思维特训(十一) 构建二元一次方程(组)模型解决问题

思维特训(十一) 构建二元一次方程(组)模型解决问题
方法点津 ·
方程是刻画现实世界的有效数学模型，构建(建立)二元一次方程(组)可以解决数学问题以及实际问题．根据题意寻找等量关系是解决问题的关键．
典题精练 ·
类型一 利用二元一次方程的定义构造
1．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为( )
A ．m ＝1，n ＝－1
B ．m ＝－1，n ＝1
C ．m ＝13，n ＝－43
D ．m ＝－13，n ＝43
2．若x a －b －2y a ＋b －2＝0是二元一次方程，则a ，b 的值分别是( )
A ．1，0
B ．0，－1
C ．2，1
D ．2，－3
类型二 利用同类项的概念构造
3．若－2a m b 4与5a n ＋2b 2m ＋n 可以合并成一项，则m n 的值是( )
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．1
4．若3x 2m y m 与x 4－n y n －1是同类项，则m ＋n ＝________．
类型三 利用非负数的性质构造
5．若x 4－3|m |＋y |n |－
2＝2018是关于x ，y 的二元一次方程，且mn ＜0，0＜m ＋n ≤3，则m －n 的值是( )
A ．－4
B ．2
C ．4
D ．－2
6．已知(x －y ＋3)2＋2x ＋y ＝0，求x ＋y 的值．
类型四 利用二元一次方程组的解构造
7．小明在解关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋⊗y ＝3，3x －⊗y ＝1时得到了正确结果⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝⊕，y ＝1.后来发现“⊗”“⊕”处被墨水污损了，请你帮他求出⊗、⊕处的值分别是( )
A ．⊗＝1，⊕＝1
B ．⊗＝2，⊕＝1
C ．⊗＝1，⊕＝2
D ．⊗＝2，⊕＝2
8．若方程组⎩
⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝1，ax ＋（a －1）y ＝3的解中x 与y 的值相等，求a 的值．
类型五 利用给出的错解构造
9．在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝13，cx －y ＝4时，甲同学因看错了b 的符号，从而求得解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.乙同学因看漏了c ，从而求得解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1.试求a ，b ，c 的值．
类型六 利用同解构造
10．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，2ax ＋by ＝4与方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，x －y ＝0有相同的解，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，2 B ．1，0
C.13，－23D ．－13，23
11．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )
A ．－34B.34
C.43D ．－43
12．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝3，ax －3y ＝－1与⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＝5＋3y ，2x ＋1＝－by 有相同的解，求a ，b 的值．
类型七 利用“新定义”构造
13．对于x ，y 定义一种新运算“ ”：x y ＝ax －by .若2 1＝3，1 3＝－1成立，求3 2的值．
类型八 根据实际情景构造
14．如图11－TX －1①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个质量为20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个砝码，天平仍呈平衡状态，如图②.则移动的玻璃球质量为( )
图11－TX －1
A ．10克
B ．15克
C ．20克
D ．25克
15．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
图11－TX －2
请根据以上信息，求甲、乙两种商品的进货单价各是多少元？
详解详析
1．[导学号：34972385]A [解析] 依据二元一次方程的定义可得方程组⎩⎨⎧2m －n －2＝1，m ＋n ＋1＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1.
故选A. 1建立二元一次方程组．
2．[导学号：34972386]C [解析] 根据二元一次方程的定义，得⎩
⎨⎧a －b ＝1，a ＋b －2＝1，
即⎩⎨⎧a －b ＝1，a ＋b ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 故选C.
3．[导学号：34972387]D [解析] 若－2a m b 4与5a n ＋2b 2m ＋n 可以合并成一项，则⎩⎨⎧m ＝n ＋2，2m ＋n ＝4，
解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝0，
所以m n ＝20＝1.故选D.
4．[导学号：34972388]3 [解析] 依据同类项的定义可得方程组⎩⎨⎧2m ＝4－n ，m ＝n －1，
解得⎩
⎨⎧m ＝1，n ＝2， 则m ＋n ＝1＋2＝3.故答案为3.
5．A [解析] 根据题意，得⎩⎨⎧4－3|m |＝1，|n |－2＝1，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝±1，n ＝±3.因为mn <0，0<m ＋n ≤3， 所以m ＝－1，n ＝3，
所以m －n ＝－1－3＝－4.
故选A.
6．[导学号：34972390]解：已知(x －y ＋3)2＋2x ＋y ＝0，
因为(x －y ＋3)2≥0，2x ＋y ≥0，
所以⎩⎨⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，
所以x ＋y ＝－1＋2＝1.
7．[导学号：34972391]B [解析] 根据二元一次方程组的解的概念可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⊕，y ＝1
满足方程组⎩⎨⎧x ＋ y ＝3，3x － y ＝1，
于是代入得⎩
⎨⎧⊕＋ ＝3，3⊕－ ＝1， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧ ＝2，⊕＝1.故选B. 8．[导学号：34972392]解：由题意可得
⎩⎨⎧4x ＋3y ＝1，x ＝y ，解得⎩⎨⎧x ＝17
，y ＝17. 把⎩⎨⎧x ＝17，y ＝17代入ax ＋(a －1)y ＝3，得a ＝11.
9．[导学号：34972393]解：由题意，甲同学的错解实际上满足方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝13，cx －y ＝4. 把⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2代入cx －y ＝4，得c ＝2； 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2
代入ax ＋by ＝13，得3a ＋2b ＝13. 乙同学因看漏了c ，但没看错方程ax －by ＝13，
因而求得的解⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1满足方程ax －by ＝13， 即5a －b ＝13.
于是，可得关于a ，b 的方程组⎩
⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝13，5a －b ＝13. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2. 所以a ＝3，b ＝2，c ＝2.
10．[导学号：34972394]A
[解析] 先解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，x －y ＝0得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 把⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，2ax ＋by ＝4， 得⎩
⎨⎧a ＋b ＝3，2a ＋b ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.
故选A.
11．[导学号：34972395]B
[解析]⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，①x －y ＝9k .② ①＋②，得2x ＝14k ，
所以x ＝7k .
把x ＝7k 代入①，得y ＝－2k .
因此，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7k ，y ＝－2k .
因为2x ＋3y ＝6，
所以14k －6k ＝6，
解得k ＝34
. 12．[解析] 先由只含x ，y 的两个方程组成方程组，解出x ，y .再把x ，y 代入方程ax －3y ＝－1和2x ＋1＝－by ，组成关于a ，b 的方程组，解之得到a ，b 的值．
解：⎩⎨⎧4x ＋y ＝3，2x ＝5＋3y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，
将其代入⎩⎨⎧ax －3y ＝－1，2x ＋1＝－by ，得⎩⎨⎧a ＋3＝－1，2＋1＝b ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3. 13．[导学号：34972396]解：由题意，得
⎩⎨⎧2a －b ＝3，a －3b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，
所以x y ＝2x －y ，
所以3 2＝2×3－2＝4.
14．[导学号：34972397]A [解析] 设图①中的左侧秤盘中大袋子质量为A 克，右侧秤盘中小袋子质量为B 克，移动至右侧秤盘中的一颗玻璃球质量为x 克，则图①、图②天平平衡所呈现的两个等式为：(1)A ＝B ＋40；(2)A －x ＝B ＋20＋x ，两个等式相减，即可得到关于x 的一元一次方程，解之即可得到正确答案．
15．[解析] 分别利用甲、乙两种商品的进货单价之和是5元以及购买甲商品3件和乙商品2件共19元得出等式进而求出答案．
解：设甲种商品的进货单价为x 元，乙种商品的进货单价为y 元．根据题意，得
⎩⎨⎧x ＋y ＝5，3（x ＋1）＋2（2y －1）＝19，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 答：甲种商品的进货单价为2元，乙种商品的进货单价为3元．。