二阶导数的应用
二阶求导公式
二阶求导公式二阶求导公式是微积分中的重要概念，用于求解函数的二阶导数。
在这篇文章中，我们将探讨二阶求导公式的含义和应用，并通过一些具体例子来说明其作用。
让我们回顾一下一阶导数的概念。
一阶导数描述了函数在给定点的斜率或变化率。
而二阶导数则提供了一些更深入的信息，它描述了函数的曲率以及一阶导数的变化率。
简而言之，二阶导数可以帮助我们更全面地理解函数的行为。
为了更好地理解二阶求导公式，让我们以一个简单的例子开始。
假设我们有一个函数f(x)，我们想要求解它在特定点x=a的二阶导数。
根据二阶求导公式，我们可以得到如下结果：f''(a) = lim(h->0) [f'(a+h) - f'(a)] / h这个公式的含义是：当我们取非常小的h值时，函数f在x=a处的二阶导数等于一阶导数在x=a处的变化率与h的比值的极限。
换句话说，我们可以通过计算一阶导数的变化率来获得二阶导数。
现在让我们看一个具体的例子来说明二阶导数的应用。
假设我们有一个物体在某一时刻的位置函数s(t)，我们想要求解它在特定时刻t=t0的加速度。
根据二阶求导公式，我们可以得到如下结果：a(t0) = s''(t0)这个公式的含义是：物体在特定时刻的加速度等于它在该时刻位置函数的二阶导数。
换句话说，通过求解位置函数的二阶导数，我们可以得到物体在特定时刻的加速度。
通过这个例子，我们可以看到二阶求导公式在物理学中的应用。
它可以帮助我们了解物体的加速度，并进一步推导出其他与运动相关的物理量，如速度和位移。
除了物理学之外，二阶求导公式还在其他领域有着广泛的应用。
在经济学中，二阶导数可以用于分析市场的曲率和弹性。
在工程学中，二阶导数可以用于分析信号的频率和谐波。
在生物学中，二阶导数可以用于分析生物体的生长速率和变化趋势。
总结起来，二阶求导公式是微积分中的重要概念，用于求解函数的二阶导数。
它可以帮助我们更全面地理解函数的行为，并在各个领域中有着广泛的应用。
二阶导数与凸性判定
二阶导数与凸性判定在高中数学学习中，我们都学过导数的概念和求法。
而在大学数学中，导数不仅仅是单纯的斜率，它还代表了函数的变化趋势和曲率。
其中，二阶导数就是描述曲率变化的指标之一。
而凸性则是与曲率和二阶导数相关的概念，本文将详细讲解二阶导数与凸性的关系和运用。
一、二阶导数的意义第一次学习导数时，我们知道导数描述函数在某点的变化趋势。
一阶导数即切线斜率，正表示函数单调递增，负表示函数单调递减。
而对于曲线，在任意一点处都有唯一的切线，而曲线的曲率则是由曲线在该点的切线与曲线在该点处的切线所夹的角度决定的，当切线与曲线的夹角越小时，曲线的曲率就越大，曲线“更弯曲”。
二阶导数描述了曲线的“弯曲程度”。
二阶导数的意义是，描述导数的变化率。
即导数变化的速率，它是导数的导数，表示函数在某点的曲率的变化率。
一般来说，如果一个函数的二阶导数在某点为正，那么这个函数在该点是向上凸的；而如果该函数的二阶导数在该点为负，则该函数在该点是向下凸的。
二、凸性判定我们来看一个例子。
假设已知一个函数 $f(x)$ ，对 $f(x)$ 求出它在 $x=a$ 处的二阶导数为 $f''(a)$。
首先，如果 $f''(a)>0$，也就是二阶导数大于0，那么 $f(x)$ 在$x=a$ 处向上凸。
其次，如果 $f''(a)<0$，也就是二阶导数小于0，那么 $f(x)$ 在$x=a$ 处向下凸。
对于一般的函数$f(x)$，我们可以用以下结论判断函数的凸性。
结论：设 $f''(x)$ 在 $I$ 上连续，1、若 $f''(x)> 0$ 在 $I$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上一个点一个点的向上凸；2、若 $f''(x)< 0$ 在 $I$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上一个点一个点的向下凸；3、若 $f''(x)$ 在 $I$ 上恒为 $0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的每一点都是既不凸也不凹的。
函数二阶导数的几何意义
函数二阶导数的几何意义函数的二阶导数的几何意义是一个非常重要的概念，在微积分和几何学中具有广泛的应用。
二阶导数描述了函数曲线的曲率以及变化率的变化率。
在本文中，我将详细介绍二阶导数的几何意义，包括曲率和曲线形状的描述，以及凹凸性和拐点的判断。
一、曲率和曲线形状的描述曲率是曲线弯曲程度的衡量，可以用来描述曲线在其中一点上的弯曲程度。
对于一个函数f(x)，它的二阶导数f''(x)可以描述函数曲线在x点上的曲率。
考虑一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
它的一阶导数是f'(x) = 2ax + b，二阶导数是f''(x) = 2a。
从二阶导数的值可以看出，曲线的曲率只取决于常数a。
当a>0时，二阶导数为正，曲线向上开口，即为一个凸曲线；当a<0时，二阶导数为负，曲线向下开口，即为一个凹曲线。
这说明曲线的凸凹性与二阶导数的正负有关。
对于一般的函数f(x)，它的二阶导数f''(x)可以被解释为曲线在x点上的局部弯曲程度。
如果二阶导数为正，表示曲线在该点凸起，即向上弯曲；如果二阶导数为负，表示曲线在该点凹陷，即向下弯曲。
二阶导数的绝对值越大，表示曲线的弯曲程度越大。
此外，二阶导数的符号还可以表示曲线的拐点。
二、凹凸性与拐点的判断对于函数f(x)，如果它在区间I上的二阶导数f''(x)恒大于0，那么函数f(x)在区间I上是凸函数；如果它的二阶导数f''(x)恒小于0，那么函数f(x)在区间I上是凹函数。
凸函数和凹函数在数学和经济学中具有重要的应用。
在最优化问题中，凸函数是一类重要的函数形式，可以用来描述最小化问题的约束条件和目标函数。
在经济学中，凸函数可以用来描述效用函数、生产函数和成本函数等。
拐点是指曲线在该点突然改变弯曲方向的位置。
对于函数f(x)，它的二阶导数f''(x)为0的点就是可能的拐点。
位移对时间的二阶导
位移对时间的二阶导
在数学中，位移对时间的二阶导数是指对位移关于时间的一阶导数再进行一次求导，记作$s''(\tau)$。
对于直线运动，其加速度就是位置函数$s(t)$对时间$t$的二阶导数。
对于更复杂的运动情况，二阶导数可以用来描述其运动的加速度和曲率。
通过分析二阶导数的符号和数值，可以得到关于物体运动特征的有用信息，例如是否存在拐点、极值点等。
在物理学和工程学等领域中，二阶导数也有广泛的应用。
例如在电路分析中，二阶导数可以用来描述电信号的变化率；在机械工程中，二阶导数可以用于研究振动和弹性问题。
dx比dy的二阶导数
