分式线性递推数列的通项
数列通项公式的几种常见求法
题型一、由数列的前几项归纳数列的通项公式
典例 1 根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）3，5，9，17，33，…；（2）23，415，635，863，1099，…；（3）2，-6，12，-20，30，-42，….
解析：（1）联想数列 2，4，8，16，32，…可求出其通项公式是 an = 2n +1；
数列通项公式的几种常见求法
李朝阳（广东省东莞市第二高级中学 523129）
摘要：在高中阶段，数列是一个十分重要的内容，而求数列的通项，则是该模块学习的一个 关键性的问题，并且也是高中生学习的一个重难点。相比之前广东卷对于数列学习的要求， 全国卷的要求明显有所降低。鉴于此，此文将结合高考实际，就一些常见数列通项公式的求 法进行简要探讨。 关键词：数列 通项公式
=
2 3
an
+
1 3
，则 {an } 的通项公式是
an
=
.
解
析：
当
n =1
时， 由
已
知
sn
=
2 3
an
+
1 3
得
a1
=
2 3
a1
+
1 3
，
即
a1 = 1； 当
n≥2
时， 由 已
知
得到
sn-1
=
2 3
an-1
+
1 3
. 所以 an
= sn− sn−1= Nhomakorabea(
2 3
an
+
1 3
)
−
(
2 3
an−1
+
1 3
)
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。
一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。
1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。
其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。
例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。
利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。
1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。
在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。
此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。
通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。
通项公式也常被称为数列的一般项公式。
2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。
例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。
数列的递推公式及通项公式
数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。
本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。
一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。
递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。
1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。
其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。
例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。
根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。
1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。
例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。
斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。
根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。
二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。
通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。
2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。
其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。
以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。
2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。
例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。
特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
常见线性递推数列通项的求法
常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。
这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。
