2-2大学高数历年期末试题
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则称A为f(x)的极限。
以下哪个选项是正确的？A. 若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处的极限存在B. 若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处的极限不存在C. 若f(x)在x=a处的极限存在，则f(x)在x=a处连续D. 若f(x)在x=a处的极限不存在，则f(x)在x=a处不连续答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^53. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个函数是单调递增函数？B. f(x) = x^2C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。
答案：6x - 27. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是______。
答案：-cos(x) + C8. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C9. 函数f(x) = x^3的不定积分是______。
答案：(1/4)x^4 + C10. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是______。
答案：x*ln(x) - x + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x)]。
答案：112. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。
答案：(x^3 - x^2 + x) + C13. 求定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 3)dx。
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
第二学期高数下期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ÑD LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C. ()-+1edx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3xae ; B.()+3x ax b e ;C. ()+3x xax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430QA B(),,∴=-142u u u rAB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922rn∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590x y z四.（8分）设(),=yz fxy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y. 解：令=u xy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200xy R x y2L ：()=≤≤00x y R3L ：()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：Q xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613Q f x xx x x , 而 ()∞=⋅=-+∑01111212n nn x x , (),-11 ()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33 ()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263Q P Qxy y y x,∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12x x x xx Sx e C e e dx Ce e 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12xx S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
高等数学二期末复习题及答案
高等数学二期末复习题及答案_28171462418361700(共19页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 2240ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C) 223023ad r dr a πθπ=⎰⎰(D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰Lds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d (D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D)4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛 12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数b2期末考试试题及答案
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。
二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。
（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。
（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。
（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。
2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。
原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。
2-2大学高数历年期末试题word资料10页
2019-2019年一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ⎰⎰110 ),(=3．设函数21cos ,0()1,0xx f x xx x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= .4．设曲线C 为圆周222Ry x =+,则曲线积分dsx y x C ⎰+）—（322=二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于 （ ）.(A) 432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π3．下列级数中，收敛的级数是（ ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（ ）（A ） 若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛 （B ）若∑∞=1n na收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞=1n n a 收敛，则1lim 1<=+∞→ρnn n a a三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数. 解：3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面2x 的外侧．7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
