最优化方法课程设计-斐波那契法分析与实现-完整版

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最优化算法实验2-0.618法与斐波那契法

0.618法(斐波那契法)的Matlab 实现实验目的：1、通过本次实验了解线性搜索，加深对试探法的理解2、根据0.618法(斐波那契法)的算法步骤编写相应的Matlab 程序，并利用matlab 程序计算求解实验要求：1、学习MATLAB 利用0.618法(斐波那契法)解决最优化问题的程序设计方法。

2、对问题进行编程和解决问题。

3、按照格式规范，撰写计算机实践报告。

实验内容：1. 0.618法的基本思想:通过取代试探点和进行函数值的比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短，当区间长度缩短到一定程度时，区间上各点的函数值均接近极小值点的近似。

使用前提：要求所考虑区间上的目标函数是单峰函数，即在这个区间上只有一个局部极小点的函数。

2.算法步骤：步 1.选取初始数据。

确定初始搜索区间[]11,b a 和精确要求t>0，设置初始试探点11,μλ，)(618.0)(382.011111111a b a a b a -+=-+=μλ计算。

，令和1)()(11=k μϕλϕ 步 2.比较目标函数值。

若)(1λϕ>)(1μϕ,转步3；否则转步4。

步 3.若t b k k ≤-λ，则停止计算，输出k μ；否则，令：)(618.0:),(:)(,:,:,:111111k k k k k k k k k k k k a b a b b a -+=====++++++μμϕλϕμλλ计算)(11+k μϕ，转步2。

步4.若t a k k ≤-μ，则停止计算，输出k λ；否则，令)(382.0:),(:)(,:,:,:111111k k k k k k k k k k k k a b a b a a -+=====++++++λλϕμϕλμμ计算)(11+k λϕ，转步2。

3.编写0.618法Matlab 程序求解最优化问题y=cos3x 在区间[1,2]上的最优值.4.参照0.618法算法为例编写菲波那切法Matlab 程序.。

Fibonacci法

最优化理论课程设计Fibonacci 法*Fibonacco 法特点&适用条件->可以用相同的试点数计算出最精确的解的估计区间. ->所用函数)(t f 为下单峰函数基本算法->确定试点个数n->根据相对精度δ，得出Fibonacci 数Fn ->使n 是满足δ≤nF 1的最小数。

->对于初始区间],[00b a令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+='-+=--)()(0010100101a b F F a t b a F F b t n n n n计算函数值)(),(11t f t f '，比较其大小若)()(11t f t f '<，则令121101,,t t t b a a =''==，并令)(111212b a F F b t n n -+=--否则，令120111,,t t b b t a '===，并令)(111212a b F F a t n n -+='--如第3步继续迭代，通式为2,,2,1,)()(11111111-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+='-+=--+-----+---n k a b F F a t b a F F b t k k k n k n k k k k k n k n k k令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++='+=-------))(21()(212221221n n n n n n n a b a t b a t ε，其中ε是充分小的数在11,--'nn t t 两点中以函数值较小的为近似极小点，相应的函数值为近似极小值，并得最终区间],[12--'nn t a 或],[21--n n b t程序流程开始->对确定的精度计算min（n）->设置初始区间&令k=1->判断k=n-1是否成立-> ①-》满足，得出近似解与区间估计②-》不满足，k=k+1，执行上步骤图示数值试验&结果分析课题，图像，数值求函数在区间（0,4）的近似极小点&极小值精度是分别将区间缩小至0.01,0.05,0.001.0.0001，0.00001倍函数图象1.精度是将区间缩小到初始区间的0.01倍注->黑点：程序迭代中的ak，bk的值红点：近似极小值。

斐波那契数列快速算法-概述说明以及解释

斐波那契数列快速算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述斐波那契数列作为一个经典的数学问题，一直以来都受到广泛的研究和关注。

它的定义是：每个数都是前两个数的和，即第n个数为第n-1个数与第n-2个数的和。

斐波那契数列的前几个数字是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34等。

常规算法是通过递归或循环生成斐波那契数列，但在求解大数列时，这些算法存在效率低下的问题。

因此，我们需要寻找一种更快速的算法来计算斐波那契数列。

本文将详细介绍一个快速算法，该算法可以快速地生成斐波那契数列的任意项，而不需要进行递归或循环。

通过使用矩阵的乘法，我们可以将斐波那契数列的计算转化为矩阵的幂运算。

本文的目的是介绍这种快速算法并分析其优势。

通过对比常规算法和快速算法的运行时间和空间复杂度，我们可以看到快速算法在求解大数列时的优势。

在接下来的章节中，我们会首先介绍斐波那契数列的基本概念和问题背景。

然后，我们将详细讨论常规算法的实现原理和缺点。

接着，会逐步引入快速算法的原理和实现方法，并进行算法效率的对比分析。

最后，在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，并重点强调快速算法的优势。

我们希望通过这篇文章的阐述，读者可以更深入地了解斐波那契数列的快速算法，以及在实际应用中的意义和价值。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述文章的主要内容和组织结构，下面是一个例子:1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分，每个部分都有自己的目标和重点。

