微积分第二版
微积分第二版课件第四节反常积分
类似地，无穷区间 (,b]上的反常积分定义为
b
f
( x)dx
lim
a
ab
f
( x)dx
(a b).
无穷区间(,) 上的反常积分定义为
f
( x)dx
c
f
( x)dx
c
f
( x)dx，(
c
为任意定常数
)
此时，如果上式右端的两个反常积分c f (x)dx和 c f (x)dx都收敛，则称反常积分＋ f (x)dx收敛， 否则称反常积分＋ f (x)dx发散.
ex 1 0
在 (r 1) r(r) 中取 r n，则
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n(n 1) 2 1 (1) n!
例如 0 x3exdx (4) 3! 6
2dx
arctan
x
2
( )
2
例 求积分 0 xexdx. 解 0 xexdx 0 xdex
xe x
0
0
e
xdx
ex
0
1
在此
lim xex
x
lim
x
x ex
lim
x
1 ex
0
例 讨论下列无穷限积分的敛散性 ：
(1)1
ex e2x
dx
;
(2)
1
x
dx 2
x
.
解
(1)
1
ex e2
x
dx
1
解
当
1时,
1
0
1 x
dx
1
0
1dx x
lim ln x1 0
，
当
1时,
01
微积分第二版课件第三节可降阶的二阶微分方程
例 求微分方程y'' 1 y' xex的通解. x
解 设y' p，则y'' p，代入原方程，得 一阶线性微分方程 p 1 p xex 由通解公式得
x
p
e
(
1 x
)dx
[
xe
x
e
(
1 x
)dx
dx
C'1]
eln x[ xe x eln xdx C'1]
分方程，求解一阶微分方程可得通解. 过程如下：
（1）做变换 y' p, 则y'' dp dy p dp dy dx dy
代入原方程，得y 的一阶微分方程
p dp f ( y, p)， dy
（2）求此一阶微分方程，得通解 p ( y,C1)
（3）将 y' p 回代得一阶微分方程 y ( y,C1)
（4）求解微分方程 y ( y,C1)
微分方程两端分离变量
dy dx
( y,C1)
方程两端积分，得通解
(
dy y, C1 )
x
C2
例 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP ,
dy
代入原方程得 y P dP P2 0, 即 P( y dP P) 0,
第三节 可降阶的微分方程
一、y(n) f (x) 型微分方程 方程特征：方程左侧为未知函数的n 阶导数 y(n) 方程右侧为变量x 的函数 f (x) . 方程解法：方程两端直接依次积分 n 次. 即 原方程 y(n) f (x) 方程两端积分一次, 得 y(n1) f (x)dx C1
方程两端再积分一次, 得 y(n2) f (x)dx C1 C2
高等数学微积分第二版教材
高等数学微积分第二版教材高等数学微积分是大学理工科专业中的一门重要课程，它涉及到函数、极限、导数、积分等概念和方法，为学生打下数学分析和应用的基础。
而在高等数学微积分教学中，教材的选择至关重要。
本文将介绍高等数学微积分第二版教材，探讨其特点与优势。
一、教材简介高等数学微积分第二版教材是一本系统全面介绍高等数学微积分内容的教材，该教材由资深的数学教授编写，并经过多年的教学实践与完善。
该教材主要由六个模块组成，分别是微积分的基础知识、导数与微分、积分与定积分、微积分的应用、无穷级数与傅里叶级数以及向量代数与空间解析几何。
二、教材特点1.体系完整：高等数学微积分第二版教材的内容覆盖了微积分的核心概念和主要应用领域，能够为学生提供一个系统完整的学习框架。
每个模块之间有着明确的逻辑顺序和承接关系，帮助学生建立起知识的脉络。
