经济数学微积分-第二版第三章-第五节函数的微分
经济管理类微积分龚德恩第二版参考答案 第三章导数与微分
（２） 已知 y ＝ f （３）
a ＋ x
２
x
４ ２
，则 y ′ ＝
f （ θn ） ＝
（５） 设 y ＝f （ x ） ＝x 在点 （１，１ ） 处的切线与 x 轴的交点为 （ θn ，０ ） ， 则 nｌｉｍ
n
１ （４） 曲线 y ＝ ２ 在点 （ － １，１） 的切线方程为 x ；
ｄ （ ａｒｃｓｉｎ x ） ＝ ｄ （ ａｒｃｃｏｓ x ）
１６．求下列各数的近似值 ： （１） ２ 解
１． ００１
（３） ｓｉｎ ２９° ；
； （２） ｌｎ１． ００２； （４）
３
７６ ．
（２ ｌｎ ２） Δ x． （１） 令 f （ x ） ＝ ２ ，ｄ f ＝
x x
取 x０ ＝ １，Δ x－ ０． ００１，则 ２
１． ００ １ １ １
≈ f （１） ＋ ｄf ｜ x ０ ＝１ ， Δ x ＝０ ． ０ ０１ ＝ ２＋ ０． ００２ × ｌｎ２≈２． ００１３８６（ ｌｎ２≈０． ６９３１） ． ｌｎ （１． ００２） ≈ f（１） ＋ ｄf
边际收益为
于是 ，边际利润为
１８．已知某产品的需求函数和总成本函数分别为 ： 其中 x 为销售量 ，P 为价格 ． 解 利润函数为
１ １０ ． L′ （ x） ＝ ［ R （ x） － C（ x） ］ ′ ＝ R′ （ x） － C′ （ x） ＝ ２ － （x ＋ ２） x p＝ １０００ － ２ x ，C （ x ） ＝ ５０００ ＋ ２０ x
２ ２
∴y ′ （ x） ＝ ｌｉｍ Δ x ０
→
＝ （x ＋ Δ x） － x ＋ ３Δ x＝ （２ x ＋ ３＋ Δ x） Δ x Δ y ＝ｌｉｍ （２ x ＋ ３＋ Δ x） ＝ ２x ＋ ３． Δ x Δx → ０
《经济数学微积分》微分方程
ln y kx C1 (C1为任意常数） y ekxC1 即 y ekx eC1
令 C eC1 ,得 y Cekx
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含
量 M 成正比,已知 M t0 M 0,求衰变过程中铀含
量 M (t )随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
其中比例常数k=a-b，a为自然出生率，b 为自然死亡率.
3、商品的价格调整模型 设某商品在时刻t的售价为P,需求函数
和供给函数分别为
D(P) a bP 与 S(P) c dP
其中a、b、c、d均为正常数，那么在时刻t 的售价P(t)对于时间t的变化率与该商品在同 一时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，则有
d2 x dt 2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin kt,
将
d2 x dt 2
和x的表达式代入原方程
,
得
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt )
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt ) 0
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
dx
x A,
2.解法 作变量代换
u y, x
即 y xu,
dy u x du ,
dx 代入原式,得
u
dx x
du
(u),
dx
du (u) u
= dx x
可分离变量的方程
例4 求解微分方程 ( x 3 y 3 )dx 3 xy 2dy
解
dy dx
x3 y3 3 xy2
y x
3
1
3
y x
2
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
有理函数的积分_经济数学——微积分（第2版）（微课版）_[共3页]
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经济数学———微积分（第２版）（微课版）１２２ ＝－∫１ｃｏｓ狓ｄ（ｃｏｓ狓）＝－ｌｎｃｏｓ狓＋犆类似可得∫ｃｏｔ狓ｄ狓＝∫ｃｏｓ狓ｓｉｎ狓ｄ狓＝∫１ｓｉｎ狓ｄ（ｓｉｎ狓）＝ｌｎｓｉｎ狓＋犆从以上例题可以看出，凑微分的过程实际上也是一个求原函数的过程．凑微分的常见类型如下．（１）∫犳（犪狓＋犫）ｄ狓＝１犪∫犳（犪狓＋犫）ｄ（犪狓＋犫） （犪≠０）；（２）∫犳（狓μ）狓μ－１ｄ狓＝１μ∫犳（狓μ）ｄ（狓μ）；（３）∫犳（ｅ狓）ｅ狓ｄ狓＝∫犳（ｅ狓）ｄｅ狓；（４）∫犳（ｌｎ狓）狓ｄ狓＝∫犳（ｌｎ狓）ｄ（ｌｎ狓）；（５）∫犳（ｓｉｎ狓）ｃｏｓ狓ｄ狓＝∫犳（ｓｉｎ狓）ｄ（ｓｉｎ狓）；（６）∫犳（ｃｏｓ狓）ｓｉｎ狓ｄ狓＝－∫犳（ｃｏｓ狓）ｄ（ｃｏｓ狓）；（７）∫犳（ａｒｃｔａｎ狓）１＋狓２ｄ狓＝∫犳（ａｒｃｔａｎ狓）ｄ（ａｒｃｔａｎ狓）；（８）∫犳（ｔａｎ狓）ｓｅｃ２狓ｄ狓＝∫犳（ｔａｎ狓）ｄ（ｔａｎ狓）；有理函数的不定积分（９）∫犳（ｃｏｔ狓）ｃｓｃ２狓ｄ狓＝－∫犳（ｃｏｔ狓）ｄ（ｃｏｔ狓）；（１０）∫犳（ａｒｃｓｉｎ狓）１－狓槡２ｄ狓＝∫犳（ａｒｃｓｉｎ狓）ｄ（ａｒｃｓｉｎ狓）．3．2．2 有理函数的积分在上节中，例３．１４、例３．１５的被积函数都是有理函数（形如犘（狓）犙（狓），犘（狓）、犙（狓）均为多项式函数），这种积分称为有理函数的积分．除这两个例题的类型外，对于分母比较复杂的有理真分式的积分还需要先进行部分分式，然后再求积分．有理真分式犘（狓）犙（狓）（犘（狓）的次数小于犙（狓）的次数）的分母犙（狓）在实数范围内一定可以分为若干个一次因式（可以重复）或若干个不可分解的二次因式（可以重复）的乘积．按照分母中因式的情况，将真分式犘（狓）犙（狓）拆成以犙（狓）的所有因式为分母的简单真分式之和，这种方法就称为部分分式法．部分分式的目的在于方便利用基本积分公式进行积分．根据分母中因式的情况，真分式犘（狓）犙（狓）的部分分式的形式主要有以下两种．。
吴传生 经济数学 微积分 第二版 第三章 习题课PPT
f (e ) e 1
(9) 设f ( x ) x( x 1)( x 2)( x 1000), f (0) 1000 !
解： f (0) lim f ( x ) f (0)
x 0
x
lim( x 1)( x 2) ( x 1000)
x0
且：f (0) f (0)
f ( x )在x 0点可导
sin x x 0 例7 设f ( x ) , 求 f ( x ) x0 x 解： 0时，f ( x ) (sin x ) cos x x
x 0时，f ( x ) ( x ) 1
x 0
f ( x )在x 0处左连续，
