湖南师范大学高等数学25函数的微分及其-24页精选文档
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大学高等数学第五版上课件D25微分
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微分与导数的关 系：微分和导数 是互逆运算，一 个函数的微分等 于其导数的相反 数。
微分的运算规则： 微分运算满足链式 法则、乘积法则、 商的微分法则等运 算规则，这些规则 可以方便地用于计 算复杂函数的微分。
微分与极限的关系： 微分是函数在某一 点附近的变化率的 极限，即当自变量 变化很小时，微分 的值就是函数在该 点附近的变化率。
微分的基本公式和运算 法则
微分的基本公式
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微分的基本公式：f'(x) = lim [f(x+h) - f(x)] / h
添加标题
微分的基本公式：f'(x) = f'(a) + f''(a)/2!*(x-a) + f'''(a)/3!*(x-a)^2 + ...
添加标题
微分的基本公式：f'(x) = f'(a) + f''(a)/2!*(x-a) + f'''(a)/3!*(x-a)^2 + ...
添加标题
判定方法：通过导数的正负来判断。如果导数大于0，则函数在该区间内单调增加；如果导数小于0， 则函数在该区间内单调减少。
添加标题
应用：在经济学、物理学、工程学等领域中，函数的增减性都有广泛的应用。例如，在经济学中，函数的增减性可以用来 分析需求和供给的变化趋势；在物理学中，函数的增减性可以用来描述物体的运动状态和变化趋势；在工程学中，函数的 增减性可以用来分析结构的稳定性和安全性。
微分的定义
微分公式：f'(x)表示函数f(x)在x点 的导数，即f(x)的微分与自变量增 量dx的比值
湖南师大 高三数学 第四讲 函数的概念及其表示课件 新人教A版
则f (3)＝________.
1x 2
题型五、映射
例9 已知集合A＝{1，2，3，k}， B＝{4，7，a4，a2＋3a}，其中a，k为正 整数.设x∈A，y∈B，对应法则f：x→y ＝3x＋1是从A到B的映射，求a，k的值.
例10（1）设集合A＝{－1，0，1}，
B＝{2，3，4，5，6}，映射f：A→B满足：
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
f
（2）已知
(1)
.
f (12x) 1x2x2
，则
2
ห้องสมุดไป่ตู้
（3）已知函数f(x)满足：对任意实数a， b都有 f( a b ) f( a ) f( b ) a b ， 1 且 f(－2)＝－2，则f(1)＝ .
例8、已知定义域为{x|x∈R，且x≠1，
x≠0}的函数f(x)，满足 f( 1 )1f(x)1
A、 y [ x ] B、 y [ x 3 ]
10
10
C、 y [x 4] D、 y [x 5]
10
10
例 3、 已 知 定 义 域 在 R上 的 函 数 f(x)满 足
fx23fx,当 x[0,2]时 ， f(x)x22x
求 当 x[4,2]时 ， f(x)的 解 析 式 .
题型二、求函数的定义域 例4、P18例2
第四讲 函数的概念及表示
知识回顾
1．函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种 确定的对应关系f，使对于集合A中的任 意一个数x，在集合B中都有唯一确定的 数f(x)和它对应，则称f：A→B为从集合 A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)， x∈A.
2.函数的定义域和值域： 定义域：自变量的取值范围. 值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}.
25函数的微分 共46页
5
3. 可微满的足充什分么必条要件条的件函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢?
定理 微函 分与数 导f(数x)有在 何关点 x0系可 呢?微 函数f(x)
在点 x下0处 面的可定,导 且 理回A 答了f(这x0 些)问即,题有.
d yf(x 0) x .
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
例8 半 径 10cm的 金属 圆 片 ,半加径热伸后长 了 0.05cm,问 面积 增 大 ? 了 多 少
解 设Ar2,r10cm, r0.0c5m .
AdAArr 2rr
lxi m 0 xyf(x0),即 x yf(x(0)x,0, 0)
从而 y f ( x 0 ) x (x ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函f数 (x)在x0 点 可,且 微 f(x0)A .
可导 可微 .其微分一定是 d yf(x 0)x .
求导法又叫微分法
7
注 (1)当 f(x0)0时 ,有 第一章第七节定理1 (58页)
lim
x0
y
dy
lim
x0
y
f(x0)x
1 lim y f ( x0 ) x0 x
f
1 ( x0 )
f (x0)
1.
