抛物线焦点弦的弦长公式

关于抛物线焦点弦的弦长公

式

在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：

(1)已知：抛物线的方程为px y 22

=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。

解：由题意可设直线AB 的方程为)2

(p x k y -=)2

(π

θ≠将其代入抛物线方程整理得：

0)84(42

2

2

2

2

=+

+-k

p k x

k

x p p ，且θtan =k

设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：k

k x x p

p 2

2

212+=

+，4

2

21p x x =

当2

π

θ=

时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为)0(22

>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。

解：设A,B 的坐标为),(),,(2

21

1y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2

,0(p

，

故AB 的方程为kx p

y =-

2

，将其代入抛物线的方程整理得： ,022

2

=-

-p

x

pkx 从而p

x x x x pk 2

2121,2-

==+，

弦长为：)

(cos )

(2

212

2

24211||θp

AB x x x x k

=

-+=+

p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。

而px y 22

-=与（1）的结果一样，py x 22

-=与（2）的结果一样，但是（1）与

（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即

可。现将改动陈述于下：

（3）已知：抛物线的方程为px y 22

=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。

解：由题意可设直线AB 的方程为)2

(p x k y -=)2

(π

θ≠将其代入抛物线方程整

理得：

0)84(42

2

2

2

2

=+

+-k

p k x

k

x p p ，

若倾斜角2

π

α<，则θαθαtan tan ,===k ；

若倾斜角,2

πα>

则)tan(tan ,θπαθπα-==-=k 。

设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：k

k x x p

p 2

2

2

12+=

+，4

2

21p x x =

而αθπαθsin )sin(,sin sin =-=，故)

(sin 2

2||θp

AB =；

当2

π

θ=

时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。

而px y 22

-=与（3）的结果一样

同理：（4）已知：抛物线的方程为)0(22

>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2

21

1y x y x ，若倾斜角为α，斜率为k ，

则αtan =k ，而焦点坐标为)2

,0(p ， 故AB 的方程为kx p

y =-

2

，将其代入抛物线的方程整理得： ,022

2

=-

-p

x

pkx 从而p

x x x x pk 2

2121,2-

==+，

弦长为：)

(cos )

(2

212

2

24211||αp

AB x x x x k =

-+=+

当倾斜角2

π

α<

，则θθπ

αθπ

αsin )2

cos(cos ,2=-=-=

；

当倾斜角,2π

α>则θθπ

αθπ

αsin )2

cos(cos ,2-=+=+=

所以)

(sin 2

2||θp

AB =恒成立。

当2

π

θ=

时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。

而py x 22

-=与（4）的结果一样。

故只要直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即

)

(sin 2

2||θp

AB =

。这个公式包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同

而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。