2.理论与实践相结合：教材不仅介绍了微积分的核心理论知识，更注重将理论与实践相结合。
通过大量的例题和应用实例，帮助学生理解理论知识的实际应用，增强学生对微积分的兴趣和动力。
3.注重思维方法：教材强调培养学生的数学思维，不仅仅是死记硬背和运用公式。
在自主思考和问题解决能力上给予学生较大的空间，引导学生探索和发现数学规律，培养他们的创新精神和解决实际问题的能力。
4.示范性教学：教材中的示范性教学是其一大特色。
通过详细的解题步骤和思路分析，引导学生掌握正确的解题方法和策略，并帮助学生形成良好的问题分析和解决的习惯。
三、教材优势1.内容全面丰富：高等数学微积分第二版教材涵盖了微积分的各个重要方面，从基础概念到应用领域都有涉及，为学生提供了全面丰富的知识资源。
2.知识体系清晰：教材各章节之间的组织结构清晰，知识展示有条不紊，有助于学生建立知识体系，形成全面的学习框架。
3.思维方法灵活：教材通过引导学生运用不同的思维方法解决问题，培养学生灵活思维和创新意识，提高学生的问题解决能力。
4.与实际应用结合紧密：教材关注微积分在实际应用中的作用，并通过实例和案例分析，使学生能够更好地理解微积分在科学和工程领域中的应用。
大学数学—微积分第二版上册课程设计
大学数学—微积分第二版上册课程设计一、课程介绍大学数学—微积分第二版上册是一本介绍微积分的教材，涵盖了微积分的各个方面。
本课程设计旨在帮助学生深入理解微积分的基本概念和原理，掌握微积分的基本计算方法，以及运用微积分解决各种实际问题的能力。
二、教学目标1.掌握微积分中的基本概念，包括极限、微分、积分等；2.理解微积分的基本原理，包括导数定义、微分中值定理、积分中值定理等；3.掌握微积分中的基本计算方法，如求导、积分、极值问题等；4.学会将微积分知识应用于实际问题的解决。
三、教学内容第一章极限1.定义与性质2.极限的四则运算法则3.夹逼定理4.极限存在准则第二章导数1.导数定义2.导数的四则运算法则3.高阶导数4.微分中值定理5.隐函数及其导数第三章应用导数1.极值问题2.函数图像的绘制3.平均值定理4.最值定理5.驻点及分类第四章积分1.不定积分2.定积分3.积分的四则运算法则4.牛顿-莱布尼茨公式5.积分中值定理四、教学方法1.讲授：通过教师的讲解，深入浅出地介绍微积分的各个概念和原理。
2.案例分析：以典型问题为例，演示如何运用微积分方法解决实际问题。
3.练习：通过练习题帮助学生巩固理论知识，提高计算能力，培养解决问题的能力。
4.课堂互动：通过提问、讨论等方式，鼓励学生积极参与课堂，提高学生的学习兴趣。
五、教学评价1.日常考勤：根据学生的出勤情况，统计学生的出勤率。
2.课堂表现：评估学生的课堂表现，包括问题回答、讲解等。
3.课后作业：定期布置作业，评估学生对微积分知识的掌握情况。
4.考试评估：定期进行考试，评估学生的学习成果。
六、课程参考资料1.微积分第二版上册，同济大学出版社2.微积分教程，数学文化出版社3.微积分应用问题集，高等教育出版社以上就是大学数学—微积分第二版上册课程设计的全部内容。
本课程设计将微积分的概念、原理、计算方法和应用方面进行综合讲解，旨在帮助学生深入了解微积分，掌握微积分的计算和应用，提高其解决实际问题的能力。
经济数学微积分第二版教学大纲
经济数学微积分第二版教学大纲本教学大纲旨在为经济学、管理学、金融学等专业的本科生提供微积分基础课程的学习指导。
一、课程简介本课程为一学期课程，共计30周，每周3学时，共90学时。
主要内容为微积分的基本概念、极限、导数、微分、积分、微积分基本定理等。
二、课程目标本课程的目标是让学生掌握微积分的基本概念、方法和运用，培养学生的数学思维能力和创新能力，为其日后在经济学、管理学、金融学等相关领域中的研究和实践奠定坚实的数学基础。
