特勒根定理
2-7特勒根定理
• 特勒根定理(Tellegens theorem)是在基尔霍夫定 律的基础上发展起来的一条重要的网络定理。 与基尔霍夫定律一样，特勒根定理与电路元件 的性质无关，因而能普遍适用于任何集中参数 电路。
• 特勒根定理有两条：
（1）特勒根功率定理 （2）特勒根似功率定理
电路的图 (graph) ： 线形图(linear graph)
注意：每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
2. 特勒根似功率定理
设有两个由不同性质的二端元件组成的电路N和
ˆ , 二者的有向图完全相同 。 N
6
ˆ ui ˆ u i ˆ u i ˆ u i ˆ u i ˆ u i ˆ u i k k 11 22 33 44 55 66
k 1
v1 (i1 i4 i6 ) v2 (i2 i4 i5 ) v3 (i3 i5 i6 ） v4 (i1 i2 i3 ) 0
将这一结论推广到任一具有nt = n+1个节点、b条支路的电路，则 有
i
k 1
b
k k
0
这就是特勒根功率定理(Tellegens power theorem)的数学表达式。 该定理表明，在任意电路中，在任何瞬时t，各支路吸收功率的 代数和恒等于零。 用特勒根功率定理可检验电路计算结果是否正确。
将以上结论推广到任意两个具有nt = n+1个节点、b条支路的电路N
ˆ ，当它们所含二端元件的性质各异，但有向图完全相同 时， 和N
则有
ˆ 0 u i kk
k 1
b
ˆ i u
k 1
b
k k
0
这就是特勒根似功率定理(Tellegens quasi-power theorem)的数 学表达式。该定理表明，在有向图相同的任意两个电路中，在 任何瞬时t，任一电路的支路电压与另一电路相应的支路电流的 乘积的代数和恒等于零。
4.5特勒根定理
特勒根定理、KCL、KVL是电路的基本定律，三者之 间，用任何两个可推出另一个。
第四章 常用的电路定理 应用特勒根定理要注意的问题： 1)定理的正确性与元件的特征全然无关，因此特勒根定 理对任何线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适 用。定理实质上是功率守恒的数学表达。 2)电路中的支路电压必须满足KVL，支路电流必须满足 KCL，支路电压和支路电流必须满足关联参考方向（否则公 式中加负号）。
对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路n当它们具有相同的拓扑图但对应的支路的组成和参数不同任何时刻在两个电路的支路电流和电之间分别取关联参考方向下两电路中相对应的支路电压与支路电流的乘积的代数和恒等于零
第四章 常用的电路定理
4.5 特勒根定理 （Tellegen’s theorem）
1. 特勒根定理1－功率守恒
特勒根定理1表述为：对于一个具有n个结点和b条 支路的集总电路，任何时刻，在各支路电流ik和电压uk 取关联参考方向下，各支路电压与支路电流的乘积的代 数和恒等于零。此定理可用下式表示为：
∑u i
k =1
b
k k
=0
(4.5-1)
第四章 常用的电路定理
2. 特勒根定理2－拟功率守恒
特勒根定理2表述为：对于两具有相同的拓扑图，但对应的支路 的组成和参数不同，任何时刻，在两个电路的支路电流和电 ˆ ˆ u 压uk与ik之间、 k 与 ik 之间分别取关联参考方向下，两电路中 相对应的支路电压与支路电流的乘积的代数和恒等于零。可 用下式表示为， ⎧b ˆ ⎪∑ uk ik = 0 (4.5-2a) ⎪ k =1 ⎨b ⎪ u i =0 (4.5-2b) ∑ ˆk k ⎪ k =1 ⎩ 此定理中所谓相同的拓扑图是指两电路具有相同的结构。
第5章 特勒根定理
第五章 特勒根定理5-1 引言特勒根定理是关于电网络拓扑结构的定理，它脱离了元件具体的物理性态，因而具有更普遍的意义。
特勒根定理是B.D.H. Tellegen 在本世纪五十年代初提出的[1、2]。
实际上，在此之前，已出现了许多关于特勒根定理的推导和讨论的文章[3-5]。
最早的工作应追溯到 1883年 O. Heaviside 的论文[6]。
尽管如此，先于Tellegen 的作者们没有指出定理的普遍性及其应用上的灵活性，只是将它用于一个特定的目的，或者只作出说明而没有探讨它的应用。
定理以 Tellegen 的名字命名是因为他是指出定理有普遍意义的第一人。