dx比dy的二阶导数【原创实用版】目录1.导数的基本概念2.二阶导数的定义3.dx 比 dy 的二阶导数的计算方法4.dx 比 dy 的二阶导数在实际问题中的应用正文导数是微积分学中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的变化率。
二阶导数是导数的导数，表示函数在某一点处的变化率的变化率，也称为函数的加速度。
在微积分学中，dx 比 dy 的二阶导数是一个重要的研究对象，下面我们来详细介绍一下它的计算方法和在实际问题中的应用。
首先，让我们回顾一下导数的基本概念。
导数表示函数在某一点处的变化率，可以用以下公式表示：f"(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]。
其中，f 表示函数，x 表示函数的自变量，h 表示函数在某一点处的变化量。
导数可以用来求解函数的极值、拐点和曲率等。
接下来，我们来介绍一下二阶导数的定义。
二阶导数表示函数在某一点处的变化率的变化率，可以用以下公式表示：f""(x) = lim(h->0) [(f"(x+h) - f"(x))/h]。
其中，f 表示函数，x 表示函数的自变量，h 表示函数在某一点处的变化量。
二阶导数可以用来求解函数的凹凸性、拐点和曲率等。
在实际问题中，dx 比 dy 的二阶导数经常被用来分析两个变量之间的关系。
例如，如果我们考虑两个变量 x 和 y 的关系，我们可以通过计算 dx 比 dy 的二阶导数来判断它们之间的关系。
如果 dx 比 dy 的二阶导数大于零，那么 x 和 y 之间存在正相关关系；如果 dx 比 dy 的二阶导数小于零，那么 x 和 y 之间存在负相关关系。
综上所述，dx 比 dy 的二阶导数是微积分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点处的变化率的变化率。
二阶导数基本公式
二阶导数基本公式二阶导数是微积分中的重要概念，它描述了函数曲线的曲率变化情况。
在求解二阶导数的过程中，有一些基本公式可以帮助我们简化计算。
本文将介绍这些基本公式，并通过实例来说明它们的应用。
一、二阶导数的定义在微积分中，函数f(x)的二阶导数可以通过对其一阶导数f'(x)再次求导得到，即f''(x)。
二阶导数描述了函数曲线的曲率变化情况，可以帮助我们判断函数的凹凸性、拐点等重要特征。
二、求解二阶导数的基本公式1. 常数函数的二阶导数为0对于常数函数f(x)=C，其中C为常数，其一阶导数为f'(x)=0，再次求导得到二阶导数f''(x)=0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，再次求导时斜率不会发生变化。
2. 幂函数的二阶导数公式对于幂函数f(x)=x^n，其中n为实数，其一阶导数为f'(x)=n*x^(n-1)，再次求导得到二阶导数f''(x)=n*(n-1)*x^(n-2)。
幂函数的二阶导数可以通过对一次幂函数的一阶导数进行求导得到。
3. 指数函数的二阶导数公式对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0，其一阶导数为f'(x)=a^x*ln(a)，再次求导得到二阶导数f''(x)=a^x*ln^2(a)。
指数函数的二阶导数同样可以通过对一次指数函数的一阶导数进行求导得到。
4. 对数函数的二阶导数公式对于对数函数f(x)=ln(x)，其一阶导数为f'(x)=1/x，再次求导得到二阶导数f''(x)=-1/x^2。
对数函数的二阶导数可以通过对一次对数函数的一阶导数进行求导得到。
5. 三角函数的二阶导数公式对于正弦函数f(x)=sin(x)，其一阶导数为f'(x)=cos(x)，再次求导得到二阶导数f''(x)=-sin(x)。
类似地，余弦函数的二阶导数为负的正弦函数，正切函数的二阶导数为负的正切函数。
专题07 导数之二阶导数的应用(解析版)
专题07 导数之二阶导数的应用一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值） 【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围 【题型】四、利用二阶导数证明不等式 【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值 【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值 二、题型讲解总结【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（ ） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >， 由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1， 故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（ ）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>， 所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切， 记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=， 所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+， 有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<，则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（ ）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值 【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)xxkxxk f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦， 当3k =时，22(1)()(2)4xx x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦， 令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减； 当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增， 所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ， 当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增； 