x0
lim f ( x ) lim x 1 1 x )（ 1 1 ) 0 f (0) （
x0
f f ( x )在x 0处右连续，( x )在x 0处连续；
1 x 0 ln( x 1) [设 f ( x ) , 讨 论f ( x )在 x 1 1 x 0 x 1 x 0处的 连续性和 可导性 ]
第三章 习 题 课
一 教学要求
二 内容提要
三 教材习题选解
P113，T3
四 典型例题分析
例1 填空：
x (1) 设f ( x0 ) 1, 则 lim x 0 f ( x 2 x ) f ( x x ) 0 0
1
解： lim f ( x0 2 x ) f ( x0 x ) x 0 x [ f ( x0 2 x ) f ( x0 )] [ f ( x0 x ) f ( x0 )] lim x 0 x f ( x0 2 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) lim lim x 0 x 0 x x f ( x0 2 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 2 lim lim 2 x 0 x 0 2x x 2 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 1 原式 1
微积分教学大纲
微积分教学大纲一、使用说明一课程性质微积分是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一,它有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用;微积分作为一学年的课程,是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的,制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解,为进一步学习专业课打下坚实的基础;二教学目的通过本课程的学习,使学生较好地掌握微积分特有的分析思想,并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解,并能运用其手法解决实际问题中的简单课题;三教学时数本课程共132学时,8学分;四教学方法采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;五面向专业经济学、管理学所有本科专业;二、教学内容第一章函数一教学目的与要求教学目的使学生正确理解函数的定义;理解函数的各种表示法,特别是分析表示法;了解函数的几何特性及图形特征,了解反函数、复合函数概念;熟练掌握基本初等函数的性质及图形,掌握初等函数的结构并能确定其定义域,能列出简单的实际问题中的函数关系;基本要求1、理解实数与实数的绝对值的概念;2、理解函数、函数的定义域和值域,熟悉函数的表示法;3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征;4、了解反函数概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数;5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法;6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质;7、了解分段函数的概念;8、会建立简单应用问题的函数关系;二教学内容函数的定义,函数的几何特性,反函数,复合函数,初等函数,经济中的常用函数;教学重点：1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形;2、初等函数的概念,复合函数的复合步骤的分解方法;3、几个常用经济量的含义及几个常用的经济函数;教学难点：1、复合函数的复合步骤的分解方法;2、利用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的方法;第一节预备知识一、实数二、绝对值三、区间四、邻域五、集合第二节函数概念一、常量与变量二、函数的定义与表示法三、函数定义域的求法第三节函数的几何特性一、函数的单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性第四节反函数一、反函数的定义及其图形二、反三角函数及其主值第五节复合函数一、复合函数的定义二、运算及举例第六节初等函数一、基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形二、初等函数的定义第七节分段函数一、分段函数的概念二、分段函数的图形特征第八节建立函数关系的例子一、总成本函数、总收入函数、总利润函数二、需求函数、供给函数三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数6学时;第二章极限与连续一教学目的与要求教学目的通过本章教学使学生理解极限与连续这两个高等数学中的基本概念掌握极限运算法则和两个极限存在准则,了解间断点的概念和闭区间上连续函数的性质;基本要求1、了解数列极限与函数极限概念;关于数列极限与函数极限分析定义不做要求;2、了解无穷小量的概念与基本性质,掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量与无穷大量的关系;3、知道两个极限的存在性定理,并能用于求一些简单的极限;夹逼定理,单调有界数列的极限存在性定理;4、熟练掌握两个重要极限,两个重要极限的证明不作要求;5、了解函数连续性的概念,函数间断点的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法;6、了解连续函数的性质,理解初等函数在其定义区间内必连续的结论;7、了解闭区间上连续函数的基本定理,基本定理的证明不作要求;8、掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的方法;二教学内容数列极限,函数极限,极限的基本性质,无穷小及无穷大,极限的四则运算,极限存在准则及两个重要极限,函数连续的概念及性质;教学重点：1、极限概念、极限的运算法则;2、两个重要极限,求极限的一些基本初等方法;3、函数连续性的概念、间断点的分类;教学难点：1、极限的概念;2、分段函数的连续性;3、间断点的分类;第一节 数列的极限一、数列的概念二、数列极限的定义与几何意义三、数列极限的唯一性及收敛数列的有界性第二节 函数的极限一、0x x →时,函数()f x 的极限二、x →∞时,函数()f x 的极限三、函数极限的几何解释四、单边极限第三节 