特勒根定理不仅具有电网络意义，它还具有更一般的应用价值，文[7]在一般数学方程组的基础上提出了广义特勒根定理，并给出了矩阵互易定理，进一步发展了这一理论。
本章介绍特勒根定理。
首先讨论特勒根定理在电网络中的表述，然后给出广义特勒根定理，并进行流图解析，最后是广义特勒根定理的应用举例。
5-2 特勒根定理定理5-1（特勒根定理1）：对n 个节点b 条支路的电网络，在标定支路的参考方向后，必有0),,,(02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b T b I I I V V V I V （5.1）其中，b V 和b I 分别是支路电压和支路电流向量。
证明：由第一章网络的关联性可知m Tb b nTa b I K I V K V == （5.2）各符号意义同第一章，于是有b a Tn b T b I K V I V ⋅= (5.3)由基尔霍夫电流定律0=b a I K （5.4）故必有0=b T b I V （5.5）证毕。
定理5-2（特勒根定理2）：对于两个网络，若拓扑结构完全相同，且支路标定方向完全一致，必有b b 和0~=b T b I V （5.7）成立。
其中b b I V ,和b b I V ~,~分别属于两个不同网络。
证明：由于两个网络拓扑结构完全相同，并且支路标定方向一致，故在节点、支路及回路编号一致时，两者必然具有相同的关联矩阵a K 和b K ，这样有b a T n b T b I K V I V ~~= （5.8）上式显然为零。
特勒根定理
特勒根第二定理(似功率守恒)：
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有
b
ukik ' 0 和
k 1
uk ' ik '
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
2 i1 - 2V + i5
22
4
i2
i3
i4
验证： 有相同的有向图如右
i6’
2A
2 i1’
- 4V + i5’
ukik ' Rkik ik ' (Rkik ')ik uk 'ik
b
b
得：
ukik ' uk 'ik
k 3
k 3
故：
u1i1'u2i2 ' u1'i1 u2 'i2
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++Biblioteka ++
3v -
u1 -
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
3i1'4i2 i2' 3i1 8i2'i2
-1.8A， 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR
第6章 特勒根定理
+
~ I1
~ I2
JS
若网络互易，必有
2010-11-4
~ V2 = V1
第6章 特勒根定理 7
互易定义2 端口网络互易） 二、 互易定义 （n端口网络互易） 端口网络互易
一个P端口时不变网络，或者一个 端元件， 一个 端口时不变网络，或者一个P+1端元件，如果存在 ： 端口时不变网络 端元件
k =1
则有： ∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b + ∆Z b ∆I b 上式略去二阶小量后，得
∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b
2010-11-4 第6章 特勒根定理 18
设网络N的伴随网络为 ~ ~ VbT I b − VbT I b = 0
T
~ N
则有：
网络N参数变化前的变量 网络N参数变化后的变量
2010-11-4 第6章 特勒根定理 16
交互互易定理在灵敏度分析中的应用 ~ 相互伴随， 若网络 N 和 N 相互伴随，
则对于非独立电源支路集合b，必有： 则对于非独立电源支路集合 ，必有：
l =1
~ ~ ∑ (Vl I l − Vl I l ) = 0
b
或写作矩阵形式
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
=
T T I b (Z b
~ − Z b )I b = 0
上式恒为零，只有
Zb =
T Zb
