模极大值去噪方法

3.2 基于小波变换模极大值去噪方法的研究目前利用小波变换消除噪声的方法很多，但总结起来，比较成熟的是Mallat 提出的一种多尺度小波变换模极大值的去噪方法。

3.2.1 小波变换模极大值的定义定义在尺度s 下，若0x x d " ，()()0,,Wf s x Wf s x £成立，则0x 称为模极大值点，()0,Wf s x 称为模极大值。

小波变换极大模是由信号中奇异点和噪声产生的。

根据理论分析，知道以平滑函数的一阶导数为母小波作小波变换，其小波变换在各个尺度下的模极大值对应于信号突变点的位置。

小波分析尺度越小，平滑函数的平滑区域小，小波系数模极大值点与突变点位置的对应就越准确。

但是小尺度下小波变换随噪声影响非常大，产生许多伪极值点，往往只凭一个尺度不能定位突变点的位置。

相反，在大尺度下对噪声进行了一定的平滑，极值点相对稳定，但由于平滑作用使其定位又产生了偏差。

同时，只有在适当尺度下各突变点引起的小波变换才能避免交迭干扰。

因此，在用小波变换模极大值法判断信号突变点时，需要把多尺度结合起来综合观察。

下面由小波变换模极大值在多尺度上的变化规律来表征信号突变点的性质。

在许多情况下，小波变换并不要求保留所有的连续尺度a ，为了实现快速算法，选择尺度按二进制变化，即二进制变换。

信号的突变点在不同尺度2j 上都会产生对应的模极大值。

在任意尺度2j 上模极大值对应于信号在2j 尺度上平滑后的该点一阶导数大小。

小波理论表明，模极大值的幅值随着尺度的变化规律是由信号在该突变点的局部李氏指数(Lipschitzexponent)决定的。

3.2.2 模极大值随着尺度的变化规律李氏指数的定义为，设函数在0t 附近具有下述特征：()()00,1n x t h p t h A h n n aa +-+?<+ (3-1)则称()x t 在0t 处的李氏指数为a 。

式中h 是一个充分小量，()n p t 是过()0x t 点的n 次多项式()n Z Î。

实际上()n p t 就是()x t 在0t 点作Taylor 级数展开的前n 项：()()()()()211012...n n n n n x t x t a h a h a h O h p t O h ++=+++++=+ (3-2)显然a 未必等于1n +；它必定大于n ，但可能小于1n +。

如果()x t 为n 次可微，但n 阶导数不连续，因此1n +次不可微，则1n n a <?；如果()x t 的李氏指数为a ，则()x t dt ò 的李氏指数必为1a +，即每积分一次，李氏指数增1。

一般来讲，函数在某一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，a 越大，该点的光滑度越高；a 越小，该点的奇异性越大。

如果函数()f t 在某一点可导，它的1a ³；如果()f t )在某一点不连续但其值有限，则01a ＃；对于脉冲函数，1a =；而对于白噪声，0a £ 。

下面讨论某点的李氏指数同该点的小波变换模极大值之间的关系，目的是为了由小波变换模极大值推导出突变点的李氏指数，从而判断奇异性大小。

假设小波函数()t f 是连续可微的，并且在无限远处的衰减速率为211O t 骣琪琪+桫，Mallat 证明：当t 在区间[],a b 中时，如果()f t 的小波变换满足：()a W f t ka a £也就是 ()l o g l o g l o g a W f t k aa ? 其中k 是一个常数，则()f t 在区间[],ab 中的李氏指数均匀为a 。

当2j a =时，上式变成()()22j j W f t k a £ 或()222log log j W f tk j a ? (3-3)式中j a 这一项把小波变换的尺度特征j 与李氏指数a 联系了起来。

式(3-3)给出了小波变换的对数值随尺度 j 或a 的变化规律。

自然的，对应信号奇异点的小波变换模极大值随尺度的变化也应满足此规律。

由式可知，当0a > 时，小波变换的极大值将随尺度j 的增大而增大；当0a <时，则随 j 的增大而减小。

对阶跃情况(0a =)，则小波变换的极大值不随尺度而改变。

几种突变的小波变换极值随尺度的变化如图3-2 所示，3-2(b)图的四条曲线从上到下分别是尺度j =1,2,3,4 时的小波变换极值。

从图中可以看出： t =1,2,4(分别对应50，100，200 点)处的突变的小波变换极值随着尺度的增 加而增大，而t =3(对应150 点)处的突变则随之而减小。

(a)(b)图3-2 几种突变的小波变换极值随尺度的变化由以上可知，白噪声的李氏指数0a<，其对应的模极大值随尺度j的增大将减小(因此其主要对小尺度下的模极大值影响较大)。