极限的基本性质一、唯一性二、有界性三、保号性四、不等式性第四节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量的定义与基本性质二、无穷小量的比较三、无穷大量的定义四、无穷小量与无穷大量的关系第五节 极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第六节极限的存在性定理一、夹逼定理二、单调有界数列的极限存在性定理第七节两个重要极限一、0sin1lim xx x→=二、1(1)lim xxex→∞+=第八节函数的连续性一、函数的改变量二、函数的连续性,左连续与右连续三、函数的连续性与极限的关系四、函数的间断点及其分类五、连续函数的和、差、积、商的连续性六、反函数与复合函数的连续性七、初等函数的连续性七、分段函数的连续性第九节闭区间上连续函数的基本定理一、有界性定理二、最值定理三、介值定理四、零点定理三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第三章导数与微分一教学目的与要求教学目的让学生理解导数与微分的概念,导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系;掌握导数四则运算法则,初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确定的函数的一阶二阶导数的求导方法,会求简单的n阶导数;基本要求1、了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系;2、熟练掌握基本初等函数的导数公式;3、熟练掌握导数的四则运算法则;4、掌握反函数的导数公式证明不作要求;5、熟练掌握复合函数的链式求导公式证明不作要求6、掌握隐函数求导法与对数求导法;7、了解高阶导数概念,掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法;8、了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；熟练掌握微分法则与微分基本公式；了解微分形式的不变性;9、知道边际与弹性的概念,会求解简单的经济应用问题;二教学内容导数概念；导数的和、差、积、商的求导法则；反函数的导数；复合函数的求导法则；高阶导数；隐函数的导数；函数的微分；微分在近似计算中的应用;教学重点：1、导数定义,利用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数;2、复合函数的导数;3、微分的定义以及计算方法;教学难点：1、导数概念的建立;2、复合函数的导数;3、微分概念的建立,微分形式不变性;第一节导数的概念一、变速直线运动的速度二、平面曲线的切线斜率三、导数的定义与几何意义四、可导与连续的关系第二节基本初等函数的导数公式推导基本初等函数的导数公式;第三节导数的四则运算导数的和、差、积、商的求导法则;第四节反函数与复合函数的导数,隐函数的导数,对数求导法一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、隐函数的导数四、对数求导法第五节高阶导数的概念与求法一、高阶导数的概念二、高阶导数求法第六节微分一、微分的定义与几何意义二、可导与可微的关系三、微分法则与微分基本公式四、微分形式的不变性第七节导数与微分的简单应用一、边际与弹性概念二、边际与弹性经济学意义三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数16学时;第四章中值定理与导数的应用一教学目的与要求教学目的使学生掌握中值定理的条件和结论;会用中值定理进行简单的推理论证,熟练运用洛必达法则求不定式的极限,掌握利用导数判断函数的单调性、极值、凹凸型和拐点的方法,并会描绘简单函数的图形,会用到书分析一些简单的经济问题;基本要求1、能叙述Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理,知道这些定理之间的联系,会利用这些定理证明一些简单的证明题如证明不等式;有关这些定理的证明不作要求;2、 熟练掌握00型、∞∞型的洛必达法则,了解其它未定式的定值方法;注意洛必达法则适用的条件;3、熟练掌握函数单调性的判别法;4、熟练掌握求函数的极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单的经济应用问题;5、掌握曲线凹凸性的判别法；掌握求曲线拐点与渐进线的方法;6、掌握函数作图的基本步骤与方法；会作某些简单函数的图形;二教学内容中值定理；洛必达法则；函数单调性、凹凸性及拐点的判定；函数的极值与最值及其求法；函数图形的描绘;教学重点：1、拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式;2、用洛必达法则求00,∞∞型的极限化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为00型或∞∞型;3、利用导数研究函数的单调性,极值及曲线的凹凸性;4、经济应用问题:最大利润,最小成本等;教学难点：1、三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进;2、化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为00型或∞∞型; 3、利用单调性和极值证明不等式;第一节 中值定理一、Rolle 定理二、Lagrange 定理三、Cauchy 定理第二节 洛必达法则一、洛必达法则二、洛必达法则的条件及其应用第三节 函数的单调性与凹凸性一、函数的单调性及其判别法二、函数的凹凸性及其判别法、拐点第四节 函数的极值与最值一、函数极值的定义二、函数取极值的必要条件与充分条件三、函数最值的概念四、求函数最值的基本步骤第五节 函数作图一、曲线的渐进线二、函数作图第五节 经济应用举例一、最大利润二、最小成本三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数18学时;第五章 不定积分一教学目的与要求教学目的通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,还原法和分部积分法,会求一些简单的有理函数的积分;基本要求1、了解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质;2、熟悉基本积分公式;3、熟练掌握计算不定积分的两种换元法和分部积分法;4、会计算三种简单的分式的不定积分：A dx x