下面将对每个部分的内容进行详细介绍。

1. 引言部分旨在引入斐波那契数列快速算法的背景和相关概念。

首先，我们将概述斐波那契数列的定义和特点，以及为什么需要快速算法来计算斐波那契数列。

其次，我们将介绍本文的结构，并列出各个部分的主要内容和目标。

最后，我们明确本文的目的，即通过快速算法探索斐波那契数列的计算方法。

2. 正文部分是本文的核心内容，将详细介绍斐波那契数列以及常规算法和快速算法的原理和实现。

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最优化方法课程设计_斐波那契法分析与实现完整版

最优化方法题目：斐波那契法分析与实现院系：信息与计算科学学院专业：统计学姓名学号：小熊熊 11071050137 指导教师：大胖胖日期： 2014 年 01 月 10 日摘要科学的数学化是当代科学发展的一个主要趋势，最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案.一维搜索是指寻求一元函数在某个区间上的最优点的方法.这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化.本文就斐波那契法的一维搜索进行了详细的分析，并且成功的用 MATLAB 实现了斐波那契法求解单峰函数的极小值问题.斐波那契法的一维搜索过程是建立在一个被称为斐波那契数列的基础上进行的，斐波那契法成功地实现了单峰函数极值范围的缩减.从理论上来说，斐波那契法的精度比黄金分割法要高.但由于斐波那契法要事先知道计算函数值的次数，故相比之下，黄金分割法更为简单一点，它不需要事先知道计算次数，并且当n 7 时，黄金分割法的收敛速率与斐波那契法越来越接近.因此，在实际应用中，常常采用黄金分割法. 斐波那契法也是一种区间收缩算法，和黄金分割法不同的是：黄金分割法每次收缩只改变搜索区间的一个端点，即它是单向收缩法. 而斐波那契法同时改变搜索区间的两个端点，是一种双向收缩法.关键字：一维搜索斐波那契法单峰函数黄金分割法MATLABAbstractMathematical sciences is a major trend in contemporary scientific development, optimization theory and algorithms is an important branch of mathematics, the problems it was discussed in numerous research programs in the best of what programs and how to find the optimal solution .One-dimensional search is the best method of seeking functions of one variable on the merits of a certain interval. Such methods not only have practical value, but also a large number of multi-dimensional optimization methods rely on a series of one-dimensional optimization article on Fibonacci the one-dimensional search method carried out a detailed analysis, and successful in MATLAB Fibonacci method for solving unimodal function minimization problem.Fibonacci method of one-dimensional search process is based on the Fibonacci sequence is called a Fibonacci conducted on, Fibonacci method successfully achieved a unimodal function extreme range reduction. Theory , Fibonacci method accuracy is higher than the golden section method, but the number of times due to the Fibonacci method to calculate function values to know in advance, so the contrast, the golden section method is more simply, it does not need to know in advance the number of calculations and at that time, the rate of convergence of golden section and the Fibonacci method getting closer, so in practical applications, often using the golden section method. Fibonacci method is also a range contraction algorithm, and the golden section method the difference is: golden section each contraction only one endpoint to change the search range that it is unidirectional shrinkage law Fibonacci search method while changing the two endpoints of the range, is a two-way contraction method.Key words: one-dimensional search Fibonacci method unimodal function Golden Section function MATLAB目录1.前言 (1)1.1 一维搜索 (1)1.2 单峰函数 (1)1.3 单峰函数的性质 (1)2.斐波那契法分析 (2)2.1 区间缩短率 (2)2.2 斐波那契数列 (3)2.3 斐波那契法原理 (3)2.4 斐波那契法与黄金分割法的关系 (6)3.斐波那契法实现 (7)3.1 斐波那契算法步骤 (7)3.2 斐波那契法的MATLAB 程序 (8)3.3 斐波那契算法举例 (10)4.课程设计总结 (12)4.1 概述 (12)4.2 个人心得体会 (12)5.参考文献 (13)1 *1. 前言一维搜索是指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法.这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化.斐波那契法的一维搜索过程是建立在一个被称为斐波那契数列的基础上进行的.从理论上来说，斐波那契法的精度比黄金分割法要高.但由于斐波那契法要事先知道计算函数值的次数，故相比之下，黄金分割法更为简单一点，它不需要事先知道计算次数，并且当 n ≥ 7 时，黄金分割法的收敛速率与斐波那契法越来越接近.因此，在实际应用中，常常采用黄金分割法. ·1.1 一维搜索很多迭代下降算法具有一个共同点，即得到点 x k 后，需要按某种规则确定一个方向 d k ，再从 x k 出发，沿着方向 d k 在直线或射线上寻求目标函数的极小点，进而得到 x k 的后继点 x k +1 .重复上面的做法，直至求得问题的解.这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索或线性搜索.·1.2 单峰函数定义 1.2.1 设 f 是定义在闭区间[a , b ]上的一元实函数，x * 是 f 在[a , b ]上的极小点，对 ∀x 1 , x 2 ∈ [a , b ] 且 x 1 < x 2 ，当 x 2 ≤ x 时， f (x 1 ) > f (x 2 ) ，当 x * ≤ x 时，f (x 2 ) > f (x 1 ) ，则称 f 是闭区间[a , b ]上的单峰函数.·1.3 单峰函数的性质单峰函数具有很重要的性质：通过计算闭区间[a , b ]内两个不同点处的函数值，就能确定一个包含极小点的子区间.这也是斐波那契法的理论基础.为了后面分析的方便，先证明下面的定理，这个定理是斐波那契方法的理论基础.定理 1.3.1 设 f 是闭区间 [a , b ] 上的单峰函数， x 1 , x 2 ∈ [a , b ] ，且 x 1 < x 2 .如果f (x 1 ) > f (x 2 ) ，则对 ∀x ∈ [a , x 1 ] ，有 f (x ) > f (x 2 ) ；如果 f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) ，则对∀x ∈ [x 2 , b ]，有 f (x ) ≥ f (x 1 ).证明：（反证法）先证第一种情形.假设当 f (x 1 ) > f (x 2 ) 时， []1x x a ，∈∃，使得* 2f (x )≤ f (x 2 ) .(1.3.1.1)显然 x 1 不是极小点.这时有两种可能性，要么极小点 x ∈ [a , x 1 )，要么 x ∈ (x 1 , b ] .当 x ∈ [a , x 1 )时，根据单峰函数的定义，有f (x 2 ) > f (x 1 ) .(1.3.1.2)这与假设矛盾.当 x ∈ (x 1 , b ]时，根据单峰函数的定义，有f (x )> f (x ). 1(1.3.1.3)由于假设 f (x 1 ) > f (x 2 ) ，因此(1.3.1.3)式与(1.3.1.1)式相矛盾.综上可知，当f (x 1 ) > f (x 2 ) 时，对∀x ∈ [a , x 1 ]，必有f (x ) >f (x 2 ) .(1.3.1.4)同理可以证明第二种情形.证毕. 根据上面的定理知：只需选择两个试探点，就可以将包含极小点的区间缩短.事实上，如果 f (x 1 ) > f (x 2 ) ，则 x ∈ [x 1 , b ] ；如果 f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) ，则 x * ∈ [a , x ].这就是斐波那契法的理论基础.2. 斐波那契法分析斐波那契法的一维搜索过程是建立在一个被称为斐波那契数列的基础上进行的.在此之前，有必要知道区间缩短率以及斐波那契数列的概念. ·2.1 区间缩短率定义 2.1.1 在逐次缩短区间时，设)10(......)10()10(112211221111<<=--<<=--<<=----k k k k kk a b a b a b a b a b a b ττττττ称τk (k = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) 为区间缩短率.对于上面的τk 不外乎两种情况，要么τk = c ，要么τk ≠ c ( c 为常数).第一种3情况就可以引入前面提到的黄金分割法，第二种情况就是下面要分析的斐波那契法.·2.2 斐波那契数列斐波那契数列是 13 世纪,由意大利的数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)提出的，当时和兔子的繁殖问题有关，它是一个很重要的数学模型. 斐波那契数列，又被称为“黄金分割数列”，它指的是这样的一个数列：数列的第一个和第二个数都为 1，接下来每个数都等于前面两个数的和.在数学上，斐波那契数列有如下的递归定义：⎩⎨⎧=+===--,...3,2,12110n F F F F F n n n故，斐波那契数列如表 2.2.1 所示.表 2.2.1 斐波那契数列表n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …F n11235813213455…斐波那契数列的通项公式(又称为“比内公式”)如下：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151 此时).,3(,1,1*2121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-- 2.3 斐波那契法原理在定义2.1.1中，若为常数）c c (k ≠τ，可取kk k F F 1-=τ.其中k F 满足斐波那契数列的递推关系。

实验1斐波那契数列的实现算法以及分析

陕西科技大学实验报告姓名班级学号实验组别实验日期室温报告日期成绩报告内容：（目的和要求、原理、步骤、数据、计算、小结等）实验名称：斐波那契数列实现算法及其分析实验目的：1. 掌握分别用递归和非递归方法计算斐波那契（Fibonacci）数列。

2. 掌握算法性能测试的方法，并能进行计算分析和比较。

掌握实验环境（硬/软件要求）：Windows 2000,Visual C++6.0实验内容：二阶Fibonacci数列定义如下：F0=1,F1=1，F2=2，F3=3，F4=5，……,Fi=Fi-1+Fi-2(i>=1)。

是用递归和非递归两种方法写出计算Fn的函数。

实验要求：1. 完成计算Fn的递归函数Fib_rec。

2. 完成计算Fn的递归函数Fib_itc。

3. 当N=10，15，20，25，30，35，40，45时测试以上两种算法的执行时间并把测试结果填写在附表1-1中。

N 函数10 15 20 25 30 35 40 4589 987 10946 121393 1346269149303511655801411836311903Fib_rec运行时间0 0 0 0 0 78 781 8719Fib_itc运行时间0 0 0 0 0 0 0 0注：表格中填写的测试时间，单位ms。

4. 试解释两种算法在执行时间上的不同，并对两种算法进行算法分析。

实验原理定义：斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368自然中的斐波那契数列自然中的斐波那契数列特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。

这个数列从第2项开始，每一项都等于前两项之和。

顺序存储方法：它是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置相邻的存储单元里，结点间的逻辑关系有存储单元的邻接关系来体现，由此得到的存储表示称为顺序存储结构。