一、一阶递推数列1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以11-+p qa 为首项以p 为公比的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .解：在131-⋅=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131⋅=+-⋅=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-⋅=-∴-=+n n a a λ数列{}21-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32111+=∴⋅--n n n a2、 ()n g a c a n n +⋅=+1型(1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a .例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。
数列通项篇(分式型递推式求通项)
数列通项篇（分式型递推式求通项）分式型递推式求通项 形如：D Ca B Aa a n n n ++=+1或DCa B Aa a n n n ++=+21两种方法三种类型三条原则两种方法：减倒法：即减个数字取倒数减除法：即减个数字两式相除（两边同时减去不同的数字，相除）三种类型D Ca B Aa a n n n ++=+1或DCa B Aa a n n n ++=+21 DCx B Ax x ++=或D Cx B Ax x ++=2为其对应的特征方程 若21,x x 为对应的特征根，则有（1）当21x x =实根时，减倒法构造}1{1x a n -等差数列， （2）当21x x ≠实根时，减除法构造}{21x a x a n n --等比数列， （3）当21x x ≠复根时，减除法构造}{21x a x a n n --周期数列，例1、在数列}{n a 中，21=a ，13371+-=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例2、（重庆高考）在数列}{n a 中，11=a ，05216811=++-•++n n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例3、已知在数列}{n a 中，41=a ，42321--=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例4、（湖南高考）已知在数列}{n a 中，11=a ，1331+-=+n n n a a a ，则=2009a _______________三、分式型递推式求通项的三条原则（1）选择题、填空题直接列举找规律；（2）解答题有台阶，按构造的台阶式顺势而为；（3）解答题无台阶，按减倒法和减除法直接构造； 例5、已知在数列}{n a 中，21=a ，121+=+n n a a ，12-+=n n n a a b ，则数列}{n b 的通项公式=n b _______________例6、（全国卷）已知在数列}{n a 中，21=a ，n n a c a 11-=+，若25=c ，21-=n n a b ，求数列}{n b ，}{n a 的通项公式。
分式递推数列通项公式的几种求法
（ ㈩ （ Ｄ＝２） （ ≠ｎ， ３ Ｐ ，１， Ａ ）
难点 之一 ， 利用不 动点 、 阵 、 但 矩 特征 根来解 决分 式递 推数列问题 ，则使分式递 推数 列的求解变得 简单而且 有趣。这样 ， 就把高等数学中的某些概念和理论渗透到 了中学数学之 中，使受教 育者能准确地把握 中学数学 的本质 ，这对于理解 中学数学相关 内容 有一定的参考 价值 ， 从而有利于提高教学质量 和教学水平 。 本文考虑如下分式递推数列 ： 设数列 Ｉ的首项为 ａ） １
ｄ———— ——— ———— 一 （ ） — ——・ ——— —：— Ｉ ＝—— — —竺——— —— 二 — — —— ±— — — — 二 — ］ — Ｉ Ｉ
：
定义１ 方程 ） 的根（ 假设存在 ） 函 叫做
的不 动点 。
）
（ 。 — ｃ １（一 ）ｄ ａ ＋ｚ ． ａ ｎ １ （— ）ｏ ＋
Ｘ 等数 ， 比 列且 ） 为
一
（＋ ） （ｃ ｃ ｌ ａ ｄｘ＋ ６ — ）
１２ ５—
【 探索与实践 】 ，
简论 大学生确立远 大理想 的逻辑起点
（ 电子科技大学
丁 科 马克思 主义教育学院 ， 四川 成都
６０ ５ ） １０ ４
摘 要： 大学生理想教育ｉ ￣ ｑ ， 解决培 育学生有理 想这一根 本 问题 ， 在 ｚ ，要 就需要解决如何找 到培育大学生理 想的逻辑起点这一客观现 实问题 。 培育犬学生确立理想的逻辑起 点就是 实践 。 实践过程 中， 育大学生理想 ， 在 培 是
众所周知 ， 对于递推数列Ｘ 】 （ 的通项公式的求 ＝ ｘ） ｆ 法问题 已有许多讨论 。其 中关 于线性递推 问题 用一些 初等数学方法 （ 如不完全归纳 、 定系数法 、 法等 ） 待 消元 就可求出其通项公式 。对于非线性递归 问题 ， 本文不作 般性的讨论 ，而仅就其 中一种特例——分式 递推数
分式型递推数列通项公式的求法
分式型递推数列通项公式的求法步骤一：观察数列的前几项，寻找规律。
首先，观察数列的前几项，尝试找出数列之间的关系和规律，看看能否从中找到一些线索。
特别地，注意每一项与其前一项之间的关系，这可能是我们找到递推关系的关键。
例如，给定数列的前几项为：2,5/2,13/5,34/13,...可以观察到每一项的分子和分母都与前一项有关，于是可以猜测数列的递推关系可能是以前一项的分子和分母为基础。
步骤二：列出递推关系式。
基于观察到的规律，我们可以将递推关系表示为一个等式。
通常，在分式型递推数列中，递推关系可以表示为：an = (an-1 ) * f(n)其中，an表示第n项，an-1表示前一项，f(n)表示与前一项相关的一个函数。
例如，对于给定的数列，我们可以猜测递推关系为：an = (an-1 ) * (2n+1) / (n+1)步骤三：证明递推关系。
一旦我们猜测出递推关系，我们需要证明它的正确性。
这可以通过数学归纳法来完成。
