高中数学-逻辑连接词

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高三数学一轮复习讲义逻辑连接词学生

课题：逻辑连接词知识点一、简单的逻辑联结词1.命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．（1）用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作p ∧q ，读作“p 且q ”．（2）用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作p ∨q ，读作“p 或q ”．（3）对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p ，读作“非p ”或“p 的否定”．2.简单复合命题的真值表：*p ∧q ： p 、q 有一假为假， *p ∨q ：一真为真， *p 与¬p ：真假相对即一真一假．知识点二、量词1.全称量词与存在量词：（1）常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．（2）常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．（3）全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2.全称命题与特称命题：（1）含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．（2）含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．3.命题的否定：（1）含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题.（2）含有逻辑连接词命题的否定“p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ；“p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”（3）“若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”【典型例题】【例1】已知条件p ：12x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-【例2】命题“2000,23x N x x ∃∈+≥”的否定为（）A ．2000,23x N x x ∃∈+≤ B ．2,23x N x x ∀∈+≤C ．2000,23x N x x ∃∈+< D ．2,23x N x x ∀∈+<【例3】命题“2,40x R x x ∀∈-+>”的否定是________.【例4】若命题p ：∀x ,y ∈R ，x2+y2－1＞0，则该命题p 的否定是__________．【举一反三】1．命题“020,log 0x R x ∃∈≤”的否定为 .2．命题“x R ∃∈，022≤--x x ”的否定是．3．已知全称命题[),,0:+∞∈∀x P 都有x x ≤sin .请写出:P ⌝ ，判断P ⌝的真假： .4．命题p ：x ∀∈R ，()f x m ≥．则命题p 的否定p ⌝是：。