1）互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N本身 2）交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构 造出伴随网络。（由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是 互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是原 网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵 取相应矩阵的转置即可）。因此伴随网络的选择非常容易。
特勒根定理
作业9：p104
4-14(b) 4-17 4-20 4-21
特勒根定理
特勒根第一定理(功率守恒)： 任意一个具有b条支路、n个节点的集总参数网络，设它的各支路电压和电流
分别为 和 (k＝1、2、3、…b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则有
uk ik
b
ukik 0
k 1
特勒根第二定理(似功率守恒)：
有向图相同
N
N’
支路电压
uk
支路电流
ik
支路电压和电流取关联参考方向且相同，则有
因此有，
6
u 'i ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
这就验证了特勒根第一定理。
6
u i ' = 6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0 kk k 1
6
u ' i = 4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0 kk k 1
b
ukik ' 0
同理
b
uk 'ik 0
k 1
k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝
-1.8A， 试求i2'?。
i1
i2
i1'
i2'
+
+
++
+
+
3v -
u-1
NR
4Ω
u-2
3v -
u-1'
NR 8Ω
u-2'
b
b
解：
特勒根定理
线性 电阻 网络 N
(b) ˆ ˆ = 0, u2 = uS
ˆ ˆ uk = Rk ik
ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 + ˆ ˆ u1 i1 + u2 i2 +
b
∑ u iˆ
k =3 b
k k
=0 =0
∵ uk = Rk ik
ˆ ∑u i
k =3
k k
ˆ ˆ ˆ ˆ ∴ uk ik = Rk ik ik = ( Rk ik )ik = uk ik
i = ( i1 ,i2 ,...........,ib )
u = ( u1 ,u2 ,...........,ub )
ˆ ˆ ˆ ˆ i = ( i1 , i2 ,..........., ib )
ˆ ˆ ˆ ˆ u = ( u1 ,u2 ,...........,ub ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向 则有： 并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有： 关联参考方向
b k=1
b
∑
ˆ uk ik = 0
ˆ ∑u i
k=1
k k
=0
KCL、KVL和特勒根定理合称为拓扑约束，适 、 合称为拓扑约束 和特勒根定理合称为拓扑约束， 用于任何集总电路 用于任何集总电路 例4-8 已知如图 , 求电流 ix 。 i1 + ix 10V 1A R N 解： 设电流 i1和 i2 ，方向如图所示。 方向如图所示。 由特勒根定理2 由特勒根定理2，得： 5V + i2
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1： 特勒根定理 ： 对于一个n个结点， 条支路的网络 令向量i=(i 条支路的网络， 对于一个 个结点，b条支路的网络，令向量 1，i2…..，ib) 个结点 分别表示支路电流和支路电压， 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定 分别表示支路电流和支路电压 支路电压和支路电流为关联参考方向 关联参考方向， 支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
特勒根定理