首先，我们将递推关系带入前两项，看看是否能够成立。
例如，对于给定的数列，我们将递推关系带入前两项，得到：a2=(a1)*(2*2+1)/(2+1)=(5/2)*5/3=25/6确实，对于数列的前两项是符合递推关系的。
步骤四：求解递推数列的通项公式。
一旦我们证明了递推关系的正确性，我们可以继续求解数列的通项公式。
为了简化计算，我们可以将递推关系展开：an = a1 * f(2) * f(3) * ... * f(n)在猜测的递推关系的情况下，我们可以得到：an = a1 * (2/1) * (3/2) * (4/3) * ... * (n+1/n)化简后，可以得到：an = a1 * (n+1)因此，数列的通项公式为：an = a1 * (n+1)总结：上述步骤提供了求解分式型递推数列通项公式的一般方法。
关键是观察数列的规律，并尝试猜测递推关系，然后通过数学归纳法来证明递推关系的正确性，并最终确定数列的通项公式。
递推公式求通项
递推公式求通项一、一阶线性递推一阶线性递推式的一般形式：，其中为常数或关于的函数.根据的不同分为以下几类：1、，即，此时数列为等差数列.2、，即，此时数列为等比数列.3、，即为的函数，此时用累加法.4、，即为的函数，此时用累乘法.5、，即，此时待定系数法构造等比数列.6、，即为的一次函数，此时待定系数法构造等比数列，此法可推广到为的高次函数仍然适用.7、，即，此时同除后待定系数法构造等比数列.【基本概念】二、奇偶分析法8、或，此时奇偶分析法。
特别地，也可以写成，然后采用5（或6、7）的方法.三、分式递推式（一次）分式递推式的一般形式：，其中为常数.根据的不同分为2类：9、，即，此时取倒数法.10、，即，此时不动点法。
特别地，当时，就相当于5的情况，也可以使用待定系数法构造等比数列.四、高次递推式11、，其中，此时两边取对数将次数转化为系数，进而将递推形式转化为线性递推式，然后根据线性递推式的方法求解.五、二阶递推式12、，此时待定系数法.六、其他递推式13、与的递推式，先求利用前述求解的方法求出，再利用求解.14、与的递推式，直接利用可转化为与的递推式求解，也可转化为与的递推式求解.高频考点1 累加法(逐差法) ，其中常见形式为关于的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数或它们的组合等.【例 1.1】 设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．【高频考点】[强化训练1.1]设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1，则数列{a n}的通项公式为________．[强化训练1.2]设数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n＝3n－2n，则数列{a n}的通项公式为________．[强化训练1.4] (2019年江西省抚州市七校高三10月联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－22n ＋1，则a 41＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．1－log 340[强化训练1.3] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n，则数列{a n }的通项公式为________．高频考点2 累乘法(逐商法)【例 2.1】已知数列{a n}中，a1＝1，，则该数列{a n}的通项a n＝________．[强化训练2.1] 已知数列{a n }中，a 1＝1，(2n ＋1)a n ＝(2n －3)·a n －1(n ≥2)，则该数列{a n }的通项a n ＝________．[强化训练2.2] 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12n －1a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a n ＝________． [强化训练2.3] 已知数列{an }是首项为1的正项数列，且，则a n ＝________．高频考点3 构造等差数列或等比数列（待定系数法）【例3.1】已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋3，a1＝1，求a n.[强化训练3.1]已知数列{a n}满足a n＋1＝12a n＋1，a1＝1，求a n.[强化训练3.2]已知数列{a n}，a1＝1，3a n＋1－2a n－3＝0，求{a n}的通项公式．【例3.2】已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋3n，a1＝1，求a n.[强化训练3.3]已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝3a n－n＋2，求{a n}的通项公式．[强化训练3.4]已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝3a n＋2n2－n＋2，求{a n}的通项公式．【例3.3】已知数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋3n+1，a1＝1，求a n.[强化训练3.5]已知数列{a n}，a1＝3，a n＝2a n－1＋3·2n，求{a n}的通项公式．【例3.4】已知数列{a n}满足a n＋1＝6a n＋2n+1，a1＝1，求a n.[强化训练3.6] 已知数列{a n }，a 1＝－4，a n ＋1＝2a n －2·3n ，求{a n }的通项公式．[强化训练3.7] 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n a n ＋n ＋12n ，求数列{a n }的通项公式．