高考数学讲义常用逻辑用语.板块三.逻辑连接词与量词.教师版1

题型一：逻辑连接词【例1】写出下列命题的“p ⌝”命题：（1）正方形的四边相等；（2）平方和为0的两个实数都为0；（3）若ABC ∆是锐角三角形，则ABC ∆的任何一个内角是锐角；（4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一个为0；（5）若(1)(2)0x x --≠，则1x ≠且2x ≠.【考点】逻辑连接词【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】（1）存在一个正方形的四边不相等.（2）平方和为0的两个实数不都为0.（3）若ABC ∆是锐角三角形，则ABC ∆的某个内角不是锐角.（4）若0abc =，则,,a b c 中都不为0.（5）若(1)(2)0x x --≠，则1x =或2x =.【例2】若:{|1},:{0}p N x R x q ⊄∈>-=∅.写出由其构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题，并指出其真假.【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ,p q 均为假命题.典例分析板块三.逻辑连接词与量词【答案】 “p 或q ”为：:{|1}p N x R x ⊄∈>-或:{0}q =∅,是假命题；“p 且q ”为：:{|1}p N x R x ⊄∈>-且:{0}q =∅,是假命题；“非p ”为：:{|1}p N x R x ⊆∈>-，是真命题.【例3】用联结词“且”、“或”分别联结下面所给的命题p q ，构成一个新的复合命题，判断它们的真假．⑴p ：1是质数；q ：1是合数；⑵p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分；【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴p 是假命题，q 是假命题，故p q ∨，p q ∧都是假命题；⑵p 是真命题，q 是真命题，故p q ∨是真命题，p q ∧是真命题．【例4】把下列各组命题，分别用逻辑联结词“且”“或”“非”联结成新命题，并判断其真假．⑴p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．⑵p ：1是方程2430x x -+=的解；q ：3是方程2430x x -+=的解．⑶p ：不等式2210x x -+>解集为R ；q ：不等式2221x x -+≤解集为∅．⑷p ：{0}∅Ü；q ：0∈∅．【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵p 真，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真． ⑵∵p 真，q 真，∴p q ∧为真，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为假．⑶∵p 假，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为假，p ⌝为真，q ⌝为真．⑷∵p 真，q 假，∴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．【答案】⑴p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．⑵p q ∧为真，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为假．⑶p q ∧为假，p q ∨为假，p ⌝为真，q ⌝为真．⑷p q ∧为假，p q ∨为真，p ⌝为假，q ⌝为真．【例5】判断下面对结论的否定是否正确，如果不正确，请写出正确的否定结论：⑴至少有一个S 是P ；否定：至少有两个或两个以上S 是P ；⑵最多有一个S 是P ．否定：最少有一个S 是P ；⑶全部S 都是P ．否定：全部的S 都不是P ．【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 “集合M 中至少有一个元素m 不具有性质a ”的否定是：集合M 中所有元素都具有性质a ．反之亦对．因为“集合M 中至少有一个元素不具有性质a ”，它包含了“M 中有一个元素不具有性质a 、两个元素不具有性质a ……所有元素都不具有性质a ”等各种情形．因此它的否定是“M 中所有元素都具有性质a ”．如“三角形中至少有一个内角大于或等于60︒”的否定是“三角形中所有内角都小于60︒”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a 、b 都不是零”的否定是“a ，b 中至少有一个是零”．【答案】⑴不正确，没有一个S 是P ．⑵不正确，至少有两个S 是P ．⑶不正确，存在一个S 不是P ．【例6】 “220a b +≠”的含义为__________；“0ab ≠”的含义为__________．A ．a b ，不全为0B ．a b ，全不为0C ．a b ，至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 220a b +≠的含义为a b ，不全为0，选A ； 0ab ≠的含义为,a b 全不为0，选B ．【答案】A,B【例7】已知全集R U =，A U ⊆，B U ⊆，如果命题p A B U ，则命题“p ⌝”是（）A AB U B ðC A B ID ()()U U A B I 痧【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D ；【例8】命题“关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的”的结论的否定是（）A ．无解B ．两解C ．至少两解D ．无解或至少两解【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D ；【例9】若条件:P x A B ∈I ，则P ⌝是（）A ．x A ∈且xB ∉ B ．x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉D ．x A B ∈U【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 x 至少不属于A B ，中的一个．【答案】B ；【例10】命题：“若220()R a b a b +=∈，，则“0a b ==”的逆否命题是（） A ．若0()R a b a b ≠≠∈，，则220a b +≠B ．若0a ≠且0()R b a b ≠∈，，则220a b +≠C ．若0()R a b a b =≠∈，，则220a b +≠D ．若0a ≠或0()R b a b ≠∈，，则220a b +≠【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 0a b ==的否定为a b ，至少有一个不为0．【答案】D ；【例11】命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．0a <或3a ≥B ．0a ≤或3a ≥C ．0a <或3a >D ．03a <<【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 0a <时，显然2230ax ax -+>不恒成立；0a =时，恒成立； 0a >时，只需240a ∆=-12a ≥即可，解得3a ≥．【答案】A ；【例12】命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”的真值不同D ．命题p 和命题q 的真值不同【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D ．【例13】已知命题p ：若实数x y ，满足220x y +=，则x y ，全为0；命题q ：若a b >，则11a b<，给出下列四个复合命题：①p 且q ②p 或q ③p ⌝④q ⌝，其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 p 为真命题，q 为假命题，∴p ⌝为假命题，q ⌝为真命题，②④为真命题．【答案】B ；【例14】由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ⌝”为真的是（）A ．p ：0=∅，q ：0∈∅B ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．p ：{}{}a a b ，躿，q ：{}a a b ∈，D ．p ：53>，q ：12是质数【关键词】无【解析】【答案】B ；【例15】在下列结论中，正确的是（）①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件②“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 p q ∧为真,p q ⇒都为真p q ⇒∨为真，反之不成立，①正确； p q ∧为假，可能,p q 都为假，故推不出p q ∨为真，②错误；p ⌝为假，有p 为真，故p q ∨为真；而p q ∨为真，p 可能为假，从而p ⌝可能为真，③正确；p ⌝为真，说明p 假，从而p q ∧为假，④错误；故选B ．【答案】B【例16】设命题p ：2x >是24x >的充要条件，命题q ：若22a b c c >，则a b >．则( ) A ．“p 或q ”为真 B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假命题【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】2008年，北京东城，高考二模【解析】 p 假q 真．【答案】A ．【例17】若命题“p 且q ”为假，且“p ⌝”为假，则（）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假【关键词】无【解析】“p∧（且）为假，得q为假⌝”为假，则p为真，而p q【答案】B【例18】若条件:∈I,则PP x A B⌝是（）A.x A∉ D. x A B∉且x B∈⋃∈且x B∉ B. x A∉或x B∉ C. x A【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】P∉I，∴x至少不属于,A B中的一个.⌝：x A B【答案】B【例19】设集合{}{}=>=<,那么“x MM x x P x x|2,|3∈I”的∈”是“x M P∈,或x P（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】“x M∈I”，反之可以∈”不能推出“x M P∈,或x P【答案】A【例20】p或q”是假命题.其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．②③D．①④【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题.【答案】C【例21】已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定（）A.p 为真命题B.q 为假命题C.,p q 中至少有一个是假命题D.,p q 都是假命题【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例22】已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 :12p x ⌝+≤，31x -≤≤，2:56q x x ⌝-≤，2560x x -+≥，3x ≥或2x ≤ 【答案】A【例23】下列判断正确的是（）A.22x y x y ≠⇔≠或x y ≠-B.命题“a 、b 都是偶数，则a b +是偶数” 的逆否命题是“若a b +不是偶数，则a 、b 都不是偶数”C.若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D.已知,,a b c 是实数，关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是空集，必有0a >且0∆≤【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 A 不正确，因为“x y ≠或x y ≠-”只要求其中之一成立即行，而22x y ≠需二者都成立；B 不正确，“a 、b 都是偶数”的否定是“a 、b 不都是偶数”；D 不正确，不等式 20ax bx c ++≤的解集是空集还可能是0,0a b c ==> .【答案】C【例24】在下边的横线上填上真命题或假命题．⑴若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，那么p q ∧是______； p q ⌝∧是_____；⑵若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，那么p q ∧是______；p q ∨是_______； p ⌝是_______．【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 ⑴p ⌝真，说明p 为假命题；又p q ∨为真命题，故q 为真命题，从而p q ∧是假命题；p q ⌝∧是真命题；⑵根据“p ⌝或q ⌝”是假命题知，命题p ⌝、q ⌝都是假命题，从而p 、q 都是真命题，故p q ∧ 是真命题；p q ∨是真命题；p ⌝是假命题．【答案】⑴真命题，真命题，⑵真命题，真命题，假命题【例25】 ⑴p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的条件；⑵p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 ⑴p q ∨真⇒p 真或q 真；p q ∧真⇒p 真且q 真，故p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的必要不充分条件；⑵p ⌝假则p 真，从而p q ∨真，但p q ∨真时，p 可能假，故推不出p ⌝假，故p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件．【答案】⑴必要不充分，⑵充分不必要【例26】如在下列说法中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；④“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件．其中正确的是__________．【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】①③．【例27】如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的________________条件；②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件.