴题。

本题以正方形为背景，将正方形进行折叠，得到一个十字模型。

再结合半角模型与四点共圆。

图形比较典型，值得探究。

【中考真题】（2021·山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF （F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD 于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【分析】（1）由垂直想到直角三角形，由中点想到倍长。

因此可以分别延长ED与BF并交于一点，利用全等与直角三角形斜边中线的性质进行解决。

当然，也可以取BE的中点，构造梯形的中位线进行求解。

（2）有了（1）中的结论，可以考虑连接CC′，那么根据斜边中线的性质的逆定理可以得到CC′与DG垂直，再根据轴对称的性质，可以得到BF垂直平分CC′，那么就可以得到四边形BFDG为平行四边形，进而得到G为AB的中点。

（3）由平行四边形的面积与边长，可以得到对应边上的高。

那么就可以得到BH为4，进而得到A′H=1，也可以根据勾股定理得到CH=√5。

那么再根据△BCH与△NA′H相似，可以得到AH与NH的长。

先求出△AMB或△A′MB的面积，再减去△A′HN的面积即可。

【答案】解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DFCD，∴BGAB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB·DJ，∴DJ4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tanA2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x，∴MT，∵tanA＝tanA′2，∴NH＝2，∴5，∴1×2．。

几何中的折叠问题(解析版)--2024年中考数学压轴突破

几何中的折叠问题(解析版)--2024年中考数学压轴突破

几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由菱形性质和正切定义求出HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，得到∠EDC=∠EDC =45°，从而得到△CHD≌△DFC ，则C F= HD=5，则问题可解．【详解】解：过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由已知，AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，则HC=2x，∴在Rt△HDC中，HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知，∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AH BH =2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FM BM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD =28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BC AB B.sin α=CD AB C.cos α=AD BD D.cos α=CD BC 【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD 所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC 和CD 所对的圆周角相等，∴AC =CD ，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CD AB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6 ，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形D.sin ∠DAP =45【答案】C 【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP =252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE =x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD =AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC 交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。

天津市中考数学一轮专题复习 图形折叠问题

天津市中考数学一轮专题复习 图形折叠问题

图形折叠问题一选择题：1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．164.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．65.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）7.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8 C．9 D． 108.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（）A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BCA．（4，8）B．（5，8）C．（，） D．（，）12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A. B. 2 C. 3 D.13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若此时=,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 917.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )A.3B.2C.2D.218.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）.A．2 B．3 C．4 D．519.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。

图形折叠问题分类例析

图形折叠问题分类例析

数学·解题研究图形折叠问题分类例析辽宁省大连市第八十中学（116033）　贾晓阳［摘　要］图形的折叠问题历来是中考数学的必考题型，文章以一些具有代表性的试题为例，探究如何分析、解决此类问题，以提高学生对这一类问题的认识与理解，进而发展学生的思维。

［关键词］图形；折叠问题；三角形［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］　1674-6058（2023）35-0031-03图形的折叠问题历来是中考数学的必考题型，其常以三角形、平行四边形、矩形、菱形等为载体，要求学生在观察、操作等实践活动中获得知识，积累活动经验，进而提高学生的实践操作能力。

笔者以一些具有代表性的试题为例，探究如何分析、解决此类问题，以提高学生对这一类问题的认识与理解，进而发展学生的思维。

一、以三角形为载体的折叠问题三角形沿中位线折叠后得到梯形，等腰三角形沿对称轴折叠后得到直角三角形，等腰直角三角形沿对称轴折叠后仍是等腰直角三角形，三角形沿内角平分线折叠后得到的图形仍是三角形。

［例1］阅读理解：如图1所示，在△ABC 中，AB 1是∠BAC 的平分线，沿着直线AB 1将三角形折叠，并将重复部分剪掉；A 1B 2是∠B 1A 1C 的平分线，将余下的部分沿直线A 1B 2折叠，并将重复部分剪掉；如此重复，A n B n +1是∠B n A n C 的平分线，沿直线A n B n +1折叠，不论折叠了多少次，只要最后一次折叠时点B n与点C 重合，则我们称∠BAC 是△ABC的好角。

小明同学展现了两种∠BAC 是△ABC 的好角的现象，现象一：如图2所示，△ABC 是等腰三角形，AB 1是∠BAC 的平分线，沿着直线AB 1折叠后，点B 与点C 重合；现象二：如图3所示，AB 1是∠BAC 的平分线，沿着直线AB 1折叠三角形并剪掉重复部分；A 1B 2是∠B 1A 1C 的平分线，沿着直线A 1B 2折叠后，点B 1与点C 重合。

2020中考数学 压轴专题：图形折叠(包含答案)

2020中考数学 压轴专题：图形折叠(包含答案)

2020中考数学 压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8， 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2， 在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ， 又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°， 在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ， 又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ， 又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4， 又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2， 解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1， 在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ， 在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中， 有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12， 解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ， 作PG ⊥AB ，垂足为点G ， 设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ， 在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2， 解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°， 在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ； 问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ， 在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ， 又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2， 即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28， 解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°， 由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点， 在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4， 由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2， 由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ， 同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ， 又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ； 【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ， 易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ， 同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。

中考数学中折叠型问题解析试题

中考数学中折叠型问题解析试题

中考数学中折叠型问题解析本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

图形的折叠问题是图形变换的一种，主要是考察学生的自主探究才能与空间想象才能以及判断推理才能。

有关折叠问题在近几年各地中考中也频频出现，有利用折叠寻找折痕条数规律的、有图形折叠后求折痕长度的、有图形几次折叠后再剪裁并判断剪裁后图形形状的等等。

解决折叠问题，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的本质；其次还要分清折叠前后哪些元素没变，哪些元素变化了；同时还要把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题。

下面以近两年中考试题为例说明。

一、折叠后探究规律例1. 〔2021年〕有一个等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到等腰直角三角形〔如图1〕，按照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，得到的小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的〔 〕图1 A. 12 B. 14 C. 18 D. 116分析：此题可以设原来等腰直角三角形的三边长为a ，a ，2a ，那么周长为()22a a +，经过一次折叠后的等腰直角三角形与原等腰直角三角形是相似的，且相似比为22；那么它们的周长比也为22，因此经过一次折叠后的小等腰直角三角形的周长是折叠前的等腰直角三角形的周长的22，由此可知经过四次折叠后的小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形的周长的()22144=。

