第5章 特勒根定理

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电路(特勒根互易定理)

电路(特勒根互易定理)

(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
u2 u1 = iS1 iS 2

或 u1 i S 1 = u2 i S 2
时,u2 = u1
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iS1 = iS2
情况3 情况3
激励
图a 图b
电流源 电压源 响应 线性 电阻 网络 NR
图a 图b
电流 电压
a iS1 b
线性 电阻 网络 NR
c i2 d
a + u1 – b
c + – d uS2
(a)
(b)
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系: 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系:
i2 u1 = i S 1 uS 2

或 u1 i S 1 = uS 2 i2
时,i2 = u1
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1. 互易定理
对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路, 对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路,在保持 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下, 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下,当激励与 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变. 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变.
返 回
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下 页
情况1 情况1 a uS1 + – b
激励 线性 电阻 网络 NR
电压源
响应 线性 电阻 网络 NR
电流
c i2 d i1
a
c + – d uS2
(a)
b
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:

uS1 = uS2
时,i2 = i1

特勒根定理的验证

特勒根定理的验证

公务员工伤工龄认定公务员工伤工龄认定是指公务员因工作原因导致工伤,根据相关法律法规和规定,享受工伤待遇的时限。

在中国,公务员工伤待遇是由国家提供的一项保障措施,旨在保护公务员在工作中所遭受的伤害。

公务员工伤工龄认定的过程需要经过一系列的程序和条件,以下是一般流程:第一步,公务员需要及时报告工伤:公务员在遭受工伤后,应该及时向单位报告,报告内容包括伤残程度、伤情发生时间和地点等相关信息。

第二步,公务员需进行职业病鉴定:工伤认定需要通过职业病鉴定来确定是否属于工作岗位所致。

职业病鉴定是由具备相应资质的鉴定机构来进行。

第三步,公务员需通过工伤鉴定:工伤鉴定是对工伤事件的原因、性质、伤残程度等方面进行鉴定。

鉴定结果会对公务员是否享受工伤待遇产生重要影响。

第四步,公务员需通过工伤认定:工伤认定是指根据公务员工作中所遭受的伤害程度和相关证据,判定是否属于工伤,并确定工伤赔偿标准。

第五步,公务员需通过工伤赔偿:工伤认定后,公务员可以享受由国家提供的工伤赔偿金和相应的待遇。

工伤赔偿金多为一次性支付,根据伤残等级和工龄等因素来确定。

在公务员工伤工龄认定中,工龄是一个重要的因素。

工龄是指公务员在工作岗位上的实际从业时间,工龄越长,享受工伤待遇的时间也将越长。

工伤待遇在不同省份和地区存在差异,但一般来说,公务员工伤工龄认定时间在1年以上,具体时间以相关法律法规和规定为准。

总之,公务员工伤工龄认定是一个涉及多个程序和条件的复杂过程,公务员需要按照相关规定及时报告工伤,并通过职业病鉴定、工伤鉴定、工伤认定等步骤来确保自身的权益得到保障。

同时,公务员也应加强安全意识,注意工作环境的安全,以减少工作中的伤害风险。

特勒根定理的证明

特勒根定理的证明

特勒根定理(Tolerance Theorem)是电路分析中的一个重要定理,它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。

下面是特勒根定理的证明:假设有一个电路,其中包含元件A、B、C,它们的电阻值分别为R1、R2、R3,并且它们的容差分别为δR1、δR2、δR3。

根据容差的定义,我们知道δR1+δR2+δR3=0。

现在,我们考虑将元件A、B、C的电阻值分别调整为R1+ΔR1、R2+ΔR2、R3+ΔR3,其中ΔR1、ΔR2、ΔR3都是非零实数,并且它们的大小小于元件的额定容差。

根据容差的定义,我们有δR1+δR2+δR3=0,因此我们可以将上式改写为:δR1+δR2+δR3 = -(δR1+δR2+δR3)将ΔR1、ΔR2、ΔR3代入上式,我们得到:ΔR1+ΔR2+ΔR3 = -(ΔR1+ΔR2+ΔR3)这意味着元件的容差对电路中各个元件之间的相互关系产生了影响。

如果我们将元件的电阻值调整为比额定容差小的值,那么电路中各个元件之间的相互关系将发生变化。

为了描述这种变化,特勒根定理提供了一个简单的公式。

具体来说,特勒根定理指出:对于电路中的任何元件,如果它的电阻值的变化量ΔR小于元件的额定容差,那么电路中的总电压变化量ΔV将满足:ΔV/V < (R1+R2+R3) / 3其中,V是电路中的总电压。