a -⎰, ()m A dx x a -⎰, 22(40)Mx N dx p q x px q+-<++⎰ 二教学内容不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分;教学重点：1、原函数,不定积分的定义,基本积分公式;2、换元法,分部积分法教学难点：1、第一换元法,第二换元法,分部积分法;2、有理函数式化部分分式代数和;第一节 不定积分的概念一、原函数的概念二、不定积分的定义与几何意义三、不定积分的基本性质第二节基本积分表基本积分公式;第三节换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法第四节分部积分法一、分部积分公式二、分部积分公式应用第五节有理函数的积分一、简单分式的不定积分二、真分式的分解三、求有理函数不定积分的一般步骤与方法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第六章定积分一教学目的与要求教学目的使学生理解定级分和广义积分的概念,掌握定积分的计算方法.会计算简单的广义积分,另外会用定积分求解一些简单的几何和经济问题;基本要求1、了解定积分的概念与基本性质,掌握积分中值定理;2、会求变上限积分的导数,熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式;3、熟练掌握定积分的换元积分公式与分部积分公式;4、会利用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、及简单的经济应用问题;5、了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的方法;知道广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的收敛条件;知道Γ函数的定义、性质与递推公式;二教学内容定积分的概念与性质；微积分基本定理；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分在面积、体积与经济学中的应用；广义积分;教学重点：1、定积分的概念,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的计算;2、定积分的换元法及分部积分法;3、平面图形的面积计算;教学难点：1、定积分几何意义,变上限定积分;2、广义积分的敛散性;3、”微元法”的基本思想;第一节定积分的概念与性质一、曲边梯形的面积二、定积分的定义与几何意义三、定积分的基本性质四、积分中值定理第二节微积分基本定理一、变上限积分与原函数存在定理二、变上限积分的求导方法三、牛顿——莱布尼兹公式第三节定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法第四节定积分的应用一、平面图形的面积二、立体的体积三、简单的经济应用问题第五节广义积分初步一、无穷积分的概念与无穷积分收敛与发散的定义及其计算二、瑕积分的概念与瑕积分收敛与发散的定义及其计算三、广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的敛散性判别四、Γ函数的定义、性质与递推公式五三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第七章多元函数微积分学一教学目的与要求教学目的使学生了解空间直角坐标系的有关概念及多元函数的概念.理解多元函数微分理论,掌握多元函数微分的基本计算方法和在求极值方面的应用.了解二重积分的概念,性质.掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法及对特殊区域会用极坐标系去计算积分;基本要求1、了解空间直角坐标系的有关概念,会求空间两点间的距离;了解平面区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域等概念;2、了解多元函数的概念；掌握二元函数的定义与表示法;3、知道二元函数的极限与连续性的概念;4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法;5、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法;6、了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数极值的方法;7、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法,会计算一些简单的二重积分二教学内容多元函数的概念；偏导数；多元复合函数偏导数；隐函数的求偏导数；全微分；二元函数极值与条件极值；二重积分的概念、性质、计算法及应用;教学重点：1、偏导数的运算;2、复合函数的偏导数和全微分;3、条件极值与拉格朗日乘数法;4、二重积分定义,性质;5、在直角坐标系及极坐标系下计算二重积分教学难点：1、二元函数极限的概念;2、高阶偏导数的运算;3、复合函数的偏导数;4、极值应用问题的求解;5、二重积分定义;6、二重积分的定限第一节预备知识一、空间直角坐标系、空间两点间的距离与空间曲面与曲面方程二、平面上的区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域的概念第二节多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的定义域与几何意义三、二元函数的极限与连续性第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义与计算方法二、全微分的定义与计算方法第四节多元复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数概念与微分法二、隐函数微分法第五节高阶偏导数一、高阶偏导数的定义二、高阶偏导数的求法第六节多元函数的极值与最值一、二元函数极值的定义二、极值的必要条件与充分条件三、条件极值与拉格朗日乘数法四、多元函数最值的概念与求法第七节二重积分一、曲顶柱体体积二、二重积分的定义与基本性质三、二重积分的计算法四、在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数28学时;第八章无穷级数一教学目的与要求教学目的使学生掌握关于级数的基本概念和基本理论及有关级数收敛性的理论和方法.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,能熟练掌握简单的幂级数收敛区间的求法.