【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】必要，必要【例28】已知命题：:p “若1a >，则32a a >”；命题:q “若0a >，则1a a>”.则在“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”四个命题中，真命题是 .【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 p 真，q 假. 【答案】p 或q ,非q【例29】命题:0p 不是自然数；命题q 是无理数，则在命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”中，真命题是；假命题是 .【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 p 假，q 真. “p 或q ”为真，只要,p q 中有一个为真即可；“p 且q ”必须,p q中均为真.【答案】 “p 或q ”, “非p ”; “p 且q ”, “非q ”【例30】命题“对一切非零实数x ，总有12x x+≥”的否定是，它是命题.(填“真”或“假”)【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】例如：2x =-，则1,0,2x R x x x∈≠+<. 【答案】1,0,2x R x x x∃∈≠+<，真命题【例31】甲、乙两人参加一次竞赛，设命题p 是“甲获奖”，命题q 是“乙获奖”，试用p q，及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示：⑴两人都获奖； ⑵两人都未获奖； ⑶恰有一人获奖； ⑷至少有一人获奖．【考点】逻辑连接词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑷也是对⑵中情况的否定，故也可表示为(()())p q ⌝⌝∧⌝，故容易知道(()())p q p q ∨=⌝⌝∧⌝，也即()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝．【答案】⑴两人都获奖说明两个命题都成立，故为p q ∧；⑵都未获奖说明两个命题都不成立，故为()()p q ⌝∧⌝； ⑶恰有一人获奖说明一个命题成立，另一个命题不成立，故为()()p q p q ⌝∧∨∧⌝；⑷至少有一人获奖说明p 或q 成立，即p q ∨．【例32】命题p ：若R a b ∈，，则1a b +>是1a b +>的充分条件，命题q ：函数y 的定义域是(1][3)-∞-+∞U ，，，则（） A ．p 或q 为假 B ．p 且q 为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真【考点】逻辑连接词【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】令1,1a b ==-，知命题p 假；由1203x x --⇒≥≥或1x -≤，故命题q 真；【答案】D ；【例33】已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p s ⌝⌝是的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤【考点】逻辑连接词【难度】3星【题型】选择【关键词】2007年，湖北，高考【解析】由右图易知；qsr p【答案】B ；【例34】已知p ：方程220x mx ++=有两个不等的负根；q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围是_______．【考点】逻辑连接词【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】由题意知，命题p q ，一真一假；p 为真时有：280m m m -<⎧⇒>⎨∆=->⎩q 为真时有：216(2)16013m m ∆=--<⇒<<；p 真q 假时有3m ≥；p 假q 真时有1m <≤(1[3)m ∈+∞U ，；【答案】(1[3)m ∈+∞U ，【例35】已知命题p ：关于x 的不等式20062008x x a -+->恒成立；命题q ：关于x 的函数log (2)a y ax =-在[01]，上是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是_______；【考点】逻辑连接词【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】由题意知，命题p q ，一真一假；20062008x x -+-的最小值为2，故此不等式恒成立，即p 为真时有2a <；q 为真时log (2)a y ax =-在[01]，上是减函数，∵0a >，故内层函数为减函数，从而外层对数函数为增函数，有1a >，又202a a ->⇒<，故12a <<；p 真q 假时1a ≤；p 假q 真时a 不存在，故(1]a ∈-∞，；【答案】(1]-∞，；【例36】已知命题p ：方程2220a x ax +-=在[11]-，上有解；命题q ：只有一个实数满足不等式2220x ax a ++≤．若p q ∨是假命题，求a 的取值范围．【考点】逻辑连接词【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】由2220a x ax +-=知0a ≠，解此方程得1212x x a a ==-，．∵方程2220a x ax +-=在[11]-，上有解，∴1||1a ≤或2||1a≤，∴||1a ≥．只有一个实数满足不等式2220x ax a ++≤，表明抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个公共点，∴2480a a ∆=-=， ∴0a =或2a =．∴命题p 为假，则11a -<<；命题q 为假，则0a ≠且2a ≠．∴若p q ∨是假命题，则p q ，都是假命题，a 的取值范围是(10)(01)-U ，，．【答案】(10)(01)-U ，，【例37】命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围.【考点】逻辑连接词【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 “p 或q ”为真命题，则p 为真命题，或q 为真命题，或q 和p 都是真命题当p 为真命题时，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，得2m <-；当q 为真命题时，则216(2)160m ∆=+-<，得31m -<<- 当q 和p 都是真命题时，得32m -<<- ∴1m <-【答案】1m <-【例38】已知函数2()(1)lg 2f x x a x a =++++(R a ∈，且2)a ≠-，⑴()f x 能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和，求()g x 和()h x 的解析式；⑵命题p ：函数()f x 在区间2[(1))a ++∞，上是增函数；命题q ：函数()g x 是减函数．如果命题p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． ⑶在⑵的条件下，比较(2)f 与3lg2-的大小．【考点】逻辑连接词【难度】4星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵()()()f x g x h x =+，()()()()()f x g x h x g x h x -=-+-=-+，∴[]1()()()(1)2g x f x f x a x =--=+，[]21()()()lg 22h x f x f x x a =+-=++； ⑵命题p 为真时有：21(1)2a a +-+≤1a ⇒≥-或32a -≤，命题q 为真时有：101a a +<⇒<-；命题p 且q 为假，p 或q 为真包括：p 真q 假与p 假q 真两种情况；故1a -≥或312a -<<-，即32a >-；⑶(2)42(1)lg 226lg 2f a a a a =++++=+++，(2)(3lg 2)23lg 2lg 2f a a --=++++，32x >-时，20x +>，函数()23lg 2lg 2x x x ϕ=++++在32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，故3()02a ϕϕ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，即在⑵的条件下，(2)3lg2f >-．【答案】⑴()(1)g x a x =+，2()lg 2h x x a =++， ⑵32a >-，⑶(2)3lg2f >-题型二：全称量词与存在量词【例39】判断下列命题是全称命题，还是存在性命题．⑴平面四边形都存在外接圆；⑵有些直线没有斜率； ⑶三角形的内角和等于π； ⑷有一些向量方向不定； ⑸所有的有理数都是整数； ⑹实数的平方是非负的．【考点】全称量词与存在量词【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】．【答案】⑴全称命题；⑵存在性命题；⑶全称命题，意思是所有的三角形都有内角和等于π；⑷存在性命题；⑸全称命题；⑹全称命题【例40】判断下列命题是全称命题还是存在性命题．⑴线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑵负数的平方是正数；⑶有些三角形不是等腰三角形； ⑷有些菱形是正方形．【考点】全称量词与存在量词【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴全称命题；⑵全称命题；⑶存在性命题；⑷存在性命题．【例41】设语句()p x ：cos()sin 2πx x +=-，写出“()R p θθ∀∈，”，并判断它是不是真命题．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 R θ∀∈，cos()sin 2πθθ+=-；由诱导公式知，是真命题．【答案】R θ∀∈，cos()sin 2πθθ+=-；真命题【例42】用量词符号“∀∃，”表示下列命题，并判断下列命题的真假．⑴任意实数x 都有，2210x x ++>； ⑵存在实数x ，2210x x ++<；⑶存在一对实数a b ，，使20a b +<成立； ⑷有理数x 的平方仍为有理数；⑸实数的平方大于0．⑹有一个实数乘以任意一个实数都等于0．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴R x ∀∈，2210x x ++>；假命题，1x =-时，结论不成立；⑵R x ∃∈，2210x x ++<；假命题，R x ∈时，2221(1)0x x x ++=+≥； ⑶R a b ∃∈，，20a b +<；真命题，如12a b ==-，； ⑷Q x ∀∈，2Q x ∈；真命题； ⑸R x ∀∈，20x >；假命题，200=．⑹R a ∃∈，R x ∀∈，有0ax =；真命题，0a =即满足．【答案】⑴R x ∀∈，2210x x ++>；假命题⑵R x ∃∈，2210x x ++<；假命题 ⑶R a b ∃∈，，20a b +<；真命题 ⑷Q x ∀∈，2Q x ∈；真命题⑸R x ∀∈，20x >；假命题，200=． ⑹R a ∃∈，R x ∀∈，有0ax =；真命题【例43】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴所有的素数是奇数；⑵一切实数x，有2(1)0x->；⑶对于正实数x，12xx+≥；⑷1sin2sinRx xx∀∈+，≥；⑸一定有实数x满足2230x x--=；⑹至少有一个整数x能被2和3整除；⑺存在两个相交平面垂直于同一条直线；⑻{|x x x∃∈是无理数}，2x是无理数．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】⑴⑵⑶⑷是全称命题，⑸⑹⑺⑻是存在性命题，⑴⑵⑷⑺是假命题，⑶⑸⑹⑻是真命题．【例44】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴21x+是整数（Rx∈）；⑵对所有的实数x，3x>；⑶对任意一个整数x，221x+为奇数；⑷末位是0的整数，可以被2整除；⑸角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；⑹正四面体中两侧面的夹角相等；⑺有的实数是无限不循环小数；⑻有些三角形不是等腰三角形；⑼有的菱形是正方形．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴~⑹是全称命题，⑺~⑼是存在性命题，⑶~⑼是真命题，⑴⑵是假命题．【答案】⑴~⑹是全称命题，⑺~⑼是存在性命题，⑶~⑼是真命题，⑴⑵是假命题【例45】写出下列命题p 的否定形式，并判断p 与p ⌝的真假．⑴平行四边形的对边相等； ⑵不等式22210x x ++≤有实数解． ⑶R x ∀∈，210x x ++>； ⑷R x ∃∈，21x x +<； ⑸有些实数的绝对值是正数．⑹不是每个质数都是偶数．【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴p ⌝：存在对边不相等的平行四边形；p 真，p ⌝假；⑵p ⌝：不等式22210x x ++≤无实数解；p 假，p ⌝真； ⑶p ⌝：R x ∃∈，210x x ++≤；p 真，p ⌝假； ⑷p ⌝：R x ∀∈，21x x +≥；p 假，p ⌝真；⑸p ⌝：任意实数的绝对值都不是正数（或：,0R x x ∀∈≤）；p 真，p ⌝假． ⑹p ⌝：每个质数都是偶数；p 真，p ⌝假．【答案】⑴p 真，p ⌝假；⑵p 假，p ⌝真；⑶p 真，p ⌝假；⑷p 假，p ⌝真；⑸p 真，p ⌝假；⑹p 真，p ⌝假．【例46】判断下列命题的真假：(1)对任意的,x y 都有222x y xy +≥； (2)所有四边形的两条对角线都互相平分； (3)∃实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-；(4)存在实数x 使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【考点】全称量词与存在量词【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)是真命题，因为对任意实数,x y ，都有2222()0x y xy x y +-=-≥，∴222x y xy +≥.(2)是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件.(3)是假命题，因为2222425(2)(1)0a b a b a b +-++=-++≥，当且仅当2,1a b ==-时等号成立，所以不存在实数对,a b ，使22(2)(1)0a b -++<，不存在即实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-.(4)是真命题，因为存在实数20x =>，使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【答案】(1)是真命题，(2)是假命题，(3)是假命题，(4)是真命题。

