材料力学--简单的超静定问题

1
2
3
F
1
2
3
3
F
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几 个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对 于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束，相应的 有多余未知力。 3. 超静定次数 n ：n = 未知力数－独立的平衡方程数 4. 超静定问题的解题方法步骤：
(1) 静力学关系－－列静力平衡方程 (2) 几何关系（变形几何相容条件）－－列几何方程
(2)几何方程——变形协调方程：
(2)
A
l2 F l1
l1 l2 l3 cosa
(3)物理方程——胡克定律：
l3
FN1
FN3
A1 FN2
l1

FN1l1 E1 A1
l3

FN3l3 E3 A3
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
aa
FN1l1 FN3l3 cosa
(3)
14
B
D
C (2) 几何方程
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB

F RB a
2EA

RB 2a
EA

0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB

F 5
,
RA
4F 5
B
D
C [例6-2-5]如图所示3号杆的尺寸误
1
3
aa
2
A0

差为，求各杆的装配内力。 解：(1)取铰A分析，列平衡方程:
A
FN1、 FN2 为压力， FN3为拉力。
FN1 FN3 FN2
A
Fx 0 : FN1 sina FN2 sina 0
Fy 0 : FN1 cosa FN2 cosa FN3 0
FN 2 A2
[ ]2
0.72 P A2[ ]2
P2
A2 2
0.72
250 2 10 6 12 106 0.72
1042 kN
取 [P] 705.4kN
13
二、装配应力: 杆件尺寸误差引起的应力。
1 静定问题无装配应力。 2 静不定问题存在装配应力。

8
[例6-2-3] 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材 料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E， 杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷 [F]。
1
2
A
3 D
a
a
a
F
9
解：取刚性梁为研究对象，列 FN1 FN2
静力平衡方程：
MA 0:
受力图 A
a
a
FN1 a FN2 2a FN3 3a F 3a 0
(1)
变形协调条件：
A
位移图
l2 2l1, l3 3l1
l1
l2
即： FN2l 2 FN1l , EA EA
FN3l 3 FN1l EA EA
FN3
D a
F
D
l3
FN2 2FN1, FN3 3FN1 (2)
10
联立求解(1)和(2), 得：
FN1

3 14
F,
=10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每
个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
4FN1 FN2 P 0
4FN1
（2）列变形几何相容方程
FN 2
l1 l2
（3）由物理方程得补充方程：
l1

FN1l1 E1 A1

FN 2l2 E2 A2
l2
12
（4） 解平衡方程和补充方程，得:
(3) 物理关系－－列物理方程
(4) 补充方程：由几何方程和物理方程得到
(5) 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 4
静定基、基本静定系（相当系统） 静定基：解除超静定结构的多余约束后得到的静
定结构，称为原超静定系统的静定基，同一问题静定 基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和 位移。
F1
F2
F1
F2
F1
F2
R
R
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束
力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。
5
§6-2 拉压超静定问题
一、拉压超静定问题解法
对拉压超静定问题，可综合运用静力学关系、物 力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求 解。
[例6-2-1] 如图三杆用铰链连接，已知：l1=l2=l、 l3；
横截面积A1=A2=A、 A3 ； 弹性模量为：E1=E2=E、E3。
B
外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 1
D 3
C 2
aa
A
F
6
B 1
D 3
aa
C 解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:
F x 0 : FN1 sin a FN2 sin a 0 (1)
2
Fy 0 : FN1 cosa FN2 cosa FN3 F 0
FN1 0.07P ; FN 2 0.72P
（5）求结构的许可载荷：
4FN1
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
FN 2
FN 1 A1
[ ]1
0.07 P A1[ ]1
P1
A11
0.07
3.086 10 4 160 106 0.07
705 .4kN
A
E1 A1 E3 A3
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
F
FN1

FN2

E1A1F cos2 a 2E1A1 cos3 a E3 A3
;
FN3

2E1 A1
E3 A3F 7
cos3 a E3 A3
[例6-2-2] 两端固定直杆受轴向外力 F 作用，截面 尺寸如图所示，求两端反力。
FN2

6 14
F,
FN3

9 14
FFra Baidu bibliotek
3杆轴力为最大,其强度条件为:
3

FN3 A3

9F 14 A
[ ]
F 14 [ ]A
9
[F] 14 [ ]A
9
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢
加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2
第六章
简单的超静定问题
1
第六章 简单的超静定问题
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4
超静定问题及其解法 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1 超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。