三、课程内容1. 基本概念•函数的定义和性质•极限的概念和性质•连续性和间断点2. 导数和微分•导数的定义和性质•高阶导数和隐函数求导•微分的定义和性质•Taylor公式和极值3. 积分和微积分基本定理•积分的定义和性质•微积分基本定理和牛顿-莱布尼茨公式•不定积分和定积分的计算•曲线长度和曲率4. 应用•函数图形与相关概念•常微分方程与应用•统计学初步四、教学方法本课程采用讲授与实践相结合的教学方法。
讲授内容为基本概念、导数和微分、积分和微积分基本定理等理论知识，通过实例分析和计算演示，展示数学与经济学、管理学、金融学等领域的紧密联系。
同时，本课程还将提供在线教学平台，以便学生能够自主学习和交流教学内容，通过自主探索和实践，进一步巩固微积分基础。
五、学习方式本课程除了常规课堂外，还包括以下学习方式：•自学：尽可能在每次课程前先预习相关章节，可以更快掌握课程内容。
•讨论：鼓励学生在课堂外讨论微积分知识，作为自己以及同学之间互相学习的一个途径。
•作业：每周安排作业，旨在在巩固学习内容的同时能够提高学生对微积分的理解程度。
•实践：针对不同问题，设计不同的练习题目，以提高学生的实际运用能力。
六、考核方式本课程采用多元化考核方式，包括期中考试、期末考试、平时作业、课堂表现等，具体考核比例见下表：考核项目比例期中考试30%期末考试40%平时作业20%课堂表现10%七、参考书目•微积分（上下册），郭庆华，高等教育出版社•微积分原理，约翰·瑞格，高等教育出版社•微积分学（上下册），汤家凤，高等教育出版社八、备注以上内容仅供参考，教学实践中，将根据学生实际情况，灵活运用，以达到更好的教学效果。
微积分(第二版)课本
微积分（第二版）课本引言微积分是数学中的一个重要分支，研究的是函数的变化率和积分。
它广泛应用于物理、工程、经济学等领域，是理工科学生必修的一门课程。
本文档将详细介绍微积分（第二版）课本的内容。
第一章：函数与极限在本章中，我们将学习函数与极限的概念。
函数是自变量和因变量之间的对应关系，而极限则描述了函数在特定点的趋近性质。
我们将介绍极限的定义、性质和计算方法，包括极限存在准则、无穷大与无穷小、洛必达法则等内容。
第二章：导数与微分在这一章中，我们将学习函数的导数与微分。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则是导数的一个应用。
我们将介绍导数的定义、性质和计算方法，包括常见函数的导数计算、高阶导数和隐函数求导等。
在本章中，我们将学习不定积分与定积分的概念与应用。
不定积分是求解导数的逆运算，而定积分则是计算曲线下面积的方法。
我们将介绍不定积分的定义、性质和计算方法，包括换元法、分部积分法和定积分的应用等内容。
第四章：微分方程微分方程是描述自变量与因变量之间关系的方程，是微积分的一个重要应用领域。
本章将介绍常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程等，并给出一些实际问题与微分方程的应用例题。
第五章：多元函数与偏导数在这一章中，我们将学习多元函数与偏导数的概念。
多元函数是有多个自变量的函数，而偏导数则描述了函数在某一变量上的变化率。
我们将介绍多元函数的极限、连续性和偏导数的计算方法，以及二阶偏导数和多元函数的应用。
重积分和曲线积分是计算多元函数积分的方法之一，用于求解曲面面积和曲线长度等问题。
本章将介绍二重积分和三重积分的定义、性质和计算方法，包括极坐标、柱面坐标和球面坐标下的积分换元法，以及曲线积分的定义和计算方法。
第七章：级数级数是数学中一个重要的数列和数学分析概念，用于描述无穷项之和。
在这一章中，我们将介绍级数的概念、求和方法和收敛性判别准则，包括正项级数、比值判别法、根值判别法等，以及级数的应用。
微积分教程第二版课程设计
微积分教程第二版课程设计一、课程简介微积分作为数学重要的分支之一，在科学和工程领域都有着广泛的应用。