高数(2-2)历年期末试题参考答案
2006—2007学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ； （B ）必有→→→→===0c b a ； （C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ； （D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ； （B ）22； （C ）22； （D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ； （B ）632=-+z y x ； （C ）632=++z y x ； （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛； （B ）发散；（C ）绝对收敛； （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面； （B ）平行于z 轴，但不通过z 轴； （C ）垂直于z 轴 ； （D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1， 当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛， 故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-， 最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解 令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
2-2大学高数历年期末试题
2010-2011年一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则2．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-= .4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数. 解：3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D .4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
《高等数学(二)》期末考试卷A(含答案)
《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。
高数II-2练习题及答案
高数II-2一、单项选择1、级数为( )• A、发散• B、条件收敛但不绝对收敛• C、绝对收敛但不条件收敛• D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是( ）。
• A、(2，1, 4)•B、（4，3，4）•C、0•D、(−4，3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（)条件.• A、充分• B、必要• C、充分必要• D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( ）• A、绝对收敛• B、条件收敛• C、发散• D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。
• A、圆• B、椭球• C、抛物面• D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（)。
• A、• B、• C、• D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()• A、• B、• C、• D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。
已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（)分钟.• A、50•B、51•C、52•D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是(）• A、平行于z轴• B、垂直于x轴• C、平行于y轴• D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。
• A、一定发散• B、一定收敛• C、可收敛也可发散• D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是().• A、• B、• C、• D、参考答案 C13、下列说法正确的是（) .• A、两直线之间的夹角范围在• B、两平面之间的夹角范围在• C、两向量之间的夹角范围在• D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（)• A、a〉e•B、a〈e•C、a=e•D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中（）是表示母线平行于y轴的双曲柱面。
2024级经管类高数(二)期末试题与解答A
2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．到两点(1,1,0)A -和(2,0,2)B -距离相等的点的轨迹为（ C ）.A ．230x y z ---=；B ．230x y z +-+=；C ．230x y z +--=；D ．230x y z ++-=．2．微分方程2x y y y e x '''-+=+的非齐次特解形式可令为（ A ）.A ．2x Ax e Bx C ++；B ．x Ae BxC ++；C ．2()x Ae x Bx C ++；D ．x Axe Bx C ++．3．函数22(,)(4)(6)f x y y y x x =--的驻点个数为（ B ）.A.9；B. 5；C. 3；D. 1.4．设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（ D ）.A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23；B.⎰⎰132D yd x σ；C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.0.5．下列级数中，绝对收敛的级数为( C ). A. 111(1)n n n ∞-=-∑；B. 1(1)n n ∞-=-∑； C.111(1)3n n n ∞-=-∑；D. 11(1)n n ∞-=-∑ . 