高频考点4 奇偶分析法【例4.1】数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＋a n＝4，求{a n}的通项公式.[强化训练4.1]数列{a n}满足a1＝6，a n＋1＋a n＝－6，求{a n}的通项公式.【例4.2】数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＋a n＝2n，求{a n}的通项公式.[强化训练4.2]数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＋a n＝3n－1，求{a n}的通项公式.【例4.3】数列{a n}满足a1＝2，a n＋1a n＝4，求{a n}的通项公式.[强化训练4.3]数列{a n}满足a1＝3，a n＋1a n＝－2，求{a n}的通项公式.【例4.4】数列{a n}满足a1＝2，a n＋1a n＝3n，求{a n}的通项公式.[强化训练4.4]数列{a n}满足a1＝3，a n＋1a n＝2－n，求{a n}的通项公式.高频考点5 分式递推式，取倒数法【例5.1】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式[强化训练5.1](2019年启东中学高三上学期期中考试)数列{a n}满足a1＝1，a n＋1(a n ＋1)－a n＝0(n∈N*)，则a2018＝________．【例5.2】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式[强化训练5.2]在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝2n＋1a na n＋2n＋1，则a n＝________．[强化训练 5.3](2019年重庆市第一中学高三上学期期中考试)已知数列{a n}满足a n a n＋2＝12a n＋1(n∈N*)，且a1＝1.数列{a n}的通项公式________．，不动点法【例5.3】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式【例5.4】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式[强化训练5.4] (2019年江苏省常熟市高三上学期期中考试)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N *)，则b 1·b 2·…·b 2017＝________．【例5.5】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式[强化训练5.5]已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1，n∈N*，则a2 017＝()A．0 B．－ 3C. 3D.3 2[强化训练5.6](2019年辽宁省葫芦岛市高三上学期联考)数列{a n}满足a1＝－1，a n＋1＝11－a n(n∈N*)，则a100＝________．高频考点6 一阶高次递推式，【例6.1】数列{a n}满足a1＝1，已知a n＋1＝5a n3，求{a n}的通项公式.[强化训练6.1]数列{a n}满足，已知a n＋12＋2a n＋1＝a n，求{a n}的通项公式.高频考点7 二阶线性递推式【例7.1】数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，已知a n＋1＝3a n－2a n－1，求{a n}的通项公式.[强化训练7.1] 数列{an }满足，a 2＝2，，求{a n }的通项公式.[强化训练7.2]数列{an }满足，a 2＝2，，求{a n }的通项公式.高频考点8 利用和的关系【例8.1】(2019年河北省沧州市高三上学期联考)设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n＝2S n－1＋n－2(n≥2)，则a2017等于()A．22016－1 B．22016＋1C．22017－1 D．22017＋1【例8.2】(2016年高考·浙江卷)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．[强化训练8.1]数列{a n}的前n项和，求{a n}的通项公式.[强化训练8.2]已知数列{a n}的前n项和，求{a n}的通项公式.高频考点9 含有三角函数式的数列通项【例9.1】 (2019年辽宁省本溪市第一中学高三上学期期中考试)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2018＝( ) A.2 017×2 0182 B.2 019×2 0182C.2 017×2 0172D.2 018×2 0182[强化训练9.1] (2019年湖南省长沙一中高三期中考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前20项的和为________．1．已知数列{a n}中，a1＝1，3na n＋1＝(n＋1)a n，则该数列{a n}的通项a n＝()A.n3n B.n3n－1C.n3n－1D.n＋13n【走向高考】2．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝()A ．－27B.27 C ．－37 D.373．若数列{a n }满足a 1＝1，3a 2－a 1＝1，2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2)，则a n ＝( ) A.2n ＋1 B.2n ＋2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n －1。
分式线性递推数列
s−1X
=
r s P1
+
P2
=
tP1
+
P2,
(sλ2)−1F (X)
=
rλ1 sλ2
P1
+
P2
=
tλP1
+
P2.