本课程旨在帮助学生深入了解微积分的理论和应用，了解微积分的基础概念、技术和工具，提高学习数学的能力和应用能力。
本课程针对大一或大二学生，需要具备高中数学的基础。
二、课程目标•熟悉微积分的基本概念和技术，能够识别和应用微积分的基础知识。
•理解微积分的应用场景，同时掌握微积分的基础技术和应用技巧。
•培养学生的数学思维和独立思考能力，为其今后在学术和职业领域做好准备。
三、课程内容1. 微积分基础（1）导数•定义、求导法则、导数的应用、高阶导数和封闭形式的解法。
（2）积分•不定积分、定积分和微积分基本定理以及曲线的长度、曲面的面积、物理问题的应用。
2. 微积分拓展（1）微分方程•基础概念、一阶微分方程、高阶微分方程、常微分方程和偏微分方程。
（2）多元微积分•多元函数、偏导数和全微分、多元函数的积分、向量场和曲线积分、曲面积分、微积分基本定理的推广。
（3）级数和一些应用3. 成绩考核和评价（1）作业每周会布置一些练习题，每个人需要提交课堂上讲的某个具体例题的解答。
（2）小组项目每个小组会被分配一个具体的应用场景，需要研究微积分在该场景中的应用，并制作报告。
（3）期末考试期末考试会考察分析概念理解和应用能力。
四、参考书目1.《微积分入门》；2.《微积分的应用》；3.《微积分教程》第二版。
以上参考书目均可在图书馆中借阅或购买。
五、教学方式和学生支持本课程将采用面授、讨论、课堂演示和作业交流等教学方式。
另外，学生可以在任课老师的办公室时间与助教或老师面谈，或通过QQ、微信等社交软件进行咨询。
六、结语微积分是一种重要的数学分支，本课程旨在帮助学生深入了解微积分的理论和应用，提高他们的数学思维和独立思考能力。
祝愿学生们在本课程中取得丰硕的成果，为他们未来的学习奠定坚实的基础。
微积分(第二版)
金路主编书籍
01 内容简介
03 作者简介
目录
02 推荐 04 目录
《微积分（第二版）》是2015年京大学出版社出版的图书，作者是金路。
内容简介
本书的主要内容是微积分，包括极限与连续、导数与微分、微分中值定理及应用、不定积分、定积分、多元 函数微积分、级数、常微分方程与差分方程等内容。本次修订将对全书进行整体梳理与修改，并注意引进国内外 教学和教材研究的新成果。
推荐
《21世纪经济与管理规划教材·经济数学系列:微积分(第二版)》注重数学概念的实际背景和几何形象的直 观引入，强调数学在经济学等领域的应用。
作者简介
1985年在华东师范大学获硕士学位。1991年在复旦大学获博士学位，并留校任教至今。主要研究方向：复分 析与几何。
目录
第一章极限与连续 1函数 区间和邻域 函数的概念 函数的分段表示、隐式表示和参数表示 反函数 复合函数 函数的简单特性 初等函数 经济学中常用的函数 2数列的极限
谢谢观看
微积分第二版课件第六节无穷小的比较
x x22来自例 求lim ln(1 xex ) x0 arctan 2x
1 x 1 ~ 1 x 所以 2
解 当x 0时,ln(1 xex ) ~ xex , arctan 2x ~ 2x 所以
lim ln(1 xex ) lim xex 2 x0 arctan 2x x0 2x
例
求
lim
x0
tan
二、等价无穷小的性质
定理 在某一极限过程x X下， (x)与 (x)是等价
无穷小的充要条件是 (x) (x) o( ) 证明 因为 (x) ~ (x) 即 lim (x) 1 xX (x)
由极限与无穷小之间的关系知
lim (x) 1 (x) 1 (x) (x) (x) (x) (x)
sin x ~ x, tan x ~ x, 1 cos x ~ x2 2
arcsin x ~ x,arctan x ~ x
ex 1 ~ x, ln(1 x) ~ x,
(1 x) 1 ~ x,
1
x
1 ~
1
x, (1
1
x)n
1 ~
x.
