建立二元一次方程组

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初中数学第八章二元一次方程组详细课程标准

第八章二元一次方程组一、新课程标准对本章的要求（1）了解二元一次方程（组）及解的定义。

（2）熟练掌握用代入法和加减法解二元一次方程组的方法并能灵活运用。

（3）能正确列出二元一次方程组解应用题。

二、教学参考书对本章的要求【本章教材分析】1．内容结构特点本章是在学生对一元一次方程已有认识的基础上，从一个篮球联赛中的问题入手，引导学生直接用x和y表示两个未知数，并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个相关的二元一次方程,由此得到二元一次方程（组）的概念，然后，研究用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并用此解决实际问题。

本章是在研究一元一次方程的基础上，以实际问题为背景对一次方程及其解法的探索，是数学建模思想在数学中的具体应用，其中的消元思想是解方程的基本思想，它对研究高等数学具有重要作用。

4．教学重点和教学难点教学重点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题教学难点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题5．教学目标（1）以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型．（2）了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系．（3）了解解二元方程组的基本目标（使方程组逐步转化为x=a，的形式），体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法．（4）通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程（见下图），体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．6．教学建议（1）注意在对方程已有认识的基础上发展，做好从一元到多元的转化本章从一个篮球联赛中的胜负场数问题开始讨论，其中含有两个未知数．在此之前学生已经学习过一元一次方程的内容，用代数方法解决上述问题有两种不同方法：一种方法是设一个未知数为，并用含有的式子表示另一个未知数，根据问题中的等量关系列出一元一次方程；另一种方法是直接设两个未知数和，根据问题中的等量关系列出两个二元一次方程，由它们组成方程组．比较这两种方法，可以发现，第一种方法的难点在于“列”，第二种方法的难点在于“解”．由于列一元一次方程时要综合考虑问题中的各等量关系，因此有一定难度，但是学生已经熟悉一元一次方程的解法；列二元一次方程组时可以分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程，一般说这比将这个问题列成一个一元一次方程容易，但是由于方程中出现两个未知数，因此如何解方程组成为新问题．用方程组是新方法，这种方法对于解含有多个未知数的问题很有效，并且它的优越性会随着问题中未知数个数的增加体现得更明显．二元一次方程组是方程组中最基本的类型，通过学习它可以了解一般的一次方程组，提高对多元问题的认识．本章学习中，应注意所学内容与前面有关内容的联系与区别，明确本章内容的特点，做好从“一元”向“多元”的转化．（2）关注实际问题情景，体现数学建模思想现实中存在大量问题涉及多个未知数，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习“二元一次方程组”提供了大量的现实素材．在本章教科书中，实际问题情境贯穿于全章，对方程组解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的，“列方程组”在本章中占有突出地位．在本章的教学和学习中，要充分注意二元一次方程组的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程组来自实际又服务于实际，加强对方程组是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．本章明确提出“方程组是解决含有多个未知数问题的重要数学工具”，并在多处体现方程组在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立模型的思想．设未知数、列方程组是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的多种等量关系是设未知数、列方程组的基础．在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性．教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用二元一次方程组分析解决它们．（3）重视解多元方程组中的消元思想本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想，这已在上面进行了讨论；另一个是解方程组的过程中蕴涵的消元化归思想，它在解方程组中具有指导作用．解二元一次方程组的各个步骤，都是为最终使方程组变形为x=a，的形式而实施的，即在保持各方程的左右两边相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“已知”．解多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，以至使方程组化归为一元方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数．代入法和加减法都是消元解方程组的方法，只是具体消元的手法有所不同．在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质．（4）加强学习的主动性和探究性设计本章教科书的内容和结构时，比较注意加强学习的主动性和探究性．本章内容涉及许多实际问题，多彩的问题情境容易激起学生对数学的兴趣．在本章的教学中，应注意引导学生从身边的问题研究起，主动收集寻找“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题作为学习材料，并更多地进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力．（5）注重对于基础知识的掌握，提高基本能力本章中二元一次方程组的基本概念和消元解法是基础知识，通过列、解二元一次方程组分析解决实际问题是基本能力，它们对于今后进一步学习有重要作用．教学和学习中应注意打好基础，切实掌握基本方法，并力求能够较灵活地运用它们，逐步培养提高基本能力．7．课时安排本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：8．1 二元一次方程组 1课时8．2 消元 3课时8．3 再探实际问题和二元一次方程组 3课时8．4三元一次方程组解法举例 1课时复习课 1课时三、具体知识点及详细标准【知识点1】二元一次方程组（一）学习目标：1．认识二元一次方程和二元一次方程组.2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.（二）重点难点：教学重点：理解二元一次方程组的解的意义.教学难点：求二元一次方程的正整数解（三）基本题型【题型1】（★）1．下列各式中，是关于x、y的二元一次方程的是( )．(A)2x－y=0 (B)xy＋x－2＝0 (C)x－3y＝－1 (D) 1/x+y=22．已知二元一次方程x＋y＝1，下列说法不正确的是( )．(A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解(C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解【题型2】（★★）1．写出二元一次方程2x＋y＝5的所有正整数解．2.二元一次方程4x＋y＝10共有______组非负整数解．【题型3】（★★★）已知满足二元一次方程5x＋y＝17的x值也是方程2x＋3(x－1)＝12的解，求该二元一次方程的解．【知识点2】消元—--解二元一次方程组（代入法）（一）学习目标1、知识与技能：会用代入消元法解二元一次方程组。