高中数学选修2-1-简单的逻辑联结词

简单的逻辑联结词知识集结知识元逻辑联结词或、且、非知识讲解1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p 或q”．规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pⅤq是假命题．例如：“2≤2”、“27是7或9的倍数”等命题都是pⅤq的命题．解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p或q表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p真q假②q真p假③p真q真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q或r表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．【且】一般地，用连接词“且”把命题p和命题q连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”．规定：当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．例1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；（2）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数；（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p且q表示两个简单命题两个都成立，就是p真并且q 真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．【非】一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p的否定．规定：若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p￢p真假假真解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p或q”、“p且q”的否定分别是“非p且非q”和“非p或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．例题精讲逻辑联结词或、且、非例1.已知p：x∈{x|-4<x-a<4}，q：x∈{x|（x-2）（3-x）>0}，若￢p是￢q的充分条件，则实数a的取值范围为_________。

常用逻辑连接词归纳整合

【例3】已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x ＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．解此题直接求解较为复杂，可以采用补集思想来求，即 “正难则反”的解题策略．若三个方程没有一个有实根，
16a2－4（3－4a）<0， 3 2 2 （ a － 1 ）－ 4 a <0 ，则有解之得－ <a<－1； 2 4a2＋8a<0， ∴满足三个方程至少有一个方程有实根的 a 的解集是 3 {a|a≥－1，或 a≤－ }． 2
网络构建Βιβλιοθήκη 专题归纳高考真题专题三 “正难则反”解题策略
反正法是数学证明中的一种重要方法，它是从否定命
题的结论出发，通过正确的逻辑导出矛盾，从而证明了原
命题的正确性的一种重要方法．反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的．
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高考真题
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【例2】给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解对任意实数 x 都有 ax2＋ax＋1>0 恒成立⇔a＝0
a>0 或 ⇔0≤a<4； Δ <0
命题．可以通过“举反例”否定一个全称命题，同样也可以举一例证明一个存在性命题．
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专题一
从集合间关系看充分条件与必要条件
充分、必要条件的判定可从集合的角度着手，建立p、
q相对应的集合，p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成

高三数学高考基础知识复习：逻辑与关联词

高考数学基础知识复习：逻辑与关联词一、知识清单： 1．常用逻辑用语（1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