从,而 当 x 0时 ,y~dy. yd yo (d y).
d(taxn)se2cxdx d(cox)tcs2cxdx
d(sexc)sexctaxndx d(csxc)csxccoxtdx
16
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
3. 可微满的足充什分么必条要件条的件函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢?
定理 微函 分与数 导f(数x)有在 何关点 x0系可 呢?微 函数f(x)
在点 x下0处 面的可定,导 且 理回A 答了f(这x0 些)问即,题有.
d yf(x 0) x .
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
例8 半 径 10cm的 金属 圆 片 ,半加径热伸后长 了 0.05cm,问 面积 增 大 ? 了 多 少
解 设Ar2,r10cm, r0.0c5m .
AdAArr 2rr
lxi m 0 xyf(x0),即 x yf(x(0)x,0, 0)
从而 y f ( x 0 ) x (x ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函f数 (x)在x0 点 可,且 微 f(x0)A .
可导 可微 .其微分一定是 d yf(x 0)x .
求导法又叫微分法
7
注 (1)当 f(x0)0时 ,有 第一章第七节定理1 (58页)
lim
x0
y
dy
lim
x0
y
f(x0)x
1 lim y f ( x0 ) x0 x
f
1 ( x0 )
f (x0)
1.
从,而 当 x 0时 ,y~dy. yd yo (d y).
d(taxn)se2cxdx d(cox)tcs2cxdx
d(sexc)sexctaxndx d(csxc)csxccoxtdx
16
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
《微积分教学资料》25函数的微分.doc
1. 已知y = F-x,计算在x = 3处当Ar 分别等于1, 0.1, 0.01时的及〃y 。
【解】由于在x = 3处有：Ay = y(3 + Ax) - y(3) = [(3 + Ar)1 2 一 (3 + Ax)]-(32 一 3) = 5Ar + (Ar)2 dy - y '⑶dx = (2x 一 1) | r=3 dx = 5dx于是，当 Ar = l 时，Ay = 5x14-12 = 6 , dy = 5xl=5；当Ax = 0」时，Ay = 5x0」+ 0」2=0.51, dy = 5x0」=0.5；当 Ar = 0.01 时，Ay = 5x0.01 + 0.012 =0.0501, ^ = 5x0.01 = 0.05 o2. 求下列函数的微分：(Dy =—+Vx ；【解法一】由于y' = — + £『‘得=(— + °【解法二】 (2)y = xcos2x ；【解法一】由于 y 1 = cos 2x-2xsin 2x > 得dy = (cos 2x-2x sin 2x)dx o【解法二】dy = J(xcos 2x) = (cos Zxdx - x • sin 2x • 2x) = (cos 2x - 2x sin 2x)dx o ⑶ y = ln Jl + F ；【解】化简得y = *ln(l + F ),于是：i Q r 2 3r 2【解法一】由于才二 ------ (1 + F)'二…、，得dy = ——^dx. ' 2(1 +x 3)2(1 + x 3) 2(1+ /)1 13r 2 【解法二】dy = d[-}n(l + x 3)] = --------- d(l + F) = ------------ - dx 。
22(1+ x~) 2(1+ x ，)⑷ 【解法一】由于才=2x(e~x+ 夕)+ %2(-厂 +e x )=(2x-x 2)e~x + (2兀+F)e x , 得 dy = [(2x 一 x 2 )e~x +(2x+x 2 )e x ]dx 。
高等数学(第二版)上册课件：函数的微分
解(2) 方程两边同时对 x 求导， 得
2x (xy xy) 2y y 0
所以，
y 2x y x 2y
dy ydx 2x y dx
x 2y
2.5.4 微分的几何意义及在近似计算中的应用
1.几何意义:(如图)
y
dy f (x)dx f (x)x
dy就是切线纵坐标对应
的增量. 而y是曲线的纵
2.5.1 微分的概念
定义2.4 设函数 y f (x) 在某邻域内有定义，若存在与 x
无关的常数A，使函数的改变量 y f (x0 x) f (x0) 可表示为
y Ax o(x)
则称函数 y f (x)在点 x0 可微，且称 A x为函数 y f (x) 在点 x0 的微分，记作 dy ，即 dy Ax
则
sin 29 sin 29 π
180
sin
π 6
cos
π 6
π 180
1 3 ( 0.017 5) 0.485
22
例2.5.7 计算下列各数的近似值.