应选B 。

解〔略〕评注：此题主要利用等腰直角三角形的特殊性，沿对称轴折叠后的图形与原图形相似的特征，每次折叠后的图形与前一个图形的相似比都是22。

我们还可以知道，经过n 次折叠后图形的周长是原图形的周长的()22n 。

例2. 〔2021年〕将一张长方形的纸对折，如图2所示，可得到一条折痕〔图中虚线〕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到________条折痕，假如对折n 次，可以得到_________条折痕。

2020中考数学压轴专题：图形折叠(含答案)

2020中考数学压轴专题：图形折叠(含答案)

2020中考数学 压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8， 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2， 在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ， 又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°， 在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ， 又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ， 又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4， 又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2， 解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1， 在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ， 在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中， 有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12， 解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ， 作PG ⊥AB ，垂足为点G ， 设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ， 在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2， 解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°， 在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ； 问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ， 在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ， 又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2， 即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28， 解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°， 由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点， 在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4， 由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2， 由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ， 同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ， 又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ； 【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ， 易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ， 同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。

矩形折叠问题(解析版)-中考数学训练

矩形折叠问题(解析版)-中考数学训练

矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。

解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。

问题：根据已知信息，求翻折后各边长。

模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M ,点N 分别为DC ，AB 中点思路：模型七：点A '为BC 中点思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE =A 'E =x ，则BE =8-x 由勾股定理解得x =174∴BE=154由于△EBA '∽△A 'CG ∽△FD 'G ∴A 'G =3415CG =1615GD '=2615DF =D 'F =AH =134HE =1EF =17【培优过关练】1.(2022秋·山东青岛·九年级统考期末)如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 、F 分别在边AB 、CD上，∠FEB =120°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点C 恰好落在AD 边C 上，则C D 的长度为()A.3B.33C.32D.3【答案】B 【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形ABCD 中，CD =AB =9，CD ∥AB ，∠D =90°，∴∠FEB +∠EFC =180°，∴∠EFC =∠C FE =60°，∴∠C FD =180°-∠EFC -∠C FE =60°，∴∠DC F =30°，∴C F =2DF ，又∵C F =CF ，CF +DF =9，∴DF =3，C F =6，∴C D =62-32=33，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．2.(2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，沿着BE 折叠使点A 落在边CD 上的点F 处，若tan ∠ABE =13，AD =3，则DF 的长为()A.1B.2C.43D.32【答案】A 【分析】先根据折叠的性质和正切的定义得出EF BF=13，再证明△DEF ∽△CFB ，最后利用相似三角形的性质得出结论．【详解】解：由折叠可知，∠ABE =∠FBE ，∴tan ∠ABE =tan ∠FBE =13，∴EF BF =13，∵∠EFB =∠C =∠D =90°，∴∠DFE +∠DEF =90°，∠DFE +∠BFC =90°，∴∠DEF =∠BFC ，∴△DEF ∽△CFB ，∴EF FB =DF CB=13，∵BC =AD =3，∴DF =1，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明△DEF ∽△CFB ．3.(2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为1,3 ，将矩形沿对角线AC 折叠，使点B 落在D 点的位置，且交y 轴交于点E ，则点D 的坐标是()A.-35，83B.-35，2C.-45，145D.-45,125【答案】D【分析】过D 作DF ⊥AO 于F ，根据折叠可以证明△CDE ≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，利用勾股定理即可求出m ，然后利用已知条件可以证明△AEO ∽△ADF ，而AD =AB =3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了点D 的坐标．【详解】如图，过D 作DF ⊥AO 于F ，∵点B 的坐标为1,3 ，∴AO =1，AB =3，根据折叠可知CD =BC =OA ，而∠ADC =∠AOE =90°，∠DEC =∠AEO∴△CDE ≌△AOE ，∴OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴3-m 2=m 2+12，解得m =43，∵DF ⊥AF ，∴DF ∥EO ，∴△AEO ∽△ADF而AD =AB =3，∴AE =CE =3-43=53，∴AE AD =EO DF =AO AF ，即533=43DF =1AF，∴DF =125,AF =95，∴OF =95-1=45，∴D 的坐标为-45,125，故选：D ．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．4.(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 落在对角线BD 上，折痕为DG ，点A 的对应点为A ，那么AG 的长为()A.1B.43C.32D.2【答案】C【分析】首先设AG=x，由矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22=4-x2，解此方程即可解决问题．【详解】解：设AG=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=AD2+AB2=5，由折叠的性质可得：A D=AD=3，A G=AG=x，∠DA G=∠A=90°，∴∠BA G=90°，BG=AB-AG=4-x，A B=BD-A D=5-3=2，∵在Rt△A BG中，A G2+A B2=BG2，∴x2+22=4-x2，解得：x=3 2，∴AG=32．故选：C．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5.(2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③四边形BGDE的面积等于35；④AG+DF=FG．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，利用勾股定理得到x2+42=(8-x)2，得到AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明△DEF∽△HFG，于是可对②进行判断；根据S四边形BGDE=S矩形ABCD -S△ABG-S△EBC可对③进行判断．【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=12∠CBF+12∠ABF=12∠ABC=45°，所以①正确；在Rt△ABF中，AF=BF2-AB2=102-62=8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；在△DEF中，DF=2，设DE=a，则CE=EF=6-a∴6-a2=a2+22解得a=8 3∴EC=6-83=103∵SΔABG=12×6×3=9，S△BCE=12×10×103=503，∴S四边形BGDE =S矩形ABCD-S△ABG-S△EBC=6×10-9-503=1033≠35．所以③不正确．∵DF=2,DE=83,EF=103，GH=3,HF=4,GF=5∴DF GH =DEHF=EFFG∴△DEF∽△HFG故②正确故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6.(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为BC的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为()A.185B.6C.325D.365【答案】D【分析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF ，交AE 于H ，∵BC =12，点E 为BC 的中点，∴BE =6，又∵AB =8，∴AE =AB 2+BE 2=36+64=10，由折叠知，BF ⊥AE (对应点的连线必垂直于对称轴)，∴BH =AB ×BE AE=245，则BF =485，∵FE =BE =EC ，∴∠EFB =∠EBF ，∠EFC =∠ECF ，∵∠EFB +∠EBF +∠EFC +∠ECF =180°，∴∠BFC =90°，∴CF =BC 2-BF 2=122-485 2=365，故选：D ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.