这个公式告诉我们,当电路中的某个元件的电阻值发生变化时,电路中的总电压变化量将非常小,通常小于额定容差的三分之一。

这意味着我们可以在电路设计中考虑元件的容差,而不必担心它们对电路性能的影响。

总之,特勒根定理是电路分析中的一个重要定理,它描述了电路中元件的容差对电路性能的影响。

特勒根定理的证明基于电路中各个元件之间的相互关系,并且提供了一个简单的公式,用于描述元件的容差对电路中总电压变化量的影响。

特勒根定理

特勒根定理
k 1
特勒根第二定理(似功率守恒):
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同,则有
b
ukik ' 0 和
k 1
uk ' ik '
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
2 i1 - 2V + i5
22
4
i2
i3
i4
验证: 有相同的有向图如右
i6’
2A
2 i1’
- 4V + i5’
ukik ' Rkik ik ' (Rkik ')ik uk 'ik
b
b
得:
ukik ' uk 'ik
k 3
k 3
故:
u1i1'u2i2 ' u1'i1 u2 'i2
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++Biblioteka ++
3v -
u1 -
NR

u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
3i1'4i2 i2' 3i1 8i2'i2
-1.8A, 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR

特勒根定理

特勒根定理

作业9:p104
4-14(b) 4-17 4-20 4-21
特勒根定理
特勒根第一定理(功率守恒): 任意一个具有b条支路、n个节点的集总参数网络,设它的各支路电压和电流
分别为 和 (k=1、2、3、…b),且各支路电压和电流取关联参考方向,则有
uk ik
b
ukik 0
k 1
特勒根第二定理(似功率守恒):
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同,则有
因此有,
6
u 'i ' 4×2+0×0+4×(-2)+8×2+4×0+(-8)×2=0 kk k 1
这就验证了特勒根第一定理。
6
u i ' = 6×2+(-4)×0+2×(-2)+4×2+2×0+(-8)×2=0 kk k 1
6
u ' i = 4×3+0×(-2)+4×1+8×1+4×4+(-8)×5=0 kk k 1
b
ukik ' 0
同理
b
uk 'ik 0
k 1
k 1
例11 NR仅由电阻组成,已知i1=-2A, i2=1A;若电阻由4Ω改为8Ω, i1'=
-1.8A, 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR

u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
b
b
解:

特勒根定理ppt课件

特勒根定理ppt课件
uˆ1i1 uˆ 2i2 uˆ k ik 0
uk iˆk Rk ik iˆk ( Rk iˆk )ik uˆ k ik 5
k3
证明: 设共有b条支路, u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
b
u1iˆ1 u2iˆ2 uk iˆk 0
uk Rkik uˆ k Rk iˆk
( un3 un1 )i4 un2i5 un3i6
un1( i1 i2 i4 ) un2 ( i2 i3 i5 ) un3 ( i3 i4 i6 )
0
KCL:
能量守恒是特勒根定理1的特例
i1 i2 i4 0
二、特勒根定理2:
i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1:
对于一个n个结点,b条支路的网络,令向量i=(i1,i2…..,ib) 和u=(u1,u2…..,ub)分别表示支路电流和支路电压,并规定
支路电压和支路电流为关联参考方向,有:
证明: 4
b
ukik 0
k 1
KCL:



2
3
15
6
0
i1 i2 i4 0 i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
u ( u1 ,u2 ,...........,ub )
iˆ ( iˆ1 ,iˆ2 ,...........,iˆb ) uˆ ( uˆ1 ,uˆ 2 ,...........,uˆ b ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有:
b
ukiˆk 0
k 1
b
uˆ kik 0

uS i2
uˆ S iˆ1
特殊 uS uˆ S , 则 i2 iˆ1

第五章 电路基本定理

第五章 电路基本定理

us1
us2
us3
i12 R1 R2 ia2 + ib2 – R3 i13 R1 ia3 R2 R3 ib3 + –
us1
us2
us3
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i11 R1 i + a1 – R2 ib1 R3
i12 R1 ia2 R2 + ib2 – R3
i13 R1 ia3 R2 R3 ib3 + –
例如图(a)所示电路,已知电路N的电压-电流关系为
u=i+5.8V,试用置换定理求解电路中支路电流i1、i2。
i1 i
i u
i2
u
(b) (a) 解: 先求出图(a)所示电路N左侧一端口电路的电压-电流 关系,如图(b)所示,端口的节点方程为
1 1 1 ( + )u = × 4 − i 4 6 4
1Ω u(1) + (1) 2i - - +

i (2)

5A 1Ω + (2) 2i -
上页
+ u(2) -
下页
例3
封装好的线性电阻电路如 图,已知下列实验数据: 当 uS = 1V , i S = 1 A 时,

uS

响应 i = 2 A 当 uS = −1V , i S = 2 A 时, 响应 i = 1 A
iS
NO
i
研究 激励 和响 应关 系的 实验 方法
求 uS =- V , i S = 5 A 时, 3 响应 i = ?