8.3.3实际问题与二元一次方程组(教案)

五、教学反思
在上完这节课之后，我深感教学过程中的几点体会和反思。首先，我发现学生在从实际问题中抽象出二元一次方程组这个环节上存在一定难度。他们往往难以抓住问题中的关键信息，因此在建立方程组时会出现困惑。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生学会筛选有用信息，提高他们的问题分析能力。
其次，学生在解方程组的过程中，运算错误仍然是一个突出问题。特别是在消元和代入求解时，容易犯错。针对这一点，我计划在接下来的课程中，增加一些针对性的练习，强化学生的运算能力，并提醒他们在解题过程中注意检查运算过程和结果。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何从实际问题中抽象出方程组以及解方程组的方法这两个重点。对于难点部分，如消元和代入，我会通过具体例题和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题，如速度、时间、路程问题等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如模拟购物打折活动，通过实际操作来演示方程组的建立和求解过程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。它在解决实际问题中具有重要作用，可以帮助我们同时求解两个未知数。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如购物打折问题。通过建立方程组，我们可以求解出折扣后的价格，以及购买商品的最佳方案。

实际问题与二元一次方程组-几何图形专题

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圆周长与二元一次方程组
圆周长的计算公式：$C = 2pi r$，其中$r$为半径。
例如，已知圆的周长为10pi，一个半径为3，则可以建立方程组求解另一个半径： $2pi times (3 + x) = 10pi$。
03
实际生活中的几何图形与二元一次方程组
建筑中的几何图形与二元一次方程组
总结词
行星的位置和速度等参数。
运动场上的几何图形与二元一次方程组
要点一
总结词
要点二
详细描述
运动场上的几何图形与二元一次方程组的应用对于运动成绩的预测和提高具有重要意义。
在运动场上，许多项目的成绩与几何图形密切相关，例如投掷项目的投掷距离、跳远项目的起跳点和落脚点等。这些几何图形可以通过建立二元一次方程组来描述和计算。例如，在跳远项目中，起跳点和落脚点可以通过建立以距离和角度为变量的二元一次方程组来描述，从而预测跳远的成绩和最佳起跳角度等参数。
建筑中的几何图形与二元一次方程组的应用广泛且重要。
详细描述
在建筑设计中，几何图形的应用非常普遍。例如，矩形、圆形、三角形等都是常见的几何图形。这些几何图形可以通过二元一次方程组来表示和计算。例如，一个矩形的长和宽可以通过二元一次方程组来表示，从而方便计算面积和周长等参数。
自然界中的几何图形与二元一次方程组
04
二元一次方程组的解法与几何图形
代入法与几何图形
总结词
代入法是解二元一次方程组的一种常用方法，通过将一个方程中的未知数用另一个方程表示，从而简化方程。
详细描述
在几何图形中，代入法可以用于求解与图形相关的问题，例如求解三角形、平行四边形、梯形等图形的边长或角度。通过代入法，可以将一个复杂的问题简化为一个简单的一元一次方程，从而方便求解。

二元一次方程组的应用与几何问题结合例题

一、引言二元一次方程组在数学中有着重要的地位，它不仅在代数中有着广泛的应用，同时也与几何问题有着密切的联系。

通过解决一些具体的几何问题，我们可以更深入地理解二元一次方程组的概念和应用。

本文将以例题的形式结合几何问题，探讨二元一次方程组的应用。

二、例题分析1. 题目：已知两条直线的方程分别为2x - y = 1和x + y = 3，求两直线的交点坐标。

解析：两条直线的交点坐标即为二元一次方程组的解。

我们可以通过联立方程组，求解x和y的值。

首先我们可以选择其中一个方程，如x + y = 3，对其进行变形可以得到y = 3 - x。

将y = 3 - x代入到另一个方程2x - y = 1中，得到2x - (3 - x) = 1，化简得到3x = 4，从而得到x = 4/3。

将x = 4/3代入到y = 3 - x中，即可得到y的值。

交点坐标为(4/3, 5/3)。

2. 题目：求过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程。

解析：首先我们可以得到直线2x + y = 3的斜率为-2。

垂直直线的斜率为直线斜率的负倒数，即为1/2。

过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程为y - 2 = 1/2(x - 1)，整理得到y = 1/2x + 1。

