《勾股定理》典型练习题(15页)解析

12 ctn

J

■

」

S cm

2.如图，以Rt △ ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半 圆的面积之间的关系.

《勾股定理》典型例题分析

、知识要点: 1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形 的两直角边为a 、b ,斜边为c ，那么a 2 + b 2= c 2。公式的变形：a 2 = c 2- b 2, b 2= c 2-a 2

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b , c ,且满足a 2 + b 2= c 2,那么三角形ABC 是直角三 角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点: ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.

② 满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③ 得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角 ④ 如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数

满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数 或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有: (3, 4, 5

) (5, 12, 13 ) (

6, 8, 10 ) ( 7,

24, 25 ) 12， 15 )

4、最短距离问题：主要运用的依据是 两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形;

(8, 15, 17 )(9，

（3）阴影部分是半圆.

15 cm

3 cm

6 cm

10 ctn

C. 6倍

2、

3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1

> S 2

、

S 3

、S 4

，贝y S j +S 2 +S 3

+S 4 =

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边

1. 在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm 2cm ，则斜边长为

2.

（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为 3、2,则另一条边长的平方是

已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高.

把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的（

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积 分别是S 、S2、S,则它们之间的关系是（

A. S i - S 2= S 3

B. S i + 52= S 3

C. S+SsV S

D. S 2- S 3=Si

4、 四边形 ABCDK / B=90°, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13求四边形 ABCD 勺面积。

5、 在直线 I 上依次摆放着七个正方形（如图 4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别

3、

4、

A.

B. 4倍

D. 8倍

5、在 Rt △ ABC 中,/ 0=90°

① 若 a=5, b=12,则 c= ② 若 a=15, c=25,则 b= ③ 若 c=61, b=60,则 a=

④ 若a : b=3 : 4, c=10则Rt △ ABC 的面积是=

&如果直角三角形的两直角边长分别为 n 2—1, 2n (n >1),那么它的斜边长是(

考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

例、如图1所示，等腰/\ABC 中，血二』C ,曲是底边上的高，若屈二光叫BC = 6cm , 求 ①AD 的长；ABC 的面积.

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( A. 4 , 5, 6 B. 2 , 3, 4 C. 11 , 12 , 13 D. 8

, 15 , 17 2、若线段a , b ,

c 组成直角三角形，则它们的比为(

A 、2n

B 、n+1

C 、n 2 - 1

D n 2 +1

7、在Rt △ ABC 中, a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是(

A

2 , . 2

2

厂

2,2.2

小

2 . . 2 2

A. a +b =c

B. a +c =b

C. c +b =a

D. 以上都有可能

8、已知 Rt △ ABC 中,/ C=90° ,若 a+b=14cm C=10cm 贝u Rt △ABC 的面积是(

)

A 、 24cm 2

B 、36 cm 2

CC 48cm 2

D 60cm 2

9、已知X 、y 为正数，且

X

2

-4

2 2

+ (y-3 ) =0 ,如果以X 、y 的长为直角边作一个直角三

角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(

A 、5

B 、25

C 、7

D 15

、5 ： 12 ： 13 D 、4 : 6 : 7 3、下面的三角形中:

ABC 中,/ 0=/A -/ B;

ABC 中, a : b : c=3: 4: 5;

A. 1个 B . 2个 C . 3个

4、若三角形的三边之比为 —>1:1，则这个三角形一定是（ 2迈

6将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）

A.钝角三角形

B.

锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

7、若^ABC 的三边长 a,b,c 满足 a 2+b 2+c 2 + 200 =12a +16b +20c ,试判断△ ABC 的形状。

& △ ABC 的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c 是3的倍数，则c 应为 此三角形为

例3:求

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是

B 、3 : 4 : 6

C ②、ABC 中，/ A :/ B :/ 0=1: 2: 3;

④厶ABC 中，三边长分别为8, 15, 17.

其中是直角三角形的个数有（

).

A.等腰三角形

B. 直角三角形

C.等腰直角三角形

D.

不等边三角形

5、已知a , b , c 为^ ABC 三边, 2 2 2 2 2

且满足(a — b)(a +b -c) = 0,则它的形状为(

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

度。