(2022秋·广西贵港·九年级统考期中)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，M 是BC 上的点，且CM =3，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C 处，折痕为MN ，当PC 与线段BC 交于点H 时，则线段BH 的长是()A.3B.5516C.4D.7316【答案】B 【分析】连接PM ，证明△PBM ≌△PC M 即可得到CM =C M =PB =3，证明△PBH ≌△C MH ，得出BH =HC =x ，然后列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：连接PM ，如图所示：∵矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，∴CD =AB =8，∠A =∠B =∠C =∠D =90°，∵CM =3，∴BM =11-3=8，根据折叠可知，CD =PC =8，∠C =∠C =90°，C M =CM =3，∴∠B =∠C ，∴BM =PC =8，∵PM =PM ，∴Rt △PBM ≌Rt △PC M HL ，∴C M =PB =3，∵∠PHB =∠C HM ，∠B =∠C ，∴△PBH ≌△C MH ，∴BH =HC ，设BH =HC =x ，则HM =8-x ，∵HM 2=HC 2+C M 2，∴8-x 2=x 2+32，解得：x =5516，∴BH =5516，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件BM =PC =8，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．8.(2022秋·山东枣庄·九年级校考期中)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =()A.12B.2-2C.3-1D.2-1【答案】B【分析】根据题意先求BD =2AB =22，OD =2，再求BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，进而根据△ODM ∽△CDF 的线段比例关系，即可求出OM 的长．【详解】解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD =BC =CD =2，∠BCD =∠COD =∠BOC =90°，OD =OC ，∴BD =2AB =22，OD =2，由折叠的性质可知，∠OEF =∠DCB =90°，∠EDF =∠CDF ，DE =CD ，∴∠BEF =90°，∴∠BFE =∠FBE =45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，∵∠DCB =∠COD =90°，∠EDF =∠CDF ，∴△ODM ∽△CDF ，∴OM CF =OD CD ，即OM 22-2=22，∴OM =2-2．故选：B ．【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．9.(2022·辽宁营口·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把△BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF ⊥EC ，垂足为F ，若CD =1,CF =2，则线段AE 的长为()A.5-2B.3-1C.13D.12【答案】A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=5，从而可得AD= BC=5，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵BF⊥EC，∴∠BFC=∠CDE，∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∠DEC=∠FCB ∠BFC=∠CDE BC=EC∴△BFC≌△CDE(AAS)，∴DE=CF=2，∴CE=CD2+DE2=12+22=5，∴AD=BC=CE=5，∴AE=AD-DE=5-2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10.(2022·贵州毕节·统考中考真题)矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是()525【答案】D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数(或相似)求出BF，则根据FC=BC2-BF2计算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE∴△ABE与△AFE关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=12BC=3∴AE=AB2+BE2=42+32=5∵sin∠BAE=BEAE =BG AB∴BG=BE⋅ABAE =3×45=125∴BF=2BG=2×122=245∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=180°2=90°∴FC=BC2-BF2=62-2452=185故选D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．11.(2022·四川宜宾·统考中考真题)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为()17151715【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF= BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°，∴在△AFD和△EFB中∠A=∠E=90°∠AFD=∠EFB AD=BE=3 ，∴ΔAFD≌ΔEFB(AAS)，∴AF=EF，DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，在RtΔBEF中，BF2=EF2+BE2，即5-x2=x2+32，解得：x=85，则DF=BF=5-85=175，∴cos∠ADF=ADDF =3175=1517，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明ΔAFD≌ΔEFB，是解题的关键．12.(2022·浙江湖州·统考中考真题)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是()A.BD=10B.HG=2C.EG∥FHD.GF⊥BC 【答案】D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得HD,BG，进而判断B，根据折叠的性质可得∠EGB=∠FHD=90°，进而判断C选项，根据勾股定理求得CF的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【详解】∵BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，∴BC=AD=8,AB=CD=6∴BD=BC2+CD2=10故A选项正确，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，∴BG=AB=6，DH=CD=6∴DG=4,BH=BD-HD=4∴HG=10-BH-DG=10-4-4=2故B选项正确，∵EG⊥BD,HF⊥DB,∴EG∥HF，故C正确设AE=a，则EG=a，∴ED=AD-AE=8-a，∵∠EDG=∠ADB∴tan∠EDG=tan∠ADB即EGDG=ABAD=68=34∴a 4=34∴AE=3，同理可得CF=3若FG∥CD则CFBF=GDBG∵CF BF =35,GDBG=46=23，∴CF BF ≠GD BG，∴FG不平行CD，即GF不垂直BC，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．13.(2022·江苏连云港·统考中考真题)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是()A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④【答案】B【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD =BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a2，据此求解即可．【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a，∴AB=22a=2AD，故②不正确；设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x =b 2-a 2b =a 2，即DF =FO =a 2，GE =a 2+b 2=3a ，∴GE DF =3aa 2=6，∴GE =6DF ；故③正确；∴OC OF =2a a 2=22，∴OC =22OF ；故④正确；∵∠FCO 与∠GCE 不一定相等，∴△COF ∽△CEG 不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．14.(2021·广西来宾·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD ，AD :AB =2:1，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA 并延长交线段CD 于点G ，则EF AG的值为()A.22B.23C.12D.53【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出EF 是AA 的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO =∠AGD ，∠FHE =∠D =90°，根据相似三角形判定推出△EFH ∽△GAD ，再利用矩形判定及性质证得FH =AB ，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵点A ，B 的对应点分别为A ，B ，∴EA =EA ，FB =FB ，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠D=90°．∴∠OAE+∠AEO=∠OAE+∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE=∠D=90°．∴△EFH∽△GAD．∴EF AG =FH AD．∵∠AHF=∠BAD=∠B=90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH=AB．∴EF AG =FHAD=ABAD=12=22；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.(2011·吉林长春·中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，CF=CE2-EF2=52-32=4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．16.(2020·广东深圳·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG⎳BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB=30°，∠DEF=12∠DEB=75°，故④正确．综合，正确的为①②④．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．17.(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E、H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 、D点的对称点为D ，若∠FPG=90°，△A EP的面积为8，△D PH的面积为2，则矩形ABCD的长为()A.65+10B.610+52C.35+10D.310+52【答案】D【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H=12x，由S△D′PH=12D′P·D′H=12A′P·D′H，可解得x=22，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵∠FPG=90°，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D ′H =12x ，∵S △D ′PH =12D ′P ·D ′H =12A ′P ·D ′H ，即12⋅x ⋅12x =2，∴x =22(负根舍弃)，∴AB =CD =22，D ′H =DH =2，D ′P =A ′P =CD =22，A ′E =2D ′P =42，∴PE =42 2+22 2=210，PH =22 2+2 2=10，∴AD =42+210+10+2=52+310，故选D .【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18.如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则cos ∠ADF 的值为()A.1113B.1315C.1517D.1719【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP (AAS )，根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4-x 、BF =PC =3-x ，进而可得出AF =1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∠EOF =∠BOP∠E =∠B =90°OF =OP，∴△OEF ≌△OBP (AAS )，∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =4-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即(1+x )2+32=(4-x )2，解得：x =35，∴DF =4-x =175，∴cos ∠ADF =AD DF =1517，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．