根据叠加定理,有: 代入实验数据,得:
k1 + k 2 = 2 2 k1 − k 2 = 1

特勒根定理和互易定理

特勒根定理和互易定理

2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理推广应用
在使用定理的过程中,一定要注意对应支路的电压、电流的参 考方向要关联 例3、图中N由纯电阻组成,根据已知,求图(c)中的 I1和I2 。 3A 4 20V
+
(a)
1A
5
4
-
N
(a) I1 20V
+
(a)
2A
-
20V
N
(b)
4
+
(a)
又根据KCL,得: 6
k 1
u i
k k
0
un1 i1 u1 is1 i2
i4
R1 u4 i5 u5 is2 i 3 un3 u3
推广到任何具有n个结点 和b条支路的电路,有:
R2 un2 u2 R3
u i
k 1
b
k k
0
R4
i6 u6
2.8 特勒根定理和互易定理
2.8.1 特勒根定理
i1= -3A u2 = 5V i'1=? u'2 = 0
i2=1A i'2=2A
利用例2结
论计算: i'1=-3.5A
i''2=I2 i''1=-I1 u''2=20+5i''2 联立(a)、(c) : -8I1+5I2 =-3·(20-4I1) +(20+5I2)
联立(b)、(c) : -6I1+0 =-3.5·(20-4I1) + 2·(20+5I2) i''2 I2 5 I1 4 i''1 (a) + I1= 2A I2= -1A + + + u''1 N u''2 20V 20V (c)

特勒根定理

特勒根定理

特勒根定理特勒根定理是一个不可变定理,它证明了数论中著名的四平方定理。

这个定理由德国数学家威廉特勒根于1825年提出,其原文如下:“任意正整数,用它的四个平方数之和就可以表示成一个形式:a^4+b^4+c^4+d^4。

”特勒根定理的发现让数论的发展取得了重大突破。

因为它所指示的想法使数论定理的推不可断。

因此,对于数论理论家来说,它也是有史以来最重要的定理之一。

特勒根定理给了数论学家们一种攻克数论最难的问题的方法:四平方定理,也就是通过任意正整数的四个平方数之和表示成一个四项式的形式。

证明这一定理,可以使学者们更容易地攻克其它数论问题。

1835年,另一位德国数学家加布里埃尔-哈勒,凭借特勒根定理的基础上,提出了摩根定理,这一定理表明,任意正整数可以表示成一个三项式的形式:a^3+b^3+c^3。

由此可见,特勒根定理曾经是数论领域取得重大成就的根基。

后来,印度数学家兰克尔用数学证明了特勒根定理,这也是数论理论的一个重大里程碑。

仿佛特勒根的定理推开了数论的大门,指出了数论的方向,从而使数论的理论性有了更大的发展。

随着计算机技术的发展,特勒根定理在计算机算法中也发挥了重要作用。

比如,蒙特卡罗算法中,用特勒根定理可以加快算法的求解速度;此外,特勒根定理也被用来解决密码藏和数论组合方面的问题。

特勒根定理也被用来证明数论猜想。

另外,它还被用来解决超级计算机系统和物理学系统中的问题。

以上就是特勒根定理的历史、具体内容及其应用,它的重要性不言而喻,它对数论理论的发展及应用于计算机科学、密码藏、超级计算机系统等方面的影响都不可低估。

特勒根定理的创立,不但让传统的数论发展有了机遇,也引领了数论未来发展的方向。

特勒根定理内容

特勒根定理内容

特勒根定理是关于线性时不变电路中所有独立源的功率和储能之间关系的定理,具体内容如下:
对于一个线性时不变电路,在任意一个时刻,由所有独立源引起的电路中所有储能元件(如电容和电感)的储能总和等于所有独立源(包括电压源和电流源)所产生的功率总和。

特勒根定理可以表示为:
P=Pd+Pm
其中,P表示所有独立源在电路中产生的总功率,Pd表示电路中所有独立电压源产生的功率之和,Pm表示电路中所有独立电流源产生的功率之和。