(
)
实际计算时, 可以在第2步直接计算得 f (u) = f tα + β = tλ1α + λ2β .
t+1
tλ1 + λ2
再约分得到
f (u) =
t λ1
λ2
α
+
β
t λ1
λ2
+
1
=
tλα + β tλ + 1
2
因为 F (X) = (f1(X), f2(X)) 的两个分量
f1(X) = ax + by = (a, b) · (x, y) = A1 · X f2(X) = cx + dy = (c, d) · (x, y) = A2 · X 分别由常向量 A1 = (a, b), A2 = (c, d) 点乘 X 得到. 先用点乘分配律展开, 再提出 系数 r, s 得
也可以将
u=
rα + sβ r+s
分子分母同除以
s,
f (u)
的分子分母同除以
sλ2,
并且
令
t=
r ,
λ=
λ1 ,
化为
s
λ2
(
)
tα + β tλα + β
f (u) = f
=
t+1
tλ + 1
⇒
特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列｛a n ｝的项满足a j = b,a n 4 = ca n • d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程 法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0，则当x 0 = a 4时，a n为常数列，即a n 二a i ；当X o 二a i 时,a^ b n ' x o ，其中｛b n ｝是以c 为公比 的等比数列，即 b n = b 4c n J,b 4 =a 4-x 0.pl证明：因为c = 0,1,由特征方程得x 0——.作换元b n = a n - x 0,贝U 1 -c n 1当X 。
=a 1时，b 1 =0 ,数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列， 故b n =b1C _; 当 x ° 二a 1 时，d =0 , ｛b n ｝为 0 数列，故 a * =a 1,n • N.（证毕） 下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1•已知数列｛a n ｝满足：a n^^a -2,- N,a—,求a n.13 解：作方程x x -2,则x 0. 3 2b"a n「x0 © d—注乂a .cd1 -c二 c(a n -X °) = cb n . 11一2 -3 一2 +X — a-fl等的比公为11 1 n4丁 3) ,a n-3b n —3叫-」)n‘, n N. 2 2 2 3b n列是例2.已知数列｛a n｝满足递推关系：a n ^（2a n - 3）i, n，N,其中i为虚数3单位。
当a i 取何值时，数列｛a .｝是常数数列?a^ :-,a 2二：给出的数列：a n 爲方程x 2- px -q =0，叫做数列 :a n / 的特征方程。
线性递归数列的通项公式与求和公式
线性递归数列的通项公式与求和公式
通常我们得到的递推数列是这样的形式：
目标是求的通项公式。
首先，上面的递推数列通常可以写成下面这种形式：
---------------------（式1）
也叫二阶差分式（或者叫递推式）。
为了求出一阶差分式，我们可以将原式写成如下形式：
其中，因此上式就是以为元素的等比数列，公比为。
通过移项同时可得:
与上面的式子完全等价。
两式子相减则有：
因此通项公式就求出来了：
现在需要解出x1,x2：
利用二次方程根与系数的关系，可知恰为方程的两
根，注意这里的系数abc就是上面二阶差分式（式1）的系数，不用计算，可以直接拿来用。
该二次方程就是原差分方程的特征方程。
求方程的根解除x1，x2后带入通项公式即可得到f(n)的表达式。
实际做题的计算步骤（更简单）：
1.移项写出二阶差分式，得到系数abc，也就获得了二次方程的系数abc。
2.解出二次方程的两个根x1，x2。
3.带入f(n)的通项公式即可。
例子：
斐波那契数列，它满足,
首先写出移项到左边的二阶差分式的标准形式：
，获得系数abc分别为1，-1，-1，那么差分式的特征方程就为，解得
带入通用的通项公式即可得到f(n)的通项公式：
完。
另外需要注意：该通项公式仅适用于线性的递推数列！。
八种通项公式求解方法
求数列通项公式的八种方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的8种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、二.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若，则两边分别相加得例1已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则所以数列的通项公式为。
例2已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则二、累乘法1.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若，则两边分别相乘得，∏=+=nk n k f a a 111)(例4已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
特别解析特征方程法求解递推关系中的数列通项
特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项一、一阶线性递推式设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式;定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,其中}{n b 是以c 为公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是以c 为公比的等比数列,故;11-=n n c b b当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n 证毕例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列. 于是：.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位;当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数,即则必须.53601ix a +-== 二、二阶线性递推式定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程;若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,其中A,B 由βα==21,a a 决定即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组；当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,其中A,B 由βα==21,a a 决定即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A 、B 的方程组;例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列{}n a 的通项公式;解法一待定系数、迭加法由025312=+-++n n n a a a ,得)(32112n n n n a a a a -=-+++, 