3. 题目：求直线y = kx + 2与直线x - 2y + 1 = 0的交点坐标。

解析：联立直线y = kx + 2和x - 2y + 1 = 0，得到kx + 2 - 2y + 1= 0，即kx - 2y = -1。

通过比较系数得到k = 1/2，然后代入k值，解得交点坐标为(-1, 1)。

三、结论通过以上例题的分析，我们可以发现二元一次方程组在几何问题中的应用是十分广泛的。

通过求解交点坐标、垂直直线的方程等问题，我们不仅可以更好地理解二元一次方程组的概念，也能深入地理解直线的性质和特点。

在学习数学的过程中，我们应该注重二元一次方程组的应用和几何问题的结合，以便更深入地掌握相关知识。

北师大版八年级数学上册5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式(教案)

在实践活动环节，我发现学生们对于如何将二元一次方程组与一次函数图象ห้องสมุดไป่ตู้结合求解问题还不够熟练。这说明我在这一部分的教学还需要加强，可以通过更多的例题和练习来巩固学生的掌握程度。
最后，我还要反思自己在课堂上的语言表达和教学组织方面，力求在今后的教学中更加精炼、清晰，让学生能够更好地理解和接受知识。通过不断反思和改进，我相信我能够帮助学生们更好地掌握这一章节的内容。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数图象与二元一次方程组的联系以及如何求解方程组这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的图象和方程组示例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数表达式相关的实际问题，例如，如何根据两个变量的关系绘制直线图象。
-掌握一次函数图象上任意一点的坐标与二元一次方程组解的关系。
举例解释：
-重点一：学生需掌握如何从一次函数图象中识别出对应的二元一次方程组，例如，给定一次函数图象，能够通过观察图象上的点来确定方程组的解。
-重点二：在实际问题中，如两个变量的线性关系，学生需要能够建立二元一次方程组，并求解得到一次函数表达式，如成本与销售量的关系。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组与一次函数表达式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一次函数图象与方程组之间联系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

湘教版数学七年级下册1.1建立二元一次方程组

B. 3 4
C. 4 3
D.- 4 3
x+ y =5k，解得 x y =9 k .
x = 7k，代入2x+3y=6， y = 2 k .
得 k = 3 ，故选B.
4
结
束
想一想，还有其他的方法吗？
问题中既要求水费，又要求天然气费，可以设1月份的天然气费是x元，水费是y元. 根据题意得 x+y=60, ① x-y=20. ②
说一说
x+y=60, ① x-y=20. ②
观察方程①、②各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？
结论
像方程x+y=60，x-y=20这样，含有两个未知数(二元)，并且含未知数的项的次数都是1，称这样的方程为二元一次方程.
解
设轮船在静水中的速度为x，水的流速为y. 根据题意得 x + y =24 , ① x - y =18 . ②
x = 21, （2） y = 3 是列出的二元一次方程组的解吗？

解
x = 21, 把 y = 3 代入方程①中，左边=右边， x = 21, 把代入方程②中，左边=右边， y=3
x = 2, 3 x +2 y =8, 所以是方程组的解. 3 x -2 y =4 y =1

练习
1.

3 x +2 y =8 , ① 3 x -2 y =4 . ②
x = 2, 是上例中方程组的解吗？ y=2
例小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共
花去8元，其中购买的练习本比圆珠笔多花4元.

关于二元一次方程组的工程问题

二元一次方程组是高中数学中的重要内容，也是工程领域中常见的数学问题之一。

在工程问题中，二元一次方程组常常用来描述两个或多个变量之间的关系，例如工程设计中的力和位移、温度和时间等。

我将从简单到复杂，由浅入深地探讨二元一次方程组在工程问题中的应用。

1. 了解二元一次方程组在工程问题中，常常会遇到两个未知数的关系，例如两个力的合成、两个变量的比例关系等。

此时，我们可以通过列方程的方式来解决问题。

二元一次方程组通常可以用以下形式表示：\[ \begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases} \]在这个方程组中，$a, b, c, d, e, f$为已知数，$x, y$为未知数。