特勒根定理可以帮助我们更深入地理解电路中功率和储能之间的关系,可以用于电路分析和优化设计。

在实际应用中,特勒根定理可以与基尔霍夫定律、欧姆定律等一起使用,以解决一些复杂的电路问题。

2.8 特勒根定理和互易定理

2.8 特勒根定理和互易定理
− 1'
u2 = 0
u s1

u1
+
NR
(a )
u2
− 2'
2 +
根据特勒根定理证明: 根据特勒根定理证明:
i2
互易后
ˆ u1 = 0
ˆ i2 i1 = us1 us 2
iˆ2
+
iˆ1
1 +
− 1'
ˆ u1
NR
(b )
ˆ u2
− 2'
2 +

us 2
若us1 = us2 ,则i2 = i1.
^
XIDIAN UNIVERSITY 2011年 AM 日星期五12 2011年10月14日星期五12时 GaoJN 西安电子科技大学电路信号与系统实验中心 10/14/2011 12:56:55 10月14日星期五12时 Gao Jianning
第10-5页 10-

二、互易定理
对于一个仅含线性电阻的二端 口电路N 口电路 R,在只有一个激励源的情 况下,当激励与响应互换位置时, 况下,当激励与响应互换位置时, 同一激励所产生的响应相同。 同一激励所产生的响应相同。
互易定理有三种形式。详见课本第 页 互易定理有三种形式。详见课本第78页。
4 Ω 3
+
4ˆ ˆ ˆ I × 2 + ∑ uN I N + u × 0 = 0 3 ˆ ∵ ∑ uN IˆN = ∑ uN I N
解得: 解得:
ˆ I = −3 A
NR
U = 2V


应用齐次性和叠加性, 应用齐次性和叠加性,令:
I = k1 × 10 + k2 × 10

特勒根定理

特勒根定理

特勒根定理
特勒根定理
特勒根定理(Tellegen’s theorem)是在克希霍夫定律的基础上发展起来的网络定理。

它与网络元件的特性无关,对非线性参数以及时变参数的网络都适用。

4.4.1 特勒根功率定理
一、内容
在一个具有n个节点、b条支路的网络N中,假设各个支路的电压与支路电流分别为(u1,u2....)和(i1,i2....) ,它们取关联参考方向,则对任意时间t,有
二、定理的证明
本教材中给出了一个实际的例子进行说明,有助于大家理解。

证明的依据是克希霍夫定律,以及电路的节点电压与各个支路电压的关系。

具体的严格证明过程同学们可以参见相关参考文献。

三、意义
在任意网络N中,在任意瞬时t,各个支路吸收的功率的代数和恒等于零。

也就是说,该定理实质上是功率守恒的具体体现。

4.4.2 特勒根拟功率定理
一、内容
两个具有n个节点、b条支路的网络N,它们由不同的元件组成,但它们的拓扑结构完全相同。

假设两个网络中对应的各个支路的电压与电流取关联参考方向,分别为
则对任意时间t,有
这个和式中的每一项,都仅仅是一个数学量,没有实际物理意义,定义它为“拟功率”。