2”325≠≠≠+b a b a 或，则.0>c x c y =1|2|>-+c x x 5____52x x x >><或,⇒12x y ≠≠且3x y +≠23.918K ≈2( 3.841)0.05P K ≥≈,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“mn 是偶数”的AA 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件12、（重庆理2）命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（）A ．若12≥x ，则或1-≤xB 若11<<-x ，则12<xC 若或1-<x ，则12>xD 若或1-≤x ，则12≥x 13、（重庆文5）“-1＜＜1”是“2＜1”的（A ）充分必要条件（B ）充分但不必要条件（C ）必要但不充分条件（D ）既不充分也不必要条件14、（辽宁理10）设是两个命题：21251:log (||3)0:066p x q x x ->-+>，，则是的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15、（辽宁文11）设是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则是的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件典型例题：例1．写出由下述各命题构成的“21=m 03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线11+-x x 2a 1”20ax y +=1x y +=x R ∈3210x x -+≤x R ∈3210x x -+≤x R ∈3210x x -+≤x R ∈3210x x -+>x R∈3210x x -+>:2p m <-6m >2:3q y x mx m =+++():1;()f x p f x -=:()q y f x =:cos cos ;p αβ=:tan tan q αβ=:;p A B A ⋂=:U U q C B C A⊆(1),(2)(2),(3)(3),(4)(1),(4)2”0”M N，MN ≠∅MN ≠∅()2:400p b ac a ->≠()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程32:()21p f x x x mx =+++()-∞+∞，4:3q m ≥212n na p a +=n *∈N :p x ∀∈R sin 1x ≤:p x ⌝∃∈R sin 1x ≥:p x ⌝∀∈R sin 1x ≥:p x ⌝∃∈R sin 1x >:p x ⌝∀∈R sin 1x >2x x >2,,acb a Rc b a 则若、、>∈1 :p x ∀∈R 02>x :p x ⌝∃∈R 02<x :p x ⌝∀∈R 02<x :p x ⌝∃∈R :p x ⌝∀∈R0x R∃∈3210x x -+>x R∀∈3210x x -+≤0x R∃∈3210x x -+<0x R∃∈3210x x -+≤x R ∈3210x x -+>1cos ,:≥∈∃⌝x R x p 1cos ,:>∈∃⌝x R x p 1xx -＜0A ”是“mB ”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7（08广东）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝8．（06天津）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（06年湖北卷）有限集合中元素个数记作card ，设、都为有限集合，给出下列命题：①φ=B A 的充要条件是card ()B A = card card ； ②B A ⊆的必要条件是cardcard ； ③B A ⊄的充分条件是cardcard ； ④B A =的充要条件是card ()=A card 其中真命题的序号是（）A ③、④B ①、②C ①、④D ②、③ 10．（08）若“且q ”与“q p 或⌝”均为假命题，则（）A ．真q 假B ．假q 真C ．与q 均真D ．与q 均假11．（08）已知是定义在R 上的函数，且满足)1()1(x f x f -=+，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。

高中数学第一章常用逻辑用语1.4逻辑联结词“且”“或”“非”5121数学

真假：
真
(1) p: 12是3的倍数，真 p∧qq:: 1122是是34的的倍倍数数(b；èishù)且12是4的倍数. 真
真
(2) p: π > 3 ，假 p∧qq:: ππ大< 于2 ；3且小于2. 假
假
(3) p:
p∧qq::
666是是是奇奇素数数数，且. 是假素数.
假
第四页，共二十页。
小组讨论1：“p∧q”的真假与p、q的真假有何关系(guān xì)？
【思考】命题的否定的否定是原命题吗？
提示：是
第十页，共二十页。
探究4：命题的否定(fǒudìng)与否命题的区别？原命题：正方形的四条边相等.
若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
命题的否定：正方形的四条边不相等.
若一个四边形是正方形，则它的四条边不相等.
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.
就得到一个新命题，记作：“p∧q”，读作：“p且q”
从集合角度看：P∩Q={x|x∈P且x∈Q}
P
P∩Q
Q
第三页，共二十页。
P∩Q
小探究组(讨tànj论iū)11：：逻“p辑∧联q”结的词真“假且与”p、q的真假有何关系？
例1 用“且”构造新命题(mìng tí)，并判断命题(mìng tí)的
简记(jiǎn jì)“p且q，同真则真，有假则假”
【思考】
1.若“p∧q”是假命题，则命题p、q都是假命题吗？为何？提示：不一定，因为命题p、q中只要有一个(yī ɡè)是假命题， “p∧q”就是假命题. 2.判断“p∧q”命题真假的关键是什么？提示：关键是判断命题p、q的真假.
第五页，共二十页。

数学逻辑连接词

数学逻辑连接词数学逻辑连接词: 因果关系、充分条件、必要条件、等价、充分充要、充分非必要、必要非充分、充分非必要非、充分充要非、等价非、充分非必要非充分、必要非充分、充分充要非必要、等价非充分、充分非必要非充分非、必要非充分非、充分充要非必要非、等价非充分非、充分非必要非充分非必要非、必要非充分非必要非、等价非充分非必要非充分非必要非因果关系是数学逻辑中常见的一种连接词。