19.(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为正方形，点E 是BC 的中点，将正方形ABCD沿AE 折叠，得到点B 的对应点为点F ，延长EF 交线段DC 于点P ，若AB =6，则DP 的长度为___________．【答案】2【分析】连接AP ，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，可得PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP ，如图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =AD =6，∠B =∠C =∠D =90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE =12AB =3，由翻折可知：AF =AB ，EF =BE =3，∠AFE =∠B =90°，∴AD =AF ，∠AFP =∠D =90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中，AP =AP AF =AD ，∴Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，∴PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2=EC 2+CP 2，∴(3+x )2=32+(6-x )2，解得x =2，则DP 的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．20.(2022·贵州黔东南·统考中考真题)如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm ．【答案】53##123【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明ΔFEG ∼ΔFBM ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接DF ,如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =DA =4,∠A =∠B =∠C =∠CDA =90°.∵点M 为BC 的中点，∴BM =CM =12BC =12×4=2由折叠得，ME =CM =2,DE =DC =4,∠DEM =∠C =90°,∴∠DEF =90°，∠FEG =90°,设FE =x ,则有DF 2=DE 2+EF 2∴DF 2=42+x 2又在Rt ΔFMB 中，FM =2+x ,BM =2，∵FM 2=FB 2+BM 2∴FB =FM 2-BM 2=(2+x )2-22∴AF =AB -FB =4-(2+x )2-22在Rt ΔDAF 中，DA 2+AF 2=DF 2,∴42+4-2+x 2-22 2=42+x 2,解得，x 1=43,x 2=-8(舍去)∴FE =43,∴FM =FE +ME =43+2=103∴FB =2+43 2-22=83∵∠DEM =90°∴∠FEG =90°∴∠FEG =∠B ,又∠GFE =∠MFB .∴△FEG ∼ΔFBM∴FG FM =FE FB ,即FG 103=4383∴FG =53,故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．21.(2022·浙江丽水·统考中考真题)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P处，折痕为EF ．(1)求证：△PDE ≌△CDF ；(2)若CD =4cm ,EF =5cm ，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm 【分析】(1)利用ASA 证明即可；(2)过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF=∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，∠P =∠CPD =CD ∠PDE =∠CDF,∴△PDE≌△CDF(ASA)；(2)如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴GF=EF2-EG2=3cm,设AE=xcm，∴EP=xcm，由△PDE≌△CDF知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，PE2+PD2=DE2,即x2+42=3+x2，解得，x=7 6，∴BC=BG+GC=76+3+76=163(cm)．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．22.(2022·河南·统考中考真题)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=______°，∠CBQ=______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长．【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC(2)①15，15；②∠MBQ=∠CBQ，理由见解析(3)AP=4011cm或2413cm【分析】(1)根据折叠的性质，得BE=12BM，结合矩形的性质得∠BME=30°，进而可得∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°；(2)根据折叠的性质，可证RtΔBQM≅RtΔBQC HL，即可求解；(3)由(2)可得QM=QC，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP= PM=x，分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．(1)解：∵AE=BE=12AB，AB=BM∴BE=12BM∵∠BEM=90°，sin∠BME=BEBM =12∴∠BME=30°∴∠MBE=60°∵∠ABP=∠PBM∴∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°(2)∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ=∠CBQ∵∠MBC=30°∴∠MBQ=∠CBQ=15°②∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ =∠CBQ(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =CD -DF -FQ =8-4-1=3(cm )，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm )由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+52=x +3 2解得：x =4011∴AP =4011cm ；当点Q 在点F 的上方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =5cm ，DQ =3cm ，由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+32=x +5 2解得：x =2413∴AP =2413cm ．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23.(2022·吉林长春·统考中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A 4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A 4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD =2AB ．他先将A 4纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E ，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H ，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想△ADG ≌△AFG ．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．(用含a的代数式表示)【答案】(1)见解析(2)22.5°，2-1.(3)52a【分析】(1)根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；(2)根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°;证明ΔGCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；(3)根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°∴∠AFG=∠D=90°又AD=AF，AG=AG∴△ADG≌△AFG(2)由折叠得，∠BAF=∠EAF,又∠BAF+∠EAF=90°∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°,由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°,∠AFG=∠ADG=90°,又∠AFB=45°∴∠GFC=45°,∴∠FGC=45°,∴GC=FC.设AB=x,则BF=x,AF=2x=AD=BC,∴FC=BC-BF=2x-x=(2-1)x∴GF=2FC=(2-2)x∴GF AF =(2-2)x2x=2-1.(3)如图，连接FD,∵DG=FG∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF=∠BAF=45°∴∠APR=45°.∴AR=PR又AR2+PR2=AP2=a22=a24∴AR=PR=24a,∴DR=AD-AR=2a-24a=342a在RtΔDPR中，DP2=AR2+PR2∴DP =AR 2+PR 2=24a 2+324a 2=52a ∴PQ +FQ 的最小值为52a 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．24.(2021·湖北荆州·统考中考真题)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，F 是对角线AC 上不与点A ，C重合的一点，过F 作FE ⊥AD 于E ，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，点G 在射线AD 上，连接CG ．(1)如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC =90°，延长GF 交AB 于H ，连接CH ．①求证：△CDG ∽△GAH ；②求tan ∠GHC ．(2)如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF =90°，判断△GCF 与△AEF 是否全等，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②23；(2)不全等，理由见解析【分析】(1)①先根据同角的余角相等得出∠DCG =∠AGH ，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；②设EF =x ，先证得△AEF ~△ADC ，得出EF AE =CD AD=24=12，再结合折叠的性质得出AE =EG =2x ，AG =4x ，AH =2EF =2x ，再由△CDG ~△GAH ，得出比例式AG DC =AH DG =HG CG ，求出EF 的长，从而得出HGCG的值，即可得出答案；(2)先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF~△ACG，得出比例式AEAC =AFAG，得出EF=5 4，AE=52，AF=545，从而判定△GCF与△AEF是否全等．【详解】(1)①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG~△GAH②设EF=x∵△AEF沿EF折叠得到△GEF∴AE=EG∵EF⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF⎳CD⎳AB∴△AEF~△ADC∴EF CD =AE AD∴EF AE =CDAD=24=12∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG，EF⎳AB∴EF AH =EGAG=12∴AH=2EF=2x ∵△CDG~△GAH∴AG DC =AHDG=HGCG∴4x2=2x4-4x=HGCG∴x=34∴4x2=32=HGCG∵∠FCG=90°∴tan∠GHC=CGHG =23(2)不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC=AB2+AD2=22+42=25由②可知：AE=2EF∴AF=AE2+EF2=5EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF~△ACG∴AE AC =AF AG∴2EF 25=54∴EF=54∴AE=52，AF=545∴FC=AC-AF=25-545=345∴AE≠FC，EF≠FC∴不全等【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出AE= 2EF是解题的关键．。

