大学高数期末考试题
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
大学高数期末试题及答案
大学高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = sin(x)答案：C2. 函数f(x) = 2x + 1在x=2处的导数是：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B3. 曲线y = x^2 + 1在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 定积分∫(0到1) x dx的值是：A. 0.5B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。
答案：12. 函数y = ln(x)的不定积分是______。
答案：xln(x) - x + C3. 微分方程dy/dx + y = e^(-x)的通解是______。
答案：y = -e^(-x) + Ce^(-x)4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是______。
答案：x = 1, x = 2三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的极值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4。
令f'(x) = 0，解得x = 2。
将x = 2代入原函数，得到f(2) = 3，这是函数的极小值。
2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。
答案：根据定积分的性质，∫(0到π) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。
四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明函数f(x) = x^3在R上是连续的。
答案：对于任意实数x，有f(x) = x^3。
因为多项式函数在其定义域内处处连续，所以f(x) = x^3在R上是连续的。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
大学高数测试题及答案
大学高数测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：D4. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是：A. x^2B. x^3C. x*ln(x)D. x*ln(x) - x答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f'(x)=______。
答案：3x^2+4x-52. 曲线y=x^2与直线x=2所围成的面积为______。
答案：4/33. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
答案：1/24. 函数y=e^x的泰勒展开式为______。
答案：1+x+x^2/2!+x^3/3!+...三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：e2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的值。
答案：f(2)=23. 求不定积分∫(2x^2-3x+1) dx。
答案：(2/3)x^3-(3/2)x^2+x+C四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么存在一点c∈(a,b)，使得∫(a到b) f(x) dx = f(c)(b-a)。
答案：略2. 证明：函数f(x)=x^2在R上是凸函数。
答案：略。
南航高数期末考试试题
南航高数期末考试试题# 南京航空航天大学高等数学期末考试试题## 一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + 2y = 6x的解：A. y = 3x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x^2 + CD. y = 3x + C4. 曲线y = x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 35. 函数f(x) = ln(x)在区间[1, e]上的平均变化率是：A. 1/eB. 1C. eD. e - 1## 二、填空题（每题2分，共10分）6. 若∫(1/x)dx从1到2的积分结果是1，则常数C的值为______。
7. 函数f(x) = √x在x=4处的导数是______。
8. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的二阶导数是______。
9. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是______。
10. 函数y = e^x - x^2在x=0处的泰勒展开式是y = e^x - ______。
## 三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x)dx。
12. 求函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[0, 2]上的定积分。
13. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在x=1处的高阶导数f^(5)(x)。
## 四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明函数f(x) = x^3在R上是严格递增的。
15. 证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = (f(b) -f(a))/(b - a)。
西南大学高等数学期末考试试卷(含答案)
西南大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．函数是微分方程的解．
A、正确
B、不正确
【答案】B
3．微分方程满足的特解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数的单调增加区间是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
5．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
6．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
7．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
8．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
10．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