它表示两个事件或者两个命题之间的因果关系。

例如，如果A发生，那么B也会发生。

在数学推理中，我们经常使用因果关系来推导结论。

充分条件是另一种常见的逻辑连接词。

它表示如果A成立，那么B 也一定成立。

充分条件是一个充分推理的条件，它能够帮助我们得出结论。

必要条件是与充分条件相对应的逻辑连接词。

它表示如果B成立，那么A一定成立。

必要条件是一个必要推理的条件，它能够帮助我们确定前提。

等价是逻辑中常见的一种关系。

它表示两个命题具有相同的真值。

如果两个命题互为真或者互为假，那么它们是等价的。

等价关系可以帮助我们简化复杂的逻辑推理。

充分充要是充分条件与必要条件的合并。

它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。

充分充要是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。

充分非必要是充分条件的否定。

它表示如果A成立，那么B不一定成立。

充分非必要是一个只包含充分条件的逻辑连接词。

必要非充分是必要条件的否定。

它表示如果B成立，那么A不一定成立。

必要非充分是一个只包含必要条件的逻辑连接词。

充分非必要非是充分条件和必要条件的否定。

它表示如果A成立，那么B不一定成立，并且如果B成立，那么A也不一定成立。

充分非必要非是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。

充分充要非是充分条件、必要条件和否定的合并。

它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。

充分充要非是一个同时包含充分条件、必要条件和否定的逻辑连接词。

等价非是等价关系的否定。

高中数学第1章常用逻辑用语 1

§1.3简单的逻辑联结词知识点一由简单命题写出复合命题分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题：(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：0∈N；(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.解(1)p∨q：2是无理数或大于1；p∧q：2是无理数且大于1；綈p：2不是无理数．(2)p∨q：N⊆Z或0∈N；p∧q：N⊆Z且0∈N；綈p：N⃘Z.(3)p∨q：x2＋1≠x－4；p∧q：x2＋1>x－4且x2＋1<x－4；綈p：x2＋1≤x－4.知识点二从复合命题中找出简单命题指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.(1)96是48与16的倍数；(2)方程x2－3＝0没有有理数解；(3)不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1或x>2}；(4)他是运动员兼教练员．解(1)“p且q”形式，其中p：96是48的倍数，q：96是16的倍数．(2)“非p”形式，其中p：方程x2－3＝0有有理数解．(3)“p或q”形式，其中p：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x<－1}，q：不等式x2－x－2>0的解集是{x|x>2}．(4)“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员.知识点三判断含有逻辑联结词的命题的真假分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假．(1)p：3>3，q：3＝3；(2)p：∅{0}，q：0∈∅；(3)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．解(1)因为p假q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．(2)因为p真q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．(3)因为p真q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．(4)因为p假q假，所以“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．知识点四非命题与否命题写出下列命题的否定及命题的否命题：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)面积相等的三角形是全等三角形．解(1)命题的否定：存在一个菱形，其对角线不互相垂直．否命题：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直．(2)命题的否定：存在面积相等的三角形不是全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．考题赏析1．(广东高考)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．答案 D2．(如皋联考)已知命题：p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.上述命题中为真命题的是________．解析p为真，q为假，故p或q，綈q为真命题．答案②④1．如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为()①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．A．②③B．②④C．①③D．①④答案 C解析因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，即綈(p且q)等价于綈p或綈q，所以“綈p或綈q”是假命题等价于“綈(p且q)”是假命题，即p且q为真命题．故选C.2．条件p：x∈A∪B，则綈p是()A．x∉A或x∉B B．x∉A且x∉BC ．x ∈A ∩BD ．x ∉A 或x ∈B 答案 B解析因x ∈A ∪B ⇔x ∈A 或x ∈B ，所以綈p 为x ∉A 且x ∉B ，故选B.3．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题： ①p 或綈q 是真命题； ②p 或綈q 是假命题； ③綈p 且綈q 是假命题； ④綈p 或q 是假命题，其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 答案 C解析因为p 且q 为真，所以p 与q 都为真，所以綈p 且綈q 为假．所以只有①③是真命题，所以选C. 4．若命题“p ∧q ”为假，且“綈p ”为假，则( ) A ．p ∨q 为假 B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假答案 B解析綈p 为假，则p 为真，又p ∧q 为假，所以q 为假．所以选B. 5．“a ≥5且b ≥2”的否定是________．答案 a <5或b <2解析本题考查命题的否定，“p 或q ”的否定是“綈p 且綈q ”，“p 且q ”的否定是“綈p 或綈q ”． 6．命题p ：{2}∈{2,3}，q ：{2}⊆{2,3}，则下列对复合命题的判断，正确的是________．(填上所有正确的序号)①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．答案 ①④⑤⑥解析由题可知p 为假，q 为真，所以p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真，非q 为假．答案为①④⑤⑥.7．已知p ：3－x ≤0或3－x >4，q ：5x ＋2<1，求p ∧q .解由3－x ≤0或3－x >4，解得p ：x ≥3或x <－1；由5x ＋2－1<0，即3－x x ＋2<0，解得q ：x <－2或x >3.所以p ∧q ：x <－2或x >3.8．已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.若p真q 假，则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52＝⎣⎡⎭⎫12，1. 若p 假q 真，注意到已知a ＞0，a ≠1，所以有 a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞＝⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.讲练学案部分知识点一含逻辑联结词的命题的构成将下列命题写成“p ∧q ”“p ∨q ”和“綈p ”的形式： (1)p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分；(2)p ：能被5整除的整数的个位数一定为5，q ：能被5整除的整数的个位数一定为0. 解 (1)p ∧q ：菱形的对角线互相垂直且平分． p ∨q ：菱形的对角线互相垂直或平分．綈p ：菱形的对角线不互相垂直．(2)p ∧q ：能被5整除的整数的个位数一定为5且一定为0； p ∨q ：能被5整除的整数的个位数一定为5或一定为0；綈p ：能被5整除的整数的个位数一定不为5.【反思感悟】简单命题用联结词“或”、“且”、“非”联结得到的新命题是复合命题，联结后可以综合起来叙述，但综合叙述不能叙述成条件复合的简单命题或叙述成结论复合的简单命题．如(2)中的p ∨q 不能叙述成：能被5整除的整数的个位数一定为5或0，因为p 、q 都是假命题，则p ∨q 也为假命题．判断下列命题是否是复合命题并说明理由．(1)2是4和6的约数；(2)不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或x <2.解 (1)是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数．(2)是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题，因不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3是假命题，不等式x 2－5x ＋6>0的解为x <2也是假命题，而命题(2)是真命题，这与p 、q 都假，则p ∨q 一定假矛盾．命题“不等式x 2－5x ＋6>0的解为x >3或解为x <2”是p ∨q 的形式．知识点二含逻辑联结词的命题的真假判断分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假：(1)相似三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧．解 (1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：相似三角形周长相等，q ：相似三角形对应角相等，因为p 假q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真．(3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真．【反思感悟】判断含逻辑联结词的命题的真假，关键是对应p 、q 的真假及“p ∧q ”“p ∨q ”为真时的判定依据，至于“綈p ”的真假，可就p 的真假判断，也可就“綈p ”直接判断．判断下列命题的真假：(1)－1是偶数或奇数；(2)2属于集合Q ，也属于集合R ； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)此命题为“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故原命题为真命题．(2)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R ，因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p ∧q ”为假命题，故原命题为假命题．(3)此命题为“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )．因为p 为真命题，所以“綈p ”为假命题，故原命题为假命题．知识点三简单的逻辑联结词的综合应用已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m2≤－1，∴m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎨⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}．【反思感悟】由p 、q 的真假，可以判断“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”的真假．反之，由“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”的真假，也能推断p 、q 的真假，如“p ∧q ”为假，则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等负根．q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．(1)当m 为何值时，p 或q 为真？ (2)当m 为何值时，p 且q 为真？解由已知可知：p 真时m >2，q 真时1<m <3， (1)若p 或q 为真，只需m ∈{m |m >2}∪{m |1<m <3} ＝{m |m >1}．(2)若p 且q 为真，只需m ∈{m |m >2}∩{m |1<m <3} ＝{m |2<m <3}.课堂小结：1. 从集合的角度理解“且”“或”“非”. 设命题p ：x ∈A.命题q ：x ∈B. 则p ∧qx ∈A 且x ∈Bx ∈A ∩B ；p ∨q x ∈A 或x ∈B x ∈A ∪B ；2.对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p 、q 都为真，p ∧q 才为真；⌝p 与p 的真假性相反且一定有一个为真.当p 、q 有一个为真，p ∨q 即为真； 3.含有逻辑联结词的命题否定（1）“x=0或x=1”的否定是“x ≠0且x ≠1”而不是“x ≠0或x ≠1”; （2）“x 、y 全为0”的否定是“x 、y 不全为0”，而不是“x 、y 全不为0”；（3）“全等三角形一定是相似三角形”的否定是“全等三角形一定不是相似三角形”而不是“全等三角形不一定是相似三角形”.一、选择题1．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1) 答案 C解析点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中，只有C 正确．2．如果原命题的结论是“p 且q ”的形式，那么否命题的结论形式为( ) A ．綈p 且綈q B ．綈p 或綈q C ．綈p 或q D ．綈q 或p 答案 B解析注意逻辑联结词的否定，“或”的否定是“且”，“且”的否定为“或”，所以p 且q 的否定为綈p 或綈q .所以选B.3．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真答案 C解析由于将点(－1,1)代入y ＝log a (ax ＋2a )成立，故p 真；由y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，知y ＝f (x －3)的图象关于(6,0)对称，故q 假．4．若p 、q 是两个简单命题，p 或q 的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真答案 B解析因为p 或q 的否定綈p 且綈q 为真命题，所以綈p 与綈q 都是真命题，所以p 与q 都为假命题．所以选B.5．下列命题中既是p ∧q 形式的命题，又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是－4和1C ．方程x 2＋1＝0没有实数根D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形答案 D解析 A 中的命题是条件复合的简单命题，B 中的命题是结论复合的简单命题，C 中的命题是綈p 的形式，D 中的命题为p ∧q 型．二、填空题6．由命题p ：6是12的约数，命题q ：6是24的约数．构成的“p ∨q ”形式的命题是______________________________，“p ∧q ”形式的命题是______________________________，“綈p ”形式的命题是________________________________．答案 6是12或24的约数 6是12和24的约数 6不是12的约数7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的范围是________．答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．8．已知a 、b ∈R ，设p ：|a |＋|b |>|a ＋b |，q ：函数y ＝x 2－x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p ∨q 、p ∧q 、綈p 中的真命题是________．答案綈p 解析对于p 当a >0，b >0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故p 假，綈p 为真；对于q ，抛物线y ＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝12，故q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假．这里綈p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立，而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |.三、解答题9．判断下列复合命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)x ＝±1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A ⃘(A ∪B )．解 (1)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假q 真，则“p 或q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“非p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“非p ”假，所以该命题是假命题． 10．已知p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负数根，q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解 p ：x 2＋4mx ＋1＝0有两个不等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2－4>0－4m <0⇔m >12.q ：函数f (x )＝－(m 2－m ＋1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数 ⇔0<m 2－m ＋1<1⇔0<m <1.(1)若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤0或m ≥1.⇒m ≥1.(2)若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤120<m <1⇒0<m ≤12综上，得m ≥1或0<m ≤12.。