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数22(,)arcsin()ln f x y x y =+-的连续域为221(,)12x y x y ⎧⎫<+≤⎨⎬⎩⎭． 7．2211(),lim(2)n n n n x y a a d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．8．设ln(ln )z x y =+，则1z z y x y ∂∂-=∂∂ 0 ． 9．交换420(,)dy f x y dx ⎰积分次序得2200(,)x dx f x y dy ⎰⎰ ．10．投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量x 的改变率（即边际成本）为()240C x x '=+（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为100万元． 三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求解微分方程2xy y y '-=满意初始条件11x y==的特解. 解：分别变量得d d (1)y x y y x=+ （2分） 两端积分得lnln ln 1y x C y =++，即1y Cx y =+ （5分） 由11x y ==，得12C =故所求通解为 21y x y =+或2x y x=- （8分） 12．设()y x z z ,=由方程3=-+z xy e z所确定，求221x y z zx ===∂∂及221x y z z y ===∂∂.解：令3),,(--+=z xy e z y x F z ，则y F x =，x F y =，1-=z z e F （4分） 所以ze y x z -=∂∂1，z e x y z -=∂∂1221x y z zx ===∂=∂，221x y z z y ===∂=∂. （8分） 13．(,),,.x y y z z z f e f x x y-∂∂=∂∂且可微求， 解：122x y z y e f f x x -∂''=-∂ （4分） 121x y z e f f y x-∂''=-+∂ （8分） 14．设(,)sin()f x y x x y =+，求(,)22xx f ππ，(,)22yy f ππ. 解：sin()cos()x f x y x x y =+++，cos()y f x x y =+ （2分） 2cos()sin()xx f x y x x y =+-+ （4分）sin()yy f x x y =-+ （6分） (,)222xx f ππ=-，(,)022yy f ππ= （8分） 15．求幂级数1n n nx ∞=∑的收敛区间与和函数.解：收敛半径为1R =，收敛区间为(1,1)- （2分）111n n n n nxx nx ∞∞-===∑∑，令11()n n S x nx ∞-==∑,则 （4分） 10011()()1xx n n n n x S x dx nx dx x x ∞∞-=====-∑∑⎰⎰ （6分） 所以在(1,1)-内201()(())()1(1)x n n x x nx xS x x S x dx x x x ∞=''====--∑⎰ （8分） 16．dxdy e I Dy ⎰⎰=2，其中D 是第一象限中由直线x y =与曲线3x y =所围成的闭区域. 解：22310y y y y D I e dxdy dy e dx ==⎰⎰⎰⎰ （3分）2130()y y y e dy =-⎰ （5分） 112e =- （8分）四、试解下列各题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．某种产品的生产原料由,A B 构成，现投入原料,A B 各,x y 单位，可生产出产品的数量为20.01z x y =.,A B 原料的单价分别为10元和20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大？解：目标函数：20.01z x y =，约束条件： 1020300x y +=设2(,,)0.01(1020300)F x y x y x y λλ=++- （2分） 20.021000.0120010203000x y F xy F x x y λλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪+-=⎩（4分） 消去λ解得：200,50x y ==当A 原料购买200单位，B 原料购买50单位时，生产数量最大.（6分）18．由抛物线21(0)y x x =-≥及x 轴与y 轴所围成的平面图形被另一抛物线2(0)y kx x =≥分成面积相等的两部分，试确定k 的值．解：两抛物线的交点为)1k P k+，则2210)A x kx dx =--=（2分） 而12112022(1)3A A A x dx =+=-=⎰ （4分）所以23= 解得3k =． （6分） 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．证明级数2211ln 1sin 7n n n n π∞=⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑发散. 证明：记221ln 1sin 7nn u n n π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是 221lim lim ln 1lim sin 17n nn n n n u n π→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故级数发散. （5分） 20．设(,)z z x y =由方程222()z x y z yf y ++=所确定，其中f 可导. 试证：222()22z z x y z xy xz x y∂∂--+=∂∂ 证明：令222(,,)()z F x y z x y z yf y=++-，则 2x F x =，2()()y z z z F y f f y y y '=-+，2()z z F z f y'=- （2分） 从而22()z x z x z f y∂=-∂'-，2()()2()z z z y f f z y y y z y z f y '-+∂=-∂'- （4分） 所以2222222()2(2()())()22()z z z x x y z xy y f f z z y y y x y z xy z x y z f y'--+-+∂∂--+=-∂∂'- 2xz = （5分）。
高等数学二期末复习题及答案
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
(最终版)2022高数2期末复习卷子