基本要求1、了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散、收敛级数的和等基本概念;2、掌握几何级数与P级数敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性;3、掌握级数收敛的条件,以及收敛级数的基本性质;4、掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法;5、掌握交错级数敛散性的莱布尼兹判别法;6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法; 二教学内容常数项级数的概念与性质；正项级数的判别法；任意项级数的判别法；幂级数的概念；收敛半径；收敛区间;教学重点：1、正项级数收敛性的判别;2、交错级数的判敛.任意级数绝对收敛与条件收敛的概念;3、幂级数的收敛半径和收敛区间教学难点：1、对级数通项的认识并选定恰当的判敛法;2、任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念;第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数及其一般项与部分和的概念二、无穷级数收敛与发散的定义三、收敛级数和的概念四、几何级数与调和级数的收敛性五、无穷级数收敛的必要条件六、收敛级数的基本性质第二节正项级数一、正项级数收敛的概念二、正项级数收敛的充分必要条件三、正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法四、P级数的敛散性第三节任意项级数一、交错级数的概念二、交错级数敛散性的莱布尼兹判别法三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念四、绝对收敛与条件收敛的判别法第四节广义积分的敛散性判别法一、无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法二、广义积分的绝对收敛性三、Β函数的定义四、Β函数与Γ函数的关系第五节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数的概念三、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的概念四、幂级数敛散性判别法五、幂级数收敛半径、收敛区间的求法六、幂级数的基本性质第六节函数的幂级数展开一、泰勒公式及其余项二、泰勒级数与麦克劳林级数三、幂级数展开定理四、将函数展成幂级数的方法直接展开法、间接展开法五、基本初等函数的幂级数展开三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第九章微分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解微分方程的一些基本概念,掌握一些特殊而又简单的微分方程的解法,以及一阶线性方程,二阶常系数线性方程的解法,并会解一些简单的经济应用问题.基本要求1、了解微分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法;3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程；微分方程在经济学中的应用;教学重点：1、微分方程的概念;2、变量可分离的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的解法;教学难点：1、各种类型的微分方程的判别;2、建立实际问题的微分方程第一节微分方程的基本概念一、微分方程的定义二、微分方程的阶、解通解、特解、定解条件三、微分方程的初值问题第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程第三节高阶微分方程一、n阶微分方程的一般形式二、二阶常系数线性微分方程的特征根解法三、几种特殊的高阶微分方程的解法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数8学时;第十章差分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解差分方程的基本概念;掌握一阶,二阶常系数线性齐次差分方程的解法;会解一些特殊的一阶,二阶常系数线性非齐次差分方程;了解差分方程在经济学中的简单应用; 基本要求1、了解差分与差分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解法;3、会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容差分方程的基本概念；一阶与二阶差分方程的解法；差分方程在经济学中的应用;教学重点：1、差分与差分方程的概念;2、一阶、二阶常系数线性差分方程的特解、通解;教学难点：二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;第一节差分方程的基本概念一、差分与差分方程的概念二、差分方程的阶、解通解、特解第二节一阶常系数线性差分方程一、一阶齐次差分方程的通解二、一阶非齐次差分方程的特解与通解第三节二阶常系数线性差分方程一、二阶齐次差分方程的通解特征根解法二、二阶非齐次差分方程的特解与通解。
微积分第二版课件第三节偏导数与经济应用
每种产品的边际利润．
解(1)对产品 q的1 边际成本为
C q1
6q1
7
1.5q2
对产品q2的边际成本为
C q2
1.5q1
6
4q2
(2)
C q1
q15 (6q1 7 1.5q2 ) q15 41.5
q2 3
q2 3
(3) 利润函数
L(q1, q2 ) 30q1 20q2 C(q1, q2 ) 23q1 14q2 3q12 1.5q1q2 2q22
解 对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
同理
u 2xez cos( x2 y3) x u 3y2ez cos( x2 y3) y
u ez sin( x2 y3) z
3.二元函数偏导数的几何意义
二元函数 z =f (x, y) 的图形表示空间一张曲面. 当
y = y0时, 曲面z = f (x, y)与平面 y = y0 的交线方程为
由偏导数定义可知,求偏导数 fx，(x就, y是) 在函数 中视f (yx为, y常) 数，只对x求导数，因此有
类似地
fx (x,
y)
d dx
f
(x,
y)
y不变
fy (x,
y)
d dy
f
(x,
y)
x不变
这样求偏导数实际上是一元函数求导问题.