所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误； 当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦， 令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减； 当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增； 所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增， 又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ， 则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈， 当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >）， ∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x ，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞， 即得202a a -≤⇒≤， 故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； （5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x xh x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-， 则（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减. 11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++， ()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭， 所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sin ln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题： 在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（ ） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤ C ．0ab ≥ D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥， 则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数， 即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩， 解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解. 【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（ ） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ， 的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=， 在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-； 令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=， 112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<<所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈， 则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解. 【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-， 设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='， 令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<， 所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =， 故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<， 故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭， 设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅. 当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212e e e 22212e2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >. 设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e x x h x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =. 综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max 14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==，设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->， 于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增， 因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤， 所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（ ） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >.即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=， 令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=， ∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+， 所以()11132314e e >+>，即a b c >>， 故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x xh x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =， 故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0， 则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+=∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可.【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（ ）∴()sin cos f x x x =+，∴()e x f x x -=-，∴()ln 2f x x x =-，∴3()21f x x x =-+-. A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】B【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是否是负数即可.【详解】∴()sin cos f x x x =+,则()sin cos f x x x ''=--，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，则()sin cos 0f x x x ''=--<，选项∴满足；∴()e x f x x -=-，则()(2)x f x x e -''=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20x ->，即()0f x ''>，∴不符题意； ∴()ln 2f x x x =-，则21()0f x x ''=-<，选项∴满足； ∴3()21f x x x =-+-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()60f x x ''=-<，选项∴满足.综上有3个函数符合题意. 故选：B例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(-∞【分析】对函数()f x 求导，并对其导函数再次求导，将问题转化为函数最值问题，利用导数求最值即可.【详解】由()21ln f x m x x x=++，得()212m f x x x x '=-+，令()212m h x xx x =-+，则()2322m h x x x'=-++， 令23220m x x-++>恒成立，即222m x x <+恒成立， 令()()2220g x x x x =+>，则()()32214224x g x x x x-'=-+=，当x ⎛∈ ⎝时，()0g x '<，g （x ）单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0g x '>，g （x ）单调递增，所以()2221g x g ≥=+=所以m <故答案为：(-∞.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<【答案】BC【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出． 【详解】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足()0f x ''>在定义域内恒成立．对于A ，2()log (0)f x x x =>，则2111()()0ln 2ln 2f x x x '''==-⋅<在0x >时恒成立， 不符合题意，故选项A 错误；对于B ，()2x f x e x -=+，则()(21)20x x f x e e --'''=-+=>恒成立， 符合题意，故选项B 正确；对于C ，3()2(0)f x x x x =-+<，则2()(32)60f x x x '''=-+=->在0x <时恒成立， 符合题意，故选项C 正确；对于D ，2()sin (0)f x x x x π=-<<，则()(cos 2)sin 20f x x x x ''=-'=--<在0πx <<时恒成立，不符合题意，故选项D 错误. 故选：BC.。
多元函数二阶导数
多元函数二阶导数多元函数的二阶导数是指对多元函数进行两次求导，即求其偏导数的导数。
二阶导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的曲率和凹凸性质。
本文将从理论和实际应用两个方面来探讨多元函数的二阶导数。
一、理论基础1.1 二阶偏导数对于一个二元函数f(x, y)，它的二阶偏导数是指先对x求导，然后再对x求导的结果。
同样地，在对y求导之前也需要先对x求导，然后再对y求导。
二阶偏导数可以通过求极限的方式计算，它可以用来描述函数在某一点的曲率和凹凸性。
1.2 混合偏导数当一个函数具有多个自变量时，可以考虑对其中的任意两个自变量求偏导。
如果先对x求导，再对y求导的结果与先对y求导，再对x求导的结果相等，那么这两个偏导数就是相等的。
这样的偏导数称为混合偏导数。
混合偏导数可以用来判断函数的平滑性和对称性。
1.3 Hessian矩阵Hessian矩阵是一个二阶偏导数的矩阵。
对于一个二元函数f(x, y)，它的Hessian矩阵为：H = | fxx fxy || fyx fyy |其中，fxx表示对x求导两次的结果，fxy表示先对x求导，再对y 求导的结果，fyx表示先对y求导，再对x求导的结果，fyy表示对y求导两次的结果。
Hessian矩阵的特征值可以用来判断函数在某一点的凹凸性。
二、实际应用2.1 曲面拟合在三维空间中，我们经常需要对一些离散的点进行曲面拟合。
通过计算拟合曲面的二阶导数，可以得到曲面在某一点的曲率。
曲率可以用来描述曲面的弯曲程度，进而用于工程设计和数学建模。
2.2 最优化问题在最优化问题中，我们经常需要寻找函数的极值点。
通过计算函数的二阶导数，可以判断极值点的类型。
如果二阶导数大于零，那么函数在该点附近是凸函数，极值点为最小值点；如果二阶导数小于零，那么函数在该点附近是凹函数，极值点为最大值点；如果二阶导数等于零，则需要进一步分析。
通过分析二阶导数，可以帮助我们更好地解决最优化问题。
二阶导数的应用
二阶导数的应用
在数学中，二阶导数可以用来确定函数的凸凹性和拐点。