通过解二元一次方程组，可以求得$x, y$的值，从而解决工程问题中的未知变量关系。

2. 工程问题中的应用举例在土木工程中，常常需要计算桥梁或建筑物受力的情况。

假设有一座桥梁上承受着两个力，分别为$F_1$和$F_2$，它们的合力为$F$，方向和大小都是未知的。

我们可以通过列出受力平衡的方程来求解$F_1$和$F_2$的大小和方向。

又如在化工生产中，温度和时间之间的关系常常是一个二元一次方程组。

假设一种化学反应的温度与反应时间呈线性关系，我们可以通过记录实验数据，建立二元一次方程组来描述它们之间的关系，从而预测反应的进行情况和最终产物的性质。

3. 总结与展望通过上面的实例可以看出，二元一次方程组在工程问题中有着广泛的应用。

工程师们常常需要利用数学工具来分析和解决复杂的问题，而二元一次方程组正是其中一种重要的工具。

从求解桥梁受力到化工生产的温度控制，二元一次方程组的应用使工程问题的解决变得更加精确和高效。

未来，随着工程技术的不断发展，二元一次方程组定将在工程领域中发挥越来越重要的作用。

个人观点上，我认为掌握和深入理解二元一次方程组是工程师们必备的技能之一。

它不仅可以帮助我们更好地分析和解决工程问题，也可以培养我们的逻辑思维能力和数学建模能力。

1.1建立二元一次方程组

的解．
比一比:
1. 方程组
x 3 A. y 2
y 1 x 3 x 2 y 5
的解是（
x 3 C. y 2
D
）
x 3 D. y 2
x 3 B. y 2
2.
x y m x 2 若 y 1 是方程组 2 x y 6n
①
②
每一个方程中，左、右两边的值相等吗？即这一组未知数的值适合上述方程组的每一个方程吗？
在二元一次方程组中，使每一个方程的左、这个方程组的解什么？右两边的值都相等的一组未知数的值，叫做 x = 40 这个方程组的一个解。为原方程组的一个解 y =20
练一练:
1.填表:使每对x,y的值是方程3x+y=5的解．
2.1二元一次方程组
动脑筋
我们家1月份的天然气和水费共60元，其中天然气费比水费多20元。你知道天然气费和水费各是多少吗？
设天然气费是x元，水费是y元，可以设1月份的天然气费是 x元，则水费是（x-20）元。根据题意可得：
x
可得方程：x+（x-20=60. 解得x=40，因此天然气费 + 是40元，水费是20元 y = 60 ┅ ①
试一试:
1. 判断下列各式是不是二元一次方程,如果不是请说明理由. y ① 2x-5y ② 3x=5+2y 是 ③ 3 x 1 是否 2 2 ④ 2 x 4 y 0 否 ⑤ 5(x+y)=7(x-y) 是 ⑥ x+y=3z 否
m 3 1 2 4 n y 5 2. 已知方程 2 x 是二元一次方程, 2
C
)
探究:
x+ y = 16 1.方程x+ y = 16中 ,符合实际意义的 x , y 的值有哪些? 把它们填入表格中.

5.5应用二元一方程组--里程碑上的数(教案)

教学内容列举：
（1）理解里程碑问题的背景，明确问题中的未知数和已知数。
（2）根据问题，列出关于里程碑距离和时间的二元一次方程组。
（3）运用代入法或消元法求解方程组，得到里程碑问题的解答。
（4）通过课后练习，巩固所学知识，提高解题技巧。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方程组的建立和求解这两个重点。对于难点部分，如等量关系的识别和方程组的求解方法，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二元一次方程组在实际问题中的应用。
2.发展学生的逻辑思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生合作交流、共同探讨的学习习惯，增强团队协作能力。
4.激发学生对数学学科的兴趣，提高学习积极性，培养数学情感。
（1）理解并掌握应用二元一次方程组解决实际问题的方法，形成数学建模思想。
（2）运用逻辑推理，分析问题，提出解决方案，培养推理和论证能力。
1.加强对等量关系的讲解和练习，让学生更好地理解方程组的建立过程。
2.提高学生对求解方程组方法的熟练程度，通过多种题型进行训练。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，增强他们的自信心和表达能力。
4.在小组讨论中，加强引导，确保讨论主题的准确性。
（1）理解并识别实际问题中的等量关系，将其转化为二元一次方程组。
难点解析：学生可能难以从实际问题中抽象出等量关系，需要教师引导和举例说明。