[整理版]逻辑连接词与量词

逻辑连接词与量词【考点导读】1.了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．2.理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】1、简单的逻辑联结词逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．2、量词（1）短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

（2）短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题。

3、真值表p q p 且q p 或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4、全称命题及存在性命题的真假判定【基础题回顾】1.判断下列命题是全称命题：存在性命题:1)任何实数的平方都是非负数; 2)任何数与0相乘,都等于0; 3)任何一个实数都有相反数;4)△ABC的内角中有锐角.2.判断下列命题是真命题的是：:1)中国的所有的江河都流入太平洋2)有的四边形既是矩形,又是菱形;3)实系数方程都有实数解; 4)有的数比它的倒数小;3.写出命题“中学生的年龄都在15以上”的否定: ;4.写出命题” x∈R,x2>x”的否定:5. 写出命题” 6是2的倍数也是4的倍数”的否命题：【典型例题】例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．（1）相似三角形周长相等或对应角相等；（2）9的算术平方根不是3；（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．变式训练1.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.例2. 写出下列命题的否定：(1)所有人都晨练;(2) ∀ x ∈R,x 2+x+1>0; (3)平行四边形的对边相等;(4) ∃x ∈R,x 2-x+1=0变式训练2.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p ：有的四边形没有外接圆；（5）p ：某些梯形的对角线互相平分.例 3. p:关于x 的不等式{},0|1<>x x a x的解集是q ：函数2l g ()y a x x a =-+的定义域为R ,P Q a 如果和有且只有一个正确，求的取值范围。

高考数学知识点：简单的逻辑联结词、全称量词、存在量词

高考数学知识点：简单的逻辑联结词、全称量词、存在量词一、简单的逻辑联结词1、用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2、用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3、对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4、命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．典型例题1：二、全称量词与存在量词1、全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2、存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．典型例题2：典型例题3：三、含有一个量词的命题的否定典型例题4：典型例题5：特别提醒：1、逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2、正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3、“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．4、含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5、全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．6、特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．7、弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．8、注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．9、要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假相反．10、常见词语的否定形式有：【作者：吴国平】。

数学逻辑连接词

数学逻辑连接词数学逻辑连接词：因为、所以、当且仅当、若、或者、不然、只要、除非、无论、即使因为数学逻辑连接词的存在，我们能够清晰地表达数学推理中的关系、条件和结论。

这些逻辑连接词不仅能帮助我们建立论证的逻辑链条，还能使我们的数学论述更加准确和严谨。

因为是一个常用的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用因为时，通常是为了引述已知条件或前提。

例如，在证明一个几何问题时，我们可以说：“因为三角形ABC是等边三角形，所以它的三条边相等。

”所以是一个表示推理结果的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用所以时，通常是为了得出结论或推理的结果。

例如，在证明一个数学定理时，我们可以说：“已知a=b且b=c，所以a=c。

”当且仅当是一个表示充分必要条件的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用当且仅当时，通常是为了表达两个条件是等价的。

例如，在判断一个数是偶数的充分必要条件时，我们可以说：“一个整数是偶数当且仅当它能被2整除。

”若是一个用于表示条件的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用若时，通常是为了表达一个条件或假设。

例如，在证明一个数学命题时，我们可以说：“若n是一个质数，则n不能被任何小于n的正整数整除。

”或者是一个表示选择关系的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用或者时，通常是为了表达两个或多个条件中的至少一个成立。

例如，在判断一个方程有解时，我们可以说：“方程x^2-3x+2=0有解，或者方程x^2-5x+6=0有解。

”不然是一个表示否定关系的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用不然时，通常是为了表达一个条件的否定。