且a b a a -=-12;则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,32为公比的等比数列, 于是：11)32)((-+-=-n n n a b a a ;把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入,得：a b a a -=-12, )32()(23⋅-=-a b a a , ••• ,21)32)((---=-n n n a b a a ;把以上各式相加,得：])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-; a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--;解法二特征根法：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x ;32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A ; 又由b a a a ==21,,于是：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三、分式递推式定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra qpa a n n n ++=+1其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,,那么,可作特征方程hrx q px x ++=. 1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时,若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在；2当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第2部分,则有：∴.N ,)51(521∈-=-n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n nn λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a1若,51=a 求;n a 2若,31=a 求;n a 3若,61=a 求;n a 4当1a 取哪些值时,无穷数列}{n a 不存在解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第1部分解答.1∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a 2∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(11令0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在,当n ≤4,N ∈n 时,51751--=+=n n b a n n λ. 3∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ 4、显然当31-=a 时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第1小题的解答过程知,51=a 时,数列}{n a 是存在的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2.∴当11351--=n n a 其中N ∈n 且N ≥2时,数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无穷数列}{n a 都不存在.定理3证明：分式递推问题：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra q pa a n n n ++=+1其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r ha r qr ph -≠≠≠1,0,,那么,可作特征方程hrx qpx x ++=.1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时,若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在.2当特征方程有两个相异的根1λ、2λ称作特征根时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第1部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ, 则λλ-++=-=++h ra q pa a d n n n n 11hra hq r p a n n +-+-=λλ)( h d r h q r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ①∵λ是特征方程的根,∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时,由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+ ④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp rd d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n rp rb b n n λ故数列}{n b 是以r p r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时,.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ当存在,N 0∈n 使00=n b 时,λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时,无穷数列}{n a 是不存在的. 再证明定理的第2部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ,∴其中必有一个特征根不等于1a ,不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ,将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ ⑤由第1部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根,故.,21rp r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ ⑥∵特征方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ,而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有当01=c 即11λ=a 时,上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ证毕注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.求数列通项公式的方法很多,利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a b a c a d+⋅+=⋅+......