应用二元一次方程组——里程碑上的数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

专题5.20应用二元一次方程组——里程碑上的数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】里程碑上的数字问题两位数：十位数字×10+个位数字.三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字.四位数：千位数字+百位数字×100+十位数字×10+个位数字.......例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x，而不可表示为yx，因为yx表示y乘x，应注意区别.特别提醒：1.在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位上的数字乘100，千位上的数字乘1000.2.若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的数位的关系.【考点目录】【考点1】数字问题；【考点2】几何问题；【考点3】图表信息题；【考点4】开放问题；【考点5】其他问题.【考点一】数字问题【例1】（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；（2）第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022下·重庆江津·七年级校联考阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x ，乙数为y ．则得方程组（）A ．1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩B ．1001511001001089x y x y x x y +=⎧⎨+=++⎩C ．1001001089100151x y x y y x y +=++⎧⎨+=⎩D ．1001001089100151x y x y y x y +=+-⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．解：设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，得方程组1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩，故选A ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．【变式2】（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP ，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了．．．．．．．．．．．586步，则出门时看到的步数是．【答案】26【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为一位正整数，即可得出x ，y 的值，再将其代入()10x y +中，即可求出结论．解：设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得：()1001010586y x x y ++-+=，∴1164y x =+.又∵x ,y 均为一位正整数，∴2 6x y =⎧⎨=⎩，∴10102626x y +=⨯+=，即出门时看到的步数是26．故答案为：26．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【考点二】几何问题【例2】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）（1）一个正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ，求原正方形的边长；（2）已知一个长方形，若它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变．求这个长方形的面积．【答案】（1）12cm ；（2）224cm 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用：（1）设原正方形的边长为cm x ，根据“正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ”，列出方程，即可求解；（2）设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，根据“它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变”，列出方程组，即可求解．（1）解：设原正方形的边长为cm x ，()22381x x +-=，解得12x =．答：原正方形的边长为12cm ；（2）解：设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，依题意，得()()()()4121x y xy x y xy ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得：4422x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得：83x y =⎧⎨=⎩，所以这个长方形的面积23824cm S xy ==⨯=．答：这个长方形的面积是224cm ．【举一反三】【变式1】（2021上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，周长为34的大长方形ABCD 被分成7个全等的小长方形，则每个小长方形的面积为（）A ．10B ．14C ．20D ．30【答案】A 【分析】本题中的两个等量关系是：长方形长的四倍与宽的七倍之和为34；长的二倍等于宽的五倍，据此建立二元一次方程组求解即可．解：设长方形的长为x ，宽为y ，根据题意，得：473425x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩，∴5210xy =⨯=，∴每个小长方形的面积为10．故选：A ．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式2】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD 的面积是2cm ．【答案】560【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x 、y ，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．解：设小长方形的长、宽分别为cm cm x y ，，依题意得212328x y y x y +-=⎧⎨+=⎩，解之得164x y =⎧⎨=⎩，∴小长方形的长、宽分别为16cm 4cm ，，∴12220cm,28cm AB y BC =+==，∴大长方形ABCD 的面积22028560cm AB BC =⋅=⨯=，【考点三】图表信息问题【例3】（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A 、B 若干次（每次A 、B 两种商品都购买，且A 、B 都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A 、B 的数量和费用如表所示：购买商品A 的数量/个购买商品B 的数量/个购买总费用/元第一次购物65980第二次购物37940（1）求商品A 、B 的标价；（2）若张老师第三次购物时，商品A 、B 同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？【答案】（1）商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个；（2）张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B【分析】（1）设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可；（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案．（1）解：设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据题意得：6598037940x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：80100x x =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个．（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据题意得：800.61000.6960m n ⨯+⨯=，∴5204m n =-．当4n =时，15m =；当8n =时，10m =；当12n =时，5m =．答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B ．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A ．10gB ．20gC ．25gD ．30g【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量50=克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可．解：设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克．由题意列方程组得：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解方程组得：2030x y =⎧⎨=⎩．即：每块巧克力的质量是20克．故选：B ．【点拨】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键．【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在33⨯（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a b +=．【答案】6-【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可．解：由题意知，322224a a b +=-⎧⎨-=+-⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩，∴336a b +=--=-，故答案为：6-．【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．【考点四】开放问题【例4】（2017下·江苏南通·七年级校考期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一），答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一）设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意,得3422{2623x y x y +=+=，解得4{ 2.5x y ==.则x+y=4+2.5=6.5（吨）.答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【举一反三】【变式1】（2020上·辽宁铁岭·八年级校联考期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（）A ．20B ．22C ．23D ．25【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，依题意得：32192321x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴解这个方程组为：35x y =⎧⎨=⎩，∴大壮的得分为：432023x y +=+=．故选：C ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】（2018下·七年级单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cm ，小红所搭的“小树”的高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =，y =．【答案】45解：根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4和5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．【考点五】其他问题【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】（1）每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）学校选用方案一更节约钱，节约76元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用．（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．（1）解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a 元、b 元，40901320601201860a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：158a b =⎧⎨=⎩，答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）方案一的花费为：()151008600.81584⨯+⨯⨯=（元），方案二的花费为：()15100860100521660⨯+⨯-÷⨯=（元），1660158476-=（元），15841660<，答：学校选用方案一更节约钱，节约76元．【举一反三】【变式1】（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（）A ．120cmB ．130cmC ．140cmD ．150cm【答案】D 【分析】设1支塑料凳子的高度为 cm x ，每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，列出二元一次方程组，解之求出x 、y 的值，即可解决问题．解：设1支塑料凳子的高度为 cm,x 每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，依题意得：60380x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：5010x y =⎧⎨=⎩10501010150x y ∴+=+⨯=，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm ．故选：D ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备用160元全部购买A ，B 两种奖品若干个，那么可以购买B 种奖品个．【答案】4或8【分析】设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出两种奖品的单价，设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，利用总价=单价×数量，可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出n 的值．解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据题意得：2410052130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2015x y =⎧⎨=⎩，∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，根据题意得：2015160m n +=，∴384m n =-，∵m ，n 均为正整数，∴54m n =⎧⎨=⎩或28m n =⎧⎨=⎩，∴可以购买B种奖品4或8个．故答案为：4或8．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．。