优化方法及其工程应用中的斐波那契法

优化方法及其工程应用中的斐波那契法斐波那契法是一种常见的数学算法，被广泛应用于计算机科学和工程领域。

然而，随着问题规模的增大，斐波那契法的效率往往变得低下。

因此，研究人员提出了一系列优化方法来改进斐波那契法，并将其应用于各种工程项目中。

一、优化方法1. 迭代法：传统的斐波那契法使用递归方式计算，但递归会导致大量重复计算，影响效率。

迭代法是一种基于循环的计算方法，通过保存中间结果避免了重复计算，从而提高了效率。

2. 矩阵乘法：斐波那契数列可以通过矩阵乘法的方式来计算。

将斐波那契数列的递推关系转化为矩阵形式，可以利用矩阵乘法的高效性质来加速计算过程。

3. 存储优化：斐波那契法中的关键是保存中间结果，以避免重复计算。

传统的方法使用数组或列表来保存中间结果，但随着问题规模的增大，存储空间的需求也会增加。

因此，研究人员提出了一些存储优化的方法，如使用位操作或只保存最近的几个中间结果。

4. 并行计算：斐波那契法可以通过并行计算的方式来提高效率。

将斐波那契数列的计算任务划分为多个子任务，并行地计算这些子任务，最后将结果合并得到最终的结果。

通过利用多核处理器或分布式计算系统，可以进一步提高计算速度。

二、工程应用1. 金融领域：斐波那契数列在金融领域有广泛应用，如股票价格预测、期权定价等。

优化的斐波那契法可以提高计算效率，减少计算时间，为金融决策提供更快速、准确的支持。

2. 图像处理：斐波那契数列的特性被应用于图像处理领域，如生成斐波那契序列的图案、图像压缩算法等。

通过优化斐波那契法，可以加快图像处理的速度，提高图像处理的效果。

3. 编码算法：斐波那契数列的特性被广泛应用于编码算法中，如霍夫曼编码、动态规划等。

通过优化斐波那契法，可以改进编码算法的性能，提高编码效率。

4. 算法设计：斐波那契法作为一种经典的算法，被广泛应用于算法设计和分析中。

优化的斐波那契法可以提高算法的效率和性能，为解决实际问题提供更好的解决方案。

斐波那契数列算法分析

斐波那契数列算法分析F(0)=0F(1)=1F(n)=F(n-1)+F(n-2),其中n>1也就是说，斐波那契数列的第n个数等于其前两个数之和。

该数列的前几个数是：0、1、1、2、3、5、8、13、21……以此类推。

1.递归算法最直观的方法是使用递归来计算斐波那契数列。

代码如下：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```递归算法的思想是将问题划分为相同类型的子问题并逐步解决。

然而，该算法存在一些问题。

当n的值较小时，该算法运行速度较快，但对于较大的n值，递归算法的性能显著下降。

原因是该算法会重复计算相同的子问题，导致时间复杂度高达指数级。

具体而言，该算法的时间复杂度为O(2^n)。

2.迭代算法为了避免重复计算，我们可以使用迭代的方法计算斐波那契数列。

代码如下：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:a,b=0,1for _ in range(1, n):a,b=b,a+breturn b```迭代算法首先处理边界情况，然后使用循环迭代计算斐波那契数列的值。

该算法只需要迭代n-1次，因此时间复杂度为O(n)。

3.记忆化递归算法记忆化递归算法是对递归算法的改进，通过使用一个数组（或字典）来存储已经计算过的斐波那契数值，避免重复计算。

代码如下：```pythondef fibonacci(n, memo={}):if n in memo:return memo[n]if n <= 1:memo[n] = nelse:memo[n] = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)return memo[n]```记忆化递归算法在首次计算时需要存储斐波那契数列的所有值，因此空间复杂度为O(n)，但后续调用时只需要常数级的时间来查找已经计算过的值，因此时间复杂度为O(n)。

斐波那契哈希最优算法

斐波那契哈希最优算法斐波那契哈希(Fibonacci hash)是一种哈希算法，它使用斐波那契数列的性质来减少哈希冲突的可能性，并提高哈希表的性能。

在斐波那契哈希算法中，使用一个无序的斐波那契数列作为哈希表的容量，在插入元素时将元素哈希到最接近斐波那契数的位置上。

首先，我们需要了解什么是斐波那契数列。

斐波那契数列是指从0和1开始，后面的每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的前几项为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,……1.初始化斐波那契数列：由于哈希表的容量是无序的斐波那契数列，我们需要找到最接近并且小于要求容量的斐波那契数列项。

2.插入元素：将元素哈希到距离目标位置最近的斐波那契数位置上。

具体来说，可以通过计算元素的哈希值与斐波那契数的差值的绝对值，找到离目标位置最近的斐波那契数。

3.处理冲突：如果目标位置上已经有元素存在，我们可以使用线性探测或者二次探测等方式来解决冲突。

4.动态扩容：当哈希表中元素的数量达到斐波那契数列中的下一个数值时，需要进行扩容操作，重新计算斐波那契数列。

5.删除元素：删除元素的操作与插入操作类似，只是需要将目标位置上的元素标记为删除状态，而不是实际移除。

利用斐波那契哈希算法，可以有效减少哈希冲突的可能性，提高了哈希表的性能。

然而，斐波那契哈希算法的主要缺点是插入和删除操作的时间复杂度为O(n)，其中n是斐波那契数列中的位置，因此在一些对插入和删除操作非常敏感的场景中，斐波那契哈希算法可能不适用。

需要提醒的是，斐波那契哈希算法虽然在一定程度上减少了哈希冲突的发生，但并不能完全避免冲突。

在实际使用中，需要根据具体的场景和需求来选择合适的哈希算法，以达到最佳的性能和效果。

总结起来，斐波那契哈希算法是一种利用斐波那契数列作为哈希表容量的方法，以减少哈希冲突并提高哈希表性能的算法。

该算法的核心思想是使用斐波那契数列的无序性和间隔较大的特点，将元素哈希到距离最近的斐波那契数位置上。

斐波那契查找算法详解

斐波那契查找算法详解斐波那契查找算法详解说明1. 斐波那契查找算法核⼼思想类似于⼆分查找和插值查找，区别在于对标志值，即 mid 的设计算法不⼀样，⼆分查找直接重⽤中间值作为标杆，插值查找使⽤⾃适应确定mid,⽽斐波那契查找算法则使⽤黄⾦分割，使得mid总是处于查找数列的黄⾦分割点位置2. 因为斐波那契数列越到后边，相邻两数的⽐值越发接近0.618，也就是黄⾦分割⽐，因为可以巧妙的使⽤斐波那契数列寻找数组中的黄⾦分割点，即mid对应的下标3. 因此需要先构建⼀个斐波那契数列，可以使⽤递归的⽅法或者⾮递归的⽅式4. 使⽤斐波那契数列寻找数组的黄⾦分割点公式为： mid = low + f (k - 1) - 1,k为当前斐波那契数对应的索引5. 使⽤斐波那契数列查找，需要先将当前数组的长度构建为第⼀个⽐数组长度⼤的斐波那契数，这个数对应的索引就是 k ,可以使⽤循环的⽅法6. 将构建的新数组后边补零的位置替换为数组中的最后⼀个位置，即最⼤值7. 准备⼯作准备好后，就可以计算当前数组的黄⾦分割值，然后获取到当前黄⾦分割值对应的元素8. 将这个元素和要查找的元素进⾏⽐较，然后重置左右指针和重置后数组对应的黄⾦分割点9. 当查找完所有的元素后，如果没有找到，则返回 - 110. 注意斐波那契数列的特性即当索引 > 2时，当前位置元素 = 前两个位置元素之和，⽽前两个位置元素之⽐刚好是满⾜黄⾦分割，正是基于这样的特性，才有公式 mid = low + f (k - 1) - 111. 斐波那契查找算法不易理解，须慢慢体会12. 源码及详解见下源码及分析//斐波那契数列的最⼤长度public static int maxSize = 20;public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 23, 45, 66, 67, 88, 90, 100};int index = fisSearch(arr, 88);System.out.println("index = " +index);}//构建斐波那契数列public static int[] fis() {int[] f = new int[maxSize];f[0] = 1;f[1] = 1;for (int i = 2; i < f.length; i++) {f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}return f;}/*** 斐波那契查找算法实现** @param arr 要查找的原始数组* @param key 要查找的值* @return 查找的结果*/public static int fisSearch(int[] arr, int key) {//数组左侧索引int low = 0;//数组右侧索引int high = arr.length - 1;//⽐右侧索引⼤的第⼀个斐波那契数对应的索引int k = 0;//黄⾦分割点int mid = 0;//斐波那契数列int[] f = fis();//由数组最⼤值计算kwhile (high > f[k] - 1) {k++;}//因为f[k]的值可能⼤于数组的长度，因此需要给原数组扩容到长度 == f(k)int[] tmp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);//调⽤copyOf⽅法后在扩容部分全部补了0，实际上需要补数组的最后⼀位for (int i = high + 1; i < tmp.length; i++) {tmp[i] = arr[high];}//使⽤while循环来查找需要找的数while (low <= high) {//先计算黄⾦分割点mid = low + f[k - 1] - 1;//判断黄⾦分割点的元素和要查找的元素的关系 //如果要查找的值在mid左边，重置high和kif (tmp[mid] > key){high = mid - 1;k--;//如果要查找的值在mid右边}else if (tmp[mid] < key){low = mid + 1;k -= 2;//否则找到该元素}else {if (mid <= high){return mid;}else {return high;}}}//如果循环结束后还没有找到，说明没有return -1;}。