特勒根定理适用范围

特勒根定理适用范围

特勒根定理适用范围
特勒根定理,又叫Toeplitz定理,是线性代数中的一个重要定理。

它被广泛运用于数学、物理学、工程学和其他领域中。

特勒根定理可
以解决很多实际问题,因此它的适用范围非常广泛。

特勒根定理主要研究n阶复矩阵,其中每一行都是上一行的旋转。

特别地,对于任何复数序列(a1,a2,...,an),如果矩阵Toepliz
A是其滑动对称矩阵,则A具有均值。

Toeplitz算符是指A将序列映
射到左移的序列并将其与序列的原始版本的乘积的序列求和。

因此,Toeplitz极限定理通常涉及到在n趋于无穷的情况下,尺寸增长到无
穷的Toeplitz矩阵的极限行为发生的现象。

特勒根定理可以应用于信号处理中的很多问题。

在图像处理方面,通过将图像离散化为矩阵,然后将矩阵转换为Toeplitz矩阵,就可以
使用特勒根定理的方法来实现去噪、增强等操作。

在语音识别中,许
多人公式可以直接使用特勒根定理进行计算,以获得较高的精度和速度。

在时间序列分析中,特勒根定理被用来识别周期性变化和趋势性
变化,从而可以预测未来的趋势。

此外,特勒根定理还被广泛用于研究共形场论、天体物理学等领
域中的问题。

它作为一个重要的工具被应用于不同领域中,以研究实
际问题的解决方案。

总结来说,特勒根定理是线性代数中的重要定理,它的适用范围
非常广泛。

它可以应用于信号处理、时间序列分析、共形场论、天体
物理学等众多领域中,并且其被广泛运用以提高计算精度和效率。

因此,深入理解特勒根定理的含义和应用,对于解决实际问题具有重大的指导意义。

特勒根定理

特勒根定理

特勒根定理特勒根定理是一个强大的数学定理,它可以帮助科学家将复杂的数学问题进行简化处理。

它也被称为“三角关系”,因为它关系到三维空间中三角形的关系。

该定理常用于几何和计算机图形学。

特勒根定理是18次世纪德国数学家威廉特勒根提出的定理。

它可以简单地表述为:“如果一个三角形的三条边满足特定的条件,那么它将保持相同的外观,不管它在三维空间中怎样移动。

”这就是所谓的“三角关系”,他们受到特勒根定理的指导。

为了理解特勒根定理,我们必须先了解它的三个基本概念:边长、夹角和面积。

边长是三角形的三条边的长度,它们用三个数字来表示。

夹角是三角形的三条边形成的角,它们用三个数字来表示。

面积是三角形的内部空间,也用三个数字表示。

任何这三个数字都可以用来描述一个三角形,包括它的形状和位置。

特勒根定理的精髓在于它关于三角形的边长、夹角和面积之间的关系。

该定理指出,如果满足以下特定的三组条件,三角形就会保持完全一致的形状:- 任意两条边之和大于第三条边;- 任意两条边夹角之和大于第三条边夹角;-积=边长*夹角*1/2这三组条件是特勒根定理中最重要的一点,只要它们满足,三角形就会保持完全一致的形状。

特勒根定理也可以用其它的方式来表达,但是它的具体内容没有改变。

特勒根定理是几何学和计算机图形学中最重要的定理之一,特勒根定理的革新性发挥了重要作用。

它使得三角形在几何学和计算机图形学中分析变得更加简单,而且它也可以应用于数学模型的建立,从而能够更加准确地描述物理现象。

特勒根定理可以应用于摩擦力、抛物线运动、抛体运动、重力等物理运动,它可以准确地反映物理系统中物体之间的关系。

它还可以帮助我们精确计算出物体在三维空间中的位置,提供准确的坐标和距离参考。

特勒根定理在计算机视觉和机器视觉领域用途非常广泛,它可以帮助用计算机分析实时三维空间中物体之间的关系,检测其位置、形状,从而实现人工智能机器视觉系统。

特勒根定理有着广泛的应用前景,它不仅可以帮助科学家精准反映三维物理场中的物理状态,而且也可以帮助计算机系统更加准确地检测三维场景中的物体位置、形状等。

电路定理-特勒根定理互易定理和对偶定理 ppt课件

电路定理-特勒根定理互易定理和对偶定理  ppt课件

对应元素互换,两个方程可以彼此转换,两个电路互为对偶。
电阻 R 电压源 us 网孔电流 il KVL 串联 网孔 电导 G 电流源 is 节点电压 un KCL 并联 节点
ppt课件
18
例2 i1 R1
+
us1
il1

R3 R2 il2
+
is1
rm i1

un1 G2 un2
+
u1 G1
G3

gm u1
电路定理
第三讲(总第十四讲)
特勒根定理
互易定理
对偶原理
ppt课件
1
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
一、具有相同拓扑结构的电路
2
1 3
N
+–
2
2
13
14
5 3
6
2
+
-
4
1
3
41
ppt课件
2
2
13
4
5 3
6
4 N
4
2
2
2
例:
2
2
13
13
14
5 3
4
14
5 3
4
N6
6
N
*对应支路取相同的参考方向
(1) 惯例网孔电流取顺时针方向,节点电压极性对地为正。 每个网孔对应一个节点,外网孔对应参考节点。
(2) 电源方向(在按惯例选取网孔电流和节点电压方向的 前提下)
原回路中所包含的电压源如果沿顺时针方向电压升高, 则在对偶电路中电流源的电流方向应指向该网孔对应 的独立节点。
I1
+ us

特勒根定理(Tellegen’s Theorem)

特勒根定理(Tellegen’s  Theorem)
表示两个电路中b条支路的电流和电压,则在任何时 间t,都有:
b
uk i k 0
k 1

b
uˆk i k 0
k 1
6
证明:设两个电路的图如下图所示,取结点4为参考结点。
对电路1,可列写KVL方程,有:
u1=-un1 ; u2=un1-un3 ;
电路1 u3=un3 ; u4=un1-un2 ;
中有唯一电压源uj,其在支路k中产生的电流为ikj(图a);若支 路k中有唯一电压源uk,其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。
a
uj + – b
线性 电阻 网络 N0
(a)
c ikj
d
a ijk
b
c
线性 电阻 网络
+ uk
N0

d
(b)
12
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则两个支路中电压电流有如下关系:
i4
+
Λ
i5
+
Λ
i6
+
un3
-
Λ
i2+
Λ
i3
-
Λ
i6
把电路2的KCL方程代入上式,可知:
6
uk
iˆk
0
k 1
此上述证明可推广至任何具有n个 结点和b条支路的电路,即有:
b
uk
iˆk
0
k 1
同理可证明定理的第二部分,即有:
b
uˆk ik 0 8
k 1
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4.功率守恒定理:
ukj ujk i j ik

ukjik ujk i j
当 ik = jj 时,ukj = ujk 。

特勒根定理.