1. 求微分方程y x dxdy23=的通解. 2. 求微分方程()()0x 22=−++dy y x y dx xy 满足初始条件1,0==y x 的特解. 3. 求微分方程x e y x sin 3+=''的通解. 4. 求微分方程056=+'−''y y y 的通解. 5. 求微分方程096=+'+''y y y 的通解. 第八章1. 已知()4,2,3−=a()2,1,1−=b ，求b a •，b a ⨯.2. 求过点()111，，且与平面013z -y x 2=++平行的平面方程.第九章1. 设xy x z sin 2=，求yx z x z dz y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,，.2. 设，求yx ux u du y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂222,,,，.3. 求函数()568,33+−+=xy y x y x f 的极值.4. 求函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值.5. 求()1ln 12222−+++=y x yx z 的定义域.6. 求()22,yx xy y x f +=，求()1,1−f .7. ()()220,1,2lim yx xyy x +−→计算二重积分：1. ()⎰⎰+=Dd y x I δ2,其中D 区域是由2,2==x x y 及x 轴围城的区域.2. ⎰⎰=Ddxdy y x I 22,其中D 区域是由双曲线1=xy ，直线2=x 和x y =围城的区域.3. ()⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 是圆环9422≤+≤y x .4. 三重积分计算:dxdydz z G⎰⎰⎰cos xsiny ，其中(){}20,20,10,,ππ≤≤≤≤≤≤=z y x z y x G5. 三重积分计算：()dxdydz z y x G ⎰⎰⎰++其中(){}20,10,11,,≤≤≤≤≤≤−=z y x z y x G .第11章1. ⎰L xyds ，其中L 为x y 2=从()00，到()21，的直线段.2. ⎰L ds y ，其中L 为抛物线2x y =从()00，到()11，的一段弧.3. ()⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周222a y x =+.4. 计算曲线积分()()dy x y dx L −++⎰y x ,其中L 为 （1）抛物线x y =2从()11，到()24，的一段弧. （2）从()11，到()24，的直线段.5. 验证曲线积分与路径无关，并计算其值：()()()()dy y x x −++⎰d y x 3210，，第12章1. 判断级数的敛散性： （1）∑∞=121n n（2）∑∞=++1)2(1n n n n（3）∑∞=1!2n nn（4）∑∞=+−1232n1n n n2. 判断交错级数的绝对收敛还是条件收敛： （1）()nn n 1111∑∞=−−（2）()nn n 41111∑∞=−−（3）()∑∞=+−1121n nn（4）()()∑∞=+−121n n n n3. 求级数的和. （1）()n n n3111∑∞=− （2）()nn n2511∑∞=−（3）()∑∞=+111n n n 4.求级数()∑∞=−125n n n nx 的收敛域.5.求级数∑∞=123n nnn x的收敛半径和收敛域.。
2021-2022学年高等数学期末考试卷(含答案)
2021-2022学年高等数学期末考试一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1．极限(,)lim y x y →= 。
2．已知函数22ln(1)z x y =-+，则(1,2)|dz = 。
3．设:L 22(1)4x y -+=，则ds y x x L )2(22+-⎰= 。
4．判断级数21(1)1nn n +∞=-+∑ 。
（填绝对收敛，条件收敛，发散）5．点)3,1,2(-M 到平面 0332=+--z y x 的距离为 。
二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数(,)z f x y =在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的（ ）（A ）必要而非充分条件； （B ）充分而非必要条件；（C ）充分必要条件； （D ）非充分又非必要条件。
7．曲面2223z x y =+在点(1,2,14)处的切平面方程为（ ） （A ）41242x y z ++=； （B ）12144121x y z ---==-； （C ）41214x y z +-=； （D ）12144121x y z ---==。
8．幂级数11(21)n n x n ∞=+∑的收敛域为（ ） （A ）(1,1)-； （B ）[1,0)-； （C ）(1,0]-； （D ）[1,0]-。
9．直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角是（ ）。
（A ）2π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）6π。
10．将函数()1f x x =+，[0,]x π∈展开为正弦级数1()sin n n f x b nx ∞==∑，则级数的系数4b =（ ）（A ） 12-； （B ）13； （C ）13-； （D ）12。
三、计算题(本题8分)11. 直线l 过点M(1,2,3)且与两平面02=-+z y x 和6432=+-z y x 都平行，求直线l 的方程。
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
1班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批：----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- dxdy dxdy23班级（学生填写）： 姓名： 学号：----------------------------------------------- 密---------------------------- 封 --------------------------- 线ydx xdy += 22y dxdy -=4三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22x y Ded σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.5班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y ⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
5.计算22()xy dxdydz Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=，2z =围成。
大学高数期末复习卷 试卷与答案1
第二学期高等数学练习题（二）一、 选择题1、在点处),(y x f 可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 的所有二阶偏导数存在 （B ）),(y x f 连续（C ）),(y x f 的所有一阶偏导数连续 （D ）),(y x f 连续且),(y x f 对y x ,的偏导数都存在。
2．设22),(y xy x y x f -+=的驻点为)0,0(,则)0,0(f 是),(y x f 的 （ ）(A)极大值; (B) 极小值; (C) 非极值; (D) 不能确定.3．微分方程x xey y y 2'"65=+-的特解形式是（ ） (A) bx ae x +2 (B) x e b ax 2)(+(C) x e b ax x 2)(+ (D) x e b ax x 22)(+4．曲面1232222=++z y x 上，点)1,2,1(-处的切平面方程是（ ）A 、24682=-+z y xB 、2068=+-z y xC 、1234=-+z y xD 、1234=+-z y x5．下列级数条件收敛的是（ ）（A ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n（B ）211)1(n n n ∑∞=- （C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）n n n 1sin )1(1∑∞=- 6．设n 是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则z y x u 2286+=在点P 沿方向n 的方向导数为（ ）（A ）0 （B ）711 （C ）117 （D ）2 。