(1) 3 1.03;
(2) e . 0.01
解
(1) 3 1.03 3 1 0.03
1 1 0.03 1.01
3
(2) e0.01 1 0.01
也称 dy 是 y 的线性主部 (微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y dy o(x)是比x高阶无穷小 ;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy A x
(4) A是与x无关的常数 , 但与f (x)和x0有关; (5) 当x 很小时, y dy (线性主部).
2x (xy xy) 2y y 0
所以，
y 2x y x 2y
dy ydx 2x y dx
x 2y
2.5.4 微分的几何意义及在近似计算中的应用
1.几何意义:(如图)
y
dy f (x)dx f (x)x
dy就是切线纵坐标对应
的增量. 而y是曲线的纵
2.5.1 微分的概念
定义2.4 设函数 y f (x) 在某邻域内有定义，若存在与 x
无关的常数A，使函数的改变量 y f (x0 x) f (x0) 可表示为
y Ax o(x)
则称函数 y f (x)在点 x0 可微，且称 A x为函数 y f (x) 在点 x0 的微分，记作 dy ，即 dy Ax
则
sin 29 sin 29 π
180
sin
π 6
cos
π 6
π 180
1 3 ( 0.017 5) 0.485
22
例2.5.7 计算下列各数的近似值.
(1) 3 1.03;
(2) e . 0.01
解
(1) 3 1.03 3 1 0.03
1 1 0.03 1.01
3
(2) e0.01 1 0.01
也称 dy 是 y 的线性主部 (微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y dy o(x)是比x高阶无穷小 ;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy A x
(4) A是与x无关的常数 , 但与f (x)和x0有关; (5) 当x 很小时, y dy (线性主部).
高等数学 第五节 函数的微分
不管 u 是自变量 , 还是中间变量 , 都有 dy = f ′(u)du, 称为一阶微分的形式不 变性 .
提倡使用下面的方法计 算复合函数的微分 : dy = f ′(u)du= f ′(u)ϕ′(x)dx .
8
例 . y = ln cos arc tan sh x
1 dy = d (cos arc tan sh x ) cos arc tan sh x
可表示为
∆ y = A⋅ ∆ x +o(∆ x)
其中 A 是与 ∆ x 无关的常数 .
则称函数 y = f ( x ) 在点 x0 可微 ,
A⋅ ∆ x 为 y = f ( x ) 在点 x0 的微分 .
记作 :
dy
x=x0 = A∆ x
或
d f (x0) = A∆ x .
微分 d y 叫做函数增量 ∆ y 的线性主部 . 定理 . y = f ( x ) 在 x0 点可微 ⇐⇒ y = f ( x ) 在 x0 点可导 . 可 ←可 微→ 导
当 y = f ( x ) 在 x0 点可微时 , d y = f ′( x0 ) ∆ x .
当 y = f ( x ) 可微时 ,
∴
( f (x)可 ) 微
#
d y = f ′(x) ∆ x .
自变量 x 的微分 : d x = ( x )′∆ x = ∆ x .
d y = f ′(x) d x .
(1) 式表明 , ∆ y 由两部分构成 :
其 lim α =0. 中
0 ∆ x→
(1 )
f ′(x) ∆ x −−− ∆ x 的线性函数 ,
(∆ x的 数, 系 f ′(x) 与∆ x 无 .) 倍 数 关
提倡使用下面的方法计 算复合函数的微分 : dy = f ′(u)du= f ′(u)ϕ′(x)dx .
8
例 . y = ln cos arc tan sh x
1 dy = d (cos arc tan sh x ) cos arc tan sh x
可表示为
∆ y = A⋅ ∆ x +o(∆ x)
其中 A 是与 ∆ x 无关的常数 .
则称函数 y = f ( x ) 在点 x0 可微 ,
A⋅ ∆ x 为 y = f ( x ) 在点 x0 的微分 .
记作 :
dy
x=x0 = A∆ x
或
d f (x0) = A∆ x .
微分 d y 叫做函数增量 ∆ y 的线性主部 . 定理 . y = f ( x ) 在 x0 点可微 ⇐⇒ y = f ( x ) 在 x0 点可导 . 可 ←可 微→ 导
当 y = f ( x ) 在 x0 点可微时 , d y = f ′( x0 ) ∆ x .
当 y = f ( x ) 可微时 ,
∴
( f (x)可 ) 微
#
d y = f ′(x) ∆ x .
自变量 x 的微分 : d x = ( x )′∆ x = ∆ x .
d y = f ′(x) d x .