小学数学《斐波那契数列课题》教学设计

《斐波那契数列的应用》课题设计一、课题的确定：孩子们小学六年学习了六年的数学，却从来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却从来没有亲身体会感受过数学的神奇，有没有一个课题能让学生感受到学习数学的目的，特别是让学生亲自体会感受一下数学的美，感受大自然的造物的神奇呢？我思考再三最终确定了研究课题《斐波那契数列的应用》。

二、课题的布置与指导：《斐波那契数列的应用》是数学史上非常著名的一个数列，课本是作为一段阅读材料呈现的，以《兔子的繁殖》为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主要是通过研究让孩子们领略学习数学的目的，感受一下数学本身的魅力以及大自然造物的神奇。

我是从四个方面来布置的课题研究任务：1、以《兔子的繁殖》为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。

前一天进行了布置，第二天我们就进行了交流汇报，孩子们研究的不错。

于是又接着分组布置了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的秘密。

第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察是否有斐波那契数列。

孩子们真的是很善于思考，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。

第三小组的费枫舒在和妈妈去超市买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象。

而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，大步流星的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的秘密，组成了课题研究的第四小组。

我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最终确定了把数列的产生不纳入到本节课的汇报当中。

三、课堂实录：（一）、导入：师：大家喜欢数学吗？问大家一个问题：我们天天在学习数学，那你知道我们为什么要学习数学吗？其实根本原因有三：计算、应用、激发灵感。

数学是一门研究规律的科学，我们通过学习数学可以提高我们的逻辑思维能力、思辨能力和创造力，可以让我们越变越聪明，数学在我们的生活中无处不在。

fibonacci课程设计

fibonacci 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握斐波那契数列的定义、特点及应用；2. 学生能运用数列知识，推导斐波那契数列的递推公式，并解决相关问题；3. 学生了解斐波那契数列在自然界、数学和计算机科学等领域中的应用。

技能目标：1. 学生通过分析斐波那契数列，培养观察、总结、归纳的能力；2. 学生能够运用递推方法解决数列相关问题，提高解决问题的能力；3. 学生通过小组合作，提高团队协作能力和沟通能力。

情感态度价值观目标：1. 学生在学习过程中，培养对数学的兴趣和热爱，树立正确的数学观念；2. 学生通过探索斐波那契数列的奥秘，感受数学的简洁、优美和实用价值；3. 学生在学习中，培养勇于探究、善于思考、严谨求实的科学态度。

课程性质：本课程为数学学科课程，结合学生年级特点，注重知识性与趣味性的结合，强调实践操作和团队合作。

学生特点：学生具备一定的数学基础，对新鲜事物充满好奇心，喜欢探索和挑战。

教学要求：教师需运用生动形象的语言、丰富的教学手段，引导学生主动参与课堂，激发学生的学习兴趣和探究欲望，注重培养学生的实际操作能力和团队协作能力。

通过本课程的学习，使学生达到预期学习成果，为后续学习打下坚实基础。

二、教学内容1. 斐波那契数列的概念与性质：介绍斐波那契数列的定义、特点，以及其在自然界、数学和计算机科学中的应用实例。

- 教材章节：第二章数列与数学归纳法，第三节斐波那契数列。

- 内容安排：讲解斐波那契数列的起源，引导学生探索数列的规律。

2. 斐波那契数列的递推公式：推导斐波那契数列的递推公式，并运用公式解决相关问题。

- 教材章节：第二章数列与数学归纳法，第四节数列的递推关系。

- 内容安排：引导学生通过观察斐波那契数列的规律，自主推导递推公式。

3. 斐波那契数列的应用：分析斐波那契数列在实际问题中的应用，如兔子繁殖问题、螺旋线等。

- 教材章节：第二章数列与数学归纳法，第五节数列的应用。

斐波那契教案

斐波那契教案教案标题：斐波那契教案教案目标：1. 了解斐波那契数列的定义和特点；2. 能够运用递归和迭代的方法生成斐波那契数列；3. 掌握斐波那契数列在实际问题中的应用。

教学资源：1. PowerPoint演示文稿；2. 白板和马克笔；3. 学生练习册。

教学过程：引入：1. 使用幻灯片展示斐波那契数列的定义和前几个数字；2. 引导学生思考斐波那契数列的规律，并与他们分享一些有趣的斐波那契数列应用实例，如自然界中的植物生长规律等。

主体：1. 解释递归方法生成斐波那契数列的原理：a. 基本情况：斐波那契数列的前两个数是1和1；b. 递归情况：第n个数是第n-1个数和第n-2个数之和。

2. 演示使用递归方法生成斐波那契数列的步骤，并在白板上展示前几个数字的计算过程；3. 让学生尝试使用递归方法生成斐波那契数列，并在白板上展示他们的计算过4. 引导学生思考递归方法的优缺点，并与他们讨论递归方法的效率和可能的问题。

5. 解释迭代方法生成斐波那契数列的原理：a. 基本情况：斐波那契数列的前两个数是1和1；b. 迭代情况：从第3个数开始，每个数是前两个数之和。

6. 演示使用迭代方法生成斐波那契数列的步骤，并在白板上展示前几个数字的计算过程；7. 让学生尝试使用迭代方法生成斐波那契数列，并在白板上展示他们的计算过程；8. 引导学生思考迭代方法的优缺点，并与他们讨论迭代方法的效率和可能的问题。

应用：1. 分组讨论斐波那契数列在实际问题中的应用，如金融领域中的投资计算、自然科学中的模型建立等；2. 每个小组选择一个应用场景，并在白板上展示他们的思路和解决方案；3. 学生之间进行交流和讨论，分享不同的应用思路和解决方案。

总结：1. 回顾斐波那契数列的定义和生成方法；2. 强调递归和迭代方法的优缺点；3. 总结斐波那契数列在实际问题中的应用；4. 鼓励学生继续探索和应用数学知识。

1. 要求学生完成练习册上与斐波那契数列相关的练习题；2. 鼓励学生自主寻找更多关于斐波那契数列的应用实例，并写下自己的思考和解决方案。

斐波那契高效算法（4种算法综合分析）

斐波那契⾼效算法（4种算法综合分析）斐波那契数列问题是算法学习者必定接触到的问题。

作为经典问题，⾸次接触时通常是作为递归算法的案例教程。

然⽽递归解决斐波那契。

其效率低的令⼈发指，有⼈算出其时间复杂度为O(2^n)。

指数级时间复杂度。

假设⾯试的时候⾯试官问你斐波那契的求解⽅法，你来⼀个递归求解，基本上能够说，你已经game over了。

那么有没有更⾼效的算法呢。

本⽂将⼀⼀介绍。

以下是斐波那契的4种解法：1.递归时间复杂度O(2^n)int f(int n){if(n == 1 || n == 2){return 1;}return f(n-1) + f(n-2);}2.循环时间复杂度O(n)public int f(int n) {// write code hereint f0 = 1;int f1 = 1;int f2 = 0;for(int i = 2; i < n; i++){f2 = f0 + f1;f0 = f1;f1 = f2;}return f2;}3.矩阵求解时间复杂度O(logn)斐波那契的递推公式能够表⽰成例如以下矩阵形式。

所以其所以依据矩阵的分治算法。

能够在O(logn)时间内算出结果。

笔试问题：对于斐波拉契经典问题。

我们都很熟悉。

通过递推公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，我们能够在线性时间内求出第n项F(n)，如今考虑斐波拉契的加强版，我们要求的项数n的范围为int范围内的⾮负整数，请设计⼀个⾼效算法，计算第n项F(n)。

第⼀个斐波拉契数为F(0) = 1。

给定⼀个⾮负整数，请返回斐波拉契数列的第n项，为了防⽌溢出，请将结果Mod 1000000007。

long[][] f = new long[][]{{0,1},{1,1}};public int getNthNumber1(int n) {if(n == 0)return 1;if(n == 1)return 1;f = pow(n,f);return (int) f[1][1];}private long[][] pow(int n,long[][] f){if(n == 1)return f;if(n == 2){return fun(f,f);}if( n % 2 == 0){//偶数f = pow(n/2,f);return fun(f, f);}else{return fun(pow(n/2,f),pow(n/2 + 1,f));}}private long[][] fun(long[][] f,long[][] m){long[][] temp = new long[2][2];temp[0][0] = (f[0][0]*m[0][0] + f[0][1]*m[1][0])%1000000007;temp[0][1] = (f[0][0]*m[0][1] + f[0][1]*m[1][1])%1000000007;temp[1][0] = (f[1][0]*m[0][0] + f[1][1]*m[1][0])%1000000007;temp[1][1] = (f[1][0]*m[0][1] + f[1][1]*m[1][1])%1000000007;return temp;}4.公式求解时间复杂度O(1)对，你没看错。

