05-拉压超静定问题及其解法
拉压超静定问题
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
拉伸、压缩超静定问题
定结构的变形受到部分或全部约束, 温度变化时,
在图中, AB杆代表蒸汽锅炉与原动机间的管道。
与锅炉和原动机相比, 管道刚度很小, 故可把A, B两端简化成固定端。
固定于枕木或基础上的钢轨也类似于这种情况。
当管道中通过高压蒸汽, 或因季节变化引起钢轨温度变化时, 就相当于上述两端固定杆的温度发生了变化。
因为固定端限制杆
件的膨胀或收缩, 所以
势必有约反力F R A和
F R B作用于两端。
这将
引起杆件内的应力, 这
种应力称为热应力或
温度应力。
必须再补充一个变形协调方
这就是补充的变形协调方程。
超静定问题解法例说
超静定问题解法例说-1-超静定问题解法例说[浙江永嘉县上塘中学 35100 钱呈祥]物理习题中，未知量的个数与独⽴⽅程的数⽬⼀致时，称为静定问题。
即能够由独⽴⽅程的求解，确定该系统中所有的未知量；若未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程数⽬，则称为超静定问题。
对于超静定问题，常需根据题⽬的相关材料，建⽴补充⽅程（辅助⽅程），再与独⽴⽅程联⽴，才能求解，⼀般难度较⼤。
超静定问题，实则为补充⽅程如何建⽴的问题。
例⼀：如图1所⽰，刚性板由三根相同的弹簧悬挂，其重量为G ，重⼼在O 处，试求三根弹簧的受⼒。
[解析]AB 板受⼒如图，由∑=0F ，得F 1+F 2+F 3=G （1）由∑=0M ，得F 1〃223lF aG l=+ （2）据平衡条件只有这两个⽅程，⽽未知量有三个，因此它属于超静定⽅程。
由变形情况的⼏何关系有：△l 1+△l 3=2△l 2 由胡克定律，上式即化为2312F k F k F =+ （3）联合（1）（2）（3），得F 1=G （l a-31），F 2=3G ，F 3=G （l a+31）评论：该超静定问题的求解，除了建⽴原⼒系的平衡⽅程外，关键在于找出变形的⼏何关系，再代⼊胡克定律，以建⽴补充⽅程。
在进⾏变形分析时，变形与受⼒的假设⽅向须保持⼀致。
例⼆：已知地球半径为R ，地球表⾯的重⼒加速度为g ，求：（1）在距地⾯⾼h 的轨道上的⼈造地球卫星的速度；（2）该卫星的周期。
[解析]地球对⼈造卫星的万有引⼒提供卫星做圆周运动的向⼼⼒，可列出独⽴⽅程：)()(22h R V m h R GMm +=+ （1），式中M 和V均为未知量。
可列出补-2- 充⽅程：g R GM mg R GMm ==22,即（2）联合（1）、（2）式可得 V 2=g h R Rh R V h R T h R g R V h R g R h R GM ++=+=+=+?=+)(2)(2,,2ππ从⽽评论：在应⽤万有引⼒定律解题时，常已知星球表⾯引⼒加速度⽽不知星球质量或者已知星球质量⽽不知星球表⾯引⼒加速度，此时均可⽤补充⽅程G g R M =2。
拉压超静定
A 1 B 2
FN1
D
FN2 F
D
3 C h
FN3
F
平衡方程为
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0
这是一次超静定问题
A 1 B 2
1 D
E
l3
D3
l2
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0 l1 l3 2 l2 cos
A 1 B 2
D
物理方程为
FN1l1 FN1h l1 EA EA cos FN2l2 FN2h l2 EA EA FN3l3 FN3h l3 EA EA cos
2.10 拉伸、压缩超静定问题 一、超静定问题及求解方法 静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出, 这种情况称作静定问题。 超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部 未知力, 这种情况称做超静定问题。
超静定的次数: 未知力数超过独立平衡方程数 的数目, 称作超静定的次数。
2.10 拉伸、压缩超静定问题 变形协调方程: 在静不定问题中, 各部分变形之 间必存在相互制约的条件, 这种条件称为变形相 容条件(变形协调方程)。
2 FN1 3 FN2 6 F
这是一次超静定问题
(2) 画变形几何关系图 建立变形几何方程
变形协调条件为： 梁 ABCD 绕 铰 链 A 转 动 , ①、② 两杆仍与其铰接
d C 2d B
②
A a
60º B
材料力学简单的超静定问题
1.94
37
小 结
1、明确超静定、超静定次数、多余约束、 多余未知力、基本静定系等基本概念。 2、能判断超静定次数。 3、理解超静定问题的基本解法为考虑静 力平衡、变形相容和物理关系三个方面。 4、对于二次或二次以下的超静定问题， 能合理地选取基本静定系，正确地列出 变形几何方程。 5、初步学习利用对称性降低超静定次数、 选取基本静定系的技巧。
超静定次数： 未知力个数与独立平衡方程数之差，也等于多 余约束数。由于超静定结构能有效降低结构的内力 及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
4
二、求解超静定问题的基本方法
1.静定与超静定的辩证关系 多余约束的两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束 前者使问题变为不可解；后者使问题变为可解。 2.超静定的处理方法 平衡方程
解除B端多余约束，代之以约束反力 R B
8
§6-2
拉压超静定问题
A
E1 A1
（2）建立变形协调方程。
AB BF BB 0
（3）物理方程。
F 1 BF AC () E1 A1 BB AB RB ( 1 2 )() E1 A1 E2 A2
目录
A
B FBy
C
(d)
3 FAy F ( ) 4
33
§6-4 简单超静定梁
例 8 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度 均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 解 从B 处拆开，使超静定结构变 成两个悬臂梁。 变形协调方程为： yB1 yB 2
(3)代入物理关系，建立补充方程
②
2
A
3
超静定问题
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴 力 图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B
RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列 关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论 中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q
工程力学(马浩)拉压超静定问题
解超静定问题的步骤： 解超静定问题的步骤：
根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个 根椐变形相容条件建立变形几何方程。 数与超静定次数相等。 数与超静定次数相等。 将变形与力之间的关系（胡克定律） 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程。 补充方程。 联立补充方程与静力平衡方程求解。 联立补充方程与静力平衡方程求解。
α
F
几何方程为
∆l1 +∆l3 = 2 l2cosα ∆
A
α
1
1
∆l3
B 2
α α
D
β
E
α α
D
∆l2
C
D1
3
2
P
H
∆l1
3
G
D
'
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
α
N 2l2 N 2 H = ∆ l2 = EA EA
N 3 l3 N3 H = ∆ l3 = EA EA cosα
3 3 2 1
2
1
l
B
a C
a A
C
B
A
∆l 3
C′
∆l 2
B′
∆l1
A′
G (4) 联立平衡方程与补充方程求解
N1+ N2 + N3 −G=0 N1⋅ 2a + N2⋅a =0 N1+ N3 = 2N2
x =0
G N1 = − 6 G = N2 3 5 G N3 = 6
思考题 刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。
F
A
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
工程力学-简单的超静定问题
根据前面的分析可知，杆件在轴 向的总变形应包括两部分：
工程力学
第十章 简单超静定问题
（1）由于温度变化引起的变形：此处温度升高
t℃，若B处刚性支撑假想地去除，则杆件可以
“自由”地伸长，设伸长量为lt
（2）由于B处的刚性支撑并没有真的去除，而是这个刚
性支撑为抵抗由于温度升高引起的变形而产生了一个约
束反力 FNB 正是这个约束反力的存在，使得杆件没有产 生真正的伸长，根据相对性原理，相当于这个约束反力
1
2
1
A
A
B
（a）
图10.5
2 B
（b）
工程力学
第十章 简单超静定问题
如果上面的固定物与下面的ABC杆件通过三根杆件连结，如图
10.6a所示，且其中的2杆被加工短了，强制安装后，显然2杆 要被拉长一点，1杆和3杆就要被缩短一点，如图10.6b所示。 因此2杆内存在着轴向拉力，1、3杆内存在轴向压力。这种在 载荷作用以前就存在的轴力称为装配内力，与之相应的应力称 为装配应力，有时也称之为初应力。
试求温度升高 t ℃时杆内的温度应力。
。
图10.8
工程力学
第十章 简单超静定问题
解：第一步，受力分析，如图10.8b所示，列写平 衡方程：
Fx 0, FNA FNB 0
（a）
第二步，进行变形分析，列写变形协调方程。由于杆件两端 是刚性支撑，可想而知，杆件在轴向的总变形量应该为零：
l 0
（b）
工程力学
第十章 简单的超静定
问题
工程力学
第十章 简单超静定问题
第十章 简单超静定问题
§10-1 基本概念及求解方法 §10-2 拉压超静定问题 §10-3 扭转超静定问题 §10-4 弯曲超静定问题
工程力学第12讲 拉压：超静定问题
(a)
FN2 l2 ( FBx )l2 lCB EA EA
4. 建立补充方程 5. 支反力计算
FAx l1 FBx l2 0
(b)
联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)
FAx Fl2 l1 l2 Fl1 FBx l1 l2
例 8-2 已知：F = 50 kN，[st ] = 160 MPa，[sc ] = 120 Mpa ，A1= A2。试问：A1=? A2=?
§8 应变能概念
应变能与功能原理 外力功与应变能计算 例题
应变能与功能原理
应变能与外力功 弹性体因变形而储存的能量－应变能 Ve
外力在变形过程中所作之功－外力功 W
弹性体功能原理 根据能量守恒定律，弹性体因变形所储 存的应变能 ，数值上等于外力所作的功
Vε W
功能原理Байду номын сангаас立条件：载荷由零逐渐缓慢 增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能 等的变化，均可忽略不计。
提问
塑性材料和脆性材料按照什么指标区分？ 塑性材料的失效是指什么？ 脆性材料的失效是指什么？ 拉压杆件的强度条件是什么？ 什么叫作许用应力？ 强度计算有哪几种类型？
§8 简单拉压静不定问题
静不定问题与静不定度 静不定问题分析 例题
静不定问题与静不定度
静定问题 仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反 力与内力）的问题 静不定问题 仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题
表面aa－积压, 截面cd－拉应力最大, 截面ab－剪切
2. 强度校核
挤压强度：
Fbs F 2
s bs
F 2
Fbs F 9.0 MPa[s bs ] Abs 2b
超静定问题及其解法
•确定超静定次数，列出静力平衡方程;
•根据变形协调条件列出变形相容方程； •将物理关系代入变形相容方程得补充方 程； •联立补充方程与静力平衡方程求 解; •求解杆件的内力，应力与变形等。
♦超静定问题及其解法 _
♦超静定问题及1
多余约束
♦超静定问题及其解法
(2).与多余约束相对应的反力称为多余未知力，多 余未知力的数目称为结构的超静定次数。
—次超静定
♦超静定问题及其解法
—次超静定
♦超静定问题及其解法
q
M
二次超静定
♦超静定问题及其解法 _
多次超静定
♦超静定问题及其解法
二.超静定问题的一般解法
超静定问题及其解法
♦超静定问题及其解法
—、= 本概念
1.静定问题：结构的约束反力或构件内力通过静力 学平衡方程可以确定的问题。
拉压静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转静定问题
弯曲静定问题
.超静定问题及其解法 ，
2.超静定问题：单凭静力平衡方程不能完全确定结 构约束反力或构件内力的问题。
拉压超静定问题
♦超静定问题及其解法
扭转超静定问题 弯曲超静定问题
♦超静定问题及其解法
超静定问题的工程实例
大型空间 桁架结构
♦超静定问题及其解法 _
大型桥梁结构
♦超静定问题及其解法 _
大型塔吊结构
♦超静定问题及其解法 _
大型铣床
♦超静定问题及其解法
3.多余约束与超静定次数 (1).在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须 的约束称为多余约束。
材料力学土木类第六章简单的超静定问题
第6章 简单的超静定问题
静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力
超静定结构(静不定结构): 静力学平衡方程不能求解 超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数
分析：画出受力及变形简图
写出独立平衡方程
一次超静定问题。
l
变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即变形协调条件为
代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即可求得Ma和Mb。
并可进一步求得杆中切应力如图（内、外两杆材料不同），一般在两杆交界处的切应力是不同的。
按叠加原理：
BB、BM分别为MB、Me引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
代入上式可解得
MA可平衡方程求得 。
例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。
根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；
建立变形协调条件，求补充方程
利用胡克定律，得到补充方程；
联立求解
归纳起来，求解超静定问题的步骤是：
例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁，试求在荷载F 作用下各杆的轴力
解: (1)受力分析--平衡方程
例 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2 =A ， E1= E2=E；3杆长度为l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为E3 ,试求各杆的轴力。
简单超静定问题
简单超静定问题17内容Chap.6 简单超静定问题 1. 超静定问题及其解法2.拉压超静定问题3.扭转超静定问题 4.简单超静定梁要求了解超静定问题及其解法§6.1 超静定问题及其解法一. 静定超静定概念 1. 静定问题――仅用静力平衡方程就能求出全部未知力，这类问题称为静定问题. statically determinate problem 特点：未知力的数目等于静力学平衡方程的数目。
2. 超静定问题――仅用静力平衡方程不能求出全部未知力。
又称静不定问题。
statically indeterminate problem 特点：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
BC1 ααA2F y FN1 α αA未知力数目：2 ( FN1 , FN2 ) 静力平衡方程数目：2 ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 ) 静定结构，--------静定问题仅用静力平衡方程便能求解全部未知量。
FN2 xFN1FN2 FN3FN4FF未知力：4个平衡方程：2个超静定结构，超静定问题。
需要补充 2 个方程。
3. 超静定次数degree of statical indeterminancy 未知力数目与平衡方程数目之差。
也是需要补充的方程数目。
FN1FN2 F N3FN4FF未知力：4个平衡方程：2个超静定次数= 4-2 = 2 此结构可称为2次超静定结构4. 多余约束redundant restraint ------结构保持静定所需约束之外的约束。
即没有这部分约束结构也能保持一定的几何形状(静定)。
BC D B DBAAAFFF5. 多余未知力forceredundant unknown多余约束提供的约束力。
超静定次数= 多余未知力数目判断超静定次数：方法1: 多余未知力数目方法2:未知力数目-平衡方程数目二. 超静定问题的解法：1. 判断超静定次数：未知力数目-平衡方程数目2. 列平衡方程：静力平衡关系 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的关系，需要具体问题具体分析。
第五节 简单拉压超静定问题
第五节简单拉压超静定问题在前面几节讨论的问题中，杆件的约束反力和杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。
例如图5-25a所示的杆AB，在C处受到集中力P，则AC、CB段的内力可由平衡方程求出；同样，图5-26a所示的构架，是由AB及AC两杆组成，在A点受到载荷G的作用，求AB和AC杆的两个未知内力时，因能列出两个平衡方程，所以是静定问题。
(a) (b)图5-25图5-26在工程实际中，有时为了增加构件和结构物的强度和刚度，或者由于构造上的需要，往往要给构件增加一些约束，或在结构物中增加一些杆件，这时构件的约束反力或杆件的数目多于刚体静力学平衡方程的数目，因而仅用静力平衡方程不能求解。
这类问题称为超静定问题或称静不定问题。
未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数或称超静定次数。
例如图5-25b所示的杆，A、B两端有未知的约束力R1、R2，y方向静力平衡方程数只有1个，故属于一次超静定问题；图5-26b所示的构架，是由AB、AC、AD三杆组成，若取节点A研究，其所受力组成平面汇交力系，可列出2个静力平衡方程，但未知力有3个（N1、N2、N3），属于一次超静定问题。
显然仅由静力平衡方程不能求出全部未知内力。
求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系（称为变形协调条件），列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（虎克定律）建立所需的补充方程。
下面通过例题说明超静定问题的解法。
例5-8图5-27a所示为两端固定的杆。
在C、D两截面处有一对力P作用，杆的横截面面积为A，弹性模量为E，求A、B处支座反力，并作轴力图。
图5-27解：取AB 杆为研究对象，设A 、B 处的约束反力为压力，如图5-27b 所示，由平衡方程得 （a ）上式中只知道两个未知约束反力相等，不能解出具体值，故还需要列一个补充方程。
显然，杆件各段变形后，由于约束的限制，总长度保持不变，故变形协调条件为根据虎克定律，得到=，，，代入上式得到变形的几何方程为整理后得（b ）将式（a ）代入式（b ），可解得作出杆的轴力图，如图5-27c 所示。
72材料力学-拉压超静定
L2
A
2 E1 A1 cos3 N3 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
第四章 拉、压超静定问题
超静定问题的方法步骤：
平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程——虎克定律；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组；
N2 2 33.3MPa A2
第四章 拉、压超静定问题
B 3
D
C
静不定问题存在温度应力
1
A
2
如图，1、2号杆的尺寸及材料都
L1
L2
相同，当结构温度由T1变到T2时,
L3
A1
求各杆的温度内力。（各杆的线膨
胀系数分别为i ; △T= T2 -T1)
第四章 拉、压超静定问题
B 3 1
B 1
A1
3 D
C
静不定问题存在装配应力
如图示3号杆的尺寸误差为，求各杆
2
的装配内力。
A
解：、平衡方程:
N3
N1
N2
A1
X N
1
1
sin N2 sin 0
Y N cos N
2
cos N3 0
第四章 拉、压超静定问题
B 1
A1
3 D
积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：
A P N2
N3 N1
解：、平衡方程:
A P
X N sin N
1
2
sin 0
Y N cos N
1
2
cos N3 P 0
拉压超静定问题
l2 C
l1 A
B
B
C
A
F
（2） 变形几何方程 Δl1 Δl3 2Δl2
物理方程
Δl1
FN1l1 EA1
Δl2
FN 2 l EA
（3） 补充方程 FN1 FN3 2FN2
Δl3
FN 3 l EA
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l 3
l2 C
l1 A
B
B
C
A
（4）联立F平衡方程与补充方程求解
Fx 0
n = 未知力的个数 －独立平衡方程的数目
2.求解超静定问题的步骤(Procedure for solving a statically indeterminate)
（1）确定静不定次数；列静力平衡方程
（2）根据变形协调条件列变形几何方程
（3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程
温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静定结构可以自由变形, 不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或 全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力
称为热应力 (thermal stresses)或温度应力 (temperature stresses).
例题11 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两支承 的距离（即杆长）为 l,杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量
直径 d=10mm,铜杆横截面积为2030mm的矩形,钢的弹性模量
E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚,其变形可略去不
计,故可看作刚体.
B1
1
B
C1
超静定问题的解题步骤_概述说明以及解释
超静定问题的解题步骤概述说明以及解释1. 引言1.1 概述目前，超静定问题在工程设计和科学研究中扮演着至关重要的角色。
超静定问题是指那些具有多余约束条件的力学系统，在这种情况下，物体的运动过程不止一个可能的解。
解决超静定问题需要使用特定的数学工具和分析方法。
本文将介绍解题步骤，为读者提供一个清晰而简洁的指南。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
在引言部分，我们将概述文章内容，并简要介绍超静定问题及其重要性。
第二部分将对超静定问题进行详细讨论，包括定义、背景知识以及实际应用场景。
接下来，第三部分将总结解题步骤，并概括每个步骤所需考虑的关键点。
第四部分则会更加详细地解释每个步骤，并提供具体操作步骤和示例。
最后，在结论与总结部分，我们将总结解题步骤，并讨论可能遇到的困难与挑战，以及其他相关问题和研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者全面了解超静定问题和解题步骤。
通过详细讲解每个步骤的要点和操作方法，读者将能够更加轻松地解决超静定问题，并理解其在实际工程和科学领域的应用。
我们希望本文能成为读者解题过程中的有价值的参考资料，提供清晰而系统化的指导。
2. 超静定问题简介:2.1 定义和背景知识:超静定问题是指在静力学中，物体受到的约束超过了必要的约束数量。
这意味着通过仅使用平衡方程无法求解未知变量的值。