(1) 式表明 , ∆ y 由两部分构成 :
其 lim α =0. 中
0 ∆ x→
(1 )
f ′(x) ∆ x −−− ∆ x 的线性函数 ,
(∆ x的 数, 系 f ′(x) 与∆ x 无 .) 倍 数 关
3.4 函数的微分 课件 《高等数学》(高教版)
解： 因为 所以
在，
时的增量、微分及
，且
由此例看出，当 很小时，
,且精确度较高.
例2 求下列函数的微分． 解：
由
可知，求微分 只要计算出函数的导数
再乘以自变量的微分 即可.
随堂练习
1、求函数
在，
2、求下列函数的微分.
时的改变量与微分.
3.4 函数的微分
三、微分的几何意义
点
是曲线
上一点，
当自变量 有微小改变量 时，得到
定义1 如果函数
在点 处可导，并且函数增量
能表示成
其中 与 无关， 为
的高阶无穷小，则称函
数
在点 处可微，并称其线性函数的微分
二、微分与导数的关系
若函数
在点 处可导，根据导数的定义
由于函数与无穷小的关系，得
则
称
为函数
在点 处的微分.
定义1' 如果函数
面积大约增大了多少？
2、计算
的近似值.
曲线上另一点
，于是
过点 作曲线的切线 ，其倾角
为 ，则
，
即
．
由此可知，微分
是当 处有改变量 时，曲
线
在点
处的切线的纵坐标的改变量．用 近
似代替 就是用点
处的切线的纵坐标的改变量
来近似代替曲线
的纵坐标的改变量 ，并且有
3.4 函数的微分 四、微分的运算法则
因为函数
的微分
，所以根据导数公式
和导数运算法则，就能直接得到相应的微分公式和微分运算
由微分的定义可知，当
且 很小时，用 近似代
替 所引起的误差是 的高阶无穷小量，从而有近似公式
或 上式中，若令
在，
时的增量、微分及
，且
由此例看出，当 很小时，
,且精确度较高.
例2 求下列函数的微分． 解：
由
可知，求微分 只要计算出函数的导数
再乘以自变量的微分 即可.
随堂练习
1、求函数
在，
2、求下列函数的微分.
时的改变量与微分.
3.4 函数的微分
三、微分的几何意义
点
是曲线
上一点，
当自变量 有微小改变量 时，得到
定义1 如果函数
在点 处可导，并且函数增量
能表示成
其中 与 无关， 为
的高阶无穷小，则称函
数
在点 处可微，并称其线性函数的微分
二、微分与导数的关系
若函数
在点 处可导，根据导数的定义
由于函数与无穷小的关系，得
则
称
为函数
在点 处的微分.
定义1' 如果函数
面积大约增大了多少？
2、计算
的近似值.
曲线上另一点
，于是
过点 作曲线的切线 ，其倾角
为 ，则
，
即
．
由此可知，微分
是当 处有改变量 时，曲
线
在点
处的切线的纵坐标的改变量．用 近
似代替 就是用点
处的切线的纵坐标的改变量
来近似代替曲线
的纵坐标的改变量 ，并且有
3.4 函数的微分 四、微分的运算法则
因为函数
的微分
，所以根据导数公式
和导数运算法则，就能直接得到相应的微分公式和微分运算
由微分的定义可知，当
且 很小时，用 近似代
替 所引起的误差是 的高阶无穷小量，从而有近似公式
或 上式中，若令
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.5 函数的微分
故 = ′ (0 ) ⋅ + ⋅ .
当 → 0时，第一项 ′ (0 ) ⋅ 是的线性函数，第二项 ⋅ 是当
→ 0时比高阶的无穷小量.所以就近似等于 ′ (0 ) ⋅ ,即
∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ .
例5 当一块正方形金属薄片受到温度变化的影响时，其边长会发生
例1 已知函数 = 2 ，求当 = 1， = −0.01时的微分与增量.
解
= ′ |=1 ⋅ = 2|=1 ⋅ = 2 × 1 × (−0.01) = −0.02.
= (1 − 0.01)2 − 12 = −0.0199.
可见 ≈ .
2．微分的几何意义
利用公式∆ ≈ ′ (0 ) ⋅ ，得到金属薄片面积的改变量
∆ ≈ ′ 0 ⋅ = 20 × 0.1 = 2cm2 .
2
近似计算( + )
由 = (0 + ) − (0 )可得
0 + ∆ − (0 ) ≈ ′ (0 ) ⋅ ，
第二章 导数与微分
第五节 函数的微分
在实际问题中，我们经常要计算当自变量有一微小增
量 时，相应的函数的增量 的大小. 如果函数比较复
杂，那么计算函数的增量 = (0 + ) − (0 )也会很
复杂.能否找到一个既简单，又有较高精确度的计算近
似值的方法，就是我们即将要讨论的微分.