对于固定点 (x0, 处y0 )的导数有
fx (x0 , y0 ) fx (x, y) (x0 ,y0 ) fx (x, y0 ) xx0
4.偏导数与连续的关系 一元函数可导与连续的关系：连续 可导 对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
例
讨论函数
f
经济数学基础 微积分 第三章习题解答
尖点, 无切线, 不可导
无定义, 不可导
0
x
无确定切线, 不可导
0
x
尖点, 无切线, 不可导
8.讨论下列函数在x 0处的连续性与可导性；若可导，
求出f (0)：
1 x
(1) f ( x) 1 x
x0 x0
解 lim f ( x) 1 lim f ( x) 1
x0
x0
所以函数在x 0连续.
3
y 1 (0 6x2 ) 6 x2
16.求下列函数的导数
(1) y
ex ex
ex ex
(e x ) e x ( x) e x
y
(e x
ex
)(e x
ex (e x
) (e x ex )2
e x )(e x
ex
)
(e x e x )2 (e x e x )2
(e x ex )2
y 10( x )9 ( x ) 1 x 1 x
10(
1
x
x
)9
1 x x (1 x)2
10x9 (1 x)11
(6) y ln ln ln x 设y ln u,u ln v,v ln x
y (lnu) (lnv) (ln x) 1 1 1 uv x
1 1 1
1
lnln x ln x x x ln x ln ln x
(3) y
1 1 x2
(1
x2
1
)2
y
1
(1
x2
)
3 2
(1
x
2
)
2
x(1
x
2
)
3 2
1
(1
经济数学2(导数与微分)
第三章导数与微分这一章和下一章两章是关于一元函数的微分学部分。
本章主要讨论导数的概念、性质、运算。
对于函数的微分，在理论上和系统上都是更主要的概念，但却用的篇幅不多，似乎有点宣宾夺主。
若注意到函数的可微性和可导性等价，函数微分性的许多内容都是基于导数的。
第一节导数的概念一、问题的提出历史上，建立微积分的两个重要人物；英国的Newton和德国的Leibniz，他们虽然地处两地没有来往，分别从不同的物理和几何的角度提出了同一个问题，就是函数的导数的概念。
1、英国的Newton从物理的角度提出质点运动的瞬时速度。
运动学中质点位移S是时间t的函数)(t S。
在匀速运动时，],t[t0时段上的平均速度0t t t S t S v --=)()(。
而在变速运动时，显然速度v 也是时间t 的函数)(t v 。
那么0t 时点的瞬时速度该如何刻划呢？Newton 用极限的思想将其定义为：0000t t t S t S t v t t --=→)()(lim )( 2、德国的Leibniz 从几何的角度提出平面曲线的切线的问题。
平面几何曲线)(x f y =在一点))(,(00x f x P 处 切线该如何刻划？切线是条直线，在一点处只要知道其斜率就可确定。
可见这个问题的关键是定义切线的斜率。
在曲线上任意取一个动点))(,(x f x M ，则M 、P 两点确定了原曲线的一条割线。
它的斜率为：00x x x f x f k --=)()(。
当动点M 沿曲线向P 点逼近的极限位置就是P 点处的切线，它的斜率应为：000x x x f x f x x --→)()(lim 。
二、导数的概念1、函数)(x f y =在一点处导数的定义。
对于)(x f y =在其定义域内一点0x处0x x x -=∆ 对应得到函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若在0→∆x 下y ∆与x ∆之比的极限存在，则称此极限值为)(x f 在0x 点导数值，称)(x f 在0x 点可导， 记为：)()()(lim lim 00000x f xx f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆。
微积分(第二版)课本
微积分（第二版）课本引言微积分是数学中的一个重要分支，研究的是函数的变化率和积分。
它广泛应用于物理、工程、经济学等领域，是理工科学生必修的一门课程。
本文档将详细介绍微积分（第二版）课本的内容。
第一章：函数与极限在本章中，我们将学习函数与极限的概念。
函数是自变量和因变量之间的对应关系，而极限则描述了函数在特定点的趋近性质。
我们将介绍极限的定义、性质和计算方法，包括极限存在准则、无穷大与无穷小、洛必达法则等内容。