超静定问题在工程、建筑和力学领域中经常出现，并需要特殊的解题方法来找到合适的解决方案。
2.2 超静定问题的重要性:理解和解决超静定问题对于设计和分析结构非常重要。
一些实际应用场景中，超静定结构可以提供更高的刚度、稳定性和可持续性。
因此，研究人员和工程师需要掌握解决超静定问题的技巧。
2.3 实际应用场景:超静定问题广泛应用于建筑、土木工程、桥梁设计以及机械工程等领域。
例如，在建筑设计中，支撑柱或梁受到多个支点约束时可能会出现超静定问题。
在机械工程中，一些连接件或装配件也可能涉及到超静定问题。
了解超静定问题的定义、背景知识以及其在实际应用中的重要性对于理解本文后续将介绍的解题步骤至关重要。
超静定
FR A
FR B
P 3
max
FN,CD A
2P (压) 3A
FR A
A
PP CD
FR B
B
FN
P 3
-
P 3
x
2P 3
解超静定问题的步骤：
1 用约束反力代替多余约束，得到“静定”结构 2 寻找变形协调关系(关键! ! !) （几何关系） 3 利用虎克定律建立力与变形之间的关系（物理
关系）得补充方程 4 与平衡方程联立，解出全部的未知反力（平衡
超静定次数(degree of statically indeterminate problem)—— 未知力个数与独立平衡方程数之差
多余约束(redundant constrain)——保持结构的平衡与几何不 变而言多余的约束
Ⅲ 超静定问题的求解方法
A
F=16kN C
l/2
EI
l
B
wB 0
FB
FΝ 2
FΝ 3
l3
l1
l2
(a)
FΝ1
FΝ 2
FΝ 3
l1
l2
l3
(b)
FΝ1
FΝ 2
FΝ3 0
FΝ1 FΝ2 0
FΝ 3
l3
l1
l2
l3 0 l1
l2 0
(c)
(d)
判断上述变形图哪些是有可能的？
O
O
O
AO
a
a
l
C
O
OB
P
FΝ1
FΝ 2
FΝ 3
l3
对(a)图
l1
l2
1 平衡方程
(a)
Fy 0, FN1 FN2 FN3 P 0
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拉压超静定问题及其解法拉压超静定问题及其解法
拉压超静定问题及其解法
1. 外力超静定问题：在结构外部存在多余约束，即约束反力是超静定的。
一、拉压超静定问题的分类
外力超静定问题(多余约束反力)P
B
A
a
l b
拉压超静定问题及其解法
2. 内力超静定问题：在结构内部存在多余约束，即杆件内力是超静定的。
C A
B
D F
αα123内力超静定问题(多余杆件内力)
二、拉压超静定问题的解法
拉压超静定问题及其解法
1. 外力超静定问题的解法
解除多余约束法
核心问题：静力平衡方程不够？
寻求补充方程P
B A a
l
b
拉压超静定问题及其解法例1. 求图示AB 杆的支座反力。
解：受力分析，列出静力平衡方程：
0 (1)
A B R R P +-=AB 杆为一次超静定结构。
解除多余支座B ，施加相应
支反力R B 。
拉压超静定问题及其解法
变形相容方程：
0 (2)
AB AC BC l l l ∆=∆+∆=物理关系：
(3)A B AB R a R b L E A E A
∆=-补充方程
拉压超静定问题及其解法
以上三式联立求解得：
,A B b a R P R P l l
==
2. 内力超静定问题的解法
C A
B D
F
αα
123 拉压超静定问题及其解法
变形比较法变形协调法
例2. 1、2、3三杆用铰链连接如图，l 1= l 2= l ，A 1= A 2 = A ，E 1= E 2= E ，3杆的长度l 3 ，横截面积A 3 ，弹性模量E 3 ，外力F 沿铅垂方向。
求各杆的内力。
拉压超静定问题及其解法C A
B
D F
αα
123
拉压超静定问题及其解法解：受力分析，列出静力平衡方程：
210 sin sin 0N N X F F αα∑=-=
0cos cos 0321=-++=∑P F F F Y N N N αα
C
A
B D αα
1
23
A'变形前后要协
调！
原结构的变形协调条件是A 点产生铅垂方向位移，且结构变形后三杆仍绞结在一起。
拉压超静定问题及其解法
3
l Δα
αA
1
2
3
┕
┕
α
αA'
1
l Δ变形协调方程：
α
cos 31L L ∆=∆物理方程：
11
111N F L L E A ∆=
33
333
N F L L E A ∆=
拉压超静定问题及其解法
2
11123
1133
333
31133
cos 2cos 2cos N N N E A P F F E A E A E A P
F E A E A ααα==+=
+联解以上各式，解得：
C A
B
D
F
αα
1
2
3
超静定杆系结构中各杆的轴力与其刚度有关。
拉压超静定问题及其解法
拉压超静定问题及其解法外力超静定
内力超静定
补充方程解除多余约束
变形协调比较。