二元一次方程教案15篇

二元一次方程教案15篇二元一次方程教案1一、教材分析本节内容共安排2个课时完成。

该节内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图像的综合应用。

通过探索方程与函数图像的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了数(二元一次方程)与形(一次函数的图像(直线))之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力。

本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的.二、学情分析学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会数和形间的相互转化，从中使学生进一步感受到数的问题可以通过形来解决，形的问题也可以通过数来解决.三、目标分析1.教学目标知识与技能目标(1) 初步理解二元一次方程和一次函数的关系;(2) 掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系;(3) 掌握二元一次方程组的图像解法.过程与方法目标(1) 教材以问题串的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法;(2) 通过做一做引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力.(3) 情感与态度目标(1) 在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神.(2) 在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力.2.教学重点(1)二元一次方程和一次函数的关系;(2)二元一次方程组和对应的两条直线的关系.3.教学难点数形结合和数学转化的思想意识.四、教法学法1.教法学法启发引导与自主探索相结合.2.课前准备教具：多媒体课件、三角板.学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸.五、教学过程本节课设计了六个教学环节：第一环节设置问题情境，启发引导;第二环节自主探索，建立方程与函数图像的模型;第三环节典型例题，探究方程与函数的相互转化;第四环节反馈练习;第五环节课堂小结;第六环节作业布置.第一环节: 设置问题情境，启发引导内容：1.方程x+y=5的解有多少个? 是这个方程的解吗?2.点(0，5)，(5，0)，(2，3)在一次函数y= 的图像上吗?3.在一次函数y= 的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗?4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y= 的图像相同吗?由此得到本节课的第一个知识点：二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.意图：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y= 相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.效果：以问题串的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识.前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系.顺其自然进入下一环节.第二环节自主探索方程组的解与图像之间的关系内容：1.解方程组2.上述方程移项变形转化为两个一次函数y= 和y=2x ,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像.3.方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系?由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法;(1) 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标;(2) 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.(3) 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.意图：通过自主探索，使学生初步体会数(二元一次方程)与形(两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的'交点坐标打下基础.效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了数的问题可以转化为形来处理，反之形的问题可以转化成数来处理，培养了学生的创新意识和变式能力.第三环节典型例题探究方程与函数的相互转化内容：例1 用作图像的方法解方程组例2 如图，直线与的交点坐标是 .意图：设计例1进一步揭示数的问题可以转化成形来处理，但所求解为近似解.通过例2，让学生深刻感受到由形来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把形的问题转化成数来处理.这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫.效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.第四环节反馈练习内容：1.已知一次函数与的图像的交点为 ,则 .2.已知一次函数与的图像都经过点A(2，0)，且与轴分别交于B，C两点，则的面积为( ).(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.求两条直线与和轴所围成的三角形面积.4.如图，两条直线与的交点坐标可以看作哪个方程组的解?意图：4个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况.效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性.第五环节课堂小结内容：以问题串的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：1.二元一次方程和一次函数的图像的关系;(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.2.方程组和对应的两条直线的关系：(1) 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标;(2) 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解;3.解二元一次方程组的方法有3种：(1)代入消元法;(2)加减消元法;(3)图像法. 要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解.意图：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力;使学生进一步明确学什么，学了有什么用.第六环节作业布置习题7.7附：板书设计六、教学反思本节课在学生已有了解方程(组)的基本能力和一次函数及其图像的基本知识的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函数图像之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图像解法，以及应用代数方法解决有关图像问题，培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.教学过程中教师一定要讲清楚图像解法的局限性，这是由于画图的不准确性，所求的解往往是近似解.因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，如例2及反馈练习中的4个问题.二元一次方程教案2知识与技能(1) 初步理解二元一次方程和一次函数的关系;(2) 掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系;(3) 掌握二元一次方程组的图像解法.过程与方法(1) 教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法;(2) 通过“做一做”引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力.情感与态度(1) 在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神.(2) 在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力.教学重点(1)二元一次方程和一次函数的关系;(2)二元一次方程组和对应的两条直线的关系.教学难点数形结合和数学转化的思想意识.教学准备教具：多媒体课件、三角板.学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸.教学过程第一环节: 设置问题情境，启发引导(5分钟，学生回答问题回顾知识)内容：1.方程x+y=5的解有多少个? 是这个方程的解吗?2.点(0，5)，(5，0)，(2，3)在一次函数y= 的图像上吗?3.在一次函数y= 的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗?4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y= 的图像相同吗?由此得到本节课的第一个知识点：二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程 .第二环节自主探索方程组的解与图像之间的关系(10分钟，教师引导学生解决)内容：1.解方程组2.上述方程移项变形转化为两个一次函数y= 和y=2x ,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像.3.方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系?由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法;(1) 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标;(2) 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的'解.(3) 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.第三环节典型例题 (10分钟，学生独立解决)探究方程与函数的相互转化内容：例1 用作图像的方法解方程组例2 如图，直线与的交点坐标是 .第四环节反馈练习(10分钟，学生解决全班交流)内容：1.已知一次函数与的图像的交点为 ,则 .2.已知一次函数与的图像都经过点A(—2， 0)，且与轴分别交于B，C两点，则的面积为.(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.求两条直线与和轴所围成的三角形面积.4.如图，两条直线与的交点坐标可以看作哪个方程组的解?第五环节课堂小结(5分钟，师生共同总结)内容：以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：1.二元一次方程和一次函数的图像的关系;(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;(2) 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.2.方程组和对应的两条直线的关系：(1) 方程组的解是对应的两条直线的交点坐标;(2) 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解;3.解二元一次方程组的方法有3种：(1)代入消元法;(2)加减消元法;(3)图像法. 要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解.第六环节作业布置习题7.7A组(优等生)1、 2、3 B组(中等生)1、2 C组1、2二元一次方程教案3教学目标1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析教学难点用方程组刻画和解决实际问题的过程。