12．．
A、正确
B、不正确
【答案】B
13．函数的图形如图示，则函数 ( )．
A、有四个极大值
B、有两个极大值
C、有一个极大值
D、没有极大值
【答案】C
14．设，则=（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
15．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。
武汉理工大学大一(下)高数期末试题
武汉理工大学高等数学（下）考试试题一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分) 级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件是 .2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)ydy f x y dx ⎰⎰= .3. (4分) 微分方程2442xy y y x e '''-+=的一个特解形式可以设为 .4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、 选择题(每题4分,共16分)1. (4分) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ).A. (1,-1,2);B. (-1,1,2);C. (1,1,2);D. (-1,-1,2).2. (4分) 级数13121(1)n n n ∞-=-∑为（ ）. A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定.3. (4分) 若∑是锥面222x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分22()x y dS ∑+=⎰⎰( ).A. 1200d r rdr πθ⋅⎰⎰; B. 21200d r rdr πθ⋅⎰⎰;C.1200d r rdr πθ⋅⎰;D.21200d r rdr πθ⋅⎰.4. (4分)幂级数11(1)n nn n ∞-=-∑( ).A. 2;R =B.1;2R = C.3;R = D.1.3R =三、 解答题(每题7分,共63分)1．(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz .2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω=⎰⎰⎰其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域.3． (7分) 求(1)I y z dS ∑=++⎰⎰,其中∑是平面5y z +=被圆柱面2225x y +=截出的有限部分.4． (7分) 求幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛域.5． (7分) 将21()2f x x x=--展开为麦克劳林级数.6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)xxL I e y y dx e y dy =-+-⎰,其中L 为22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周.7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=+++++⎰⎰ ,其中∑为曲面2224x y z ++=的内侧.9．(7分) 计算曲线积分()LI x y ds =+⎰,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1)A B 为顶点的三角形折线.四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分222222()()ttCx x y x x y I dx dy yy++=-⎰与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.评 分 标 准一、 1.lim 0;n n u →∞= 2.110(,);x dx f x y d y ⎰⎰3.*222()x y x Ax Bx C e =++;4..d rdrd σ=θ 二、 1. C; 2. A; 3.D. 4.D.三、 1.解 c o s ()xy x z x y ye =++ 3 分 c o s ()xyy z x y xe =++ 3 分[c o s ()][c o s ()x yx yd z x y y ed x x y xe d y=+++++ 7分 2.解 11122000xx y I dx dy xdz ---=⎰⎰⎰3 分11200(12)xxdx x y dy -=--⎰⎰ 5分12301(2)4x x x dx =-+⎰ 6分148=7分3.解 :5z y ∑=- 1分22:25D x y +≤ 2分(15DI y y =++-⎰⎰ 4分Ddxdy = 6分= 7分4. 解 1R = 2分当2x =时收敛 4分 当0x =时发散 6分 收敛域为(0,2]. 7分5.解 21111231212x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+---⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2分 ()11316(1)2x x =+-+ 3分0011(1)362nn n n n x x ∞∞==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑ 5分 10111(1)32nn n n x ∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑ 6分 1x < 7分6.解sin x P e y y =-, cos 1xQ e y =- 1分1Q P x y∂∂-=∂∂ 3分由格林公式得DI dxdy =⎰⎰ 6分221228a a π⎛⎫==π ⎪⎝⎭ 7分 7.解()224xdxxy e C xe dx ⎰-=+⎰ 3分222[2()]xxe C e d x -=+⎰ 4分22xCe-=+ 5分将03x y ==代入上式得 1C = 6分 所求特解为22xy e -=+ 7分8.解 利用高斯公式得6I dv Ω=⎰⎰⎰ 4分4643=⋅π⋅ 6分32=π 7分9.解 ()()()O AO BB AI x y d s x y d s x y d s=+++++⎰⎰⎰ 101()2OAx y ds xdx +==⎰⎰ 2分101()2OBx y ds ydy +==⎰⎰ 4分10()(1BAx y ds x x +=+-=⎰⎰6分1I ∴=+7分四、 解2212222()(2)t P x x y ty x y y y-∂+=⋅--∂ 1分22122222()()t Q x x yx y tx xy-∂-+=⋅++∂ 2分令P Q yx∂∂=∂∂可得22(21)()0t x y ++=因为0,y ≠所以12t =-3分因曲线积分与路径无关,故取从点(1,1)A 经点(0,1)D 到点(0,2)B 的折线积分10I =+⎰ 4分1=- 5分。