(13) ( ) =
( )′
=
1
1
1
1−
1
1+ 2
1
( ) =
1 + 2
′
2
− 2
(15) ( ) =
(12) ( ) = −
高数二章课件05函数的微分
导数与极值的关系：导数为0 的点可能是极值点
极值的判定：利用导数判断函 数的单调性，从而确定极值
极值的求解：利用导数求解函 数的极值
极值的应用：在工程、经济等 领域中，利用极值求解最优解
利用导数研究曲线的凹凸性
导数是函数在某一点的切线斜率
导数小于0，曲线在该点为凹
导数的正负决定了曲线在该点的凹凸性 导数大于0，曲线在该点为凸
隐函数求导：通过 隐函数方程，求解 出隐函数的导数
隐函数微分应用：在 物理、工程等领域广 泛应用，如求解运动 方程、优化问题等
微分的应用
利用微分近似计算函数值
微分近似计算函 数值的原理
微分近似计算函 数值的步骤
微分近似计算函 数值的应用实例
微分近似计算函 数值的优缺点
利用微分解决实际问题
微分在工程学中的应用：如 流体力学、热力学等
微分在经济学中的应用：如 边际分析、弹性分析等
微分在物理学中的应用：如牛 顿第二定律、能量守恒定律等
微分在生物学中的应用：如种 群增长模型、生态平衡模型等
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微分是函数在某一点的切线斜率
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微分是函数在某一点的切线斜率
微分是函数在某一点的切线斜率
微分的物理意义
微分是函数在某一点的瞬时速度
添加标题
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微分是函数在某一点的变化率
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微分是函数在某一点的加速度
微分的计算
微分的基本公式
微分基本公式：dy/dx = f'(x) 导数的定义：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)]/h 导数的性质：f'(x) = f'(x+h) - f'(x) 导数的计算方法：直接代入法、求导公式法、导数表法等
高等数学b学习资料函数的微分PPT课件
x
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点 M 的附近 ,
切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
第18页/共34页
2、近似计算
当 x 很小时 , 且 f ( x0 ) 0 , 得近似公式 y xx0 dy xx0 f ( x0 ) x ,
或 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ), （ f (x) 在 x = x0 处的一次近似式或线性逼近） 使用原则: 1) f ( x0 ), f ( x0 ) 好算 ; 2) x 与 x0 靠近.
(1)
(2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
第2页/共34页
2、微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在 x0 某个邻域内有定义, 当在 x0 处取得增量 x ( x0 x 仍在该邻域内) , 若函数 y f ( x) 在点 x0 处的增量可表示为
2微分的定义定义仍在该邻域内处取得增量当在某个邻域内有定义无关的常数有关而与aldifferenti的微分相应于自变量增量函数定理limlim是几阶无穷小关于及自变量的增量表示函数的增量微分分别记作称为自变量的微分的增量通常把自变量该函数的导数之商等于与自变量的微分即函数的微分记作微分称为函数的的微分在任意点函数内处处可微在区间如果函数的微分在任意点求函数的线性函数是自变量的改变量的线性主部叫做函数增量微分求法
(C为任意常数)
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
25 函数的微分
dy = f ′( x)Δx
通常把自变量 x 的增量 Δx 称为自变量的微分 ,
记作 dx , 即 dx = Δx .
∴ dy = f ′( x)dx.
dy = f ′( x). dx
即函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于
该函数的导数 . 导数也叫“微商”.
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= 2x0 ⋅ Δx + (Δx)2 .
(1)
(2)
x0
x0Δx
Δx (Δx)2
Δx
A = x02
x0Δx x0
(1) : Δx 的线性函数 , 且为 ΔA 的主要部分 ;
(2) : Δx 的高阶无穷小 , 当 Δx 很小时可忽略 .
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再例如, 设函数 y = x3 在点 x0 处的改变量 为 Δx 时 , 求函数的改变量 Δy .
Δy = ( x0 + Δx)3 − x03
= 3 x02 ⋅ Δx + 3 x0 ⋅ (Δx)2 + (Δx)3 .
(1)
(2)
当 Δx 很小时 , (2) 是 Δx 的高阶无穷小 o(Δx) ,
∴ Δy ≈ 3 x02 ⋅ Δx .