特勒根定理特勒根定理是一个不可变定理，它证明了数论中著名的四平方定理。
这个定理由德国数学家威廉特勒根于1825年提出，其原文如下：“任意正整数，用它的四个平方数之和就可以表示成一个形式：a^4+b^4+c^4+d^4。
”特勒根定理的发现让数论的发展取得了重大突破。
因为它所指示的想法使数论定理的推不可断。
因此，对于数论理论家来说，它也是有史以来最重要的定理之一。
特勒根定理给了数论学家们一种攻克数论最难的问题的方法：四平方定理，也就是通过任意正整数的四个平方数之和表示成一个四项式的形式。
证明这一定理，可以使学者们更容易地攻克其它数论问题。
1835年，另一位德国数学家加布里埃尔-哈勒，凭借特勒根定理的基础上，提出了摩根定理，这一定理表明，任意正整数可以表示成一个三项式的形式：a^3+b^3+c^3。
由此可见，特勒根定理曾经是数论领域取得重大成就的根基。
后来，印度数学家兰克尔用数学证明了特勒根定理，这也是数论理论的一个重大里程碑。
仿佛特勒根的定理推开了数论的大门，指出了数论的方向，从而使数论的理论性有了更大的发展。
随着计算机技术的发展，特勒根定理在计算机算法中也发挥了重要作用。
比如，蒙特卡罗算法中，用特勒根定理可以加快算法的求解速度；此外，特勒根定理也被用来解决密码藏和数论组合方面的问题。
特勒根定理也被用来证明数论猜想。
另外，它还被用来解决超级计算机系统和物理学系统中的问题。
以上就是特勒根定理的历史、具体内容及其应用，它的重要性不言而喻，它对数论理论的发展及应用于计算机科学、密码藏、超级计算机系统等方面的影响都不可低估。
特勒根定理的创立，不但让传统的数论发展有了机遇，也引领了数论未来发展的方向。
特勒根定理内容
特勒根定理是关于线性时不变电路中所有独立源的功率和储能之间关系的定理，具体内容如下：
对于一个线性时不变电路，在任意一个时刻，由所有独立源引起的电路中所有储能元件（如电容和电感）的储能总和等于所有独立源（包括电压源和电流源）所产生的功率总和。
特勒根定理可以表示为：
P=Pd+Pm
其中，P表示所有独立源在电路中产生的总功率，Pd表示电路中所有独立电压源产生的功率之和，Pm表示电路中所有独立电流源产生的功率之和。
特勒根定理可以帮助我们更深入地理解电路中功率和储能之间的关系，可以用于电路分析和优化设计。
在实际应用中，特勒根定理可以与基尔霍夫定律、欧姆定律等一起使用，以解决一些复杂的电路问题。
特勒根定理
特勒根定理
特勒根定理
特勒根定理（Tellegen’s theorem）是在克希霍夫定律的基础上发展起来的网络定理。
它与网络元件的特性无关，对非线性参数以及时变参数的网络都适用。
4.4.1 特勒根功率定理
一、内容
在一个具有n个节点、b条支路的网络N中，假设各个支路的电压与支路电流分别为(u1,u2....)和(i1,i2....) ，它们取关联参考方向，则对任意时间t，有
二、定理的证明
本教材中给出了一个实际的例子进行说明，有助于大家理解。
证明的依据是克希霍夫定律，以及电路的节点电压与各个支路电压的关系。
具体的严格证明过程同学们可以参见相关参考文献。
三、意义
在任意网络N中，在任意瞬时t，各个支路吸收的功率的代数和恒等于零。
也就是说，该定理实质上是功率守恒的具体体现。
4.4.2 特勒根拟功率定理
一、内容
两个具有n个节点、b条支路的网络N，它们由不同的元件组成，但它们的拓扑结构完全相同。
假设两个网络中对应的各个支路的电压与电流取关联参考方向，分别为
则对任意时间t，有
这个和式中的每一项，都仅仅是一个数学量，没有实际物理意义，定义它为“拟功率”。
特勒根
u i
2.由来(举例说明)
k 1
b
k k
0
u3=un2 -un3 u6= un3
u2=un1 -un2 KVL： u1=un1 u4=un3 -un1 u5=un2 node1: i1+i2 -i4 = 0 KCL： node2: -i2+i3+i5 = 0 node3: -i3+i4+i6 = 0
由图(a)、(b)：
k 3 k3 b
b
N R , N R 内部为线性电阻 ˆ R (k 3,4,b) ˆ i u i R u
k k k k kຫໍສະໝຸດ k(a)ˆ u i ˆ ˆ ˆ u1 i 1 2 2 u1 i1 u2 i 2
由图(a)、(b)：
0
-is
-is
0
(b)
ˆ u i ˆ ˆ ˆ u1 i 1 2 2 u1 i1 u2 i 2
具有相同拓扑结构（特征）的电路
§4-4 特勒根定 特勒根定理