第二章：导数与微分在这一章中，我们将学习函数的导数与微分。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则是导数的一个应用。
我们将介绍导数的定义、性质和计算方法，包括常见函数的导数计算、高阶导数和隐函数求导等。
在本章中，我们将学习不定积分与定积分的概念与应用。
不定积分是求解导数的逆运算，而定积分则是计算曲线下面积的方法。
我们将介绍不定积分的定义、性质和计算方法，包括换元法、分部积分法和定积分的应用等内容。
第四章：微分方程微分方程是描述自变量与因变量之间关系的方程，是微积分的一个重要应用领域。
本章将介绍常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程等，并给出一些实际问题与微分方程的应用例题。
第五章：多元函数与偏导数在这一章中，我们将学习多元函数与偏导数的概念。
多元函数是有多个自变量的函数，而偏导数则描述了函数在某一变量上的变化率。
我们将介绍多元函数的极限、连续性和偏导数的计算方法，以及二阶偏导数和多元函数的应用。
重积分和曲线积分是计算多元函数积分的方法之一，用于求解曲面面积和曲线长度等问题。
本章将介绍二重积分和三重积分的定义、性质和计算方法，包括极坐标、柱面坐标和球面坐标下的积分换元法，以及曲线积分的定义和计算方法。
第七章：级数级数是数学中一个重要的数列和数学分析概念，用于描述无穷项之和。
在这一章中，我们将介绍级数的概念、求和方法和收敛性判别准则，包括正项级数、比值判别法、根值判别法等，以及级数的应用。
课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第5章 多元微积分
3
lim
= (1,2) = .
→1
2
→2
二元函数连续性概念, 类似地可以推广到二元以上的函数.
第一节 多元函数的基本概念
三、偏导数
1.偏导数的定义与计算
定义 4 设二元函数 = (, ) 在点 0 , 0 及其附近有定义, 当 固定在 0 , 而 在 0 处有 改变量 Δ 时,
directories
目
录
第五章 多元函数微分学
• 第一节 二元函数与偏导数
• 第二节 二元函数的极值
第六章 多元函数微分学
学习重点
学习多元函数及多元函数的微分与积分的问题；遵循与一元函数相同的
分析思路，重点学习二元函数的极限、连续及其微分学.
第一节 多元函数的基本概念
一、二元函数的概念
在实际生活中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系.例如，矩形面积S与它的长x、宽y之间具
解 先求偏导数
2
(, ) = e ⋅ 2
2
(, ) = e ⋅ 2
把点 (0,1) 代人上式得
2
(0,1) = 2 e ቚ
(0,1)
′
′
= 2 e
2
= 2e
2
2
= 1, (0,1) = 2e ቚ
(0,1)
= 0.
元函数类似, 二元函数具有如下性质:
(1) 二元连续函数的和、差、积、商 (分母不为零) 仍为连续函数;
(2) 一切二元初等函数在其定义域内是连续的;
(3) 在有界闭区域上的二元函数有最大值和最小值.
例 2 求 lim→1
→2
+
.
微积分3-5. 导数在经济学中的应用ppt课件
解 因为 y 300e3x ，于是
Ey Ex
300e3
x
x 100e3x
3x
f (x) 0
所以
Ey Ex
x2 6
弹性的实际意义是在x 2 处当自变量改变1％时，
的函数值改变6％
18
弹性在经济学中常应用于研究需求量与价格之间的变化关系. 需求是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力 购买的商品量. 商品的需求量一般与价格有关，描述需求量与价格关系的函数 称为需求函数.
加（减少） R x0 个单位。
9
例.某商品销售量 x与价格 P之间的函数关为 P 10 0.01x 。
求当销售量分别为400，500，600时的总收益和边际收益，并说明 边际收益的经济意义
解 因为总收益函数为 R(x) x P(x) 10x 0.01x2 所以，当销售量 x 400,500, 600 时的总收益分别为
弹性
因变量变动的比率 自变量变动的比率
1144
利用函数与自变量的相对改变量之比研究经济变量对另一 个经济变量变化的反应程度的方法称为弹性分析.
定义 设 y f (x) 在点 x0 量的相对增量(变化率)，y
y0
处可导，且 x0 0,
f x0 x f x0 f x0
x 为自变 x0 为函数的相
x x0
x0
x
L x表0 示产量为 时x0的边际利润，其经济意义是当产量为 x时0， 每增加（减少）一个产量，利润将增加（减少） L x0个单位.