中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)

中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)

中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。

初三复习 数学几何中折叠问题 4大类 分类 含答案

初三复习 数学几何中折叠问题 4大类 分类 含答案

初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC321F E D C B A54132G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34，FHPH=34，FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D 重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’PC'NB CA DMB'QPHC'NB CA DMB'∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为：12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α= ∠1，∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC = 2 2 ，AB = 2 2S△ＡＢＣ＝12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作QH ⊥PA ，垂足为H ，则QH=2cm ， 由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ ， ∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形， 在Rt △PQH 中，sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ，则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEC GDFEFBCAEBB∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b 中，GE = GF ，∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）设AB=xcm ．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）． 则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ， 下底等于纸条宽的2倍，即6cm ， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 ．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）． (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ，BC = a ，∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为：14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ，如右图∵AD = a ，∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH，得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4，AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ，∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；3241EHB 2DABC3412B 3DA BC在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

2025年四川省聚焦中考数学必备考点透析-第7章 图形及其变化微专题六 图形的折叠问题

2025年四川省聚焦中考数学必备考点透析-第7章 图形及其变化微专题六 图形的折叠问题
故 CE 的长为3.
答案：3
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5
方法点拨：解决三角形折叠问题的技巧主要包括利用轴对称及全等
的性质、勾股定理的应用、方程思想的运用以及数形结合的方法.这些技
巧不仅适用于解决折叠问题中的线段长度求解，还有助于理解和分析折
叠问题中的几何关系和变化规律.
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6
【热身演练1】
（2023·凉山中考）如下图，在Rt△ ABC 纸片中，∠ ACB ＝90°， CD 是
涉及如何利用折叠前后图形的全等性、对称轴的性质以及如何通过构造
直角三角形和利用勾股定理来解决问题，而且是培养空间想象能力的好
题材，也是中考命题的热点.
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3
专题讲练
（2024·甘孜中考）如下图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC
＝8， BC ＝4，折叠△ ABC ，使点 A 与点 B 重合，折痕 DE 与 AB 交于点
处，则 cos ∠ CEF 的值为（）
例3
A.
7
4
B.
7
3
3
C.
4
5
D.
4
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15
分析：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD ＝ BC ＝8，∠ B ＝∠ C ＝∠ D ＝90°，
∴∠ CEF ＋∠ EFC ＝90°.
∵把△ ADE 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，
∴ AF ＝ AD ＝8，∠ AFE ＝∠ D ＝90°，





∴ EF ＝ BD ＝ ×8＝4.∵ EF ⊥ AO ，∴∠ OME ＝90°，∴ S△ OEF ＝




最新人教版八年级上册数学第十三章轴对称中考新题型(创新性题) 三角形中的折叠问题(客观题)

最新人教版八年级上册数学第十三章轴对称中考新题型(创新性题) 三角形中的折叠问题(客观题)
A.8 B.16 C.4 D.10
数学
3.【例3】(教材母题改编)如图,点D,E分别在△ABC的边 AB,AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,点A落在点A'处,若 ∠CAB＝80°,则∠1+∠2的度数是( C ) A.100° B.150° C.160° D.180°
数学
6.(创新题)(2020长春一模)如图,等边三角形ABC的边长为1 cm, D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点 A'处,且点பைடு நூலகம்'在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为( A )
A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
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中第考十新三题章型(创轴新对性称题) 三角形中的折叠问题(客观题)
中考新题型(创新性题) 三角形中的折叠问题(客观题)
数学
【概述】2020年,广东中考数学试题中,在第9题处出现了几何 图形与折叠相结合的问题,也是近年来首次在选择题中出现 这样的题型,相比以往难度有所提升,值得关注.
数学
【真题】(2020广东)如图,在正方形ABCD中,AB＝3,点E,F分 别在边AB,CD上,∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠, 点B'恰好落在AD边上,则BE的长度为( )
数学
1.【例1】如图,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD＝∠ABC ＝40°,将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE的度数为 (A )
A.20° B.25° C.30° D.35°
数学
4.(郴州中考)如图,在Rt△ACB中,∠ACB＝90°,∠A＝25°,D 是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B' 处,则∠ADB'等于( D )

2024年中考数学考点必备方法必备09几何综合题的三类折叠问题(解析版)

2024年中考数学考点必备方法必备09几何综合题的三类折叠问题(解析版)

