论二阶齐次线性递推数列的性质

宁德师专学报 ( 自然科学版) 2003 年 2 月 ・ 12 ・
[
i Ck + 1 - i
p
p + 1 - 2i
+1 = ∑
i =0 [
2
k
]
i Ck + 1 - i
p
k + 1 - 2i
+ C
[
k +1
2
] k +1
p
k + 1 - 2[
]
j- 1 Ck - j
令j= i
i =1
∑
2
]
Cik-- 1i pk + 1 p
k + 1 - 2i
2i
. 所以 ak + 2 = ∑ Cik-- 1i pk + 1 i =0
2
k
]
k +1
2i
+ ∑ Cik-- 1i pk + 1 - 2 i = C0k pk + 1 + ∑( Cik - i + Cik-- 1i )
2
n
]
那契数列的通项为 F0 = 0 , F1 = 1 , Fn + 1 = ∑ Cin - i .
i =0
2
n
]
性质 2 数列{ a n } 的相邻两项互质 . 事实上 , 由递推式 a n + 1 = pa n + a n - 1 , 知 ( a n + 1 , a n )
= ( a n , a n - 1) = …= ( a2 , a1 ) = 1 .
p
- 1
p
0 - 1
p
… 0 … 0 … 0 … … … 1
0 0 0
1
a n + 1 =
0
1
( n ∈N )
…
0
…
0
…
0
…
p
k阶
证明 当 n = 1 时 , 性质显然成立 . 当 n = 2 时 , a3 =
p
p
- 1
p
1
= p2 + 1 , 性质成立 . 假设当 0 0 0
p
- 1
p
0 - 1
p
… … … … …
0 0 0 1
1
n Φ k 时 , 性质成立 . 则当 n = k + 1 时 ,
0
1
=
…
0
…
0
…
0
… …
k + 1阶
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k +1
[
k +1
2
]
k +1 - [
= ∑ Cik + 1 - i pk + 1 - 2 i , 命题成
i =0
2
]
2
]
立 . 所以 a n + 2 = ∑ Cin - i pn - 2 i . 不难看出 , 当 p = 1 时 , 数列{ a n } 即为菲波那契数列 , 所以菲波
i =0 [
a n ak + 1 , 由递推式 a n + k + 1 = pa n + k + a n + k - 1 = p ( a n - 1 ak + a n a k - 1 ) + a n - 1 a k 1
+ a n a k = pa n a k + 1
+ a n ak + pa n - 1 ak + a n - 1 a k - 1 = a n ( pak + 1 + ak ) + a n - 1 ( pak + a k - 1 ) = a n ak + 2 + a n - 1 ak + 1 , 性质

第 1 期 程 愚 : 论二阶齐次线性递推数列的性质 ・13 ・
p
- 1
p
0 - 1
p
… … … … … 0
- 1
p
0 0 0 1
0 0 0
p
1 1 + 0
- 1
p
0 - 1
p
… 0 … 0 … 0 … … … 1
i =1 [ i =1
2
]
[
2
]
+ C
[
k- 1
2
]- 1
k- [
k +1
p
k + 1 - 2[
k +1
2
]
= Ck + 1 p
0
k +1
+ ∑
i =1
2
k
]
k +1
Cik + 1 - i
p
k + 1 - 2i
+ C
2
k-
- 1 2
[
2
]
k +1
p
k + 1 - ( k + 1)
= ∑
i =0
2
k
]
+ ∑ Cik - 1 i =0
2
i
p
k - 1 - 2i
= ∑
i =0
2
i Ck - i
p
k + 1 - 2i
+ ∑ Cik - 1 - i pk - 1 - 2 i . 当 k 为偶数时 , 注意到 [
i =0 ] [ k- 1
2
k- 1
2
]=[
[
k
2
2
]- 1以
] +1
及[
p p
k
2
]=[
k +1
= a n - 1 a n + a n a n + 1 = a n ( a n - 1 + a n + 1 ) , 所以 a n | am . 假设当 s = k 时 , a n | akn , 则当 s = k + 1
时 , am = a ( k + 1) n = a nk + n = a n - 1 akn + a n a nk + 1 , 因为 a n | am , 所以 a n | ( a n - 1 a nk + a n a nk + 1 ) , 即
[ k ] [ k- 1 ] [ k ] [ k- 1 ]
设 ak + 1 = ∑
i =0 k ] [
2
i Ck - i
p
k - 2i
; ak = ∑
i =0 ] [ k- 1
2
i Ck - 1 - i
p
k - 1 - 2i
; 这时 a k + 2 = p ∑
i =0
2
i Ck - i
p
k - 2i
]
p
k + 1 - 2i
= Ck +1 p
0
k +1
+ ∑(
i =1
2
k
]
[
i Ck - i
+
i- 1 Ck - i)
p
k + 1 - 2i
= Ck +1 p
k- 1
0

k +1
+ ∑ Cik + 1 i =1
2
k
]
i
pk + 1 [ k- 1
2i
= ∑ Cik + 1 - i pk + 1 - 2 i , 性质成立 . 当 k 为奇数时 , 注意到 [
性质 3 数列{ a n } 的不同项之间满足关系式
am + n = a n - 1 am + a n am + 1 ( m , n ∈N ) ( 2)
证明 当 m = 1 时 , a n + 1 = pa n + a n - 1 = a n - 1 ・ a1 + a n ・ a2 , 性质成立 . 当 m = 2 时 , a n + 1 =
i =0 [ k- 1
2
2
] +1 = [ p
k + 1 - 2j
k
k +1
2
] ,则
[ k +1
i =0
∑
2
]
i Ck - 1 - i
p
k + 1 - 2i
令 i = j - 1 ∑
j =1 [
2
] +1
[
k +1
j- 1 Ck - j
[
p
k - 1 - 2 ( j - 1)
=
j=1
∑
2
第15卷第1期 宁德师专学报 ( 自然科学版) 2 0 0 3 年 2 月 Journal of Ningde Teachers College (Natural Science)
Vol115 No11 Feb. 2003
论二阶齐次线性递推数列的性质
程 愚
0 0 0 =
1
p 0
1
1
…
0
…
0
p
…
0 - 1
p
… …
k阶
…
0 0 0 0
p
…
0
…
0
…
p
k阶
… … … … …