特勒根定理.
§27 特勒根定理
预备知识:线形图、有向图
同构电路
① 1
支路电压与支路电流 取一致性参考方向
4

3
6
2
5

特勒根功率定理
6
ukik 0
6
k 1
uk ik u1i1 u2i2 u3i3 u4i4 u5i5 u6i6
k 1
v1(i1 i4 i6 ) v2 (i2 i4 i5 ) v3 (i3 i5 i6 )
k 1
k 1
k 1
k 1
i1uˆ1 i2uˆ2 iˆ1u1 iˆ2u2
u1 us1 20V, i1 10A, u2 0V, i2 2A uˆ1 3iˆ11 12V, iˆ11 4A, uˆ2 uˆs2 ?, iˆ2 ?
10 12 2uˆS2 4 20 0 uˆS2 100V
特勒根似功率定理Leabharlann 6 uk iˆk 0
k 1
6
uˆk ik 0
k 1
6
uk iˆk u1iˆ1 u2iˆ2 u3iˆ3 u4iˆ4 u5iˆ5 u6iˆ6
k 1
v1(iˆ1 iˆ4 iˆ6 ) v2(iˆ2 iˆ4 iˆ5 ) 3(iˆ3 iˆ5 iˆ6 )
在(b)中uˆ1 3iˆ11 12V, iˆ11 4A, uˆ2 uˆs2 ?, iˆ2 ?
b
i1uˆ1 i2uˆ2 ik uˆk 0
网络N由线性电阻元件组成
k 1 b
iˆ1u1 iˆ2u2 iˆk uk 0
b
b
b

特勒根定理

特勒根定理

k3
u aiˆa b bu ciˆd cd u ˆaia b bu ˆcid cd
u a b0 0 iˆcd u ˆa(b 4 ) 8 3 uˆab8436v
特勒根定理用来求解电路甚少,其另一用途是用来证明
其它定理。(如互易定理)
也就是说,电路中各独立源供给功率的总和,等于其余各支路吸收功率的总和。
电压电流加“^”。 §2 7 特勒根定理
2.特勒根定理只要求uk、ik在数学上受到一定的约束(KVL、KCL的约束),而并不要求它们代表某一物理量,所以特勒根定理不仅
适用于同一网络的同一时刻,也适用于b不同时刻,不同的网络(但要b求具有相同有向图),不仅适用于电网络,也适用于非电网络。
有 uiˆ 0 uˆ i 0 也就是说,电路中各独立源供给功率的总和,等于其余各支路吸收功率的总和。
两个电路中,支路数和节点数都相同,对应支路与节点的联接关系也相同。
二、用途: (1)用于系统的稳定性分析 k k
kk
不是同一元件上的电压电流的乘积,k所以1无物理意义,叫似功率(因k为1具有功率的计算形式和量纲)。
v 1 ( i ˆ 1 i ˆ 4 i ˆ 6 ) v 2 ( i ˆ 2 i ˆ 4 i ˆ 5 ) 3 ( i ˆ 3 i ˆ 5 i ˆ 6 ) 0
§27 特勒根定理
将以上结论推广到任意两个具有n个节点、b条支路 的电路N和 Nˆ ,当它们所含二端元件的性质各异,
但有向图完全相同时,则有
b u k ik 0
k 1
b
u k ik 0
k 1
这就是特勒根似功率定理(Tellegens quasi-power
theorem)的数学表达式。该定理表明,在有向图相
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第五章 特勒根定理5-1 引言特勒根定理是关于电网络拓扑结构的定理,它脱离了元件具体的物理性态,因而具有更普遍的意义。

特勒根定理是B.D.H. Tellegen 在本世纪五十年代初提出的[1、2]。

实际上,在此之前,已出现了许多关于特勒根定理的推导和讨论的文章[3-5]。

最早的工作应追溯到 1883年 O. Heaviside 的论文[6]。

尽管如此,先于Tellegen 的作者们没有指出定理的普遍性及其应用上的灵活性,只是将它用于一个特定的目的,或者只作出说明而没有探讨它的应用。

定理以 Tellegen 的名字命名是因为他是指出定理有普遍意义的第一人。

特勒根定理不仅具有电网络意义,它还具有更一般的应用价值,文[7]在一般数学方程组的基础上提出了广义特勒根定理,并给出了矩阵互易定理,进一步发展了这一理论。

本章介绍特勒根定理。

首先讨论特勒根定理在电网络中的表述,然后给出广义特勒根定理,并进行流图解析,最后是广义特勒根定理的应用举例。

5-2 特勒根定理定理5-1(特勒根定理1):对n 个节点b 条支路的电网络,在标定支路的参考方向后,必有0),,,(02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b T b I I I V V V I V (5.1)其中,b V 和b I 分别是支路电压和支路电流向量。