既容易计算又是较好的近似值
问题 : 这个线性函数(改变量的主要部分)是 否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
Δx
(Δx → 0) ,
∴ Δy = f ′( x0 ) ⋅ Δx + o(Δx) ,
Q 函数 f ( x) 在点 x0 可微 , 且 f ′( x0 ) = A .
∴ 可导 ⇔ 可微 . A = f ′( x0 ) .
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通常把自变量 x 的增量 Δx 称为自变量的微分 ,
记作 dx , 即 dx = Δx .
∴ dy = f ′( x)dx.
dy = f ′( x). dx
即函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于
该函数的导数 . 导数也叫“微商”.
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= 2x0 ⋅ Δx + (Δx)2 .
(1)
(2)
x0
x0Δx
Δx (Δx)2
Δx
A = x02
x0Δx x0
(1) : Δx 的线性函数 , 且为 ΔA 的主要部分 ;
(2) : Δx 的高阶无穷小 , 当 Δx 很小时可忽略 .
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再例如, 设函数 y = x3 在点 x0 处的改变量 为 Δx 时 , 求函数的改变量 Δy .
Δy = ( x0 + Δx)3 − x03
= 3 x02 ⋅ Δx + 3 x0 ⋅ (Δx)2 + (Δx)3 .
(1)
(2)
当 Δx 很小时 , (2) 是 Δx 的高阶无穷小 o(Δx) ,
∴ Δy ≈ 3 x02 ⋅ Δx .
既容易计算又是较好的近似值
问题 : 这个线性函数(改变量的主要部分)是 否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
Δx
(Δx → 0) ,
∴ Δy = f ′( x0 ) ⋅ Δx + o(Δx) ,
Q 函数 f ( x) 在点 x0 可微 , 且 f ′( x0 ) = A .
∴ 可导 ⇔ 可微 . A = f ′( x0 ) .
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高等数学师范大学教材答案
高等数学师范大学教材答案本文为高等数学师范大学教材的答案提供详细解析，旨在帮助学生深入理解和掌握高等数学知识。
以下将按照教材章节的顺序逐一解答相关问题。
1. 微分学
1.1 导数与微分
- 第一章节内容解析
1.2 工具与方法
- 第二章节内容解析
1.3 函数的应用
- 第三章节内容解析
2. 积分学
2.1 不定积分
- 第四章节内容解析
2.2 定积分
- 第五章节内容解析
2.3 积分学应用
- 第六章节内容解析
3. 无穷级数
3.1 数项级数
- 第七章节内容解析 3.2 幂级数及函数展开 - 第八章节内容解析 3.3 函数项级数
- 第九章节内容解析4. 空间解析几何
4.1 空间坐标与向量 - 第十章节内容解析 4.2 空间曲线与曲面 - 第十一章节内容解析 4.3 多元函数与极限 - 第十二章节内容解析
5. 偏微分方程
5.1 偏导数与全微分 - 第十三章节内容解析
5.2 偏微分方程的解法
- 第十四章节内容解析
5.3 偏微分方程的应用
- 第十五章节内容解析
通过以上章节的详细解析，学生可以逐步掌握高等数学的核心知识
点和解题技巧。
同时，练习题答案也会根据每一章节的内容给出，以
帮助巩固所学知识和提高解题能力。
总结起来，高等数学师范大学教材的答案提供了全面且准确的解析，能够帮助学生更好地理解和学习数学。
希望本文能对广大高等数学学
习者提供帮助，进一步提升数学学习的效果和成果。
（正文结束）。
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dyf(x)d.xdy f (x).
dx
函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数
的导数。因此，导数也叫做“微 商”。
例1 求函数 y x3 分别在 x 1和x 3
处的微分.
解 dx y 1 (x 3 )x 1 x 3 x ;
dxy 3(x3)x 3 x2 7 x.
例2 求函数 ysinx的微分. 解 d y (sx )i n x co x x .s
因此复合函数微分公式可以写成：
dyf(u)du
结论：对y f (u),无论 u是自变量还是中间
变量 ，均有
dyf(u)d.u
这一性质称为一阶微分形式不变性.
例6 求函数 y esin2 x的微分.
解 d ydsei2 nxesi2 nxdsi2n x 2 sx is n e 2 ix n d sx i n s2 ix n se 2 ix n d. x
由定义知:
(1)d是 y 自变量的 x的 改线 变性 量 ; 函数 (2 )A 是 x无 与关 ,但 的 f(x 与 )和 常 x0有 数 ; 关
(3)ydyo(x)是 比 x高阶无 ; 穷小
(4)当A0时,d与 y y是等价无 ; 穷小
y dy
1 o(x) A x
1( x 0 ).
