微积分第二版

P1P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 (7 2) 式即为空间中两点间的距离公式.
(7 2)
6.两向量的标量积（即内积） 设 a, b 是两个向量，定义a 与b 的标量积为
a b a b cos(a,b), 其中(a , b) 表示 a 与 b 的夹角. 标量积的基本运算性质： （1）a b b a; （2）(a b) c a c b c;
x
空间分成8个部分，
称为8个卦限.
Ⅶ
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
2.空间中的点与三元有序数组的对应
设 P 是空间中任意一点，
设点 Px , Py , Pz ，在 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的
坐标分别为x0 , y0 , z0 ,
z
Pz
分别称 x0 , y0 , z0 为点 P 的
P
z0
x 坐标，y 坐标，z 坐标，
P
任意两点,
O
y
P1P 2 OP2 OP1
x
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
OP P1P 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k 由（7 1）式得
OP ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2，即
于是由OPx , OPy , OPz 分别与i, j, k 方向相同, 及 OPx , OPy , OPz 的代数长度分别为x , y , z 得
OPx xi, OPy yi, OPz zk
因此
OP xi yj zk
上式称为OP 在三个坐标轴上的分解式，
对应于 i , j , k 的系数 x , y , z 称为向量 OP 的坐标， 记作 OP { x , y, z }.
(ii) 一个非零向量a 乘以它的长度的倒数 1 所得的 a
向量 1 a a 是一个与a 同方向的单位向量. 称向量 aa
a 为 a 的单位化 (向量). a
数量与向量的乘积有下列四条性质( ， 为实数)
（1）1 a a;
（2）( )a a a; （3）(a) (a) ()a; （4）(a b) a b.
它的大小为a a (其中 表示 的绝对值),
方向为：当 0 时，a 与 a 的方向相同， 当 0 时，a 与 a 的方向相反，
当 0 时，a 0，这时它的方向可以是任意的.
由以上定义易得： (i) 两个非零向量a 和 b 互相平行的充要条件是存在
一个实数 ，使得 b a; 零向量平行于任何向量.
x0 O
y0
Py y
Px
而称点 P 的坐标为( x0 , y0 , z0 )， x
通常记为 P ( x0 , y0 , z0 ).
一一对应
P
( x0 , y0 , z0 )
一些特殊点的坐标
坐标轴上的点 P,Q, R; 坐标面上的点 A, B,C;
坐标原点 O(0,0,0).
zБайду номын сангаас
z R(0,0, z)
向量 OP 的长度 OP 为
OP
2
2
OPxy OPz
2
2
2
OPx OPy OPz
而 OPx x , OPy y , OPz z , 故有
OP x2 y2 z2
(7 1)
5.空间中两点间的距离公式
z P2
设 P1 ( x1, y1, z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 是 P1
B(0, y, z)
C( x,0, z)
M(x, y,z)
Q(0, y,0)
O(0,0,0)
yy
x
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
二、向量代数简介
1.向量概念
向量是一个既有大小又有方向的量.
P2
空间中通常用有向线段表示向量. P1 大小相等、方向相同的两向量称为相等的向量.
向量 a 的长度用a 表示.
§7.1 预备知识
一、空间直角坐标系 二、向量代数简介 三、空间曲面与方程 四、平面区域的概念及其解析表示
一、空间直角坐标系
1.坐标系的建立
z
在空间任取一点O，过 O 点
作三条相互垂直的数轴Ox , Oy ,
O
y
Oz , 各轴的方向按右手规则确定. x
所谓右手规则是指：如果将右手的拇指和食指
分别指着Ox , Oy 轴的正方向，而中指所指的方向
与Oz 轴的正方向相同.
空间直角坐标系，记为Oxyz .
其中O 点称为坐标系原点；
Ox , Oy , Oz 称为坐标轴，分别称为x 轴、y 轴、z 轴；
每两个坐标轴 确定一个平面，称 为坐标平面，分别
z
yoz 面
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
称为 xOy 平面, yOz
平面，zOx 平面. xoy 面
O
zox 面 y
这三个平面将
若 a 0，则称 a 为零向量，零向量没有方向；
若 a 1，则称为单位向量.
2.向量的加减法 向量的加法
设 OA a, OB b，
以 OA 和 OB 为邻边的平行
B
C
四边形O AC B 的对角线向 b a b
量 OC 称为a 和 b 的和(向 O
a
A
量)，记作 a b.
向量的加法有交换律与结合律，即
4.向量的分解与向量的坐标
z
设向量 OP 的始点O 是
Pz
直角坐标系Oxyz 的原点, 终
k
点 P 的坐标为( x , y , z ), 如图
O
作法，得到点Pxy , Px , Py 及 Pz .
ij
由向量加法定义有
x Px
P(x, y,z)
Py y
Pxy
OP OPxy OPz OPx OPy OPz 在坐标轴 Ox , Oy , Oz 上分别取以原点O 为始点 的三个单位向量, 其方向与各轴的正向相同, 并分别 用i , j , k 表示, 称这三个向量为坐标向量. 如图所示.
（1）a b b a; （2）(a b) c a (b c).
向量的减法 向量的减法定义为加
法的逆运算，即若向量b
B
C
b
ab
和 c 的和向量为a，则c 就 O
a
A
定义为a 与 b 的差 (向量)，记为a b.
3.数量与向量的乘积（即数乘）
设 是一个实数，a 是一个向量，则乘积a 是向量，