当函数的二阶导数大于零时，函数呈现凸形，即在该点处的斜率逐渐增大；当二阶导数小于零时，函数呈现凹形，即在该点处的斜率逐渐减小。
而当二阶导数等于零时，函数存在拐点，即曲线的弯曲方向发生变化。
在物理学中，二阶导数也有着广泛的应用。
例如，当我们研究物体的加速度时，其加速度的变化率就是物体的二阶导数。
另外，在波动学中，二阶导数也可以用来描述波函数的弯曲程度。
总之，二阶导数在数学和物理学中都有着广泛的应用，是一种非常重要的概念。
- 1 -。
抛物线二阶导数 知乎
抛物线二阶导数知乎抛物线二阶导数是指抛物线函数的二阶导数，它在数学和物理学等领域中具有重要的应用。
本文将从数学和物理学的角度分别介绍抛物线二阶导数的概念、性质和应用。
一、数学中的抛物线二阶导数在数学中，抛物线函数是一种二次函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
抛物线的二阶导数描述了其曲率的变化情况。
抛物线函数的一阶导数为f'(x) = 2ax + b，而二阶导数为f''(x) = 2a。
由此可见，抛物线函数的二阶导数是一个常数，即使x的取值如何变化，它的值始终保持不变。
这意味着抛物线函数的曲率在整个定义域上都是相等的。
二、抛物线二阶导数的性质1. 抛物线二阶导数的值为常数。
这是因为二阶导数是一次导数的导数，而一次导数表示曲线的斜率，二阶导数表示斜率的变化率，因此在抛物线函数中，斜率的变化率是恒定的。
2. 抛物线二阶导数的正负决定了抛物线的凹凸性。
当二阶导数大于0时，抛物线向上开口，称为凹抛物线；当二阶导数小于0时，抛物线向下开口，称为凸抛物线。
3. 抛物线二阶导数为0的点称为拐点，拐点是抛物线由凹变凸或由凸变凹的转折点。
拐点的横坐标可以通过将二阶导数等于0的方程求解得到。
三、抛物线二阶导数在物理学中的应用抛物线二阶导数在物理学中的应用非常广泛，以下将介绍其中两个典型的应用。
1. 自由落体运动自由落体运动是物理学中研究抛物线运动的经典问题之一。
当一个物体在重力作用下自由下落时，其运动轨迹是一个抛物线。
通过对抛物线轨迹的二阶导数进行分析，可以确定物体在不同位置的加速度和速度等物理量。
2. 抛物线反射在物理光学中，抛物线反射是一种特殊的反射现象。
当光线垂直入射到一个抛物面上时，经过反射后的光线仍然沿着抛物线的轨迹传播。
这种特殊的反射现象可以通过对抛物线表达式的二阶导数进行分析来解释和推导。
总结：抛物线二阶导数是抛物线函数的二次导数，描述了抛物线曲线的曲率变化情况。
二阶导数在解高考函数题中的应用
浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。
这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。
解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求)('x f 的零点；④列出)(),(',x f x f x 的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题）已知函数1ln )1()(+-+=x x x x f .（1） 若1)('2++≤ax x x xf ，求a 的取值范围；（2） 证明：0)()1(≥-x f x .原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+∞），xx x f 1ln )('+= ， 11ln 1)('22++≤+⇔++≤ax x x x ax x x xf ，max )(ln ln x x a x x a -≥⇔-≥⇔ .令,11)('ln )(-=-=xx g x x x g 则 递减，时，当递增；时，当)(,0)('1)(,0)('10x g x g x x g x g x <>><< 从而当1=x 时，1)1()(max -==g x g ，故所求a 的范围是[-1,+∞﹚.证明(2)由(1)知,01ln ≤+-x x ,则① 10<<x 时，0)1(ln ln )(≤+-+=x x x x x f ；② 0)111(ln ln )1ln (ln )(1≥+--=+-+=≥xx x x x x x x x f x 时，. 综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。
例谈二阶导数在高中数学中的应用
例谈二阶导数在高中数学中的应用作者：王耀民来源：《新校园·中旬刊》2014年第07期摘要：导数是高中数学与高等数学的一个衔接点，也是高中学生进入高校进一步学习数学的起点。
导数的应用已经是高考试卷中的必选内容，而在课本中从未提及的二阶导数的使用正在悄悄上演，什么是有二阶导数相关背景的问题？如何破解？本文拟对此加以分析。
关键词：高中数学；二阶导数；例题分析导数在高中教材中所占篇幅并不大，但在高考中占分比却达到了10%左右。
主要涉及两方面的问题：1.导数的运算：以导数为工具求曲线的切线斜率或切线方程，以微积分基本定理为工具计算曲边梯形面积，是高考的重点；2.导数的应用：主要是利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及与导数有关的恒成立问题，与不等式、方程、数列等结合的综合问题等。
近年来，无论是采用全国卷的地区还是自主命题地区，导数几乎都在压轴题位置，足见其重要性。
导数的一般应用即一阶导数的应用在教学环节自然少不了，二阶导数的使用也渐渐登上舞台，本文以几个实例谈谈二阶导数在高中数学中的应用。
一、利用二阶导数解决三次函数的对称中心相关问题例1：【2012·自贡三模改编】对于三次函数f（x）=ax3+ bx2+cx+d（a≠0），定义y=f'（x）是y=f（x）的导函数，f''（x）是y=f'（x）的导函数，若方程f"（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”。
有的同学发现”任何三次函数都有“拐点”；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是“拐点”。
请你根据这一发现判断下列命题：（1）任意三次函数都关于点（-■，f（-■））对称；（2）存在三次函数，f"（x）=0有实数解x0，（x0，f（x0））点为函数y=f（x）的对称中心；（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；（4）若函数g（x）=x3-3x2，则g（■）+g（■）+g（■）+…+g（■）=-8054.其中正确命题的序号为。
二阶导数的应用
4
2 n n
2 n 1
2 ! 4 ! ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2!