(Tellegen’s Theorem)
两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路 与结点的联接关系也相同。 R4 R2 R1 R6 3 + 2 R5 R3 us1 – R4 ' 2 R6 + us6 – is2
'
R5 ' R3 '
1
4
1
u i
k 1
6
k k
un1i1 ( un1 un 2 )i2 ( un 2 un 3 )i3 ( un 3 un1 )i4 un 2 i5 un 3 i6 0 0 0 un1(i1 i2 i4 ) un2 (i2 i3 i5 ) un3 (i3 i4 i6 ) =0
§3-6 特勒根定理
ˆ uk ik = 0 ∑
ˆ ∑u i
k= k=1
b
k=1 b
k k
=0
(5)
(4)
似功率平衡定理
u1 = 9V 例题1 已知 例题 u2 = 0V
i1 = 4.5A i2 = 1A
ˆ i1
，ˆ 2 = u1 = 9V u
ˆ i2
ˆ 求 u1 = −2i1 = ? ˆ
i1 + u1
−
i2
NR
i2
+ u2
−
b
+ ˆ u1 R = 2 N R
−
−+ ˆ u2 Nhomakorabea解： uk iˆk ∑
k =1
b
ˆ ˆ = - u1i1 + u2i2 + ∑k ik = 0 uˆ
ˆ ˆ = - u1i1 + u2i2 + ˆ u ∑i
k=3
ˆ ∑u i
k =1
b
k=3 b
k k
k k
=0
ˆ uk ˆ uk ik = uk Rk uk ˆ ˆ uk ik = uk Rk
ˆ设 对网络 N ：
支路电流 ik 支路电压 uk
k = 1,2,Lb k = 1,2,Lb
取关联参考方向
ˆ 支路电流ik k = 1,2,Lb 取关联参考方向 ˆ 支路电压 uk k = 1,2,Lb
特勒根定理( 特勒根定理(Tellegen’s Theorem) )
则有： 则有：
X
解 （ 续）
ˆ Q∑k ik = ∑k ik uˆ u
k=3 k=3 b b
??????
ˆ ˆ ˆ ˆ ∴− u1i1 + u2i2 = −u1i1 + u2i2
特勒根定理
在稳态情况下，线性电容及电感为互易元件
~ ~ ~ ~ V1I1 V1I1 ZI1I1 ZI1I1 0
不是所有元件都是互易元件， 如晶体管，回转器，独立电源等等
2015-1-15 第6章 特勒根定理 9
互易定理：由互易元件组成的P端口网络一定是互易的
I1
Ip
V1
~ I1
Vp
~ Ip
由特勒根定理得：
b
~ V I k k 0
k 1
b
所有支路（变化前） 所有支路（变化后）
k 1 b
~ (Vk Vk ) I k 0
~ V I k k 0
k 1
~ Vk ( I k I k ) 0
b
k 1
nb
b ~ ~ V I V I k k k k 0 k 1
由基尔霍夫电流定律 Ka I b 0
故必有
T Vb I b
0
K b：回路－支路关联矩阵
功率守恒
T 由网络的关联性可知 Ib Kb Im
T VbT Ib VbT ( Kb Im ) ( KbVb ) Im
T
由基尔霍夫电压定律 故必有
2015-1-15
KbVb 0
VbT I b 0
T T ( I b Zb T T ~ I b Zb ) I b
Vb ZbI b Zb I b
~T Vb I b ~T T T~ T~ I b Z b I b ( I b Vb Vb I b ) T T~ I b Zb I b
T~ ( I b Vb
则称
2015-1-15
N
~ 互为伴随网络 N
特勒根定理和互易定理
特勒根定理和互易定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：特勒根定理和互易定理1、特勒根定理1特勒根定理1内容为：对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令、分别为b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，它实质上是电路功率守恒的数学表达式。
2、特勒根定理2特勒根定理2内容为：如果两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由不同的支路构成。