而一般信号的突变点的李氏指数大于等于零，这种突变点所对应的小波变换模极大值随尺度j 的增加幅度逐渐增大。

表征信号重要特征的极大值点能从小尺度传播到大尺度，并且尺度间模极大值点的相对位移在一个锥形范围内。

依据此区别，可以在模极大值图上去除那些幅度随尺度减小的极值点(对应噪声的极值点)，而保留幅度随尺度增加而增大的点(对应信号突变点位置)。

这样就可以在模极大值图上达到去噪的目的，然后从去噪以后的模极大值图重建原信号，就可以实现对信号的去噪。

针对这一理论，主要解决的问题有如下几个方面：(1)要选择正确的小波，一般要根据实际问题的需要,选择和构造不同的小波；(2)要确定对信号进行小波变换的次数，尺度过大会增加计算难度，尺度过小又不能很好的滤除噪声；(3)要解决如何重构信号的问题。

文献介绍了由模极大值重建原始信号的一些方法。

从以上理论可以看出，模极大值方法能够精确的消除有用信号中的噪声，但是运算过程复杂，计算量大。

针对这个问题提出了一种新的子波域滤波算法。

3.2.3 一种新的子波域滤波算法3.2.3.1 算法步骤 定义()()()f x g x n x d =+其中()g x 为真实信号；()n x 为被干扰的信号；()n x 是均值为0，方差为2s 的高斯白噪声，d 为噪声水平。

(1)首先计算出()f x 在各尺度(j =1,2,…,J )上的小波值()2,j Wf x ；(2)从大尺度出发 (j =J )，对小波值为正的所有数，计算出均值及这些数的方差var 和过零数zeronum[j ]；以zeronum[j ]/2 为初始阈值，var 为阈值的初始步长；a.重新计算当前过阈值数；b.与上次过阈值数比较，若数目增加，增加阈值，即将当前阈值加上当前步长；若数目减少则降低阈值，即将当前阈值减去当前步长；若不变则增加阈值；c.缩短步长(如减半)；重复步骤，直至迭代步长小于某一值为止；取当前阈值为最终阈值，阈值之上的保留，之下去除；对小波值为负的集合做同样处理。

(3)在上一个尺度有值的相应位置及其一定邻域(如左右1-3 个点)内进行搜索判断，以减小噪声的干扰；若上一尺度相应邻域有值，而该尺度没有，说明为噪声所干扰，保留该值； 若上一尺度相应邻域没有值，而该尺度有，说明为噪声所产生，去除；(4)j =j -1，计算下一个小尺度。

重复步骤(2)-(4)，直到尺度j ＝1。

3.2.3.2 理论依据 对()()()f x g x n x d =+做小波变换，根据小波变换的线性性质，可以知道小波变换值是信号()g x 与噪声()n x 分别进行小波变换的结果，即 ()()(),,,Wf s x Wg s x Wn s x d =+先来讨论高斯白噪声的小波变换(),Wn s x 。

因为已设定()n x 为高斯白噪声，所以它的小波变换(),Wn s x 仍为一高斯过程，并且可微。

一个可微高斯过程的平均过零密度为()()()22100R z R p -=其中()R 为该高斯过程的自相关函数，()()2R 为()R 的2 阶导数。

对于()()()()*,s s R Wn s x n x n u x u du =Y =Y -ò，有()()()()()()()(),,s s R R R E Wn s x Wn s x E n u n v x u x v dudv t t t 轾犏=+=Y +-Y -犏臌蝌由此可得，()()2120R s s Y =，()()()222230R s s Y =所以(),Wn s x 的平均过零密度为()()21s y p y因此(),Wn s x 的平均过零密度与尺度s 成反比；当s 离散化为2j s =时，它与2j 成反比。

我们可以根据这个性质来粗略判断由高斯白噪声所产生的过零数。

对信号()()()f x g x n x d =+做小波变换，小波函数可以认为是一个带通函数，尺度越小所选的频率越高，所以在尺度1j = 上是以高频占优的()n x 为主，过零数也就约等于()n x 的过零数；随着尺度的增加，频率降低，白噪声的过零数迅速减少，它的主导地位渐渐为相对低频的真实信号()g x 所取代。

另外，Mallat 还证明了高斯过程模极大值的平均密度也与尺度s 成反比，而且当尺度增加时，它的幅度衰减非常快。

同时，低频信号的模极大值在各尺度上的变化不大。

因此取一个适当的过零数，可以保留由真实信号产生的模极大值，而去除由噪声产生的模极大值。

综上所述，可以把过零数作为子波滤波的一种评价标准。

并从过零数的一半出发，以变步长进行搜索，确定阈值，找到一个稳定的过阈值数，此时应有真实信号产生。

注意到相同的过零数会有不同的阈值，为了尽量减小噪声的干扰，将阈值尽量取高。

同时，利用小波变换相邻尺度上的相关性，从大尺度开始计算，如果大尺度有值，那么在小尺度上的相应位置及其邻域上也应当有值，可以依此将小尺度下表现突出的噪声变换值去除，将被噪声淹没的信号变换值“挽救”出来。

之所以要在邻域上进行搜索，是因为随尺度的增加小波变换会产生位移。