方法必备09几何综合题的三类折叠问题题型一：翻折与几何基本图形题型二：翻折与隐形圆题型三：翻折与二次函数题型一：翻折与几何基本图形1．（2024·山东泰安·一模）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C 处，BC 与AD 相交于点E ．求证：EB ED 【答案】见详解【分析】本题主要考查利用平行四边形的性质和折叠得性质证明ABE C DE ≌ ，即可证明结论成立．【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴A C ，AB CD ，∵沿BD 折叠，点C 落在点C 处，∴C C A ，C D CD AB ，在ABE 和C DE 中AEB C ED A C AB C D∴ ABE C DE AAS ≌，∴EB ED ．2．（2023·江苏泰州·二模）如图1，将 Rt 90ABC A 纸片按照下列图示方式折叠：①将ABD △沿BD 折叠，使得点A 落在BC 边上的点M 处，折痕为BD ；②将BEF △沿EF 折叠，使得点B 与点D 重合，折痕为EF ；③将DEF 沿DF 折叠，点E 落在点'E 处，展开后如图2，BD 、PF 、DF 、DP 为图1折叠过程中产生的折痕．(1)求证：DP BC ∥；(2)若'DE 落在DM 的右侧，求C 的范围；(3)是否存在C 使得DE 与MDC 的角平分线重合，如存在，请求C 的大小；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)030C ；(3)不存在，理由见解析．【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）由第二次翻折可得EF 垂直平分BD ，由第一次翻折可得EF EP ，证出四边形PBFD 是菱形，则可得出结论；（2）设ABD ，求出BDF ，902ADP FDM C ，当DE 落在DM 的右侧时，902 ，求出30a ，则可得出答案；（3）设ABD ，902ADP FDM C ，2MDC ，得出902 ，求出45 ，0C ，则可得出结论．【详解】（1）证明：由第二次翻折可得EF 垂直平分BD ，由第一次翻折可得EF EP ，PF 与BD 垂直且互相平分，四边形PBFD 是菱形，DP BC ∥；（2）解：设ABD ，∵四边形PBFD 是菱形，PB DF ∥，BDF ，902ADP FDM C ，当'DE 落在DM 的右侧时，902 ，30a ，90230 ，030C ；（3）解：不存在．若存在C 使得DE 与MDC 的角平分线重合，设ABD ，902ADP FDM C ，2MDC ，902 ，45 ，0C ，不存在C 使得DE 与MDC 的角平分线重合．3．（2023·吉林松原·三模）如图①，在Rt ABC △中，90ACB ，60A ，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线CA 上一点，将ADE V 沿DE 折叠，点A 的对应点为点F ．(1)若AB a =，直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；(2)若点E 与点C 重合，连接BF ，如图②，判断四边形DBFC 的形状，并说明理由；(3)若DF AB ，直接写出CDE 的度数．【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答本题的关键．4．（2023·广东茂名·二模）如图，正方形ABCD中，E是边BC的中点，将ABE沿AE折叠，得到AFE，延长EF 交边CD于点P．(1)求证：DP FP；AB ，求CP的长．(2)若6连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴AD AB，B D5．（2023·广西贵港·二模）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD ，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与点E 所在的直线折叠，点B 落在点B 处，连接 B C ，如图1，请直接写出AEB 与ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与BE 上的点G 所在的直线折叠，使点B 落在EF 上的点P 处，连接PD ，如图2，猜想APD 的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A 关于直线CP 的对称点A ，连接PA ，BA ，AC ，如图3，求PA B 的度数．【答案】初步尝试：AEB ECB ；能力提升：猜想：60APD ，理由见解析；拓展延伸：15PA B【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE CE ，BE BE ，AEB AEB ，BB AE ，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出90BB C ，推出AE CB ∥，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证 SAS AFP DFP ≌，从而证明APD △是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C 、AA ，由（2）得APD △是等边三角形，进而得出30PDC ，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得15PAC ，30ACP ，由对称性质得：AC A C ，30ACP A CP ，证明 SSS AA B CA B ≌，得到30CA B ，再由15CA P CAP ，即可求出PA B 的度数．【详解】解：初步尝试：AEB ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE CE ，BE BE ，AEB AEB ，BB AE ，∴BE CE BE ，∴EBB EB B ，ECB EB C ，∵ 2180EBB EB B EB C ECB EB B EB C ，∴90BB C ，即BB CB ，∴AE CB ∥，∴AEB ECB ，∴AEB ECB ；解：能力提升：猜想：60APD ，理由如下：理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ，90ADC ，由折叠性质可得：AF DF ，EF AD ，AB AP ，在AFP 和DFP △中，90AF DF AFP DFP FP FP，∴ SAS AFP DFP ≌，∴AP PD ，∴AP AD PD ，由（2）得APD △是等边三角形，∴PAD PDA APD ∵90ADC ，∴30PDC ，又∵PD AD DC ，∴12DPC DCP ∴PAC PAD DAC 由对称性质得：AC 6．（2023·吉林长春·模拟预测）如图1，平面上，四边形ABCD 中，4AB ，6CD ，BC 3DA ，90A ，点M 在AD 边上，且1DM ．点P 沿折线AB BC 以1个单位速度向终点C 运动，点A 是点A 关于直线MP 的对称点，连接A P ，设点P 在该折线上运动的时间为 0t t ．(1)直接写出线段BP的长；(2)如图2，连接BD．的度数，并直接写出当A 、M、A共线时t的值；①求CBD②若点P到BD的距离为1，求tan A MP 的值；t 时，请直接写出点A 到直线AD的距离（用含t的式子表示）．(3)当04∵PM 平分A MA ，90PMA ，∴PM AB ∥，DNM DBA △∽△，DN DM MN ，3sin 5AD DBA BD，153sin 5PQ BP DBA ，90PQB CBD DAB ∵，90QPB PBQ DBA ，PQB BAD △∽△，,PQ QB PB 即,PQ QB PB 由A PE MA F ∽，7．（2023·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图（1），正方形纸片ABCD，点E是BC边上（点E不与点B，C重合）任意一点，沿AE折叠ABE到△，如图（2）所示；AFE操作二：将图（2）沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图（3）所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图（4）所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点（填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图（5），连接AN，改变点E在BC上的位置，（填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，4BC ，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请AB ，6完成下列探究：①当点N在CD上时，如图（6），BE和CN有何数量关系？并说明理由；8．（2023·山东枣庄·中考真题）问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．∵1122CHG S CH HG ∴154302CG HE，9．（2023·内蒙古通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．(1)如图1，当点M 在EF 上时，EMB ___________度；(2)改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ 与CBQ 的数量关系，并说明理由．10．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知,90AB AC A ，点E 为AC 上一动点，将ABE 以BE 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D 落在BC 上时，2EDC ACB ．”小红：“若点E 为AC 中点，给出AC 与DC 的长，就可求出BE 的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰ABC 中，,90,AB AC A BDE △由ABE 翻折得到．（1）如图1，当点D 落在BC 上时，求证：2EDC ACB ；（2）如图2，若点E 为AC 中点，43AC CD ,，求BE 的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成90A 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰ABC 中，90,4,2A AB AC BD D ABD ．