的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。
e1111
2!
n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx
f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1
f(4)(0)＝0，… f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。
那么 我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
[定理4.8] 设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导
数，那么
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" 2 ( ! 0 )x 2 f(n n ) ! ( 0 )x n R n (x )
例4.23 求极限 lim1cosx
x x0
2
解：当x→0时原式是0 型的不定式，用罗必塔法那么
0
有lx i0m 1x c2ox slx i0m s2ixxn1 2
例4.24
求极限
x3 3x2 lxim1 x3 x2 x1
解：当x→1时原式是0 型的不定式，用罗必塔法那么
二阶导数推导
二阶导数推导二阶导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的曲率和变化率。
在本文中，我们将通过简单的例子和直观的解释，来理解二阶导数的概念及其在实际问题中的应用。
我们回顾一下一阶导数的概念。
一阶导数描述了函数在某一点上的变化率，即函数在该点附近的局部斜率。
而二阶导数则描述了一阶导数的变化率，即函数的曲率。
为了更好地理解二阶导数的概念，我们考虑一个简单的例子：一个沿直线运动的物体。
假设该物体的位移函数为f(t)，其中t表示时间。
我们可以通过一阶导数f'(t)来描述物体的速度，即物体在某一时刻的位移变化率。
而二阶导数f''(t)则描述了物体的加速度，即速度的变化率。
通过这个例子，我们可以看到二阶导数在描述物体运动方面的应用。
在实际问题中，我们经常需要分析物体的加速度来判断物体的运动状态，比如判断物体是否做匀加速运动、判断物体的转向等等。
二阶导数可以帮助我们更准确地描述这些运动状态。
除了物体的运动，二阶导数在其他领域也有广泛的应用。
在经济学中，二阶导数可以描述市场的弹性和变化率，帮助分析经济的发展趋势。
在生物学中，二阶导数可以描述生物的生长速率和变化趋势，帮助研究生物的发展规律。
除了描述变化率和曲率，二阶导数还有其他一些重要的性质。
比如，函数的二阶导数为正时，表示函数在该点上凸向上；二阶导数为负时，表示函数在该点上凸向下。
这些性质可以帮助我们更好地理解函数的形状和特点。
在实际问题中，如何计算二阶导数也是一个重要的问题。
一阶导数的计算可以通过求导公式来得到，但二阶导数的计算则需要使用高阶导数的定义。
对于一些简单的函数，我们可以直接使用求导公式进行计算；对于一些复杂的函数，我们可以使用数值方法进行近似计算。
二阶导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的曲率和变化率。
通过理解二阶导数的概念和应用，我们可以更好地分析和解决实际问题。
希望本文能帮助读者更好地理解二阶导数的概念和应用，为进一步学习和研究提供基础。
二阶导的物理意义
二阶导的物理意义
在物理学中，加速度是描述物体运动状态的重要物理量之一。
它表示物体在单位时间内速度的变化量。
而二阶导数则是描述加速度变化率的物理量。
具体来说，二阶导数表示加速度在单位时间内的变化量，也就是加速度的变化率。
在运动学中，加速度的变化率可以用来描述物体的曲线运动。
例如，当物体在曲线路径上运动时，它的加速度会随着曲线的变化而变化。
此时，二阶导数可以用来描述加速度的变化率，从而更准确地描述物体的运动状态。
在动力学中，二阶导数也有着重要的物理意义。
例如，牛顿第二定律描述了物体的运动状态与受力之间的关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比。
而二阶导数则可以用来描述加速度的变化率，从而更准确地描述物体受力的变化情况。
二阶导数还可以用来描述物体的振动状态。
例如，当物体在弹簧上振动时，它的加速度会随着时间的变化而变化。
此时，二阶导数可以用来描述加速度的变化率，从而更准确地描述物体的振动状态。
二阶导数是描述加速度变化率的重要物理量。
它可以用来描述物体的曲线运动、受力情况和振动状态等。
在物理学中，二阶导数的应用非常广泛，是研究物体运动状态的重要工具之一。
试谈二阶导数在解题中的应用
故
（ ～１ ） ， （ ） ＞０ ．
小结
从本质上来讲 ， 本题还是用 导函
数 的正负判断原函数 的增 减性 ， 只不过本题
而判断原函数 的增 减性 ， 从而给解题带来 很 大的方便． 下面我们通 过一些例子来加 以说
明．
， （ 叠 ） 的导 函数的正负不易判断 ， 而利用二 阶
数来解决一些 问题 ， 我 们往往对 函数进行一 次求导运算 ， 进而应用 函数和导数的综合知 识， 解决一些证 明或求参 数的取值 范围的题