证明:由第一章网络的关联性可知m Tb b nTa b I K I V K V == (5.2)各符号意义同第一章,于是有b a Tn b T b I K V I V ⋅= (5.3)由基尔霍夫电流定律0=b a I K (5.4)故必有0=b T b I V (5.5)证毕。

定理5-2(特勒根定理2):对于两个网络,若拓扑结构完全相同,且支路标定方向完全一致,必有b b 和0~=b T b I V (5.7)成立。

其中b b I V ,和b b I V ~,~分别属于两个不同网络。

证明:由于两个网络拓扑结构完全相同,并且支路标定方向一致,故在节点、支路及回路编号一致时,两者必然具有相同的关联矩阵a K 和b K ,这样有b a T n b T b I K V I V ~~= (5.8)上式显然为零。

这就证明了式(5.6)。

同理可证式(5.7)。

式(5.1)和式(5.8)也可以用基尔霍夫电压定律加以证明。

以式(5.8)的证为例m T b b m T b T b b T b I V K I K V I V )~(~~== (5.9)而由基尔霍夫电压定律0~=b b V K从而式(5.9)等于零。

所以,特勒根定理并不同时依赖于基尔霍夫两个定律,而仅由其一即能推导出定理的结论。

这种认识很重要,由此可以将特勒根定理作更广泛意义上的拓广。

定理5-1反映了网络能量守恒关系,称之为功率定理。

定理5-2是两个不同网络支路电压和电流的乘积,具有功率量纲,没有实际意义,称之为拟(似)功率定律(Quasi-power theorem)5-3 互易定理互易定理(Reciprocity theorem )可以用特勒根定理简捷地证明,是特勒根定理应用的一个范例。

互易性有两种等效的但是不同的定义。

在一种定义中,设有一个有源二端口网络,观察它的响应,如果将源与负载交换后响应一样,则网络是互易的,如图5-1所示。

图中,若网络互易,必有12~V V =。

Maxwell , Rayleigh 和Lorentz 等人应用另一种更广泛的定义来定义n 端口网络的互易性。

这就是,一个p 端时不变网络,或者一个1+p 端元件,如果存在2 2 S I 图5-1 互易定理 (a)(b)1=k k k k k 其中k 对应于端口则称它是互易的。

显然这是第一种定义的拓广。

网络元件可以看作是最简单的网络。

因此若一个元件满足式(5.10),则称为互易元件。

对于一个两端元件e ,如图5-2,考察e V s e V ~ s ~图5-2 元件的互易性0~~=-e e e e I V I V (5.11) 是否成立以确定是否是互易元件。

对于线性电阻、电容及电感,有0~~~~=-=-e e e e e e e e e e I I Z I I Z I V I V (5.12)因此它们是互易元件。

理想变压器是两端口元件,容易证明它是互易元件。

可以举出许多非互易元件的例子,如晶体管,回转器等等。

定理5-3(互易定理):由互易元件组成的网络一定是互易网络。

证明:组成网络N 的元件可以用支路表示,设端口支路用k 表示,内部支路用j 表示,则由特勒根定理2,有0~=∑b T b I V (5.13)0~~=∑+∑k k pkj j b jI V I V (5.14) 0~~=∑+∑k k pkj j b jI V I V (5.15) 两式相减,有0)~~()~~(=-∑+-∑k k k k pkj j j j b jI V I V I V I V (5.16)由于网络有互易元件组成,故0)~~(=-∑j j j j b jI V I V (5.17)得到0)~~(=-∑k k k k p kI V I V这正是式(5.10).证毕。

注意,独立电源不是互易元件,所以对于独立源应放在端口。

受控源不一定不是互易元件,如线性负电阻就是互易元件。

故互易性和无源性不完全等同。

5-4 交互互易定理对于网络N 和N ~,若满足 1)N 和N ~具有相同的拓扑结构。

2)如果内部支路(独立电源以外的支路 )具有阻抗表达形式,并满足b Tb Z Z ~= (5.19a )或b T b Y Y ~= (5.19b )其中b Z 和b Y 分别是支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵;3)N 和N ~端口以外的支路,即独立电源支路具有相同的性质(电压源或电流源); 则称N 和N ~互为伴随网络(Adjoint network )。