若1CD ，则求BC 的长．∵AB BD，∴AM MD，ABM ，∵2BDC ABD，∴BDC DBM∥，∴BM CD，∴CD AD又CG BM，∴四边形CGMD是矩形，则CD GM，在Rt ACD△中，1CD ，11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ．(1)当45QPB 时，求四边形BB C C 的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x ，四边形BB C C 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．12．（2023·重庆·中考真题）在Rt ABC 中，90ACB ，=60B ，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若9AC，BD ，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ，求证：GF BF BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQCP的值．∵F 是DE 的中点则DF FE ，FH FG ， ∴ SAS GFD HFE ≌，∴H G ，∴EH GC ∥，在CD 取得最小值的条件下，即CD 设4AB a ，则2BC a ，23AC a∵S 是AB 的中点，60ABC∴SC SB BC ，∴BCS △是等边三角形，则60PCB ，∴30PCA ACB BCP ，∵2BC a ，4AB a ，∴PU AR ∥，P 是AN 的中点，∴1NU NP UR PA即PU 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR ∴54NU UR PT a，12PU AR AT ∵BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至∴2120QCP BCP【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型二：翻折与隐形圆一、单选题1．（湖北鄂州·中考真题）如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A．5B．7C．8D．13 22．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（）A ．B C ．2D ．3【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点3．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且EAB EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD PE 的最小值为（）A．2 B．2C．2D．2作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于根据对称性有：PD PF，则有：PE PD PE PF，二、填空题4．（2022·广东汕头·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC 边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题5．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 是BC 的中点，E 为AB 上一动点，点B 关于DE 的对称点B 在△ABC 内（不含△ABC 的边上），则BE 长的范围为．②如图所示，当点B 恰好落在由题意，BD DB DC ，∴DBB DB B ，DB ∴DBB DCB DB22综上，BE长的范围为9 5故答案为：95 52BE．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点的运动6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB'F，连接B'D，则B'D的最小值是．故答案为210 2．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、B 'D 的值最小是解决问题的关键．7．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形ABCD ，4AB ，8BC ，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足12APB AGB ，则DP 的最小值．【答案】21022【分析】由题意可知，90AGB 上，（要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点∴90AGB ，∵12APB AGB ，即1452APB AGB ，8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．9．（2022·天津河东·二模）已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC，M为线段OC上的动点，将AOM沿直线AM对折，使O点落在O 处．(1)如图①，当30OAM 时，求点O 的坐标；(2)如图②，连接 CO ，当CO AM ∥时．①求点M 的坐标；②连接OB ，求AO M △与AOB 重叠部分的面积；(3)当点M 在线段OC （不包括端点）上运动时，请直接写出线段O C 的取值范围．由①得：tan AO AMO OM 设,CE x 则3,ME x O ¢=-()()222332,x x \=-+解得：6,5x =（不符合题意的根舍去）当,Q O ¢重合时， CO 取得最小值，此时226662,6,AC AQ AO =+===626,CO ¢\=-所以 CO 的取值范围为：626CO ¢-£【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键．10．（2022·重庆·三模）在ABC 中，90ACB ，CA ＝2CB ．将线段CA 绕点C 旋转得到线段CD ．(1)如图1，当点D 落在AB 的延长线上时，过点D 作DE AD 交AC 的延长线于点E ，若BC ＝2，求DE 的长；(2)如图2，当点D 落在CB 的延长线上时，连接AD ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，延长CF 交AD 于点E ，连接BE ，求证：AB CE BE ；(3)如图3，在（2）的条件下，将ACF △沿AC 翻折得到ACF △，M 为直线AD 上一个动点．连接BM ，将BDM 沿BM 翻折得到BMD △．当D F 最小时，直接写出F D FF 的值．由题意得，D ¢在以B 为圆心，BC 长为半径的圆上运动，当设1CB ，∵2CA CB ，∴2CA ．∵90ACB ，1CB ，2CA ，∴225AB CA CB ，sin CAB ∵CF ⊥AB ，90ACB ，题型三：翻折与二次函数1．（21-22九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c 经过 2,0A ， 0,4C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是第一象限抛物线上一动点，连接CP ，CP 的延长线与x 轴交于点Q ，过点P 作PE y 轴于点E ，以PE 为轴，翻折直线CP ，与抛物线相交于另一点R ．设P 点横坐标为t ，R 点横坐标为s ，求出s 与t 的函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，连接RC ，点G 在RP 上，且RG RC ，连接CG ，若45OCG ，求点Q 坐标．根据题意得：212EF CE t ∴2142OF OE EF t t ∵点R 的横坐标为s ，∴点R 的坐标为21,42s s s∵45OCG ，PE CE ，∴45EIC ．∵45EIC GCP CPE ∴4545RCH GPE ．∴RCH GPE ．2．（2023·天津河西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c 与x 轴交于 30A ,， 4,0B 两点，在y 轴正半轴上有一点C ，OC OB ．点D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点，且均不与端点重合．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图①，连接BD ，将BCD △沿x 轴翻折得到BFG ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；(3)如图②，连接CE ，当CD AE 时，求BD CE 的最小值．∵BCD △与BFG 关于x 轴对称，∴DG AB ，DM GM ，∵3OA ，4OB OC ，∴4tan 3OC CAO OA ，设 0OM a a ，则3AM a ，DM GM AM 4连接EQ 、CQ ，∵AE CD ，∴AEQ CDB ≌，∴EQ BD ，当C ，E ，Q 三点共线时，过点C 作CH AQ ，垂足为H ∵OC OB ^，4OC OB ，∴45CBA ，42BC ．∵180CAH CAB EAQ 2523．（2023·广西贵港·三模）抛物线222y x x c 与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点 32D ，为抛物线上一点，且直线CD x ∥轴，点M 是抛物线上的一动点．(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．(2)若点E的纵坐标为0，且以A E D M沿CM翻折，点N的对应点为N ，则是否存在点M，使点N (3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将CMN则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．当AD 为边时，11AE M D Y ，此时1M 和点C 重合，23AM E D Y 时，点2M 的纵坐标和点D 的纵坐标互为相反数，即21322,22x x 341,2x 32341341,2,,2,22M M 由折叠知，CNM CN M ∵90NCN ，∴四边形CNMN 是矩形，∵CN CN 时，∴矩形CNMN 是正方形，∴CM 平分NCN ，。