7．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。
A. 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。
二、填空题1、微分方程 x y y x cos =+' 的通解是2．交换积分⎰⎰--x x dy y x f dx 1110),(的次序成为 。
高数二期末考试题
高数二期末考试题第一篇：高数二期末考试题高数是我们比较难学的一个科目，下面是小编整理的高数二期末考试题，希望对你有帮助。
一、填空。
（28分值）1、1米=（）厘米 45厘米-6厘米=（）厘米37厘米+5厘米=（）厘米23米-8米=（）米2、6个3相加，写成乘法算式是（），这个式子读作（）。
3、在下面的（）里最大能填几？（）×6＜27（）＜3×74×（）＜15 35＞7×（）4、在算式4×7=28中，4是（），7是（），28是（）。
5、先把下面的口诀补充完整，再根据口诀写出两道乘法算式。
八九（）（）二十四6、小芳和小伙伴们计划两天做100颗星，昨天做了58颗，今天他们大约要做（）颗。
7、一把三角板上有（）个角，其中（）个是直角。
8、算得积是18的口诀有（）和（）。
9、在○里填上“+”、“-”、“×”或“＜”、“＞”、“=”。
8○6=48 36○73-37 9×7○652○2=4 43○6×7 18○9=9二、判断。
（5分值）1、9个相加的和是13。
（）2、小强身高大约是137厘米。
（）3、角都有一个顶点，两条边。
（）4、计算48+29，得数大约是70。
（）5、1米和100厘米一样长。
（）三、选择题。
（把正确答案的序号填在括号里，5分值）1、5个3相加是多少？正确的列式是（）Ａ、5+5+5=15 B、5＋3=８ C、5×3=152、用2、6、0三个数字组成的两位数有（）个。
Ａ、２ B、４Ｃ、６3、小明有50元钱，买故事书花了28元，他大约还剩（）元。
A、22B、30C、204、5+5+5+4，不可以改写成算式（）。
A、5×4B、5×3+4C、4×5-15、4个好朋友见面互相拥抱一次，共要拥抱（）次。
A、3次B、4次C、6次四、计算。
（26分值）1、用竖式计算。
（15分值）90-47= 59+26= 63-28=37+46-54= 81-32-27= 42-34+57=2、列式计算。
高数期末试题 及答案
高数期末试题及答案1. 选择题（每题2分，共40分）
1.1 选择题题干
答案：选项A
解析：解析内容
1.2 选择题题干
答案：选项B
解析：解析内容
......
2. 填空题（每题4分，共40分）
2.1 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
2.2 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
......
3. 计算题（每题10分，共80分）3.1 计算题题干
解答：
计算过程
3.2 计算题题干
解答：
计算过程
......
4. 证明题（每题20分，共80分）4.1 证明题题干
解答：
证明过程
4.2 证明题题干
解答：
证明过程
......
5. 应用题（每题15分，共60分）5.1 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
5.2 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
......
综上所述，这是一份高数期末试题及答案，包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。
每道题目都提供了准确的答案和解析，以帮助同学们检验和巩固他们的数学知识。
请同学们认真阅读每道题目并按照正确的解题思路和步骤进行答题。
祝大家期末考试顺利！
（文章结束，共计xxx字）。
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2-2大学高数历年期末试题2010-2011年一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dxx x f dy y ⎰⎰11 0 ),(=3．设函数21cos ,0()1,0xx f x xx x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= . 4．设曲线C 为圆周222R y x =+,则曲线积分dsx y x C⎰+）—（322=二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则222x y z dvΩ++等于（ ）.(A)432R π (B) 4R π (C)434R π(D) 42R π3．下列级数中，收敛的级数是（ ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(n n nn n (B)∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（ ）（A ） 若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛 （B ）若∑∞=1n na收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n na收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞=1n na 收敛，则1lim 1<=+∞→ρn n n a a三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求yx u ∂∂∂2.2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数. 解：3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D .4. 设立体Ω由锥面22z x y =+及半球面2211z x y =--围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D xydxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y x y x .五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--=（1）设),(0y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(0y x g ，试写出),(0y x g 的表达式。
（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找使（1）中的),(y x g 达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。