兰州交通大学高数期末考试题2022
兰州交通大学高数期末考试题2022一、填空题（每小题3分，共15分）1. =___________解析：由于正弦函数为有界函数，所以0乘以有界函数为0，即结果为0。
2.函数在点处可导是在点处可微的_____________条件解析：可导必可微，可微必可导，所以此处填充要。
3.设且存在，则dy=_______________解析：由于，所以。
4.已知连续，,则曲线在点处的切线方程为_________________解析：由于，所以所求切线斜率为，所以所求切线方程为即。
5.如果,则=_________________解析：根据导数定义，，所以原式等于。
二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数且，.则点一定是的（A）（A）极大值点（B）极小值点（C）最大值点（D）最小值点解析：根据极值点判定的第二充分条件，为极大值点。
2.当时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（B）（A）（B）（C）（D）解析：（A）（B）（C）（D）根据高阶无穷小的定义，选择B3.，则（D）（A）（B）（C）（D）解析：用对数求导法，先对原式两边取对数得，再两边求导得，所以，故选D。
4.设为连续函数，且，则下列各式中成立的是（A）（A）（B）（C）（D）解析：A正确B：C：D：5.是（D）的第二类间断点（A）（B）（C）（D）解析：A：，为第一类间断点B：，为第一类间断点C：，，，为第一类间断点D：，，为第二类间断点；故选择D 三、计算下列极限（每小题5分，共10分）1.解：法一（洛必达法则）：原式法二（等价无穷小）：原式；2.解：令，则原式四、计算下列各题（每小题5分，共10分）1.设，求解：因为所以2.求由方程确定的隐函数的导数解：方程两边对求导得，整理可得：五、求参数方程的导数（6分）设方程确定了，求；解：六、计算下列积分（每小题5分，共15分）1.解:原式2.解：令，则原式3.解：令，则原式七、计算下列面积与体积（每小题5分，共10分）1.求由曲线和直线所围平面图形的面积解：计算面积需要用二重积分，联立，解得交点为，，则2.求由曲线和直线所围图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。
海南师范大学高等数学期末考试试卷(含答案)
海南师范大学高等数学期末考试试卷(含答案)
一、高等数学选择题
1．由曲线，直线，轴及所围成的平面图形的面积为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
2．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
3．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
4．不定积分，其中为任意常数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
5．不定积分（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
6．微分方程满足的特解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
7．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
8．不定积分 ( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
9．极限（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
10．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
11．是微分方程．
A、正确
B、不正确
【答案】B
12．设，则=（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
13．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
14．函数的导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
15．．
A、正确
B、不正确
【答案】B。
哈尔滨商业大学高等数学期末考试试卷(含答案)
哈尔滨商业大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．点是函数的极值点．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．设，则=（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
3．不定积分．
A、
B、
C、
D、
【答案】A
4．微分方程的通解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
5．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】A
6．设函数，，则函数．
A、正确
B、不正确
【答案】A
7．设，不定积分（1）
（2）（3）则上述解法中（）．
A、第（1）步开始出错
B、第（2）步开始出错
C、第（3）步出错
D、全部正确
【答案】A
8．极限．
A、正确
B、不正确
【答案】A
9．函数的定义域为．
A、正确
B、不正确
【答案】A
10．（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
11．不定积分( )．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
12．．
A、正确
B、不正确
【答案】B
13．不定积分.
A、正确
B、不正确
【答案】A
二、二选择题
14．不定积分 ( )．A、
B、
C、
D、
【答案】A
15．（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。
西安电子科技大学高数期末试题
西安电子科技大学高数期末试题1. 闭卷考试，考试时间120分钟；2.共六大题，满分100分；3.考试日期：2019.12一、单项选择题（每小题4分，共16分）1. 曲线y =y)-ln(x +sin(xy)在（1,0）处的切线方程是（ ）.(A)y=x -1 (B)x=y -1 (C)y=1-x (D)x=1-y2.y=x 2+x(x<0)上曲率为22的点的坐标是（ ）. (A)（-3,6） （B ）（-1,0） （C ）（-4,12） (D ）（-2,2）3.极限=+++∞→n n n n n n 1222])1)21()11ln[(lim （ （ ）. （A ）⎰212ln xdx （B ）⎰21ln 2xdx （C ）⎰+21)1ln(2dx x （D ）⎰+212)1(ln dx x 4.设C 为任意常数，则微分方程0=+yx dx dy 的通解是（ ）. （A ）222C y x =+ （B ）222C y x =- （C ）C y x 222=- （D ）Cx y x 222=+二、填空题（每小题4分，共24分）1.极限=--→xx e e xx x sin lim sin 0__________. 2.曲线56323-+-=x x x y 的拐点为___________.3.不定积分⎰=---dx x x x 2152___________. 4.以曲线])1,0[(∈+=x x e y x 为曲边绕x 轴旋转一周所得立体的体积V=_________.5.若⎰+-=1032)(1)(dx x f x x x f ，则⎰=10)(dx x f ________. 6.星形线{,33cos sin t x t y ==在第一象限（0≤t ≤2π）的弧长为__________. 三、计算题（每小题7分，共35分） 1.已知⎰==x x e x f ux xf dt t f 0)(),()(且，求极限u x +→0lim .2. 设)(x f 的一个原函数为)1ln(2x x ++，求⎰'dx x f x )(.3. 计算由函数x x x f 8cos )(=，直线π2=x 以及两个坐标轴在第一象限所围图形的面积.4.已知⎰+∞=02sin πdx x x ，求⎰∞+022.sin dx x x5.求微分方程0103=-'-''y y y 满足初值条件10)0(2)0(='=y y 和的特解.四、（8分）设函数)x （ϕ连续，2019)(lim )()(010==→⎰x x dt xt x f x ϕϕ，且，求).()(x f x f '和五、（9分）求微分方程22y xy y x =+'满足初始条件1)1(=y 的特解.六、（8分）设函数)(x f 在[0,1]上具有二阶导数且)(x f ''≤0，⎰-=10||)()(dy y x y f x F ，其中0≤x ≤1，证明（1）⎰''=102)()2();(21)(dx x f x F x f ).31(f。
北京化工大学高数(上)期末试题
2013-2014北京化工大学高数（上）期末试题一.填空题1. lim x→0sin(ln(1+x))e x −1=________2. x =0是函数f (x )=x 1+x √1+1x 2的______型间断点.3. 设y =x cosx ,则y ′=_______4. 已知y =y (x )是由方程{x =tcost y =tsint 所确定的函数，则曲线y =y (x )在(−π,0)处的切线方程为________二．解答题 1.设f (x )=arcsinx,g (x )=√x,其中x ∈(0,1),试求f [g ′(x )]{f [g (x )]}′2.计算不定积分∫tan 3xdx .3.求曲线y =x 2lnx 的凹凸区间和拐点.4.设f (x )={cosx,x ∈[0,π2)1,x ∈[π2,π],求函数F (x )=∫f (t )dt x 0在[0,π]上的具体表达式.5.求由曲线y =e x ,y =e −x ,x =1所围成平面图形的面积.6.设函数f (x )在(−∞,+∞)内连续,证明：∀a ∈R ,有∫f (x )dx =∫[f (x )+f(−x)]dx a 0a −a 成立. 7.计算定积分∫[sinx 1+x 8+√ln 2(1−x)]dx 12−12 8.求心形线ρ=2(1−cosθ)的全长.9.设f (x )在(0,+∞)内连续且恒为正值，证明：函数φ(x )=∫tf (t )dt x 0∫f (t )dt x 0在(0,+∞)上是单调递增函数。
10.已知函数f(x)在[a,b]上的二阶导数是连续的,求证:∃ε∈[a,b],使得等式∫f (x )dx b a =f (a+b 2)(b −a )+124f′′(ε)(b −a)3恒成立.。
西安财经大学 期末考试 高数
一、选择题
1.下列各对函数中是同一个函数的原函数的是（）
A 和 B. 和
C. 和 D. 和
2.下列函数中没有原函数的是( )
A.可导函数B.有界函数
C.连续函数D.可微函数
3.下列积分公式正确是( )
A. B.
C. D.
4.设 满足 ，则下列式子成立的是( )
A. B.
C. 不存在D. .
5.函数 在 上可积是 在 上可导的( ).
A.无关条件B.充分条件C.充要条件D.必要条件
6.下列微分方程中是二阶微分方程的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题
1.设 ，则 =.
2. .
3. .
4. ，
5. .
6.反常积分 ，当时，收敛，当时，发散.
7. .
三、计算题
1.求不定积分
2.求不定积分
3.求不定积分
4.求极限 .
5.求定积分
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
Aபைடு நூலகம்
B
C
D
A
B
二、填空题
1. 2. 3 ,
4. ,5.
6. , ,7. ,
三、计算题
1.解：
2.解：
3.解： (4)
4.解：
5.解：
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高等数学（上）期中测试题一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设1(1),0(),0x x x f x x ax ⎧⎪-<=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续，则a =---。
解()()11110lim 1lim 1xxx x x x e -----→→⎧⎫⎡⎤-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭()0lim x x a a +→+=,有连续性有a =-1e2. 已 知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim 2h f h f h→--=1-。
解 已知()0(3)(3)3lim2h f f h f h→--'==则00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h→→----=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0,]2π上的最大值为6π+解 令()12sin 0f x x '=-=得6x π=则最大值为6π+4. 设5(sin )5(1cos )x t t y t =+⎧⎨=-⎩， 则t dy dx=0,22t d y dx==120解()5sin 051cos t t t dy dy t dtdx dxt dt======+5. 设1(0)x y x x +=>，则y '=()1ln x x x x x ++解 两边取对数有()ln 1ln y x x =+两边关于x 求导得1ln y x x y x'+=+,整理后即得结果6. 设函数()y y x =由方程cos()0x y xy ++=确定，则dy =sin 11sin y xy dx x xy --。
解 对方程两边关于x 求导 得:sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy =sin 11sin y xy dx x xy-- 7. 曲线2xy e-=在点(0,1)M 处的曲率K=25解20022xx x y e-=='=-=- 20044xx x y e-==''==则()()332222425112y k y''===⎡⎤'++-⎣⎦8.函数()xf x xe =在01x =处的二阶泰勒公式为()f x =解 由()()()n xfx n x e=+,代入泰勒公式即得二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ）。
A. lg sin x ；B.1cos x ；C. 1sin x； D. 12x e-。
解0.limlg sin x A x →=-∞ 01.limcos x B x →不存在01.limsin x C x→不存在 210.lim 0x x D e -→=2.设21sin ,0()0,0x f x xx ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（C ）。
A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续； C ．连续，但不可导； D. 可导。
解由()201lim sin 00x f x →== 则()f x 在点0x =处连续又()()()21sin 00limlimx x f x f x f x x→→-'==-201limsin x x→=不存在 则()f x 在点0x =处不可导3.设arccos sin 2x y =，则1()2y '=（A ）。
A. 12-；B. 2-；C. 12；D. 2。
解1212arccos 111cos 222x x x y ==⎛⎫'=⋅⋅=- ⎪⎝⎭ 4.曲线cos sin x t t y t t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程是（ B ）。
A.4()848y x ππππ-+-=-+；B. 4()848y x ππππ+-=--+ ； C. y x =；D.y x =-。
解444sin cos 4cos sin 4t t t dy dy t t t dt dx dxt t tdtπππππ===++===--则切线方程为442442y x ππππ⎛⎫+-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭5.已知函数2cos xy ex =+，则(40)y=（A ）。
A.4022cos xe x ⋅+； B. 4022sin xex ⋅+；C.2cos xex +； D. 2sin xex +。
解()()()()222cos cos 2n n xn xn e ex x π⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭则即得结果A6.曲线53y x x=+的凹区间是（B ）。
A.(,0)-∞； B. [0,]+∞； C.(,)-∞+∞； D. 以上都不对。
解2133552101333y xy x-'''=+=⋅=当()0,+x ∈∞时,y <0'',则曲线是凹的7.若()(),()f x f x x -=-∞<<+∞，在(,0)-∞内()0f x '>且()0f x ''<，则在(0,)+∞内有（ C ）。
A.()0,()0f x f x '''><； B. ()0,()0f x f x '''>>； C.()0,()0f x f x '''<<； D. ()0,()0f x f x '''<>。
解 设()0,x ∈+∞ 则(),0x -∈-∞又()()()-00f x f x f x '''>∴=--<由()()-f x f x ''''= 且 ()0f x ''-< 则()0f x ''<8. 函数()y f x =对 一 切x 满足2()3[()]xf x x f x '''+1x e -=- ，若0()0f x '=，0(0)x ≠则（ B ）。
A.0()f x 是()f x 的极大值； B.0()f x 是()f x 的极小值；C.0,0(())x f x 是曲线()y f x =的拐点；D.0()f x 不是()f x 的极值，00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点。
解()000011x x x e e f x x x e---''== 当()0000x f x ''<>， 当()0000x f x ''>>也即()00f x ''≠，则0x x =不是拐点又()00f x ''>,则0()f x 是()f x 的极小值三．解答题：1.求函数2ln ()xf x x=的单调区间与极值。
（8分）解 定义区间为()0,+∞,令()2212ln ln x x x x f x x ⋅⋅-'=222ln ln 0x x x-==有1x = 或者 2x e=则在2(0,1][,)e +∞单调减少,在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调增加极小值:()10f =, 极大值:()224fe e= 2.求下列极限。
（每小题6分）解 原式200111cos 112lim ()lim sin 2x x x x x x x x →→-==⋅=解 应用洛比塔法则,有原式()()11sin 1cos 1limcos22x x x xππ→⎡⎤--⎣⎦-=-3.确定函数11()1x xf x e-=-的间断点，并指出间断点所属的类型。
（8分）解 函数在x 0,x=1=处无定义. 由于 010lim 110xxx ee -→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故()0lim x f x →=∞,从而0x =是()f x 的无穷间断点又11lim ,lim 11x x x xx x+-→→=-∞=+∞--,故 所以()()10,11f f -+==,因此1x =是()f x 的跳跃间断点4.（8 分 ） 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1(0)(1)0,()12f f f ===，证明：(1) 存在1(,1)2η∈，使()f ηη=； (2) 存在(0,1)ξ∈，使得()()1f f ξξξ'-+=。
证(1) 设()()F x f x x =-由()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导则()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,可导 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上111111022222F f ⎛⎫⎛⎫=-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点定理,在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一点η,使()0F η=即()f ηη=(2)设()()xfx x G x e -=,()G x 在[]0,η上连续,在()0,η内可导,且()()00000fG e -==则在()0,η内至少存在一点ξ,使即()()10f e f e ξξξξξ'⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦ 则 ()()1f f ξξξ'-+=因为()()0,0,1η⊆,则()0,1ξ∈,即结论成立。