浙教版八年级三角形中几种模型

一、手拉手模型：

1手的判别：

判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。

2手拉手的定义

两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手）

3手拉手基本结论

①△ABC≌△AB'C'(SAS)

②∠BAB'=∠BOB'

③AO平分∠BOC'

二、例题

例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE与DC的夹角为60。

（4）△AGB≌△DFB

（5）△EGB≌△CFB

（6）BH平分∠AHC

（7）GF∥AC

H

F

G

E

D

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式练习2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD. 问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？

（2）AE 是否与CD 相等？

（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分∠AHC ？

例2：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H. 问（1）△ADG≌△CDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分∠AHE？

二、半角模型

1、条件：

.

180

2

1

=

+

=γ

θ

β

α且

2、思路：①截长补短

②旋转

例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN=

45

②.

AB C

CMN

2

=

∆

③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

例2拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=

45，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系.

②.求证：AB=AH.

例3.在四边形ABCD中，∠B+∠D=

180，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.

求证：

.

2

1

BAD EAF∠

=

∠

练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上

的点，且∠EAF=

2

1

∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（

2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固2：已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．

（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

N

M

D

C

B

A

N

M

C

D

B

A

N

M D C

B

A

练习巩固3：在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，

120BDC ∠=︒，BD CD =，

探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．

图①

M N

D C

B

A 图②

M

N

D C

B

A N

图③

M

D C

B

A