一道经典的抛物线弦长问题

一道经典的抛物线弦长问题

设过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，直线OA 与OB 的斜率分别为12,k k ，直线l 的倾斜角为α，

求证： 22,,1cos 1cos sin p p p AF BF AB ααα

===-+。 证明：由122y k x y px

=⎧⎨=⎩得212A p x k =， 同理222B p x k =。

因为1OA =

，所以21

2p OA k =，

同理，222p OB k =。 设:2

p l x ty =+， 代入抛物线方程22y px =得2220y pty p --=， 所以212122,y y pt y y p +==-，所以21212()2x x t y y p pt p +=++=+ 所以22

122212222(1)2(1).tan sin p AB x x p pt p p t p αα

=++=+=+=+= 由2220y pty p --=

得y pt =±1tan t α

=， 所以不妨设12(cos 1)(cos 1),sin sin p p y y αααα+-==， 所以22

112(1cos )22sin y p x p αα

+==， 所以242222211

42(1cos )(1cos )4sin sin p p OA x y αααα++=+=+2

2(1cos )p α==-L （明显得不到！！！） 搞得我证了很久，去百度了一下，才知道你的前两个结论有误，应该是AF 与BF 。

121(cos 1)(1cos ).sin sin 1cos 1cos p p p AF αααααα

++==⋅==-- BF 同样可推导出。

另证：由抛物线定义，cos AF AF p α=+，所以1cos p AF α

=

-。 再计算得出1cos p BF α=+，所以22sin p AB AF BF α=+=