2009-2010年一、 填空题（每小题5分，满分30分）1. 若向量→→→c b a ,,两两互相垂直，且5,12,13a b c →→→===和，则=++→→→c b a.2．设函数22sin y z xy x=，求z z xy x y∂∂+=∂∂.3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：22120(,)y y dy f x y dx -=⎰⎰. 4. 计算(1,2)(0,0)()(2)y y I e x dx xe y dy =++-=⎰. 5.幂级数nn n x n 213∑∞=的收敛域为：. 6. 设函数)()(2πππ<<-+=x x x x f 的傅里叶级数为：∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则其系数 3b = . 二、 选择题（每小题5分，满分20分） 1．直线11231-=-=-z y x 与平面34-2x y z +=的位置关系是( )(A) 直线在平面内； (B) 垂直；(C) 平行； (D) 相交但不垂直.2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ ）(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值. 3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则⎰=+-Ly x ydxxdy 22（ ） (A) 0； (B) π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a 为常数，则级数21sin n na n n ∞=⎛ ⎝∑（ ） (A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (本大题满分42分)1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=.)0,0(),(,0),0,0(),(,),(422y x y x y x xy y x f 讨论(,)f x y 在原点)0,0(处是否连续，并求出两个偏导数)0,0(xf '和)0,0(yf '. (7分)本页满分14分本页得分2. 计算,222⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x I 其中Ω是由上半球面222y x z --=和锥面22y x z +=所围成的立体 . (7分)本页满分14分 本页3. 求锥面22y x z +=被柱面222x y x+=所割下部分的曲面面积.（7分）4. 计算曲面积分 ⎰⎰∑++=ydzdxx xdydz z zdxdy y I 222 ，其中 ∑ 是由,22y x z +=0,0,0,122====+z y x y x 围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）得分5.讨论级数312ln n n n∞=∑的敛散性. （6分）6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展成(1)x -的幂级数.（8分）本页满分14分 本页得分四、 （本题满分8分）设曲线L 是逆时针方向圆周1)()(22=-+-a y a x ，()x ϕ是连续的正函数，证明：.2)()(πϕϕ≥-⎰Ldx x y y xdy五、 设曲线L 是逆时针方向圆周1)()(22=-+-a y a x ，()x ϕ是连续的正函数，证明：.2)()(πϕϕ≥-⎰Ldx x y y xdy（8分）本页满分8分 本页得分本页满分8分 本页得分2008-2009年一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,满足关系式⨯=⨯，则（ ）. （A ）必有=; （B ）必有0=-c b ;（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有λλ()(-=为常数). 2. 直线37423zy x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ ）.（A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,5),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处（ ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2)()(y x ydydx ay x +++为某二元函数的全微分，则=a （ ）.（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设)(u f 是连续函数，平面区域)11(,10:2≤≤--≤≤x x y D ，则=+⎰⎰Ddxdy y x f )(22（ ）.（A ）⎰⎰-+2102210)(x dyy x f dx ; （B ）⎰⎰-+2102210)(y dxy x f dy ;（C ）⎰⎰120)(rdr r f d πθ; （D ）⎰⎰120)(dr r f d πθ.6. 设a 为常数，则级数)cos 1()1(1n a n n--∑∞=（ ）. （A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）. 1. 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，向量}1,1,1{=n ，点)3,2,1(0P ，=∂∂0P n u_____________.2. 若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a ____________.3. L 为圆122=+y x 的一周，则=-⎰L ds y x )(22_____________.4. 设2lim 1=+∞→nn n a a，级数∑∞=-112n n n xa 的收敛半径为_____________.5. 设⎰-=221)(x y dye xf ，则=⎰10)(dx x xf _____________.6. 设)(x f 是以2为周期的周期函数，它在区间]1,1(-上的定义为⎩⎨⎧≤<≤<-=10,01,2)(3x x x x f ，则)(x f 的以2为周期的傅里叶级数在1=x 处收敛于_____________. 三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设)(u f 是可微函数，)(xyf z =，求yzy x z x∂∂+∂∂2.解题过程是：2. （本小题6分）计算二重积分⎰⎰+++Ddxdy y x xy2211，其中}0,1|),{(22≥≤+=x y x y x D . 解题过程是：3. （本小题6分） 设曲面),(y x z z =是由方程13=+xz y x 所确定，求该曲面在点)1,2,1(0-M 处的切平面方程及全微分)2,1(|dz . 解题过程是：4. （本小题6分） 计算三重积分⎰⎰⎰Ω+dxdydzy x 22，其中Ω是由柱面21x y -=及0=y ，0=z ，4=++z y x 所围成的空间区域. 解题过程是：5. （本小题6分）求⎰⎰∑++zdxdy dydz z x )2(，其中∑为曲面)10(22≤≤+=z y x z ，方向取下侧.解题过程是：6. （本小题7分） 求幂级数∑∞=+121n nx n n 的收敛域及和函数.解题过程是：7. （本小题7分）计算⎰⎰∑+=dSy x I )(22，∑为立体122≤≤+z y x 的边界。