《1.1建立二元一次方程组》作业设计方案-初中数学湘教版12七年级下册

《建立二元一次方程组》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对二元一次方程组的理解，加深对方程建立和求解过程的认识，通过实践操作，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、作业内容1. 理论学习：学生需预习并理解二元一次方程组的基本概念，包括方程的构成、未知数的设定以及方程的解法等。

2. 课本练习：完成课本中关于二元一次方程组的例题及基础练习题，特别注重对方程组的设立与求解过程的训练。

3. 实际情景应用：根据日常生活中的实际情景，设置二元一次方程组，例如购物找零问题、物品交易价格问题等，学生需独立分析情景并设立方程。

4. 拓展探索：选择一些复杂情景下的二元一次方程组，进行初步探索与解答，以拓展思路，培养思维的灵活性。

三、作业要求1. 仔细阅读题目要求，准确设立未知数，并根据题目情境设立合理的二元一次方程组。

2. 在解方程组时，要求学生运用所学的解法进行计算，步骤清晰、条理分明。

3. 对于每个情境问题的分析，应简要记录解题思路及使用到的数学原理或公式。

4. 鼓励学生之间进行互相检查作业答案的正确性及解题过程的逻辑性。

5. 在探索部分，可以鼓励学生采用多种不同的解法进行尝试，并记录下不同的解题思路。

四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的准确性和解题过程的条理性进行评价。

2. 评价将包括学生对二元一次方程组基本概念的理解程度、设立方程的合理性以及解方程的正确性。

3. 对于有创新思路和独特解法的同学给予额外加分鼓励。

五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，并针对错误或不足进行详细标注和解释。

2. 批改后，教师将通过课堂讲解或小组讨论的方式，对共性问题进行讲解和纠正。

3. 学生根据教师的反馈意见进行修改和完善，并在下次上课前向教师汇报修改情况。

4. 对于表现优秀的学生，教师可安排其在课堂上进行经验分享或展示其作业成果。

通过上述作业设计方案，不仅要求学生掌握二元一次方程组的基本知识，更注重培养学生的实际操作能力和问题解决能力。

确定二次函数的表达式——建立二元一次方程组求解

1、我们在确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0 )的
关系式时，通常需要 2 个独立的条件.确定反比例函数 y k （k≠ 0)关系式时，通常需要 1 个条件.
x 2、如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）
的关系式时，通常又需要__3__个条件。
3、二次函数的表达形式有哪几种？
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
1、若二次函数图像的顶点为（-2，1），且过点（-1，0），求二次函数表达式； 2、已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2，且过点（1，4），（5，0），求抛物线的解析式；
细细品味这几个题，我们在确定二次函数的表达式时应如何选择合理的表达形式？
二次函数常用的三种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知三个点坐标，选择一般式
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
一、设二、代三、解四、还原
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
解：∵ 图象的顶点坐标是(-1,-6) ∴可设二次函数的解析式为： y=a(x+1)2-6 ∵ 函数图象过点（2，3） ∴ a(2 +1)2 -6= 3 ∴ a= 1 ∴ 二次函数的解析式为： y= (x+1)2 -6
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0）。求这条抛物线的表达式。
赵州桥主桥拱的跨度AB约为36m,拱高OC约为6m.你能求出抛物线的表达式吗？