11
由L x R x C x ，显然边际利润可由边际收益与边际成本决定. 即当 R x C x 时，L(x) 0；当 R x C x时，L(x) 0； 当 R x C x 时 ，L(x) 0
《经济数学第二版》教学课件
《经济数学第二版》教学课件xx年xx月xx日•教学计划与目标•教学内容•教学方法与手段目录•学生需要掌握的技能•教学评价与反馈•教学反思与总结01教学计划与目标第一章函数与极限第四章多元函数微积分第二章导数与微分第五章常微分方程第三章不定积分与定积分第六章概率论与数理统计教学计划教学目标掌握基本数学概念、方法和理论理解数学在经济中的应用培养学生的数学思维和解决问题的能力教学内容与学时分配导数与微分（8学时）多元函数微积分（16学时）概率论与数理统计（16学时）函数与极限（4学时）不定积分与定积分（12学时）常微分方程（8学时）01020304050602教学内容重点掌握函数的定义、性质和图像表示，理解函数的极限和连续的概念及性质。
极限掌握极限的定义和基本性质，会求简单函数的极限，理解函数极限存在的条件。
函数函数与极限VS导数与微分导数理解导数的概念和基本性质，掌握求导法则和导数的应用。
微分掌握微分的概念和基本性质，理解微分与导数的关系，掌握微分的应用。
积分学积分理解积分的概念和基本性质，掌握积分的基本方法和技巧。
广义积分理解广义积分的概念和基本性质，掌握广义积分的基本方法和技巧。
概率论与数理统计概率论理解概率论的基本概念和方法，掌握随机事件的概率计算和基本随机变量的分布。
数理统计理解数理统计的基本概念和方法，掌握样本数据的分析和推断。
线性代数向量与矩阵理解向量、矩阵的基本概念和性质，掌握矩阵的运算和逆矩阵的计算。
行列式与特征值理解行列式的概念和性质，掌握行列式的计算和应用，理解特征值的概念和计算方法。
理解边际分析的基本概念和方法，掌握边际函数和边际曲线的计算和应用。
最优化理论理解最优化理论的基本概念和方法，掌握静态最优和动态最优的计算和应用。
边际分析数理经济学VS03教学方法与手段课件内容全面使用PowerPoint等软件，将课程内容制作成多媒体课件，涵盖了经济数学的基础知识、基本概念、常用公式、应用案例等方面。
第三章 导数与微分 《经济数学》PPT课件
03
第3章 导数与 微分
PART
03
3.1
导数
导数是数学中的一个分支——微积分的两个基本概念之一,它
表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变 量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述 这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样 的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中 应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的 描绘、最优化问题的讨论以及变化率的分析等.
,
即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导
数不存在.
3. 1. 5
高阶导数
在本小节中,我们将讨论一个量的变化率的变化率.这样的变化率 有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而 速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路程的单位是千米,时 间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千 米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.
上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通 货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率 在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比 以前那样增长得快了.
3. 1. 5
高阶导数
1) 高阶导数的概念 ➢ 设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f '(x)给出.类似地,函数f
3.2 1 微分的定义
关于微分定义的几点说明: ➢ (1)函数的微分dy是Δx的一次函数,它不仅与Δx有关,而且与x也
有关.函数的微分dy与Δy只差一个比Δx高阶的无穷小,它是Δy的 主要部分,所以也称微分dy是函数改变量Δy的线性主部. ➢ (2)若函数y=f(x)在x处的改变量Δy可以表示成Δx的线性函数 k(x)Δx与一个比Δx高阶的无穷小之和Δy=k(x)Δx+o(Δx),则称 函数y=f(x)在点x处可微. ➢ (3)由于自变量x的微分dx=(x)'Δx=Δx,故dx可理解为自变量x的 改变量Δx.于是dy=f '(x)Δx=f '(x)dx,即函数的微分等于函数的 导数乘上自变量的微分.
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(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y
3
x
2 0
x
.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2. 定义
设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy x x0 或df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
dy yxdx f (u)g( x)dx
又因为g( x)dx du,
所以复合函数y f [g( x)]的微分公式也可写成
dy f (u)du 或 dy yu du ;
(对于函数y f (u),当u是自变量时,dy f (u)du ) 结论： 无论u是自变量还是中间变量, 函数
y f (u)的微分形式总是 dy f (u)du
三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
第七节 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式
与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题
一、微分的定义(differential)
1.实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02, A ( x0 x)2 x02
e13x (3cos x sin x)dx.
例4 设 y sin( 2x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2x 1. dy cosudu cos(2x 1)d(2x 1)
d(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d(
arc
cot
x
)
1
1 x
2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv
d(Cu) Cdu
d(uv) vdu udv
d( u ) v
vdu udv v2
3. 复合函数的微分法则
设函数y f (u)及u g( x)都可导,则复合函数 y f [g( x)]的微分为:
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x2x x2 0.24.
x0.02
x0.02
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,
记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
二、微分的几何意义
( geometrical meaning of the differential )
几何意义:(如图) y T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d(loga
x)
1 dx x lna
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
微分dy叫做函数增量 y的线性主部. (微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时,dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
(x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
3. 可微(differentiable)的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
微分形式的不变性
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1 2 xe x2 x ex2
,
1 2 xe x2 dy x e x2 dx.
例3 设 y e13x cos x, 求dy.
解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx