05-拉压超静定问题及其解法
拉压超静定问题
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
拉伸、压缩超静定问题
定结构的变形受到部分或全部约束, 温度变化时,
在图中, AB杆代表蒸汽锅炉与原动机间的管道。
与锅炉和原动机相比, 管道刚度很小, 故可把A, B两端简化成固定端。
固定于枕木或基础上的钢轨也类似于这种情况。
当管道中通过高压蒸汽, 或因季节变化引起钢轨温度变化时, 就相当于上述两端固定杆的温度发生了变化。
因为固定端限制杆
件的膨胀或收缩, 所以
势必有约反力F R A和
F R B作用于两端。
这将
引起杆件内的应力, 这
种应力称为热应力或
温度应力。
必须再补充一个变形协调方
这就是补充的变形协调方程。
超静定问题解法例说
超静定问题解法例说-1-超静定问题解法例说[浙江永嘉县上塘中学 35100 钱呈祥]物理习题中，未知量的个数与独⽴⽅程的数⽬⼀致时，称为静定问题。
即能够由独⽴⽅程的求解，确定该系统中所有的未知量；若未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程数⽬，则称为超静定问题。
对于超静定问题，常需根据题⽬的相关材料，建⽴补充⽅程（辅助⽅程），再与独⽴⽅程联⽴，才能求解，⼀般难度较⼤。
超静定问题，实则为补充⽅程如何建⽴的问题。
例⼀：如图1所⽰，刚性板由三根相同的弹簧悬挂，其重量为G ，重⼼在O 处，试求三根弹簧的受⼒。
[解析]AB 板受⼒如图，由∑=0F ，得F 1+F 2+F 3=G （1）由∑=0M ，得F 1〃223lF aG l=+ （2）据平衡条件只有这两个⽅程，⽽未知量有三个，因此它属于超静定⽅程。
由变形情况的⼏何关系有：△l 1+△l 3=2△l 2 由胡克定律，上式即化为2312F k F k F =+ （3）联合（1）（2）（3），得F 1=G （l a-31），F 2=3G ，F 3=G （l a+31）评论：该超静定问题的求解，除了建⽴原⼒系的平衡⽅程外，关键在于找出变形的⼏何关系，再代⼊胡克定律，以建⽴补充⽅程。
在进⾏变形分析时，变形与受⼒的假设⽅向须保持⼀致。
例⼆：已知地球半径为R ，地球表⾯的重⼒加速度为g ，求：（1）在距地⾯⾼h 的轨道上的⼈造地球卫星的速度；（2）该卫星的周期。
[解析]地球对⼈造卫星的万有引⼒提供卫星做圆周运动的向⼼⼒，可列出独⽴⽅程：)()(22h R V m h R GMm +=+ （1），式中M 和V均为未知量。
可列出补-2- 充⽅程：g R GM mg R GMm ==22,即（2）联合（1）、（2）式可得 V 2=g h R Rh R V h R T h R g R V h R g R h R GM ++=+=+=+?=+)(2)(2,,2ππ从⽽评论：在应⽤万有引⼒定律解题时，常已知星球表⾯引⼒加速度⽽不知星球质量或者已知星球质量⽽不知星球表⾯引⼒加速度，此时均可⽤补充⽅程G g R M =2。
拉压超静定
A 1 B 2
FN1
D
FN2 F
D
3 C h
FN3
F
平衡方程为
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0
这是一次超静定问题
A 1 B 2
1 D
E
l3
D3
l2
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0 l1 l3 2 l2 cos
A 1 B 2
D
物理方程为
FN1l1 FN1h l1 EA EA cos FN2l2 FN2h l2 EA EA FN3l3 FN3h l3 EA EA cos
2.10 拉伸、压缩超静定问题 一、超静定问题及求解方法 静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出, 这种情况称作静定问题。 超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部 未知力, 这种情况称做超静定问题。
超静定的次数: 未知力数超过独立平衡方程数 的数目, 称作超静定的次数。
2.10 拉伸、压缩超静定问题 变形协调方程: 在静不定问题中, 各部分变形之 间必存在相互制约的条件, 这种条件称为变形相 容条件(变形协调方程)。
2 FN1 3 FN2 6 F
这是一次超静定问题
(2) 画变形几何关系图 建立变形几何方程
变形协调条件为： 梁 ABCD 绕 铰 链 A 转 动 , ①、② 两杆仍与其铰接
d C 2d B
②
A a
60º B
材料力学简单的超静定问题
1.94
37
小 结
1、明确超静定、超静定次数、多余约束、 多余未知力、基本静定系等基本概念。 2、能判断超静定次数。 3、理解超静定问题的基本解法为考虑静 力平衡、变形相容和物理关系三个方面。 4、对于二次或二次以下的超静定问题， 能合理地选取基本静定系，正确地列出 变形几何方程。 5、初步学习利用对称性降低超静定次数、 选取基本静定系的技巧。
超静定次数： 未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多 余约束数。由于超静定结构能有效降低结构的内力 及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
4
二、求解超静定问题的基本方法
1.静定与超静定的辩证关系 多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束 前者使问题变为不可解；后者使问题变为可解。 2.超静定的处理方法 平衡方程
解除B端多余约束，代之以约束反力 R B
8
§6-2
拉压超静定问题
A
E1 A1
（2）建立变形协调方程。
AB BF BB 0
（3）物理方程。
F 1 BF AC () E1 A1 BB AB RB ( 1 2 )() E1 A1 E2 A2
目录
A
B FBy
C
(d)
3 FAy F ( ) 4
33
§6-4 简单超静定梁
例 8 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度 均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 解 从B 处拆开，使超静定结构变 成两个悬臂梁。 变形协调方程为： yB1 yB 2
(3)代入物理关系，建立补充方程
②
2
A
3
超静定问题
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
工程力学(马浩)拉压超静定问题
解超静定问题的步骤： 解超静定问题的步骤：
根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个 根椐变形相容条件建立变形几何方程。 数与超静定次数相等。 数与超静定次数相等。 将变形与力之间的关系（胡克定律） 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程。 补充方程。 联立补充方程与静力平衡方程求解。 联立补充方程与静力平衡方程求解。
α
F
几何方程为
∆l1 +∆l3 = 2 l2cosα ∆
A
α
1
1
∆l3
B 2
α α
D
β
E
α α
D
∆l2
C
D1
3
2
P
H
∆l1
3
G
D
'
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
α
N 2l2 N 2 H = ∆ l2 = EA EA
N 3 l3 N3 H = ∆ l3 = EA EA cosα
3 3 2 1
2
1
l
B
a C
a A
C
B
A
∆l 3
C′
∆l 2
B′
∆l1
A′
G (4) 联立平衡方程与补充方程求解
N1+ N2 + N3 −G=0 N1⋅ 2a + N2⋅a =0 N1+ N3 = 2N2
x =0
G N1 = − 6 G = N2 3 5 G N3 = 6
思考题 刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。
F
A
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
工程力学-简单的超静定问题
根据前面的分析可知，杆件在轴 向的总变形应包括两部分：
工程力学
第十章 简单超静定问题
（1）由于温度变化引起的变形：此处温度升高
t℃，若B处刚性支撑假想地去除，则杆件可以
“自由”地伸长，设伸长量为lt
（2）由于B处的刚性支撑并没有真的去除，而是这个刚
性支撑为抵抗由于温度升高引起的变形而产生了一个约
束反力 FNB 正是这个约束反力的存在，使得杆件没有产 生真正的伸长，根据相对性原理，相当于这个约束反力
1
2
1
A
A
B
（a）
图10.5
2 B
（b）
工程力学
第十章 简单超静定问题
如果上面的固定物与下面的ABC杆件通过三根杆件连结，如图
10.6a所示，且其中的2杆被加工短了，强制安装后，显然2杆 要被拉长一点，1杆和3杆就要被缩短一点，如图10.6b所示。 因此2杆内存在着轴向拉力，1、3杆内存在轴向压力。这种在 载荷作用以前就存在的轴力称为装配内力，与之相应的应力称 为装配应力，有时也称之为初应力。
试求温度升高 t ℃时杆内的温度应力。
。
图10.8
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：第一步，受力分析，如图10.8b所示，列写平 衡方程：
Fx 0, FNA FNB 0
（a）
第二步，进行变形分析，列写变形协调方程。由于杆件两端 是刚性支撑，可想而知，杆件在轴向的总变形量应该为零：
l 0
（b）
工程力学
第十章 简单的超静定
问题
工程力学
第十章 简单超静定问题
第十章 简单超静定问题
§10-1 基本概念及求解方法 §10-2 拉压超静定问题 §10-3 扭转超静定问题 §10-4 弯曲超静定问题
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拉压超静定问题及其解法拉压超静定问题及其解法
拉压超静定问题及其解法
1. 外力超静定问题：在结构外部存在多余约束，即约束反力是超静定的。
一、拉压超静定问题的分类
外力超静定问题(多余约束反力)P
B
A
a
l b
拉压超静定问题及其解法
2. 内力超静定问题：在结构内部存在多余约束，即杆件内力是超静定的。
C A
B
D F
αα123内力超静定问题(多余杆件内力)
二、拉压超静定问题的解法
拉压超静定问题及其解法
1. 外力超静定问题的解法
解除多余约束法
核心问题：静力平衡方程不够？
寻求补充方程P
B A a
l
b
拉压超静定问题及其解法例1. 求图示AB 杆的支座反力。
解：受力分析，列出静力平衡方程：
0 (1)
A B R R P +-=AB 杆为一次超静定结构。
解除多余支座B ，施加相应
支反力R B 。
拉压超静定问题及其解法
变形相容方程：
0 (2)
AB AC BC l l l ∆=∆+∆=物理关系：
(3)A B AB R a R b L E A E A
∆=-补充方程
拉压超静定问题及其解法
以上三式联立求解得：
,A B b a R P R P l l
==
2. 内力超静定问题的解法
C A
B D
F
αα
123 拉压超静定问题及其解法
变形比较法变形协调法
例2. 1、2、3三杆用铰链连接如图，l 1= l 2= l ，A 1= A 2 = A ，E 1= E 2= E ，3杆的长度l 3 ，横截面积A 3 ，弹性模量E 3 ，外力F 沿铅垂方向。
求各杆的内力。
拉压超静定问题及其解法C A
B
D F
αα
123
拉压超静定问题及其解法解：受力分析，列出静力平衡方程：
210 sin sin 0N N X F F αα∑=-=
0cos cos 0321=-++=∑P F F F Y N N N αα
C
A
B D αα
1
23
A'变形前后要协
调！
原结构的变形协调条件是A 点产生铅垂方向位移，且结构变形后三杆仍绞结在一起。
拉压超静定问题及其解法
3
l Δα
αA
1
2
3
┕
┕
α
αA'
1
l Δ变形协调方程：
α
cos 31L L ∆=∆物理方程：
11
111N F L L E A ∆=
33
333
N F L L E A ∆=
拉压超静定问题及其解法
2
11123
1133
333
31133
cos 2cos 2cos N N N E A P F F E A E A E A P
F E A E A ααα==+=
+联解以上各式，解得：
C A
B
D
F
αα
1
2
3
超静定杆系结构中各杆的轴力与其刚度有关。
拉压超静定问题及其解法
拉压超静定问题及其解法外力超静定
内力超静定
补充方程解除多余约束
变形协调比较。