假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并分别用、和、表示两电路中b条支路的电流和电压，则对任何时刻t，有此定理同样对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用，但它不再是电路功率守恒的数学表达式。
有时称它为“拟功率定理”。
它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流之间所遵循的数学关系。
<?xml:namespace prefix = o />3、互易定理的使用条件1）电路只含有一个独立电源；2）电路中没有受控源；3）电路中的所有无源元件全部为线性电阻。
4、互易定理1互易定理1内容为：对于一个线性无源网络NS，外加激励电压与网络响应电流互换位置时，响应电流相同，如图1所示，即=，则有。
图1互易定理15、互易定理2互易定理2内容为：对于一个线性无源网络N，外加激励电流与网络响应电压互换位置时，响应电压相同，如图2所示，即=，则有。
图2互易定理26、互易定理3互易定理3内容为：对于一个线性无源网络N，若激励在数值上相等，即=，则有，如图3所示。
图3互易定理3。
第9讲 特勒根定理和互易定理
电压源
开路
KCL
14
对偶电路
is2
( R1 R2 )i1 R2 i2 us1
R2i1 + ( R3 R2 )i2 us2
(G1 G2 )u1 G2u2 is1
G2u1 + (G2 G3 )u2 -i s2
比较这两组方程， 可看出， 它们的形式相同， 对应变量 为对偶元素， 所以通常把这两组方程称为对偶方程组。电路
u1i1 u2i2 u3i3 u4i4 u5i5 u6i6 u7i7 (u1 u2 u3 )i2 (u4 u5 u7 )i4 u6i6 u6 (i2 i4 i6 ) 0
+ u3 _
i2 i4 i6 0
KVL和KCL可知：
u
k 1
b
k k
i 0
u
k 1
b
k k
i 0
具有功率的量纲， 但不表示任何支路的功 率，称为拟功率。 率，称为拟功率 特勒根定理一是当特勒根定理二中电路N与
3 ^ 为同一电路的特例。 N
证明： 选节点d为参 考节点， 对 独立节点a 、b、 c列出电路的 KCL方程为
i i i 0 1 3 4
中把像这样一个电路的节点方程与另一个电路的网孔方程对
偶的两电路称为对偶电路。
15
第9讲 特勒根定理、互易定理、电路的对偶性
结
束
作业：P123 2-28、2-30 自行学习：P104~117----2.10和2.11 复习：第1 、2章
16
k 1
支路吸收的功率
特勒根定理一：
是功率守恒的具体体现
1
特勒根定理
特勒根定理特勒根定理是一个强大的数学定理，它可以帮助科学家将复杂的数学问题进行简化处理。
它也被称为“三角关系”，因为它关系到三维空间中三角形的关系。
该定理常用于几何和计算机图形学。
特勒根定理是18次世纪德国数学家威廉特勒根提出的定理。
它可以简单地表述为：“如果一个三角形的三条边满足特定的条件，那么它将保持相同的外观，不管它在三维空间中怎样移动。
”这就是所谓的“三角关系”，他们受到特勒根定理的指导。
为了理解特勒根定理，我们必须先了解它的三个基本概念：边长、夹角和面积。
边长是三角形的三条边的长度，它们用三个数字来表示。
夹角是三角形的三条边形成的角，它们用三个数字来表示。
面积是三角形的内部空间，也用三个数字表示。
任何这三个数字都可以用来描述一个三角形，包括它的形状和位置。
特勒根定理的精髓在于它关于三角形的边长、夹角和面积之间的关系。
该定理指出，如果满足以下特定的三组条件，三角形就会保持完全一致的形状：- 任意两条边之和大于第三条边；- 任意两条边夹角之和大于第三条边夹角；-积=边长*夹角*1/2这三组条件是特勒根定理中最重要的一点，只要它们满足，三角形就会保持完全一致的形状。
特勒根定理也可以用其它的方式来表达，但是它的具体内容没有改变。
特勒根定理是几何学和计算机图形学中最重要的定理之一，特勒根定理的革新性发挥了重要作用。
它使得三角形在几何学和计算机图形学中分析变得更加简单，而且它也可以应用于数学模型的建立，从而能够更加准确地描述物理现象。
特勒根定理可以应用于摩擦力、抛物线运动、抛体运动、重力等物理运动，它可以准确地反映物理系统中物体之间的关系。
它还可以帮助我们精确计算出物体在三维空间中的位置，提供准确的坐标和距离参考。
特勒根定理在计算机视觉和机器视觉领域用途非常广泛，它可以帮助用计算机分析实时三维空间中物体之间的关系，检测其位置、形状，从而实现人工智能机器视觉系统。