2
n
例 求lim tan 3x. x0 sin 2x
解 当x 0时，tan 3x ~ 3x，sin 2x ~ 2x，所以 lim tan 3x lim 3x 3. x0 sin 2x x0 2x 2
x x3
sin
x
.
解 tan x sin x tan x(1 cos x)
当x 0时 , tan x ~ x，1 cos x ~ x2 ，所以
lim
x0
tanx
sin x3
x
lim tan
x0
2
微积分第二版课件第八节二重积分2续
D
D
所以 f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrd.
D
D
此式称为二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的
变换公式.
2.极坐标系下化二重积分为二次积分
(1)若极点在区域 D 之外.
D : , r1( ) r r2 ( ), 则有
f (r cos ,r sin )rdrd
解 由二重积分几何意义知所求四面体体积为
3
2(1 x )
(6 2x 3y)d 0 dx0 3 (6 2x 3y)dy
D
3 0
(6
2x)
y
3 2
y2
2(1 x ) 3
0
dx
z
3 0
121
x 3
2
61
x 3
2
dx
6
31 0
x 3
2
dx
6.
x
y
例 求抛物面 z 4 与x平2 面y2 所围成z 的 0立体体积.
30
o
x
二重积分计算总结：
二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的坐标
系对计算二重积分的计算是至关重要的.
一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环行区域，
而被积函数中含有 往比较简便.
的x 2项时y 2,采用极坐标系下计算往
当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
通常选择在直角坐标系下计算.
二重积分计算过程
三、二重积分在极坐标系下的计算
1.极坐标系下的面积微元
在极坐标系中, 用r=常数和 =常数来分割区域 D.
设是由半径为r 和 r r
r
的两个圆弧与极角等于 和
《微积分第二版》课件
在这个PPT课件中，我们将带您深入探索微积分的世界。从概述到实际应用， 帮助您全面理解微积分的基本概念、原理和技巧。
微积分的基本概念
1 函数与极限
探索函数的定义与极限的概念，深入理解无穷小与无穷大。
2 导数与微分
学习导数的概念和计算方法，了解导数与函数图像的关系。
3 积分与定积分
应用于实际问题
将微积分应用于实际问题，如物理学、经济学和生物学等领域。
探究积分与定积分的概念，学习定积分的计算方法与应用。
微积分的工具和技巧
数学工具
介绍可用于解决微积分问题的数 学工具和软件，提高计算效率。
方程与公式
学习常用微积分方程和公式，掌 握它们的推导和应用方法。
图表分析
使用图表分析方法解决微积分问 题，观察函数的变化和趋势。
微积分的实际应用
1
物理学中的应用
探索微积分在物理学中的应用，如运动学、力学和电磁学。
际效益分析和优化问题。
3
生物学中的应用
研究微积分在生物学中的应用，如生物化学反应和生物进化模型。
总结和要点
掌握基本概念
理解微积分的关键概念，包括极限、导数、积分和定积分。
掌握计算技巧
掌握微积分的计算技巧，包括导数和积分的计算公式与方法。
高等数学(第二版)上册课件：微积分基本公式
a
x
F (x) a f (t)dt C,
x
a f (t)dt F (x) F (a),
令 x b
b
f (x)dx F (b) F (a).
a
牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本公式表明：
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a b 时，
b
f (x)d (x) F(b) F(a) 仍成立.