① 其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ. 定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++---=⋅---.定理2: 若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+-+-.例109·江西·理·22各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++. 1当14,25a b ==时,求通项n a ;2略. 例2 已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 例 3 已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+,求数列{}n a 的通项n a例4已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+,求数列{}n a 的通项n a2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+② 其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈. 定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n nn a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩. 定理4: 若12λλλ==,则12()nn a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩. 例5已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a 例6已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a例7:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .。
矩阵理论在求分式线性递推数列通项公式中的应用
蒸 ＝
． ．．．
．． ．． ．． — —
则数列 是 等 比数 列 ； Ａ是 主 对角 线 上元 素相 等 的 若
上 三角矩 阵 ， 数列是 等差 数列 。 则
．．．
ａ ｂ ｃ ｘ ｂ ＋ ｄ ａ （１Ｏａ＋ １ ２）＋ （１ ｂ１ ２） ２ （ ２ｄＣ）＋ ｃ ２６ 。 １ （ １ ＋ １ ＋ ２ ｂ ）
故
）是分式线 性函数 ，Ｂ是它的系数矩阵 。 ） Ａ
定 理 １ 若 ｆｘ 、 是 分式 线 性 函数 ， 分 ： （） （） 、 别 是它 的系 数矩 阵 ）ａ＝￣ｂ）则 ｆ 是分 ，ａｑ ， ｂ （ ｝
式线 性递推 数列 ，＝ ４ Ｂ Ｔ ＡＴ是 它的系数矩 阵 。 证明 ： 由 ＝ ）ａ ｑ ｂ） ： ， ＝ｆ 得 ａ
ａ．ｂ （ ＇ ａ＋ 口
时 零 ， 同为 ） ① 为ｃ ｄ … 时 为 ， 不 时 零 …
（当 ＝ ０ ， ＝ 数 ① 公 为 １ ｃ＝时 ・ ，列 是 比 ） ６ 手 ａ
的等 比数列 ；
（ ） ｃ ０ ａ ｄ时 ， 。 丁 数列①是公差为 ２ 当 ＝ ，＝ ＝ ｏ ＋
ｌ 则称 ） ≠ｏ 是分式线性函数， 是ｆｘ （）
的系数矩 阵 。 定义 ２ 对 于定 义 １中的 ： 称 为它 的 系数 矩 阵。 引理 １ 对 定 义 ２中的 数列 ， ： 若 是对 角矩 阵 ， ） Ａ， 和 由 。 ）
证： ＝ ］［ ］ 明 ， 令ｆ ＝
矩阵理论在 求分式线性递推数列通项公式 中的应用
晏 忠 红 ，左 丁丁 ０
（ 冈 山学 院 １ 理学 院； ． 续 教育 学 院，江西 井 ． 数 ２ 继 吉安 ３ ３０ ） ４ ０９
【 摘要】特殊的分式线性递推数列通项公式可用等差（ 数列知识求得 ，一般的分式线性递推数列通项公式可 比）
求数列通项公式的11种方法0001
求数列通项公式的11种方法方法总述：一.利用递推关系式求数列通项的11种方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）特征根法二.四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四.求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
、累加法1.适用于: a n+ =a n 中f (n) 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2.若寺十―a n = f(n) (n >2),a2 —a i = f(1) a3 —a2 = f (2) 川IIIan+ —a n = f (n)n两边分别相加得a n十-a1 =送f （n）k=1例1已知数列｛a n ｝满足an+ =a n +2n +1 a, =1，求数列｛a .｝的通项公式。
解：由 an +=an +2n +1 得 a n + -a^2n +1 贝Uan= (a n -an 」)+ (a n J - 3n _2)+ I I I + (a3 - a2 ) + (a 2 - a1 ) + a 1=[2(n -1) + 1]+[2(n-2) +1]+川 +(2咒2 + 1) + (21 + 1) + 1 = 2[( n -1) + ( n - 2)+111+ 2+1] + (n-1) + 1 =2 导+ (n-1) + 1 =(n -1)(n +1)+1 =n 2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =n2。
例2已知数列｛a n ｝满足an+ =a n +2x 3n+1, a i =3，求数列｛K ｝的通项公式。
分式型递推数列通项公式的求法
一类分式型递推数列通项公式的求法2012年高考大纲全国卷考查了形如1+n a =DCa B Aa n n ++递推数列通项公式的求法。
由于此类题不仅涉及到转化和化归数学思想,更要有较强的运算能力，具有很强的综合性，因而备受命题者的青睐。
不少同仁也研究过此类问题，如文[]1,推导过程有点烦琐。
也用高等数学不动点知识来求解，这种解法对高中生来说很难接受。
本文将从另外两个角度谈谈处理这类问题的方法.一 形如p a n =21--+n n qa a 递推数列通项公式求法不少高中数学竞赛教程有此类问题的解法，这里直接引用,不再推导. 结论 1 如果21,x x 是递推关系p a n =21--+n n qa a （10,a a 给定）的特征方程=2x q px +的两个根，则（1)当21x x ≠时，nn n x x a 2211αα+=；(2）当21x x =时，n n x n a 121)(ββ+=.这里21,αα，21,ββ都是由初始值确定的常数. 二 形如1+n a =DCa B Aa n n ++递推数列通项公式求法 为了研究问题的一般性,这里0,0≠-≠BC AD C 。
设D Cx B Ax x f ++=)(，且初始值()11a f a ≠.方法1 构造法两边同减去α，α-+1n a =D Ca B Aa n n ++α-=D Ca D B a C A nn +-+-αα)( =αααααααC D a C C A D B a C A n n ++--+-+--)()())((.令02=-+-αααC A D B ,即0)(2=--+B A D C αα，α可看成是方程0)(2=--+B x A D Cx (1)的根.由于此时C D x -≠（假设CD x -=,代入方程,可得BC AD =,与已知条件相矛盾。
同理C A x ≠）.所以方程（1）与方程DCx B Ax x ++=(2)同解。