ｇ（ ） 一ｌ ｎ ｘ４ －￣
～
，
则 ｇ ｌ （ ） 一 专 一 去＜ ０ ，
故ｇ （ ） 在（ ０ ， １ ） 上递减 ， 所以 ｇ ） ＞ｇ （ １ ） 一 １ ， 所以 厂 （ ） 在（ ０ ， １ ） 上递增． 所以
导数却容易判断 厂 （ 童 ） 的导函数 的正负 ， 收到
了很好 的效果． ， 例２ （ ２ ０ １ ０ 年海南宁夏卷） 设函数， （ ）
例１ （ ２ ０ １ ０年全 国卷 Ｉ ） 函数 ， （ ｚ ） 一
（ ｚ ＋１ ） １ ｎ — ＋ １ ． 证明： （ ｚ 一１ ） 厂 （ ｚ ） ＞０ ． 分析 要证 （ 一 １ ） ． 厂 （ ｚ） ＞０ ， 只 需 证 明
，（ ｚ ） ＜， （ １ ） － － － ０ ，
目， 基本上可 以得 到解 决 ， 但也 有一些题 目， 进行完一次求导运算后 ， 很难 判断一 阶导数 的正 负， 也就很难对原 函数 的增减性作 出判 断， 这将使我们很难继续进行下去． 如果我们
对一 阶导数继续求导 ， 即求原 函数 的二阶导 数， 往往可以收到很好的效果 ， 使得我们能通 过二阶导数 的正负 ， 判断一阶导数的正负， 进
二阶导在函数问题中的应用
二阶导在函数问题中的应用摘要：函数单调性是学生在高中阶段的函数学习中最早接触的一个问题，在高考数学的题目中关于函数单调性类的问题也是非常常见，为更好攻克单调性类题目的解题难关，提升高中生的数学解题效率，本文中我将以二阶导在函数中的应用为例，以两个例题讲解利用二阶导求函数单调性的具体方法及训练策略。
关键词：二阶导数；函数问题；高中数学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN0257-2826（2019）12-041-01引言：函数f(x)的一阶导函数f’(x)在x的导数即原函数的二阶导数，在数学中，我们将其表示为f’’(x)。
在高中数学中的函数单调性类问题考察中，有很多题目我们可以通过一次求导的方式进行解决，但是也有很多题目在我们一次求导完成后并不能直接判断原函数的单调性质，这时我们就必须对原函数进行二阶求导，因而二阶导数方法在数学题目解决中具有着一定的探究意义，那么在实际解题中我们应该如何利用二阶导函数求证函数的单调性呢？一、第一道例题——根据单调性求大小函数的单调性问题是学生函数学习的基础，其在学生今后的函数学习方面具有着重要的价值，但是很多学生并没有掌握科学的求解方法，尤其是对于那些需要进行二阶求导的问题，总有学生错了又错[1]。
为提升学生在单调性类问题上的解题效率，本部分中我将借助题目分析的方法帮助学生梳理利用二阶导求函数单调性的方法。
例题：已知函数f(x)=sinx/x，且0＜x1＜x2＜1，假如a=sinx1/x1，b=sinx2/x2，求a、b之间的大小关系。
解析：在看到这一题目时我们应该想到要想解决问题，我们就必须先通过分析函数在x∈（0,1）上的单调性，然后再结合题目思考a、b之间的大小关系，其中在分析单调性方面，我们就需要用到二阶求导。
在此题中，已知函数为f(x)=sinx/x，根据这一函数我们可以得到f’(x)=xcosx－sinx/x2，继而根据二阶求导的思想我们又能得到g(x)=xcosx－sinx，g’(x)=﹣xsinx＋cosx－cosx=﹣xsinx。
微积分中的二阶及高阶导数的概念及计算
ex 1 x x2 xn O(xn )
2!
n!
在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式
e 11 1 1
2!
n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx
f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1
f(4)(x)＝cosx，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0
f(4)(0)＝1，… f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n 于是，cosx在x＝0点的泰勒展开式为：
cos x 1 x2 x4 (1)n x2n O(x2n1)
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ，f"(x)＝ 1 ，
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2
∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为：
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0
例4.24
解：当x→1时原式是 0 型的不定式，用罗必塔法则有
x 3 3x 2 3x 2 3 6x 3 lim 3 lim 2 lim 2 x 1 x x x 1 x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2
f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：
x3 x5 x 2 n1 n 1 2n sin x x (1) O( x ) 3! 5! (2n 1)!
