湖南师范大学高等数学25函数的微分及其-24页精选文档

常用的近似计算公式：
若函数 f ( x)在 x处可微,且 f(x0)0，当 x
充分小时 ,有 yd yf(x0) x
（1）
即 y f( x 0 x ) f( x 0 ) f( x 0 ) x
或 f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x （2）
因此复合函数微分公式可以写成：
dyf(u)du
结论：对y f (u),无论 u是自变量还是中间
变量 ，均有
dyf(u)d.u
这一性质称为一阶微分形式不变性.
例6 求函数 y esin2 x的微分.
解 d ydsei2 nxesi2 nxdsi2n x 2 sx is n e 2 ix n d sx i n s2 ix n se 2 ix n d. x
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
d(ax)axlnadx d(ex)exdx
d(loaxg)xl1nadx
d(lnx)1dx x
d(arcsinx) 1 dx 1 x2
d(arctanx)
1 1 x2
dx
d(arccosx) 1 dx 1 x2
d(arccotx)
1 1 x2
dx.
二、微分四则运算法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
例4 求函数 ye2xsi3 nx的微分.
解 d y d2 xe d s3 ix n 2 e 2 xd x 3 c3 o xs d
(2e2x3co3xs)d.x
例5 求函数 y sin x 的微分. x2
例3 求函数 y e x在 x 0, x0.02时的微分.
解 d y(ex)xexx.
d yx0 e2xx0 e00.0 20.0.2
x0.0 2
x0.0 2
2.5．2微分的几何意义
几何意义:(如图)
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
当 x 很小时，
y
M
T
o(x)
x0x
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x
2x0x(x)2.
A分成两部分:
Ax02 x0x x 0
（1）x的线性函数 主要部分
（2）x的高阶无穷小 (x)2 o(x). 图2-4
二、微分的定义
定义 设函数y f (x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f (x0 x) f (x0) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f (x)在点x0可微, 并且称A x为函数 y f (x)在点x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy xx0 或df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
解 d yd(sxi2xn)x2dsixn x4sixnd2 x
xcoxs2sinx
d.x
x3
三、复合函数的微分法则 及一阶微分形式不变性
设 y f(u),u(x)则复合函数 yf[(x)]
的微分为：
d y f(x )(x )d x
由于 f( x ) f( u ), ( x ) d d xu
例7 在下列等式左端的括号内填入适当函数，
使等式成立：
(1) d( )x2d;x(2) d( )si n td . t
解（1） (1x3) x2, d(1x3)x2dx.
3
3
（2） 1(c o t) s 1( sitn )sitn
d( 1cost)si ntd. t
2.5.4微分在近似计算中的应用
y
M0
dy
dy yf(x)
x N
）
o
x0 x0x
x
在点M 0的邻近，
可以用切线段 M 0T 来近似代替曲线段 M 0M.
2.5.3微分公式与运算法则
一、基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
充分性 函f(数 x)在x0 点 可,导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0( x 0 ),
f(x 0 ) x o ( x ),
由定义知:
(1)d是 y 自变量的 x的 改线 变性 量 ; 函数 (2 )A 是 x无 与关 ,但 的 f(x 与 )和 常 x0有 数 ; 关
(3)ydyo(x)是 比 x高阶无 ; 穷小
(4)当A0时,d与 y y是等价无 ; 穷小
y dy
1 o(x) A x
1( x 0 ).
(5)当 x很小 , yd时 y(线性 ). 主部
基本要求
1. 理解微分的概念；理解导数与 微分的关系
2. 了解微分的四则运算法则和 一阶微分形式不变性
3.会求函数的微分
2.5.1微分的概念及函数可微的条件
一、引例 正方形金属薄片受热后面积的改变量
设正方形边长为 x, 面积为A ，设边长由x 0变到
x0 x，则面积A相应的增量
x0
x (x )2
A(x0x)2x0 2
三 、可微与可导的关系
定理 函数 f (x) 在点 x 0可微的充分必要条件是 f ( x)在点 x 0 可导, 且 dyf(x0)x.
证 必要性 f(x)在x点 0可,微
y A x o ( x ) ,yAo(x).
x
x
则 lim yA lim o( x)A.
x 0 x
x 0 x
dyf(x)d.xdy f (x).
dx
函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数
的导数。因此，导数也叫做“微 商”。
例1 求函数 y x3 分别在 x 1和x 3
处的微分.
解 dx y 1 (x 3 )x 1 x 3 x ;
dxy 3(x3)x 3 x2 7 x.
例2 求函数 ysinx的微分. 解 d y (sx )i n x co x x .s
函 f ( x ) 在 x 数 0 可 ,且 点 f ( x 0 微 ) A .
即 可微可导，且 dyf(x)x
若函数 f ( x)在区间 I内每一点处都可微,就称f ( x)
是 I内的可微函数.
函数 f (x) 在区间 I内任一点处的微分就称为函数
的微分，记为
dyf(x)x.
通常把自变量的增量 x称为自变量 x的微分， 记作dx，即 dxx.于是