斐波那契集合全排列问题递归算法的实现

斐波那契集合全排列问题递归算法的实现斐波那契数列作为一种经典的数学模型，在计算机科学中也有着广泛的应用。

本文将探讨基于递归算法的斐波那契集合全排列问题的实现。

一、斐波那契集合全排列问题简介斐波那契集合全排列问题指的是对于一个由n个不同元素组成的集合，求出它的所有可能的排列。

其中，n为正整数。

二、递归算法实现思路在本问题中，我们采用递归算法来实现全排列。

整个算法分为两步：第一步：确定首元素，对集合中剩余元素进行全排列。

此时，问题转化为了n-1个元素的全排列问题。

第二步：将每个排列首元素依次与剩余元素交换位置，重复第一步。

三、递归算法实现过程在描述递归算法实现过程之前，我们需要先定义一个表示斐波那契集合的数据结构。

假设我们使用列表(list)来表示斐波那契集合。

1. 对于只有一个元素的集合，其全排列即为该元素本身。

2. 对于n个元素的集合，我们选择其中一个元素作为首元素，将剩余的n-1个元素进行全排列。

递归地解决子问题。

3. 将每个排列的首元素依次与其余元素交换位置，这一操作需在递归过程中进行。

4. 递归结束条件为只有一个元素的集合。

综上所述，得出以下递归算法实现：```pythondef permute(nums):if len(nums) == 1:return [nums]res = []for i in range(len(nums)):rest = nums[:i] + nums[i+1:]for p in permute(rest):res.append([nums[i]] + p)return res```四、递归算法实现的时间复杂度我们能够得到递归算法的时间复杂度为O(n!)。

其中，n为集合中元素的个数。

这是因为算法的每一次递归都会减少一个元素，直到仅剩一个元素。

五、总结在本文中，我们探讨了基于递归算法的斐波那契集合全排列问题的实现，并给出了详细的算法思路和Python代码实现。

本文介绍了递归算法实现过程，以及其时间复杂度分析。

实验一斐波那契数列的实现算法及分析

实验一斐波那契数列的实现算法及分析斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的定义是：第n个数是前两个数的和。

由此可得到如下数列：1,1,2,3,5,8,13,21,...在本文中，我们将实现斐波那契数列的三种算法：递归算法、动态规划算法和迭代算法，并分析它们的时间复杂度和空间复杂度。

1.递归算法：递归算法是最简单直接的实现方式，但也是最低效的方式之一、递归算法的实现思路是将问题分解为规模更小的相同问题，并通过不断递归调用来解决问题。

代码实现：```javapublic class Fibonaccipublic static int fibonacci(int n)if (n <= 1)return n;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);}```递归算法的时间复杂度分析：最坏情况下，递归树的深度为n，每个节点需要O(1)的时间来计算斐波那契数列的值，因此总的时间复杂度为O(2^n)。

递归算法的空间复杂度分析：递归树的深度为n，每个节点需要O(1)的额外空间来保存中间结果，因此总的空间复杂度为O(n)。

2.动态规划算法：动态规划算法是基于问题的最优子结构性质，利用子问题的解来构建原问题的解。

在计算斐波那契数列时，可以使用一个数组来保存中间结果，避免重复计算。

代码实现：```javapublic class Fibonaccipublic static int fibonacci(int n)if (n <= 1)return n;}int[] dp = new int[n + 1];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++)dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}```动态规划算法的时间复杂度分析：计算斐波那契数列需要O(n)的时间，因此总的时间复杂度为O(n)。

斐波那契树优化算法求解多峰函数全局最优解的可达性分析

第44卷第9期自动化学报Vol.44,No.9 2018年9月ACTA AUTOMATICA SINICA September,2018斐波那契树优化算法求解多峰函数全局最优解的可达性分析董易1施心陵1王霞1王耀民1吕丹桔1张松海1李孙寸1摘要为分析和验证斐波那契树优化算法(Fibonacci tree optimization algorithm,FTO)求解多峰函数全局最优解的算法性能,对算法的可达性问题进行研究.本文基于斐波那契法构造一个斐波那契树结构,在搜索空间中进行全局、局部交替搜索,不易陷入局部最优解.对斐波那契树优化算法基于该结构的可达性进行分析和证明.通过跟踪算法求解过程中坐标点的累积分布仿真实验和到达率的对比实验,分析和验证了算法求解多峰函数全局最优解的可达性.关键词斐波那契树优化算法,可达性,多峰函数优化,全局最优解引用格式董易,施心陵,王霞,王耀民,吕丹桔,张松海,李孙寸.斐波那契树优化算法求解多峰函数全局最优解的可达性分析.自动化学报,2018,44(9):1679−1689DOI10.16383/j.aas.2017.c160703On Accessibility of Fibonacci Tree Optimization Algorithm forGlobal Optima of Multi-modal FunctionsDONG Yi1SHI Xin-Ling1WANG Xia1WANG Yao-Min1LV Dan-Ju1ZHANG Song-Hai1LI Sun-Cun1Abstract This paper investigates the accessibility of Fibonacci tree optimization algorithm(FTO)in order to analyze and prove its ability in solving the problem of global optima of multi-modal functions.A structure called Fibonacci tree based on Fibonacci search method is created,which conducts alternating global and local retrievals in the search space of the target function with lower probability of trapping into local optima.The accessibility of FTO is analyzed and proved on the basis of Fibonacci tree.A simulation experiment of tracing accumulation distribution of solution coordinates validates the global optima accessibility of FTO,and a contrast experiment of accessible rate further points to the better accessibility of FTO.Key words Fibonacci tree optimization algorithm(FTO),accessibility,multi-modal functions optimization,global optimaCitation Dong Yi,Shi Xin-Ling,Wang Xia,Wang Yao-Min,Lv Dan-Ju,Zhang Song-Hai,Li Sun-Cun.On accessibility ofﬁbonacci tree optimization algorithm for global optima of multi-modal functions.Acta Automatica Sinica,2018,44(9): 1679−1689经典的智能优化算法在求解多峰函数全局最优解时,存在易陷入局部最优解的早熟收敛问题[1−3].例如作为典型代表的遗传算法(Genetic algorithm, GA)[4−5]和粒子群算法(Particle swarm optimiza-tion,PSO)[6−9].因此,算法求解全局最优解的可达性是一项重要的评价指标.对GA算法的理论研究表明其单点交叉运算只是在已有空间的一个特定局收稿日期2016-10-09录用日期2017-08-08Manuscript received October9,2016;accepted August8,2017国家自然科学基金(61661050),云南省教育厅科学研究基金项目(201 7ZZX229)资助Supported by National Natural Science Foundation of China (61661050)and Science Research Foundation of Yunnan Provin-cial Department of Education(2017ZZX229)本文责任编委孙长银Recommended by Associate Editor SUN Chang-Yin1.云南大学信息学院昆明6505041.School of Information Science and Engineering,Yunnan Uni-versity,Kunming650504部上做非均匀搜索,对于搜索空间是非均匀可达的,而且不是全空间可达的[10];而对于变异运算,可达性的下降与染色体长度的增加几乎呈线性关系[11].对PSO的拓扑结构分析表明最优的粒子数量的增长不严格依赖于有效计算量的增长[12].这一结论反应出在相同的计算参数配置下,PSO对于多峰函数全局最优解的求解能力是受限的.对PSO粒子轨迹在离散和连续时间上的模型分析表明,对于求解多峰函数等较复杂的测试函数,并不需要制定针对性的参数设置,最重要的影响是粒子之间的交互性[13].对PSO算法的交互性和随机性分析表明,对于多峰函数的优化,PSO算法能依概率收敛到群体最优位置,但无法保证对全局最优解可达[14].一种结合演化博弈理论的PSO改进算法[15],从理论上保证了收敛性并提高了收敛速度,但对于多峰函数的搜索性能并未进行验证.1680自动化学报44卷为解决求解多峰函数全局最优解时存在的早熟收敛问题,本文基于斐波那契法的思想,在n 维欧氏空间中构造一个斐波那契树结构.每次迭代都生成全局随机点,在搜索空间中进行全局、局部交替搜索.使得斐波那契树优化算法在求解多峰函数全局最优解时,不易陷入局部最优解,具有良好的可达性指标.本文首先简要介绍斐波那契法,然后详细说明斐波那契树的生成规则和斐波那契树优化算法流程,分析和证明斐波那契树优化算法的可达性.通过两个实验来分析和验证斐波那契树优化算法求解多峰函数全局最优解的可达性:1)跟踪算法求解过程中坐标点的累积分布仿真实验;2)独立重复求解实验,计算到达率,并对算法收敛曲线进行分析.1斐波那契法最优化原理概述令f (x )为区间[a,b ]上的一维单峰函数,x ∗是区间[a,b ]上的极小值,由于极大值问题只需将目标函数乘以−1即可转为极小值问题,所以只讨论求解极小值问题.在区间[a,b ]上取两点x 1和˜x 1,x 1<˜x 1.根据新的点来缩短搜索区间长度.设第i 次迭代时的搜索区间为[a i ,b i ],在该区间内取的两个点为x i 和˜x i ,x i <˜x i .则区间缩短规则为:1)当f (x i )≤f (˜x i ),令a i +1=a i ,b i +1=˜x i ;2)当f (x i )>f (˜x i ),令a i +1=x i ,b i +1=b i .根据规则,每次迭代搜索区间长度缩短为b i +1−a i +1=α(b i −a i ),其中α为搜索区间长度的缩短率.斐波那契法用斐波那契数计算缩短率α.斐波那契数列{F n }计算公式为F 1=F 2=1F i =F i −1+F i −2,i ≥3(1)斐波那契法相关计算公式为x i =a i + 1−F iF i +1(b i −a i )˜x i =a i +F iF i +1(b i −a i )(2)搜索区间长度缩短为b i +1−a i +1=F i /F i +1(b i −a i ).斐波那契法的缩短率α线性收敛,是分割方法求解一维单峰函数的最优策略[16].2斐波那契树优化算法斐波那契树优化算法(Fibonacci tree opti-mization algorithm,FTO)基于斐波那契法最优化原理构造一个斐波那契树结构来求解最优化问题.FTO 在斐波那契法基础上扩展到n 维空间,并引入随机性.斐波那契树的生成基于一个基本结构,每次生成新的点都包括覆盖全局搜索区域的随机点和在斐波那契树结构内的局部点.FTO 求解目标函数的过程就是迭代生成斐波那契树的过程.FTO 在搜索空间内进行全局局部交替搜索.新点的生成依据斐波那契法的比例关系进行计算.设当前斐波那契数列第i 项为F i ,第i +1项为F i +1,则从已有的两点计算新点的比例关系为F i /F i +1.2.1基本结构FTO 算法在n 维空间中构造一个基本结构,如图1所示.图1FTO 算法基本结构Fig.1Basic structure of FTO图1中,x a 和x b 称为端点,x g 称为分割点.3个向量的范数满足如下比例关系:x g −x a x b −x a = x b −x g x g −x a =F iF i +1(3)其中,F i 是斐波那契数列第i 项.设目标函数为f ,基本结构中的解值f (x a )至少不差于f (x b ),即f (x a ) f (x b ).则点xg 的坐标计算公式为x g =F iF i +1(x b −x a )+x a(4)2.2斐波那契树FTO 基于基本结构用两个迭代规则构造斐波那契树.规则1主要完成全局搜索过程,规则2主要完成局部搜索过程.设FTO 当前处理的点集为S ,集合大小满足斐波那契数|S |=F i (i =1,2,···),i <N ,N 称为斐波那契树深度.根据FTO 的基本结构,按两种规则指定点x a 和x b 的值,并根据式(4)求解出x g ,用x a ,x b 和x g 根据斐波那契数列生成规则来更新点集S .规则 1.令基本结构端点{x a }=S ,端点{x b }取搜索空间中的随机点.对于∀x ∈{x b },x =(x d )D ×1,D 为向量维度,x d ∈[x min ,x max ],且x d 是满足均匀分布的随机变量,概率分布为P (x d )=U (x min ,x max ),集合大小满足斐波那契数|{x b }|=F i ,根据式(4)求解出分割点{x g 1}.规则2.令基本结构端点x a =x best ∈S 为S 当前最优解,{x b }={x i |x i ∈S ∧x i =x a },根据式(4)求解出分割点{x g 2}.9期董易等:斐波那契树优化算法求解多峰函数全局最优解的可达性分析1681根据两个规则迭代完成之后合并S与新生成的点集,包括随机端点集合{x b },分割点集合{x g 1}与{x g 2}.保留前F i +1项较优解,丢弃其余解,更新点集S,同时集合大小更新为|S |=F i +1.斐波那契树生成过程如图2所示.其中黑色实心圆点表示集合S ,集合大小为|S |=F i ,斜线圆点表示全局随机的端点集合{x b },白色实线圆点表示分割点集合{x g },每一行白色虚线圆点表示上一轮迭代处理的点集S .图2中有3个斐波那契树结构.图2(a)为规则1的生成过程示意图,通过全局随机的端点{x b }与端点{x a }生成分割点{x g 1};图2(b)为规则2的生成过程示意图,通过当前集合S 中的最优解x a 与其余解{x b }生成分割点{x g 2};图2(c)表示合并集合S ,新生成的端点集合{x b }与分割点集合{x g 1}与{x g 2}之后,保留前F i +1项较优解,集合S 大小更新为|S |=F i +1.图2斐波那契树生成过程示意图Fig.2Building procedure of Fibonacci tree2.3算法流程FTO 算法流程图如图3所示.内层循环迭代生成一个斐波那契树结构.集合S 初始化完成之后,通过规则1和规则2更新S ,直至斐波那契树深度为N .外层循环基于前一次迭代生成的点集S 重复生成新的斐波那契树,直至满足算法最大迭代次数.图3FTO 算法流程图Fig.3Algorithm ﬂow chart of FTO3FTO 算法的可达性分析定义1.设D 维欧氏空间中点集A ⊂R D ,经过算法F 计算生成新的点集B =F (A ),对于∀x ∈B ,称x 是F (A )可达的,B 是A 的可达集合.定义2.设算法F 的可达集合为B ,如果目标函数存在最优解f (x ∗),且x ∗∈B ,称算法F 是最优解可达的.定理1.目标函数定义域内的解集是斐波那契树优化算法的可达集合.证明.根据斐波那契树优化算法原理,经过足够多的迭代次数n <∞,考虑斐波那契树生成规则1中的基本结构端点集合{x b },对于∀x ∈{x b },x =(x d )D ×1,D 为向量维度,x d ∈[x min ,x max ],且x d 是满足均匀分布的随机变量,概率分布为P (x d )=U (x min ,x max ),则{x b }在目标函数定义域B 内满足:···D1x max −x mind x d =1(5)由上可知,∀x ∈{x b }以概率1满足x ∈B ,即B 是{x b }的可达集合.定理2.斐波那契树优化算法是最优解可达的.证明.设目标函数定义域B 中存在全局最优解f (x ∗).根据定理1,x ∗在{x b }的可达集合中.所以,斐波那契树优化优化算法是最优解可达的.定理3.设定义域中随机点服从均匀分布的概率为p ,则斐波那契树优化算法陷入局部最优解的概率小于p .证明.设当前算法求解得局部最优解f (x ),根据定理1,经过n <∞次迭代后算法陷入局部最优解的概率为p ≤ ni =1(1−p ),则lim n →+∞p =0<p .4可达性仿真实验与分析为验证FTO 算法的可达性,利用PSO 算法容易陷入局部最优解的特性,将两个算法针对目标函数的求解过程进行对比.实验步骤如下:1)用算法从初始化到既定迭代次数时刻所处理过的解坐标历史记录,绘制解坐标的累积分布函数图像,直观反映出算法在搜索空间中的求解过程.2)绘制出算法求解的收敛曲线,并进行对比分析.算法参数设置见表2.表1是函数Damavandi 和Langermann 的局部极值点,其中局部极值1是全局最优解,局部极值2是一个次优解.实验使用表3中的函数Damavandi 和Langermann 进行求解.图4(a)和图4(b)分别是函数Damavandi 的图像和等高线示意图;图4(c)和图4(d)分别是函数Langermann 的图像和等高线示意图.每个等高线图中都标识出表1中局部极值点的坐标.1682自动化学报44卷表1函数局部极值点Table 1Local optima of benchmark functions局部极值1(全局最优解)局部极值2Damavandi f (2,2)=0f (7,7)=2Langermannf (2.003,1.006)=−5.1621f (7,9)=−3图4函数图像和等高线示意图Fig.4Function graphs and contour graphs图5是对函数Damavandi 求解的坐标点累积分布示意图.从对PSO 算法求解过程的4次绘制图像中可以看出,PSO 算法的粒子逐渐汇聚到局部极值2.随着迭代次数的增加,每次绘制在局部极值1周围区域几乎没有粒子的分布,反映出PSO 算法陷入局部最优解的情形.从FTO 算法的绘制结果可以看出,第50次迭代时刻的第1次绘制结果中在局部极值1和局部极值2的周围已经有坐标点的分布,随着迭代次数的增加,两个局部极值周围的坐标点汇聚都在逐渐增多.从FTO 算法端点集合{x a }与{x b }坐标点的累积分布图可以看出,由于斐波那契树的生成规则1生成目标函数定义域范围内的全局随机点{x b },随着迭代次数的增加,全局随机点的累积分布几乎覆盖到整个定义域,包括局部极值1和局部极值2所在区域.同时,求解过程中生成的端点{x a }与分割点{x g }使得局部极值附近的坐标点分布更加密集.图6是对函数Langermann 求解的坐标累积分布示意图.与图5的情形相同,随着迭代次数的增加,PSO 算法的粒子运动方向没有进入局部极值1附近区域,而在局部极值2附近区域逐渐汇聚,无法跳出局部最优解.从FTO 算法的坐标点累积分布图可以看出,坐标点的分布除了局部极值1和局部极值2之外,还覆盖到了Langermann 函数的一些其他局部极值区域.FTO 算法端点集合{x a }与{x b }坐标点的累积分布图同样反映出FTO算法生图5函数Damavandi 求解坐标点的累积分布示意图Fig.5Cumulative distribution of points of function Damavandi9期董易等:斐波那契树优化算法求解多峰函数全局最优解的可达性分析1683图6函数Langermann 求解坐标点的累积分布示意图Fig.6Cumulative distribution of points of function Langermann成的全局随机点在整个目标函数定义域的累积分布情况.图7是算法求解的收敛曲线.图7(a)是函数Damavandi 的收敛曲线.可以看出PSO 算法在求解到局部极值2之后随着迭代次数的增加收敛曲线不再变化.从FTO 算法的收敛曲线可以看出有一个函数值的跳跃变化过程,反映出FTO 算法从局部极值2跳出之后逐渐收敛到局部极值1的过程.图7(b)是函数Langermann 的收敛曲线.同样反映出PSO 算法陷入局部最优解,FTO 算法的收敛到全局最优解的情形.实验利用PSO 算法容易陷入局部最优解的特性与FTO 算法进行对比.通过算法求解过程的坐标点累积分布图和收敛曲线反映出FTO 算法不容易陷入局部最优解,验证了FTO 算法可达性.5对比实验与分析为对比和验证FTO 算法的可达性,对目标函数独立重复求解,统计全局最优解的到达率r ,并与遗传算法(GA)、粒子群算法(PSO)、综合学习策略的粒子群算法(Comprehensive learning particle swarm optimizer,CLPSO)[17]进行对比实验.GA 和PSO 算法已被证明其算法机制存在易陷入局部最优解的特性,CLPSO 对PSO 早熟收敛问题进行了改进,在实验中与FTO 不易陷入局部最优解的特性进行对比.到达率r 计算如下:r =Ni =1kN ,k =1,|f (x ∗)−f (x i )|< k =0,|f (x ∗)−f (x i )|≥(6)其中,N 是对目标函数独立重复求解次数, Ni =1k 为求解结果为全局最优解的次数,记为N ∗.f (x ∗)为目标函数全局最优解,f (x i )为第i 次求解结果,ε为可接受的精度误差.实验独立重复求解50次,最大迭代次数=1000,函数最大评价次数FEs =5.0E+4,向量维数=2.实验硬件环境为Intel Core i52.8GHz 处理器,4GB 内存.软件环境为Windows 8.1专业版操作系统,MATLAB 2015b 版本编程语言.各算法参数设置见表2.实验选择8个典型多峰函数进行测试,全局最优解均为最小值.其中Damavandi,Michalewicz 和YangStandingWave 3个函数的全局最优解均位于频率较高的局部区域,对于随机算法来说命中概率较低,其他区域则存在频率较低的次优解,命中概率较高,适合用于测试算法对于全局最优解的可达性.Langermann 函数在两个方向上分别存在一个全局最优解和一个次优解,适合用于测试算法跳出局部最优解的能力.cec2005[18]的4个多峰函数是较为复杂的合成函数,能够对算法性能进行较为全面的测试.测试函数及相关参数列表3.1684自动化学报44卷图7仿真实验收敛曲线Fig.7Convergence curves of simulation experiment表2算法参数设置Table2Parameters setting of algorithmsGA PSO CLPSO FTO交叉概率0.7惯性权重0.9∼0.5惯性权重0.9∼0.5斐波那契树深度6变异概率0.01加速常数c12加速常数c1 1.49445精英保留概率0.05加速常数c22加速常数c2 1.49445二进制位数20种群个数20学习概率0.5∼0.05种群个数20种群个数20表3测试函数列表Table3Benchmark functions函数名称表达式定义域全局最优解Damavandi[1−|sin[π(x1−2)]sin[π(x2−2)]π2(x1−2)(x2−2)|5][2+(x1−7)2+(x2−7)2]−[0,14]05 i=1c i cos(z iπ)e−z iπz i=(x1−a i)2+(x2−b i)2Langermann a=[3,5,2,1,7][0,10]−5.1621b=[5,2,1,4,9]c=[1,2,5,2,3]Michalewiczdi=1sin(ix2iπ)20sin(x i)[0,5]−1.9679YangStandingWave e −di=1(x i15)6−2e−di=1x2i di=1cos2(x i)[−20,20]−1cec200515HCF1[−5,5]120 cec200516RHCF1Hybrid composition functions[−5,5]120 cec200518RHCF2[−5,5]10 cec200521RHCF3[−5,5]3605.1实验结果分析实验结果如表4∼12所示,实验计算的指标包括:1)50次独立重复求解的到达次数N∗和到达率r;2)N∗次结果的均值和标准差1,其中均值在表中记为到达均值;3)未求解到全局最优解的其他独立重复求解结果的均值和标准差2,其中均值在表中记为未达均值.9期董易等:斐波那契树优化算法求解多峰函数全局最优解的可达性分析1685表4实验函数的最优解及可接受范围Table4The optimal solution and acceptable range ofthe functions in experiment函数最优解可接受范围Damavandi0.0000E+00<1.0000E−02Langermann−5.1621E+00<−5.1000E+00Michalewicz−1.9679E+00<−1.9500E+00 YangStandingWave−1.0000E+00<0.0000E+00 HCF1 1.2000E+02<1.2900E+02RHCF1 1.2000E+02<1.2900E+02RHCF2 1.0000E+01<1.1000E+01RHCF3 3.6000E+02<3.6100E+02从表中可以看出,对于测试函数Langermann, Michalewicz,YangStandingWave,HCF1,FTO算法没有陷入局部最优,到达率为100%.其余4个测试函数由于其全局最优解所在的局部区域命中概率较低,50次独立求解过程没有全部求解到全局最优解,到达率没有达到100%.在迭代次数和斐波那契树深度参数限制的条件下,FTO算法的50次独立求解没有出现到达率为0的情况,验证了FTO算法是全局最优解可达的.从与其余3个算法对比来看,FTO到达率为100%的函数个数为4个,其次是CLPSO算法,有2个函数(Langermann和Michalewicz)到达率为100%,GA和PSO算法的到达率均未达100%.在到达率未达100%的实验结果中,FTO的到达率均高于其他算法.CLPSO算法由于改进了对全局最优解的搜索能力,有4个测试函数到达率高于GA 和PSO算法,分别是Langermann,Michalewicz, HCF1和RHCF1.GA和PSO算法由于自身特点,陷入局部最优解之后难以跳出,所以到达率都较低,例如Dama-vandi和RHCF3.