特勒根定理有着广泛的应用前景，它不仅可以帮助科学家精准反映三维物理场中的物理状态，而且也可以帮助计算机系统更加准确地检测三维场景中的物体位置、形状等。
特勒根定理
有 uiˆ 0 uˆ i 0 也就是说，电路中各独立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总和。
两个电路中，支路数和节点数都相同，对应支路与节点的联接关系也相同。
二、用途： （1）用于系统的稳定性分析 k k
kk
不是同一元件上的电压电流的乘积，k所以1无物理意义，叫似功率（因k为1具有功率的计算形式和量纲）。
只要联接形式同就叫同一个图
G中，每一线段仍叫支路 每一线段两端仍叫节点
3、有向图 (oriented graph, digraph)
§27 特勒根定理
4、从电路模型中抽象出拓朴图后，不会影响建立 KVL、KCL方程。
四、特勒根定理：（一个二端元件为一支路）
1、特勒根功率定理 (1) 内容：教材P59（第12~15行） 设电路有b条支路，ub,ib 为一致参考方向
适用于同一网络的同一时刻，也适用于不同时刻，不同的网络（但要求具有相同有向图），不仅适用于电网络，也适用于非电网络。
功率的计算形式和量纲）。 表似功率守恒，所以叫似功率守恒定理
§2 7 特勒根定理
u iˆ K率V定L理、有KCL方程b 。
§2 7 特勒根定理
kk
0
表似功率守恒，所以叫似功率守恒定理
也就是说，电路中各独立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总和。
电压电流加“^”。 §2 7 特勒根定理
2．特勒根定理只要求uk、ik在数学上受到一定的约束（KVL、KCL的约束），而并不要求它们代表某一物理量，所以特勒根定理不仅
适用于同一网络的同一时刻，也适用于b不同时刻，不同的网络（但要b求具有相同有向图），不仅适用于电网络，也适用于非电网络。
k 1
§27 特勒向图
特勒根定理(Tellegen’s Theorem)
b
uk i k 0
k 1
或
b
uˆk i k 0
k 1
6
证明：设两个电路的图如下图所示，取结点4为参考结点。
对电路1，可列写KVL方程,有:
u1＝－un1 ； u2＝un1－un3 ；
电路1 u3＝un3 ； u4＝un1－un2 ；
中有唯一电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj(图a)；若支 路k中有唯一电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。
a
uj + – b
线性 电阻 网络 N0
(a)
c ikj
d
a ijk
b
c
线性 电阻 网络
+ uk
N0
–
d
(b)
12
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则两个支路中电压电流有如下关系：
i4
+
Λ
i5
+
Λ
i6
+
un3
-
Λ
i2+
Λ
i3
-
Λ
i6
把电路2的KCL方程代入上式，可知：
6
uk
iˆk
0
k 1
此上述证明可推广至任何具有n个 结点和b条支路的电路，即有：
b
uk
iˆk
0
k 1
同理可证明定理的第二部分，即有：
b
uˆk ik 0 8
k 1
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4.功率守恒定理：
ukj ujk i j ik
或
ukjik ujk i j
当 ik = jj 时，ukj = ujk 。
13.5 特勒根定理
k 3
k 3
端口方程： u1iˆ1 u2iˆ2 u1 i1 u2 i2
注意 端口支路电压和电流是关联参考方向（否则加负号）
第5 页
例1 ① R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V
② R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A, 求此时的U2 解 把两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，
+ U1
–
I1
I2
+
+
+
P P U2
I2
U1
2
U2
–
–
–
已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A
U 2 10V 求U 1 .