浙教版初中数学中考复习-折叠问题 (共46张PPT)

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解析：
• 【分析】由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°，∠ABE＝ 90°，
•
求出∠BAE.
• 【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.
•
∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，
•
∴∠BAE＝90°－55°＝35°，
•
∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°
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浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
解析：
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
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浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
考向六：折叠综合问题
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45?解决折叠问题时一是要对图形折叠有准确定位抓住图形之间最本质的位置关系从点线面三个方面入手发现其中变化的量和不变的量发现图形中的数量关系
折叠问题
考情分析：
• 折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在 这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实 质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用． • 折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查的较多，无论是选择题、填 空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直 角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识 来设题．
边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为

中考数学 几何图形的折叠与动点问题

中考数学 几何图形的折叠与动点问题

专题四 几何图形的折叠与点问题
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，AD＝5 cm，E是 DC上 一点(点E不与点D，C重合)，连接AE，以AE所在的直线为折痕，折叠纸 片，点D的对应点为D′，点F为线段BC上一点，连接EF，以EF所在的 直线为折痕折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线ED′上，当CF＝ 4 cm时，DE＝___2_c_m__或__1_0_cm______．
专题四 几何图形的折叠与动点问题
20 ． 如 图 ， 三 角 形 纸 片 ABC ， ∠ A ＝
90°，∠C＝30°，AC＝8 cm，先将该纸片
沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上
的点E处，折痕记为BD(如图1)．剪去△CDE
后得到双层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE 图 1
图2
某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开
类型2 点的位置不确定 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．D是AB 的中点，E是直线BC上一点，把△BDE沿直线ED翻折后，点B落在点F 处，当FD⊥BC时，线段BE的长为___52_或___1_0____．
专题四 几何图形的折叠与动点问题
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边BC上，连接 DE，将△CDE沿DE折叠，若点C的对应点C′ 到AD的距离为1，则CE 的长为__2_3__3_或__2__3___．
专题四 几何图形的折叠与动点问题
17．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一 个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.
3 则在点E的运动过程中，DF的最小值是___2___．
专题四 几何图形的折叠与动点问题

中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题(教师版含解析)

中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题(教师版含解析)

中考专题33 中考专题几何折叠翻折类问题1.轴对称(折痕)的性质：(1)成轴对称的两个图形全等。

(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

(3)对应点到对称轴的距离相等。

(4)对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题(1)求角度大小；(2)求线段长度；(3)求面积；(4)其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法(1)折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

(2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

(3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

(4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

(5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

(6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

【经典例题1】(2020年•哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )A．10°B．20°C．30°D．40°【标准答案】A【答案剖析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

中考数学中的折叠问题

中考数学中的折叠问题

D 'C 'B 'DAE F 中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。

几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。

处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。

所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。

即对应角相等，对应线段相等。

有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。

这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。

例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在或的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ） A 、85° B 、90° C 、95° D 、100°分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。

由题意可知：∠BME=∠，∠CMF=∠，°，又与重合， 则∠EMF=∠+∠=°= 90°，故选B 。

例2（武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在、。

已知∠AFC=76°，则等于（ ）A 、31°B 、28°C 、24°D 、22°分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。

根据题意得：180°-76°=104°，则=104°-76°=28°，故选B 。

例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点的位置，若OB=，，则点的坐标为。

分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。

例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同．．的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。

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中考中的图形折叠、拼接问题分析
2018年中考题中很多地方出现了图形折叠、拼接问题，它考查了学生的动手操作与空间想象能力，培养了学生的创新精神和实践能力，已成为中考的一个热点之一。

下面我们一起研究一下。

一、平面展开图与折叠
例1、（贵阳市2018）年图1是正方体的一个平面展开图，如果折叠成原来的正方体时与边a重合的是（）
（A）d（B）e
（C）f（D）i
答案：A 此题考察了学生的空间想象能力。

二、对折
例2、（浙江省2018年）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图甲（虚线表示折痕）．除图甲外，请你再给出三种不同的
．．．操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲示相同的操作）．
（甲）（乙）
①②③
解析:
三、按要求拼接
此题考察了学生动手操作与创新的能力，学生必须转换角度，调整思路，灵活处理变化了的新问题。

三、拼接
例3、（海淀区2018年）下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形. ________ （请填图形下面的代号）。

答案：②此题若学生把矩形纸按实际要求操作一下，答案很容易得到，但只凭想象答案很有可能出现多选情况。

四、沿某一条直线对折出的复杂题型
例4、（南京市2OO6年）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的
点E 重合.(1)如果折痕FG 分别与AD 、AB 交与点F 、G(如图1)，2
3
AF =
，求DE 的长； (2)如果折痕FG 分别与CD 、AB 交与点F 、G(如图2)，△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长．
解：⑴在矩形ABCD 中，AB=2,AD=1AF=
23
,
∠D=900
.根据轴对称的性质得：EF=AF=23，∵
DF=AD-AF=
1
3
，在RT △DEF 中
DE==。

⑵设AE 与FG 的交点为O ，根据轴对称的性质，得AO=EO,取AD 的中点M ，连接MO,则MO=
12DE, MO ∥DC ，设DE=x ，则MO=1
2
x ，在矩形ABCD 中，∠C=∠D=90︒,∴AE 为AED 的外接圆的直径，O 为圆心，延长MO 交BC 于点N ，则ON ∥CD ，∴∠CNM=1800
-∠C=90︒,∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形，∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=2-1
2
x ，∵AED 的外接圆与BC 相切，∴ON 是AED 的外接圆的半径。

∴OE=ON=2-1
2
x ，AE=2ON=4-x ，在在RT △AED 中，AD 2
+DE 2
=AE 2
，∴12
+x 2
=(4-x)2
，解这个方程，得x=158，∴DE=158
, OE=2-
12x=17
16
,根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ，∴∠FOE=∠D=90︒,又∵∠FEO=∠AED ，∴△FEO ∽△AED, ∴
FO OE AD DE =,∴OE FO AD DE =∙,可得FO=17
30
,又∵AB ∥CD ，∴∠EFO=∠AGO ，∠FEO=∠GAO ，∴△FEO ≌△GAO, ∴FO=GO, ∴FG=2FO=
1715,折痕的长是17
15
.
矩形纸沿某一直线对折这样的问题，需考虑折叠前后哪些量相同,哪些量变化了.此折叠问题与圆的切线、圆的外接圆、全等三角形、相似三角形、勾股定理、轴对称、矩形的判定等联系在一起，综合考查了学生的分析问题、解决问题的能力。

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