(5)当 x很小 , yd时 y(线性 ). 主部
基本要求
1. 理解微分的概念；理解导数与 微分的关系
2. 了解微分的四则运算法则和 一阶微分形式不变性
3.会求函数的微分
2.5.1微分的概念及函数可微的条件
Байду номын сангаас
一、引例 正方形金属薄片受热后面积的改变量
设正方形边长为 x, 面积为A ，设边长由x 0变到
x0 x，则面积A相应的增量
x0
x (x )2
A(x0x)2x0 2
常用的近似计算公式：
若函数 f ( x)在 x处可微,且 f(x0)0，当 x
充分小时 ,有 yd yf(x0) x
（1）
即 y f( x 0 x ) f( x 0 ) f( x 0 ) x
或 f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x （2）
例7 在下列等式左端的括号内填入适当函数，
使等式成立：
(1) d( )x2d;x(2) d( )si n td . t
解（1） (1x3) x2, d(1x3)x2dx.
3
3
（2） 1(c o t) s 1( sitn )sitn
d( 1cost)si ntd. t
2.5.4微分在近似计算中的应用
1 1 x2
dx.
二、微分四则运算法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
例4 求函数 ye2xsi3 nx的微分.
解 d y d2 xe d s3 ix n 2 e 2 xd x 3 c3 o xs d
(2e2x3co3xs)d.x
例5 求函数 y sin x 的微分. x2
解 d yd(sxi2xn)x2dsixn x4sixnd2 x
xcoxs2sinx
d.x
x3
三、复合函数的微分法则 及一阶微分形式不变性
设 y f(u),u(x)则复合函数 yf[(x)]
的微分为：
d y f(x )(x )d x
由于 f( x ) f( u ), ( x ) d d xu
例3 求函数 y e x在 x 0, x0.02时的微分.
解 d y(ex)xexx.
d yx0 e2xx0 e00.0 20.0.2
x0.0 2
x0.0 2
2.5．2微分的几何意义
几何意义:(如图)
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
当 x 很小时，
y
M
T
o(x)
x0x
x
2x0x(x)2.
A分成两部分:
Ax02 x0x x 0
（1）x的线性函数 主要部分
（2）x的高阶无穷小 (x)2 o(x). 图2-4
二、微分的定义
定义 设函数y f (x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f (x0 x) f (x0) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f (x)在点x0可微, 并且称A x为函数 y f (x)在点x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy xx0 或df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
y
M0
dy
dy yf(x)
x N
）
o
x0 x0x
x
在点M 0的邻近，
可以用切线段 M 0T 来近似代替曲线段 M 0M.
2.5.3微分公式与运算法则
一、基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
d(ax)axlnadx d(ex)exdx
d(loaxg)xl1nadx
d(lnx)1dx x
d(arcsinx) 1 dx 1 x2
d(arctanx)
1 1 x2
dx
d(arccosx) 1 dx 1 x2
d(arccotx)
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
充分性 函f(数 x)在x0 点 可,导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0( x 0 ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函 f ( x ) 在 x 数 0 可 ,且 点 f ( x 0 微 ) A .
即 可微可导，且 dyf(x)x
若函数 f ( x)在区间 I内每一点处都可微,就称f ( x)
是 I内的可微函数.
函数 f (x) 在区间 I内任一点处的微分就称为函数
的微分，记为
dyf(x)x.
通常把自变量的增量 x称为自变量 x的微分， 记作dx，即 dxx.于是
三 、可微与可导的关系
定理 函数 f (x) 在点 x 0可微的充分必要条件是 f ( x)在点 x 0 可导, 且 dyf(x0)x.
证 必要性 f(x)在x点 0可,微
y A x o ( x ) ,yAo(x).
x
x
则 lim yA lim o( x)A.
x 0 x
x 0 x
dx
函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数
的导数。因此，导数也叫做“微 商”。
例1 求函数 y x3 分别在 x 1和x 3
处的微分.
解 dx y 1 (x 3 )x 1 x 3 x ;
dxy 3(x3)x 3 x2 7 x.
例2 求函数 ysinx的微分. 解 d y (sx )i n x co x x .s
因此复合函数微分公式可以写成：
dyf(u)du
结论：对y f (u),无论 u是自变量还是中间
变量 ，均有
dyf(u)d.u
这一性质称为一阶微分形式不变性.