解
U 1
I
1
U 2
(
I
2
)
U
1
(
I 1
)
U
2
I 2
U1 2I1
U 1
U1 U 1(I1) U 2 I2
2
U 1
10 U 1 (5) 10 1
4
12 4
2 iˆ iˆ iˆ 0
1
456
2
3 iˆ iˆ iˆ 0 236
b
ukiˆk u1iˆ1 u2iˆ2 u6iˆ6
k 1
un1iˆ1 (un1 un3 )iˆ2 un3iˆ3
(un1 un2 )iˆ4 un2iˆ5 (un2 un3 )iˆ6
un1(iˆ1 iˆ2 iˆ4 ) un2 (iˆ4 iˆ5 iˆ6 )
利用特勒根定理2
由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A
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b
ukik ' 0
k 1
b
同理 uk 'ik 0 k 1
例11 NR仅由电阻组成，已知i1＝-2A， i2＝1A；若电阻由4Ω改为8Ω， i1'＝ -1.8A， 试求i2'?。
+ +i1
i2 + +
i1' +
i2' +
3v -
u-1
NR 4Ω u-2
3v -
u' 1 NR 8Ω u' 2
-
ik '
支路电压和电流取关联参考方向且相同，
则有 b ukik ' 0 和 k 1
b
uk 'ik 0
k 1
i6
5A
i6’ 2A
i1 2 - 2V + i5
22
4
i2 i3
i4
验证：
i1’ 2 - 4V + i5’
+
2 4V
4
i2’ -i3’
i4’
6
15
有相同的有向图如右 2 3 4
N: u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V， u4＝4V， u5＝2V， u6＝－8V；
这就验证了特勒根第二定理。
特勒根定理适用于任意集总参数电路
特勒根第二定理的证明：
设 N和N’两网络均有n个节点b条 支；。各支路电压、电流的参考方向 关联且相同。则N网络的KCL方程为
i12 i13 i1n 0 i21 i23 i2n 0 in1 in2 inn1 0 将上式分别乘以N’网络的相应电压，
6
uk 'ik ' 4×2＋0×0＋4×(-2)＋
k 1
8×2＋4×0＋(-8)×2＝0
这就验证了特勒根第一定理。
6
ukik ' = 6×2＋(-4)×0＋2×(-2)
k1 ＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0
6
uk 'ik = 4×3＋0×(-2)＋4×1＋
k1 8×1＋4×4＋(-8)×5＝0
特勒根定理
特勒根第一定理(功率守恒)：
任意一个具有b条支路、n个节点的
集总参数网络，设它的各支路电压和电
流分别为uk 和 ik (k＝1、2、3、…b)，
且各支路电压和电流取关联参考方向，
则有
b
ukik 0
k 1
特勒根第二定理(似功率守恒)：
N
有向图相同 N’
支路电压 uk
uk '
支路电流 ik
i1＝3A， i2＝－2A， i3＝1A， i4＝1A， i5＝4A， i6＝5A。 因此有，
6
ukik 6×3＋(-4)×(-2)＋2×1＋
k1 4×1＋2×4＋(-8)×5＝0
N’: u1'＝4V， u2'＝0V， u3'＝4V ， u4'＝8V， u5'＝4V， u6'＝－8V；
i1'＝2A， i2'＝0A， i3'＝－2A， i4'＝2A， i5'＝0A， i6'＝2A。 因此有，
i12u1 i13u1 i1nu1 0 i21u2 i23u2 i2nu2 0 in1un in2un inn1un 0
将上式右端全部加起来，得
(i12u1 i21u2 ) (i13u1 i31u3 ) 0
由 i12 i21 , i13 i31 ,
故得
作业8：p102
4-5 4-6 4-9(b) 4-10(b)
作业9：p104
4-14(b) 4-17 4-20 4-21
-
解：
b
b
ukik ' uk 'ik 0
k 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 1
b
b
u1i1'u2i2 ' ukik ' u1'ik u2 'i2 uk 'ik
k 3
k 3
NR仅由电阻组成(k=3,…,b)
ukik ' Rkik ik ' (Rkik ')ik uk 'ik
b
b
得：
ukik ' uk 'ik
k 3
k 3
故： u1i1'u2i2 ' u1'i1 u2 'i2
+ +i1
i2 + +
i1' +
i2' +
3v -
u-1
NR 4Ω u-2
3v -
u' 1 NR 8Ω u' 2
-
-
3i1'4i2 i2' 3i1 8i2'i2
i1＝-2A， i2＝1A， i1‘＝-1.8A代入
3(1.8) 41 i2' 3(2) 8i2'1 i2' 0.15A