初中数学教学课例《应用二元一次方程组——鸡兔同笼》教学设计及总结反思

什么？第六环节：布置作业 A 组： 1.用一根绳子环绕一棵大树。若环绕大树三周，则
绳子还多 4 尺；若环绕大树 4 周，则绳子又少了 3 尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？
2.《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元。问有多少人？该物品价值多少元？
-y=1.② ①-②，得-=4, =4, x=48, 将 x=48 代入①，得 y=11. 答：绳长 48 尺，井深 11 尺. 第三环节：议一议从上面的两个问题的解决中，你得到了什么感悟，有什么收获？请与同学们交流。根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤： 1）审清题意，设未知数; 2）弄清各个量之间的关系，找出等量关系; 3）列出方程，联立方程，得二元一次方程组; 4）解二元一次方程组; 5）作答. 并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程. 第四环节：练一练 1、古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，
问题 2、你能根据问题 1 中的的数量关系列出方程吗？并能解决这个有趣的问题吗？
1.用一元一次方程求解解：设有鸡 x 只，则有兔（35-x）只,得答：鸡有 23 只，兔有 12 只. 2.用二元一次方程求解：解：设有鸡 x 只，兔 y 只，则 x+y=35,① 2x+4y=94.② ①×2,得 2x+2y=70,③ ②－③,得 2y=24, y=12, 把 y=12 代入①，得 x=23.
B 组： 3.《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？

北师大版八年级上册数学第五章二元一次方程组PPT

2x 8y 3 ②
，
A
①－②得( )
A．5y＝2
B．－11y＝8
C．－11y＝2
D．5y＝8
当堂小练
3.小明在某商店购买商品A，B共两次，这两次购买商品A，B的数量和费用如表：若小丽需要购买3个商品A 和2个商品B，则她要花费( C ) A．64元 B．65元 C．66元 D．67元
购买商品A的
新课讲解
典例分析
例 1.已知方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是__a_≠__－__2_，b的取值范围是___b_≠_3___；分析：(1)因为方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的二元一次方程，所以a＋2≠0，b－3≠0，所以a≠－2，b≠3
解：设笼中有鸡 x只，有兔 y只.由题意可得： x+y=35，
x=23, 解此方程组得：
y=12.
答：笼中有鸡23只、兔12只.
2x+4y=94.
新课讲解
结论
列方程解应用题步骤 1·审题 (找等量关系） 2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验，作答
关键：找等量关系、列方程
新课讲解
典例分析
新课导入
“鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何?
“上有三十五头”的意思是什么? “下有九十四足”的意思是什么?
新课讲解
知识点1 列二元一次方程组解决实际问题
讨论
1.“上有35头”的意思是什么?“下有94足”呢？ 2.你能根据（1）中的等量关系列出方程吗？
a的值是(
A
)
A．1
B．3
C．－3
D．－1
拓展与延伸

七年级数学下册(人教版)8.3.1实际问题与二元一次方程组(第一课时)教学设计

（二）过程与方法
1.引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索二元一次方程组的解法，提高学生的团队协作能力和解决问题的能力。
2.教学过程中，教师以实际问题为载体，引导学生经历“建立模型、求解方程组、检验结果”的过程，让学生感受数学建模的步骤和意义。
3.通过对比不同解题方法，培养学生优化解题策略的意识，提高解题效率。
-针对本节课所学内容，设计具有代表性的习题，让学生独立完成。
-在学生解题过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。
2.教学目标：
-巩固学生对二元一次方程组的认识和解题技巧。
-培养学生独立解决问题的能力。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
-邀请几名学生分享他们在课堂学习中的收获和感悟。
-教师对本节课的重点知识和解题方法进行梳理和总结。
为此，在教学过程中，教师应关注学生的这些难点，通过设置贴近生活的实际问题，引导学生逐步建立方程组模型，并在解题过程中给予适当的提示和指导。此外，教师要注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与课堂讨论，发挥学生的主体作用，帮助他们克服困难，提高解题能力。同时，针对学生的个体差异，教师应制定有针对性的教学策略，使每个学生都能在本章节的学习中取得进步。
-学生撰写学习心得，以促进自我反思和同伴交流。
作业布置时，教师应明确作业要求，提醒学生注意以下几点：
1.认真审题，确保理解题目要求。
2.规范书写，保持解题过程的整洁。
3.注重思考，提高解决问题的能力。
4.及时反馈，对于作业中的疑问，鼓励学生主动寻求帮助。
-教师适时介入，指导学生发现并解决消元过程中的符号问题和计算错误，帮助学生掌握消元法的基本步骤。
3.实践阶段：
-设计不同类型的实际问题，如购物问题、行程问题等，让学生独立尝试建立方程组并求解，加强学生的实际应用能力。