例如，在证明一个数学猜想时，我们可以说：“如果存在一个正整数n，使得n^2+1是一个完全平方数，那么这个猜想是错误的。

”只要是一个表示充分条件的数学逻辑连接词。

当我们在数学问题中使用只要时，通常是为了表达一个条件的充分性。

例如，在判断一个数是质数的充分条件时，我们可以说：“只要一个整数n不能被任何小于n的正整数整除，那么n是一个质数。

高中数学：1.4逻辑联结词“且,或,非” 教案 (北师大选修1-1)

第一章常用逻辑用语第4.1节逻辑联结词“且”第4.2节逻辑联结词“或”第4.3节逻辑联结词“非”一、创设情境前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。

本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。

问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式①11>5 ②3是15的约数吗？③0.7是整数④x>8二、活动尝试①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为3是15的约数，则为真；③是假命题④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。

改为x2≥0，则为真；例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。

我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。

三、师生探究问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。

命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.命题（3否定而得出的新命题.四、数学理论1.逻辑连接词命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2. 复合命题的构成简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题3.复合命题构成形式的表示常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.即：p或q 记作p∨q p且q 记作p∧q 非p (命题的否定) 记作⌝p释义：“p 或q ”是指p,q 中的任何一个或两者.例如，“x ∈A 或x ∈B ”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即x ∈A ∪B ）；又如在“p 真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能p,q 都为真.“p 且q ”是指p,q 中的两者.例如，“x ∈A 且x ∈B ”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即x ∈A I B ）. “非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“x ∈A ”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈U A ð）.五、巩固运用例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p 且q 的形式，其中p ：24是8的倍数；q ：24是6的倍数.（2）的命题是p 或q 的形式，其中p ：李强是篮球运动员；q ：李强是跳高运动员.（3）命题是非p 的形式，其中p ：平行线相交。

高中数学《常用逻辑用语-简单的逻辑联结词》课件

一句话概括：
p q p∧q
全真为真,有假即假. 真真真真假假
假真假
假假假
思考
探究：逻辑联结词“且”的含义与集合中学过的哪个概念的意义相同呢？
对“且”的理解，可联想到集合中 “交集”的概念．
A∩B=｛x︱x∈A且x∈B｝中的“且”，是指“x∈A”、“x∈B”这两个条件都要满足的意思
符号“∧”与“∩”开口都是向下
（2）p：5 < 3 ,
假
q：5 ≥ 3 .
真
一般地,对一个命题p的全盘否定,就得到一个新命题，记作“ ¬p ”，读作“非p”或“p的否定”.
命题¬p的真假判断方法：
一般地，我们规定:若p是真命题，则¬ p 必是假命题；若p是假命题，则¬ p必是真命题.
一句话概括：真假相反.
p ¬p
真假
假真
p或q 一个也没有
至少N+1 个
…
例6 写出下列命题的否定及其否命题.
（1）若x、y是奇数，则 x+y是偶数；
（2）若 xy=0，则x=0，或 y=0.
解（1）命题的否定：若x、y是奇数,则 x+y不是偶数. 否命题：若x、y不都是奇数，则 x+y不是偶
数. （2）命题的否定: 若xy=0，则 x≠0且y≠0.
（3）12能被3整除且能被4整除。题.
一般的，用逻辑联结词“ ”把命题p和q连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.
例1 将下列命题用“且”联结成新命题，并判断真假：
（1） p :平行四边形的对角线互相平分，真
q :平行四边形的对角线相等；
假
解： p ∧q : 平行四边形的对角线互相平分且相等。假

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(1)若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
(2)若p q，则p是q的充要条件。
例题与练习 1。填空 ⑴ ”a∈N ” 是 ”a∈Z ” 的_充__分__不_必__要____条件。 ⑵“ x<5 ” 是 “x<3 ” 的__必__要_不__充__分__条件。 ⑶ “a≠0” 是 “ab≠0” 的____必__要_不__充__分___条件。 ⑷ 若命题p是q的充分条件，则p是q的必__要__不_充__分条件。 ⑸ “p且q成立 ”是“ p或q成立”充的分__不__必_要_____条件。
⑹ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条a≤件1是___
2. 设命题p: 大于900的角是钝角。
命题q：三角形三边的中垂线交于一点。
则对于p，q的复合命题，下列判断正确的是( )
A.“p或q”为假
B. “p且q”为真
C.“p或q”为真
D. “非p”为假
3. 已知下列四个命题
①不存在x，使得a2<a-1或Ia+1I<0
②存在实数x，使得x2-5x-6>0且Ix-2I≤1
③对于所有的实数x，都有x+0.5>x+0.25且0.5x>0.25x
④对于实数x，若x2-3x-1=0则x2-3x-1≤0
其中是真命题的有( )
A ①④
B ③④
C ②④
D ①③
4. 把下列常见写法改写成“p或q”，“p且q”，“非 p”的形式：
7. 已知关于x的方程 (1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R 求(1)方程有两个正根的充要条件
(2)方程至少有一个正根的充要条件
教学目标：1. 理解逻辑连结词“或”“且”“非”的含义

高中数学选修2-1 1.4简单逻辑连接词且或非

（1）12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除；
命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题.
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”
2.问题2 思考：命题 p∧q的真假如何确定？
观察下列各组命题，命题p∧q的真假与p、q 的真假有什么联系？
逻辑联结词“或”“且”“非”的含义
且：就是两者都有的意思或：就是两者至少有一个的意思
（可兼容）非：就是否定的意思
复合命题的真值表
p
q
p˅q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
有真即真，全假即假
全真为真，有假即假
p˄q
¬p
真
假
假
假
假
真
假
真
真假相反
含有逻辑联结词“且”、“或”、“非”的命题称为复合命题
且 ≠ ≤ 不不都至少没有某某是是有两一个个些个
真
有真即真, 全假为假. 真
假
假
q p∨q 真真假真真真假假
★★ 非 (not)
1.问题1
思考：
下列两组命题间有什么关系？（1）35能被5整除；（2）35不能被5整除. （3）方程 x2+x+1=0有实数根；（4）方程 x2+x+1=0无实数根
命题(2)是命题(1)的否定，命题（4）是命题（3）的否定.
一般地，对一个命题p否定，就得到一个新命题，记作¬ p，读作“非p”或“p的否定”.
思考：命题P与┐p的真假关系如何？

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