0
0
2 0 |cos x |dx
2 2 cosxdx 0
2 cos xdx
2
2 2
例5.3.5
求由
x
sintdt
y et dt 0所确定的隐函数对x的导数。
0
0
分析 采用隐含数求导的方法.
解 等式两边分别关于x求导，得：
sinx ey dy 0 dx
解得：
dy dx
sin ey
用洛必达法则，同时需用变限积分的导数0公式.
解
lim
cos x et2 dt
1
ecos2 x sin x lim
x0
x2
x0
2x
1 lim ecos2 x lim sin x
2 x0
x0 x
1 2e
5.3.2 微积分基本公式
定理 5.5 （微积分基本公式）:
设 F (x) 是连续函数 f ( x)在区间 a,b 上的一个原
由于 x 0 时， x ，故两边取极限，得：
lim lim f ( ) lim f ( ) f (x)
x x0
x0
x
即
(x) d
x
f (t)dt f (x)
dx a
另外，若 f (x) 在 a,b 上连续，则称函数
微积分第二版课件第二节微积分基本公式
y
y=f (x)
(x) ax f (t)dt ,
称为变上限的积分.
oa
x
bx
定理（微积分基本定理）
若函数f (x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数
Φ(x)
x
f (t)dt
(a
x b)在[a,b]上具有导数，且
a
Φ '(x)
d dx
ax
f
(t
)dt
f (x)
(a x b).
即上限函数Φ(x)是f (x)在[a,b]上的一个原函数.
对应变上限积分函数还有变下限积分函数
(x) xb f (t)dt 对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合， 由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：
若函数 (x), (x) 可微，函数 f (x) 连续，则
(1) d dx
a x
f
(t)dt
d dx
x a
f
(t
)dt
f (x)
0
cos
t
2
d
t
x2
lim
x0
2x cos 2x
x4
lim cos
x0
x4
1
1
lim
x0
0xarctan x2
tdt
.
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
lim
x0
1
x2
1
1. 2
二、微积分基本公式
变速直线运动的路程问题
设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t) , 速度
函数为v=v(t) .则在时间间隔 [T1,T2 ] 内有
根据导数的定义及函 数的连续性，有
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于是由OPx , OPy , OPz 分别与i, j, k 方向相同, 及 OPx , OPy , OPz 的代数长度分别为x , y , z 得
OPx xi, OPy yi, OPz zk
因此
OP xi yj zk
上式称为OP 在三个坐标轴上的分解式，
对应于 i , j , k 的系数 x , y , z 称为向量 OP 的坐标， 记作 OP { x , y, z }.
向量 OP 的长度 OP 为
OP
2
2
OPxy OPz
2
2
2
OPx OPy OPz
而 OPx x , OPy y , OPz z , 故有
OP x2 y2 z2
(7 1)
5.空间中两点间的距离公式
z P2
设 P1 ( x1, y1, z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 是 P1
P
任意两点,
O
y
P1P 2 OP2 OP1
x
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
OP P1P 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k 由（7 1）式得
OP ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2，即
若 a 0，则称 a 为零向量，零向量没有方向；
若 a 1，则称为单位向量.
2.向量的加减法 向量的加法
设 OA a, OB b，
以 OA 和 OB 为邻边的平行
B
C
四边形O AC B 的对角线向 b a b
量 OC 称为a 和 b 的和(向 O
a
A
量)，记作 a b.
向量的加法有交换律与结合律，即
x0 O
y0
Py y
Px
而称点 P 的坐标为( x0 , y0 , z0 )， x
通常记为 P ( x0 , y0 , z0 ).
一一对应
P
( x0 , y0 , z0 )
一些特殊点的坐标
坐标轴上的点 P,Q, R; 坐标面上的点 A, B,C;
坐标原点 O(0,0,0).
z
z R(0,0, z)
与Oz 轴的正方向相同.