例4.21 求函数f(x)＝cosx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝-sinx，f"(x)＝-cosx，f"'(x)＝sinx f(4)(x)＝cosx，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0 f(4)(0)＝1，…
解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f"(x)＝12x－6 令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0 ∵f"(1)＝6＞0，f"(0)＝－6＜0 把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、 f(0)＝0 ∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0
例4.11 求下列函数的极值 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π ] 解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0， 5 得驻点为x1＝ 4 ，x2＝ 4 ，又f"(x)＝－sinx－cosx，
当x→∞时，上述定理也成立。
例4.26
解：当x→0+时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有
cosm x m ln sin m x sin m x lim m cos m xsin nx m lim sin nx 1 lim lim x 0 ln sin nx x 0 cos nx n x 0 n cos nx sin m x n x0 cos m x sin nx
f " (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x) f (0) f ' (0) x x x Rn ( x) 2! n! f ( n1) ( ) n1
(n 1)! x
其中Rn(x)＝
(ξ 在0与x之间)
上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展 开式简称泰勒公式。式中的R n (x)叫做拉格朗日余项。
二、二阶导数的应用
4.5 函数极值的判定 [定理4.6] 如果函数 f ( x ) 在x 0 附 近有 连 续的 二 阶导 数 f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么 ⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值
例4.11 求下列函数的极值 ⑴ f(x)＝2x3－3x2 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π ]
于是，ex在x＝0点的泰勒展开式为：
x2 xn e x 1 x O( x n ) 2! n!
在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式
1 1 e 11 2! n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1 f(4)(0)＝0，…
三、高阶导数的应用
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。
一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么
我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
[定理4.8] 设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数，那么
的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。
2
2
∴当x∈(0, 2 )时，f”(x)＜0，曲线在(0, 2
3
2 , 2
)内
为凸的，
当x∈(
内是凹的，
)时，f”(x)＞0，曲线在(
3
2 , 2
)
3 当x∈( 2
3 ,2π )时，f”(x)＜0，曲线在 2
(
,2π )内为凸的。
2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0 的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤] ⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根；
例4.25
lim 2 求极限 x
arctgx 1 x
0 解：当x→∞时原式是 0
型的不定式，用罗必塔法则有
1 arctgx 2 x2 lim 2 lim 1 x lim 1 2 x x x 1 x 1 1 2 x x
2. 不定式
f " ( x0 ) f ( n) ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n O( x x0 ) n 2! n!
4.9 几个初等函数的泰勒公式 例4.19 求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex ∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1
∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2!
f(4)(0)＝-3!，…
f(n)(0)＝(－1)n－1(n－1)! 于是，ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式为：
x 2 x3 xn ln(1 x) x O( x n ) 2 3 n
4.10 罗必塔法则
这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它 们导数的商的极限。 当x→∞时，上述定理也成立。
1 cos x 例4.23 求极限 lim x 0 x2 0 解：当x→0时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有
0
1 cos x sin x 1 lim lim 2 x 0 x 0 2 x x 2
[定理4.10] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点 a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)≠0
f ( x) 且 lim 存在(或无穷大)，则 x a g ( x )
f ( x) f ' ( x) lim lim x a g ( x) x a g ' ( x)
f " ( ) sin cos 2 0 4 4 4
4
4
把x1＝ ，x2＝ 5 代入原函数计算得 f(
)＝ 4
5 5 5 f " ( ) sin cos 2 0 4 4 4
。所以当x＝ 4
2
、f( 5 4
)＝－ 2
5 4
时，
⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的
符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0))
是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点
(x0,f(x0))不是曲线的拐点。
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0 当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为 曲 线上的拐点。
时，y极小＝－ 2 [注意] 如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本 定理无效，则需要考察点x 0 两边f'(x)的符号来判 定是否为函数的极值点。
y极大＝ 2 ，x＝
4.6 函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性 设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的 曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在 (a,b)内是凹的， 如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方， 则称曲线在(a,b)内是凸的。 从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段 向下弯曲是凸的。 [定理4.7] 设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b) 内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的， 如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b) 内是凸的。
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2 ∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准 确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为： ⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函 数图象和两坐标轴的交点； ⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极 值 点和增减区间； ⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹 凸 区间； ⑷ 计算驻点、拐点处的函数值；
ln sin mx 求 lim x 0 ln sin nx
例4.27 证明当a＞0时， ln x ＝0 lim x x 证明：根据罗必塔法则
1 ln x x lim 1 0 lim lim x x x x 1 x x