定理5-3(交互互易定理):若网络N 和N ~相互伴随,则对于非独立电源支路集合b ,必有0)~~(1=-∑=l l l l bl I V I V (5.20a)或写作0~~=-b T b b T b I V I V (5.20b )并称之为交互互易定理(Interreciprocity )。

证明~~~~~)~~(~~~=-=-=-=-b T b b T b b T b T b b T b bT b b b T b b T b b T b V I I V I Z I I V I I Z I V I V I V由于N 和N ~具有相同的拓扑,故Ta b a n K Y K Y = (5.21a )Tab a n K Y K Y ~~= (5.21b) 考虑到b Y 及b Y ~互为转置,有TaT b a n K Y K Y ~= (5.22) 由式(5.21b ),得TaT b a T T a b a T n K Y K K Y K Y ~)~(~== (5.23)从而T n n Y Y ~= (5.24)同理可得Tnm Z Z ~= (5.25) 因此伴随网络的性质1和2等价为节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵互为转置。

由式(5.16),设独立电源端口电压和电流参考方向相反,有)~~()~~(11k k k k bk j j j j b j I V I V I V I V -∑=-∑== (5.26) 即p T p p T p b T b b T b I V I V I V I V ~~~~-=- (5.27)若b b p p I V I V ,,,及b b p p I V I V ~,~,~,~从属于两个相互伴随的网络N 和N ~,由本节定理,有0)~~(1=-∑=k k k k pk I V I V (5.28)或0~~=-p T p p T p I V I V (5.29)这与互易定理的形式(5-10)完全一致。

但有一些不同。

互易定理成立的前提是组成网络的元件必须是互易元件,它是对同一个网络而言。

交互互易定理的条件是两个相互伴随的网络,并不要求元件具有互易性。

事实上互易性是交互互易性的特例,分析如下。

若网络N 由互易元件构成,必然满足式(5.17), 即0~~=-b T b b T b I V I V (5.30)而bb Tb T b b b Tb b T b T b bT b b T b b T b b T b I Z Z I I Z I I Z I V I I V I V I V ~)(~~~~~~-=-=-=- (5.31)上式恒为零,只有Tb b Z Z = (5.32)这说明,互易性也存在着伴随网络,只不过伴随网络就是网络N 本身。

由上式可以知道,由互易元件构成的节点导纳矩阵和回路阻抗矩阵必为对称矩阵。

所以交互互易性意义更广泛,它可以应用于任意网络,只需构造出伴随网络。

(由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看,若是互易元件组成的,由于是对称矩阵,伴随网络的矩阵就是原网络相应矩阵本身),(若含非互易元件,伴随网络的矩阵取相应矩阵的转置即可)。

因此伴随网络的选择非常容易。

若网络N 的参考数发生了变化b Z ∆,由此b V 和b I 都将变化,假定网络N ~不变,则b b b b b b b I Z I Z I Z V ∆+⋅∆=∆=∆)( (5.33)考虑式(5.20),有bT b T b b T b b T b b T b T b bT b b T b T b b T b T b bT b b T b b b T b b T b b I Z I I V V I I Z I I V I Z I I Z I I V I V I I V I V V ~)~~(~~~~~~)(~~)(∆=∆-∆+∆=∆-∆+∆=∆-∆=∆+-∆+ 即又∵b Tb b T b V I V I ~~∆=∆有∴b b T b b T b b T b I Z I I V V I ∆=∆-∆~~~ (5.34) 上式说明了不含独立源的支路电压电流与网络参数变化量的近似关系(式(5.33)是近似表达),它在灵敏度分析中起着重要作用。

5-5 广义特勒根定理本节介绍适合一切可以用线性方程表述的物理系统的广义特勒根定理。

由第三章可知,任意矩阵A 都可表达为LDR A = (5.35) 的分解形式。

其中A 是m n ⨯阶矩阵,L 和R 分别为0,-1,1组成的q n ⨯和m q ⨯阶矩阵,D 是由A 的非零元素组成的对角线矩阵。

由此有下面的一.广义特勒根定理定义:称A ~与A 互为结构伴随矩阵,若满足T T L D R A ~~= (5.36)于是,有下面的定理5-4(广义特勒根定理):对于结构相互伴随的n n ⨯阶矩阵A 和A ~形成的方程组B AX = (5.37a ) 和B X A ~~~= (5.37b )必有B X W Y T T ~~= (5.38a )和X B Y W T T ~~= (5.38b )成立。

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