空间直角坐标系，记为Oxyz .
其中O 点称为坐标系原点；
Ox , Oy , Oz 称为坐标轴，分别称为x 轴、y 轴、z 轴；
每两个坐标轴 确定一个平面，称 为坐标平面，分别
z
yoz 面
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
称为 xOy 平面, yOz
平面，zOx 平面. xoy 面
O
zox 面 y
这三个平面将
（1）a b b a; （2）(a b) c a (b c).
向量的减法 向量的减法定义为加
法的逆运算，即若向量b
B
C
b
ab
和 c 的和向量为a，则c 就 O
a
A
定义为a 与 b 的差 (向量)，记为a b.
3.数量与向量的乘积（即数乘）
设 是一个实数，a 是一个向量，则乘积a 是向量，
4.向量的分解与向量的坐标
z
设向量 OP 的始点O 是
Pz
直角坐标系Oxyz 的原点, 终
k
点 P 的坐标为( x , y , z ), 如图
O
作法，得到点Pxy , Px , Py 及 Pz .
ij
由向量加法定义有
x Px
P(x, y,z)
Py y
Pxy
OP OPxy OPz OPx OPy OPz 在坐标轴 Ox , Oy , Oz 上分别取以原点O 为始点 的三个单位向量, 其方向与各轴的正向相同, 并分别 用i , j , k 表示, 称这三个向量为坐标向量. 如图所示.
B(0, y, z)
C( x,0, z)
M(x, y,z)
Q(0, y,0)
O(0,0,0)
yy
x
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
二、向量代数简介
1.向量概念
向量是一个既有大小又有方向的量.
P2
空间中通常用有向线段表示向量. P1 大小相等、方向相同的两向量称为相等的向量.
向量 a 的长度用a 表示.
P1P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 (7 2) 式即为空间中两点间的距离公式.
(7 2)
6.两向量的标量积（即内积） 设 a, b 是两个向量，定义a 与b 的标量积为
a b a b cos(a,b), 其中(a , b) 表示 a 与 b 的夹角. 标量积的基本运算性质： （1）a b b a; （2）(a b) c a c b c;
它的大小为a a (其中 表示 的绝对值),
方向为：当 0 时，a 与 a 的方向相同， 当 0 时，a 与 a 的方向相反，
当 0 时，a 0，这时它的方向可以是任意的.
由以上定义易得： (i) 两个非零向量a 和 b 互相平行的充要条件是存在
一个实数 ，使得 b a; 零向量平行于任何向量.
x
空间分成8个部分，
称为8个卦限.
Ⅶ
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
2.空间中的点与三元有序数组的对应
设 P 是空间中任意一点，
设点 Px , Py , Pz ，在 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的
坐标分别为x0 , y0 , z0 ,
z
Pz
分别称 x0 , y0 , z0 为点 P 的
P
z0
x 坐标，y 坐标，z 坐标，
(ii) 一个非零向量a 乘以它的长度的倒数 1 所得的 a
向量 1 a a பைடு நூலகம்一个与a 同方向的单位向量. 称向量 aa
a 为 a 的单位化 (向量). a
数量与向量的乘积有下列四条性质( ， 为实数)
（1）1 a a;
（2）( )a a a; （3）(a) (a) ()a; （4）(a b) a b.
§7.1 预备知识
一、空间直角坐标系 二、向量代数简介 三、空间曲面与方程 四、平面区域的概念及其解析表示
一、空间直角坐标系
1.坐标系的建立
z
在空间任取一点O，过 O 点
作三条相互垂直的数轴Ox , Oy ,
O
y
Oz , 各轴的方向按右手规则确定. x
所谓右手规则是指：如果将右手的拇指和食指
分别指着Ox , Oy 轴的正方向，而中指所指的方向