例6 求函数 y esin2 x的微分.
解 d ydsei2 nxesi2 nxdsi2n x 2 sx is n e 2 ix n d sx i n s2 ix n se 2 ix n d. x
由定义知:
(1)d是 y 自变量的 x的 改线 变性 量 ; 函数 (2 )A 是 x无 与关 ,但 的 f(x 与 )和 常 x0有 数 ; 关
(3)ydyo(x)是 比 x高阶无 ; 穷小
(4)当A0时,d与 y y是等价无 ; 穷小
y dy
1 o(x) A x
1( x 0 ).
(5)当 x很小 , yd时 y(线性 ). 主部
基本要求
1. 理解微分的概念；理解导数与 微分的关系
2. 了解微分的四则运算法则和 一阶微分形式不变性
3.会求函数的微分
2.5.1微分的概念及函数可微的条件
Байду номын сангаас
一、引例 正方形金属薄片受热后面积的改变量
设正方形边长为 x, 面积为A ，设边长由x 0变到
x0 x，则面积A相应的增量
x0
x (x )2
A(x0x)2x0 2
常用的近似计算公式：
若函数 f ( x)在 x处可微,且 f(x0)0，当 x
充分小时 ,有 yd yf(x0) x
（1）
即 y f( x 0 x ) f( x 0 ) f( x 0 ) x
或 f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x （2）
例7 在下列等式左端的括号内填入适当函数，
使等式成立：
(1) d( )x2d;x(2) d( )si n td . t
解（1） (1x3) x2, d(1x3)x2dx.
3
3
（2） 1(c o t) s 1( sitn )sitn
d( 1cost)si ntd. t
2.5.4微分在近似计算中的应用
1 1 x2
dx.
二、微分四则运算法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
例4 求函数 ye2xsi3 nx的微分.
解 d y d2 xe d s3 ix n 2 e 2 xd x 3 c3 o xs d
(2e2x3co3xs)d.x
例5 求函数 y sin x 的微分. x2
解 d yd(sxi2xn)x2dsixn x4sixnd2 x
xcoxs2sinx
d.x
x3
三、复合函数的微分法则 及一阶微分形式不变性
设 y f(u),u(x)则复合函数 yf[(x)]
的微分为：
d y f(x )(x )d x
由于 f( x ) f( u ), ( x ) d d xu
例3 求函数 y e x在 x 0, x0.02时的微分.
解 d y(ex)xexx.
d yx0 e2xx0 e00.0 20.0.2
x0.0 2
x0.0 2
2.5．2微分的几何意义
几何意义:(如图)
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
当 x 很小时，
y
M
T
o(x)
x0x
x
2x0x(x)2.
A分成两部分:
Ax02 x0x x 0
（1）x的线性函数 主要部分
（2）x的高阶无穷小 (x)2 o(x). 图2-4
二、微分的定义
定义 设函数y f (x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f (x0 x) f (x0) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f (x)在点x0可微, 并且称A x为函数 y f (x)在点x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy xx0 或df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
y
M0
dy
dy yf(x)
x N
）
o
x0 x0x
x
在点M 0的邻近，
可以用切线段 M 0T 来近似代替曲线段 M 0M.
2.5.3微分公式与运算法则
一、基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
d(ax)axlnadx d(ex)exdx
d(loaxg)xl1nadx
d(lnx)1dx x
d(arcsinx) 1 dx 1 x2
d(arctanx)
1 1 x2
dx
d(arccosx) 1 dx 1 x2
d(arccotx)
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
充分性 函f(数 x)在x0 点 可,导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0( x 0 ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函 f ( x ) 在 x 数 0 可 ,且 点 f ( x 0 微 ) A .
即 可微可导，且 dyf(x)x
若函数 f ( x)在区间 I内每一点处都可微,就称f ( x)
是 I内的可微函数.
函数 f (x) 在区间 I内任一点处的微分就称为函数
的微分，记为
dyf(x)x.
通常把自变量的增量 x称为自变量 x的微分， 记作dx，即 dxx.于是
三 、可微与可导的关系
定理 函数 f (x) 在点 x 0可微的充分必要条件是 f ( x)在点 x 0 可导, 且 dyf(x0)x.
证 必要性 f(x)在x点 0可,微
y A x o ( x ) ,yAo(x).
x
x
则 lim yA lim o( x)A.
x 0 x
x 0 x