由于种群个体限制,在初始化阶段命中全局最优解所在的局部区域概率较低,导致实验结果的到达率为0.FTO算法与GA,PSO,表5Damavandi实验结果Table5Result of Damavandi in experiment算法到达均值标准差1未达均值标准差2N r(%) GA// 2.0000E+00/PSO−8.5487E−14 1.3213E−23 2.0000E+000.0000E+0024 CLPSO// 2.0000E+00/FTO 1.1168E−06 1.4894E−06 2.0000E+00 1.7888E−091224表6Langermann实验结果Table6Result of Langermann in experiment算法到达均值标准差1未达均值标准差2N r(%) GA−5.1621E+00 1.8078E−15−2.9938E+00 3.6444E−012958 PSO−5.1621E+00 2.6968E−15−3.0000E+00 4.7475E−164284 CLPSO−5.1615E+00 4.3819E−03//50100 FTO−5.1621E+00 5.0777E−08//50100表7Michalewicz实验结果Table7Result of Michalewicz in experiment算法到达均值标准差1未达均值标准差2N r(%) GA−1.9679E+00 4.5325E−16−1.7979E+009.6821E−022550 PSO−1.9678E+00 3.9389E−05−9.9196E−01 1.6075E−024692 CLPSO−1.9679E+007.4886E−09//50100 FTO−1.9679E+007.0607E−07//501001686自动化学报44卷表8YangStandingWave实验结果Table8Result of YangStandingWave in experiment算法到达均值标准差1未达均值标准差2N r(%) GA−1.0000E+00 5.6277E−16 1.3173E−05 3.5265E−213774 PSO−1.0000E+000.0000E+00 1.5571E−05 1.2516E−0648 CLPSO−7.0208E−01 2.6415E−01 1.2852E−05 2.0573E−06918 FTO−1.0000E+00 1.8775E−09//50100表9HCF1实验结果Table9Result of HCF1in experiment算法到达均值标准差1未达均值标准差2N r(%) GA 1.2000E+02 3.6311E−06 2.6457E+02 1.2548E+022754 PSO 1.2000E+020.0000E+00 3.2000E+020.0000E+004590 CLPSO 1.2008E+02 2.7377E−01 1.4330E+02 1.4567E+014896 FTO 1.2000E+02 1.3480E−05//50100表10RHCF1实验结果Table10Result of RHCF1in experiment算法到达均值标准差1未达均值标准差2N r(%) GA 1.2000E+020.0000E+00 2.1146E+02 5.0191E+01714 PSO 1.2000E+020.0000E+00 2.1597E+02 1.5598E+013570 CLPSO 1.2155E+02 2.6034E+00 1.9118E+02−3.3710E+014182 FTO 1.2000E+02 2.3951E−05 2.2000E+020.0000E+004998表11RHCF2实验结果Table11Result of RHCF2in experiment算法到达均值标准差1未达均值标准差2N r(%) GA 1.0006E+010.0000E+00 3.8551E+029.0210E+0112 PSO 1.0000E+010.0000E+00 3.8500E+02 6.0356E+011428 CLPSO// 2.6217E+02/FTO 1.0043E+01 3.1468E−02 1.1011E+028.2284E−024488表12RHCF3实验结果Table12Result of RHCF3in experiment算法到达均值标准差1未达均值标准差2N r(%) GA 3.6000E+020.0000E+007.8881E+02 1.6723E+0212 PSO// 6.9800E+02/CLPSO// 6.0613E+02/FTO 3.6000E+02 5.1019E−04 5.5474E+02 2.2942E+0131629期董易等:斐波那契树优化算法求解多峰函数全局最优解的可达性分析1687图8对比实验的收敛曲线Fig.8Convergence curves of comparison experiment1688自动化学报44卷CLPSO的对比实验结果表明,在同样的迭代次数和种群个体数的条件限制下,FTO算法表现出更强的全局搜索能力.从到达均值的指标来看,所有算法测试结果到达均值的标准差都接近0或等于0.反映出50次独立重复求解过程在没有陷入局部最优解的次数中,在可接受的精度范围内求解到全局最优解.未达均值的标准差反映出两种情况:1)接近0或等于0的情况,说明被测算法的每次独立求解均陷入同一个局部最优解,例如PSO算法对于Langermann函数有8次独立求解,得到同一个局部最优解;2)未达均值的标准差较高的情况,反映出被测算法的多次独立求解过程分别陷入了多个局部最优解,例如GA和PSO算法对于HCF1和RHCF1测试函数的未达均值都大于全局最优解.5.2收敛曲线分析从收敛曲线的变化来分析和验证FTO算法求解全局最优解的可达性.图8是50次独立重复实验随机选择某次求解过程的收敛曲线.从图8可以出,除了Damavandi和Michalewicz函数之外,FTO 算法收敛到全局最优解的速度都快于其他算法.从Damavandi,Michalewicz和RHCF2的收敛曲线可以看出,对比其他算法,FTO算法有一个从局部最优解跳出到全局最优解的过程.从GA和PSO 算法的收敛曲线可以看出,算法陷入局部最优解之后无法跳出,收敛曲线不再变化,这个特点也可以对比看出FTO算法的全局搜索能力较好.CLPSO算法由于设置了更多终止迭代条件,在判断函数值在一定阈值范围内不再变化之后算法终止,所以不会完整绘制出迭代到1000次的变化曲线.6结论本文描述了FTO算法的基本结构和斐波那契树的生成规则,证明了FTO算法是以概率1全局最优解可达的.对于求解多峰函数全局最优解的优化问题,FTO算法不易陷入局部最优解.通过跟踪解坐标累积分布的可达性仿真实验,验证了FTO算法的可达性.通过50次独立重复求解8个多峰函数的对比实验,计算算法的到达率,与GA,PSO和CLPSO算法进行对比,并对一组收敛曲线进行分析,验证了FTO算法全局最优解的可达性.References1Boussad I,Lepagnot J,Siarry P.A survey on optimization rmation Sciences,2013,237:82−1172Li Jian-Ping,Gong 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CEC2005special session on real-parameter optimization.Singapore:Nanyang Technological Univer-sity[Online],available:.sg/epn-sugan/PublicSite/Shared董易云南大学信息学院博士研究生.2009年获得云南大学信息学院硕士学位.主要研究方向为智能优化算法.本文通信作者.E-mail:**************(DONG Yi Ph.D.candidate at theSchool of Information Science and En-gineering,Yunnan University.He re-ceived his master degree from the School of Information Science and Engineering,Yunnan University in2009.His main research interest is intelli-gent optimization algorithm.Corresponding author of this paper.)施心陵云南大学信息学院教授.主要研究方向为智能优化算法,自适应信号处理与信息系统,医学电子学.E-mail:*************.cn(SHI Xin-Ling Professor at theSchool of Information Science and En-gineering,Yunnan University.His re-search interest covers intelligent opti-mization algorithm,adaptive signal processing,information system,and medical electronics.)王霞云南大学信息学院博士研究生.2010年获得中南大学物理科学与技术学院硕士学位.主要研究方向为智能优化算法.E-mail:******************(W ANG Xia Ph.D.candidate atthe School of Information Science andEngineering,Yunnan University.Shereceived her master degree from the College of Physical Science and Technology,Central South University in2010.Her main research interest is intelligent optimization algorithm.)王耀民云南大学信息学院博士研究生.2013年获得南京邮电大学通信与信息工程学院硕士学位.主要研究方向为智能优化算法.E-mail:189***************(W ANG Yao-Min Ph.D.candidateat the School of Information Scienceand Engineering,Yunnan University. He received his master degree from the College of Telecom-munications and Information Engineering,Nangjing Uni-versity of Posts and Telecommunications in2013.His main research interest is intelligent optimization algorithm.)吕丹桔云南大学信息学院博士研究生.2013年获得云南大学信息学院硕士学位.主要研究方向为智能林业信息处理.E-mail:*******************(L V Dan-Ju Ph.D.candidate at theSchool of Information Science and En-gineering,Yunnan University.Shereceived her master degree from the School of Information Science and Engineering,Yunnan University in2013.Her main research interest is intelli-gent forestry information processing.)张松海云南大学信息学硕士研究生.主要研究方向为智能优化算法.E-mail:hai***********(ZHANG Song-Hai Master studentat the School of Information Scienceand Engineering,Yunnan University.His main research interest is intelligentoptimization algorithm.)李孙寸云南大学信息学院硕士研究生.主要研究方向为智能优化算法.E-mail:********************(LI Sun-Cun Master student at theScience and Engineering,Yunnan Uni-versity.Her main research interest isintelligent optimization algorithm.)Copyright©博看网. 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