第5章 特勒根定理

第五章 特勒根定理

5-1 引言

特勒根定理是关于电网络拓扑结构的定理，它脱离了元件具体的物理性态，因而具有更普遍的意义。

特勒根定理是B.D.H. Tellegen 在本世纪五十年代初提出的[1、

2]。 实际上，在此之前，已出现了许多关于特勒根定理的推导和讨论的文章[3-5]。 最早的工作应追溯到 1883年 O. Heaviside 的论文[6]。尽管如此，先于Tellegen 的作者们没有指出定理的普遍性及其应用上的灵活性，只是将它用于一个特定的目的，或者只作出说明而没有探讨它的应用。定理以 Tellegen 的名字命名是因为他是指出定理有普遍意义的第一人。

特勒根定理不仅具有电网络意义，它还具有更一般的应用价值，文[7]在一般数学方程组的基础上提出了广义特勒根定理，并给出了矩阵互易定理，进一步发展了这一理论。

本章介绍特勒根定理。首先讨论特勒根定理在电网络中的表述，然后给出广义特勒根定理，并进行流图解析，最后是广义特勒根定理的应用举例。

5-2 特勒根定理

定理5-1（特勒根定理1）：对n 个节点b 条支路的电网络，在标定支路的参考方向后，必有

0),,,(0

2121=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n n b T b I I I V V V I V （5.1）

其中，b V 和b I 分别是支路电压和支路电流向量。

证明：

由第一章网络的关联性可知

m T

b b n

T

a b I K I V K V == （5.2）

各符号意义同第一章，于是有

b a T

n b T b I K V I V ⋅= (5.3)

由基尔霍夫电流定律

0=b a I K （5.4）

故必有

0=b T b I V （5.5）

证毕。

定理5-2（特勒根定理2）：对于两个网络，若拓扑结构完全相同，且支路标定方向完全一致，必有

b b 和

0~

=b T b I V （5.7）

成立。其中b b I V ,和b b I V ~

,~分别属于两个不同网络。

证明：由于两个网络拓扑结构完全相同，并且支路标定方向一致，故在节点、支路及回路编号一致时，两者必然具有相同的关联矩阵a K 和b K ，这样有

b a T n b T b I K V I V ~

~= （5.8）

上式显然为零。这就证明了式（5.6）。同理可证式（5.7）。

式（5.1）和式（5.8）也可以用基尔霍夫电压定律加以证明。以式（5.8）的证为例

m T b b m T b T b b T b I V K I K V I V )~

(~~== （5.9）

而由基尔霍夫电压定律

0~

=b b V K

从而式（5.9）等于零。

所以，特勒根定理并不同时依赖于基尔霍夫两个定律，而仅由其一即能推导出定理的结论。这种认识很重要，由此可以将特勒根定理作更广泛意义上的拓广。

定理5-1反映了网络能量守恒关系，称之为功率定理。定理5-2是两个不同网络支路电压和电流的乘积，具有功率量纲，没有实际意义，称之为拟（似）功率定律（Quasi-power theorem)

5-3 互易定理

互易定理（Reciprocity theorem ）可以用特勒根定理简捷地证明，是特勒根定理应用的一个范例。

互易性有两种等效的但是不同的定义。在一种定义中，设有一个有源二端口网络，观察它的响应，如果将源与负载交换后响应一样，则网络是互易的，如图5-1所示。

图中，若网络互易，必有12~

V V =。

Maxwell , Rayleigh 和Lorentz 等人应用另一种更广泛的定义来定义n 端口网络的互易性。这就是，一个p 端时不变网络，或者一个1+p 端元件，如果存在

2 2 S I 图5-1 互易定理 (a)

(b)

1

=k k k k k 其中k 对应于端口

则称它是互易的。显然这是第一种定义的拓广。

网络元件可以看作是最简单的网络。因此若一个元件满足式（5.10），则称为互易元件。对于一个两端元件e ，如图5-2，考察

e V s e V ~ s ~

图5-2 元件的互易性

0~

~=-e e e e I V I V （5.11） 是否成立以确定是否是互易元件。对于线性电阻、电容及电感，有

0~

~~~=-=-e e e e e e e e e e I I Z I I Z I V I V （5.12）

因此它们是互易元件。

理想变压器是两端口元件，容易证明它是互易元件。可以举出许多非互易元件的例子，如晶体管，回转器等等。 定理5-3（互易定理）：由互易元件组成的网络一定是互易网络。

证明：组成网络N 的元件可以用支路表示，设端口支路用k 表示，内部支路用j 表示，则由特勒根定理2，有

0~

=∑b T b I V （5.13）

0~

~=∑+∑k k p

k

j j b j

I V I V （5.14） 0~

~=∑+∑k k p

k

j j b j

I V I V （5.15） 两式相减，有

0)~

~()~~(=-∑+-∑k k k k p

k

j j j j b j

I V I V I V I V （5.16）

由于网络有互易元件组成，故

0)~

~(=-∑j j j j b j

I V I V （5.17）

得到

0)~

~(=-∑k k k k p k

I V I V

这正是式（5.10）.证毕。

注意，独立电源不是互易元件，所以对于独立源应放在端口。受控源不一定不是互易元件，如线性负电阻就是互易元件。故互易性和无源性不完全等同。