材料力学--简单的超静定问题
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材料力学-力法求解超静定结构
3 优化结构设计
力法求解超静定结构时，可以根据计算结果优化结构设计，提高结构的强度和稳定性。
结论与总结
力法是求解超静定结构的有效方法，通过合理应用材料力学基础和力法的原理，我们能够准确求解反力分布并 分析结构的应力情况。
样例分析
结构：桥梁
使用力法求解桥梁上的悬臂梁，计算主梁的支座反 力和悬臂梁的应力分布。
结构：楼房
将力法应用于楼房结构，确定楼板的支座反力并分 析楼梯的受力情况。
实用提示和技巧
1 标定自由度
在应用力法时，正确标定结构的自由度是成功求解反力的重要步骤。
2 验证计算结果
对计算得到的反力进行验证，确保结果的准确性，避免错误的设计决策。
材料力学-力法求解超静 定结构
超静定结构的定义
超静定结构是指具有不止一个不可靠支持反力的结构。它们挑战了传统的结构分析方法，需要使用力法进行求 解。
材料力学基础
材料力学研究材料的受力和变形规律，包括弹性力学、塑性力学和损伤力学。 这些基础理论为力法求解超静定结构提供了必要的工具。
力法的原理
力法是一种基于平衡原理和支座反力法则的结构分析方法。它通过对超静定结构施加虚位移，建立受力平衡方 程，求解未知反力。
超静定结构应用力法求解的步骤
1
确定结构类型
了解结构是否为超静定结构，并确定不
计算反力
2
可靠支持反力的个数。
根据力法原理，建立并求解受力平衡方
程，计算未知反力。
3
验证平衡
通过检查受力平衡方程是否满足等式的
确定应力分布
4
要求，验证计算的反力是否正确。
பைடு நூலகம்
根据已知反力和结构的几何特性，计算 并绘制应力分布图。
力法求解超静定结构时，可以根据计算结果优化结构设计，提高结构的强度和稳定性。
结论与总结
力法是求解超静定结构的有效方法，通过合理应用材料力学基础和力法的原理，我们能够准确求解反力分布并 分析结构的应力情况。
样例分析
结构：桥梁
使用力法求解桥梁上的悬臂梁，计算主梁的支座反 力和悬臂梁的应力分布。
结构：楼房
将力法应用于楼房结构，确定楼板的支座反力并分 析楼梯的受力情况。
实用提示和技巧
1 标定自由度
在应用力法时，正确标定结构的自由度是成功求解反力的重要步骤。
2 验证计算结果
对计算得到的反力进行验证，确保结果的准确性，避免错误的设计决策。
材料力学-力法求解超静 定结构
超静定结构的定义
超静定结构是指具有不止一个不可靠支持反力的结构。它们挑战了传统的结构分析方法，需要使用力法进行求 解。
材料力学基础
材料力学研究材料的受力和变形规律，包括弹性力学、塑性力学和损伤力学。 这些基础理论为力法求解超静定结构提供了必要的工具。
力法的原理
力法是一种基于平衡原理和支座反力法则的结构分析方法。它通过对超静定结构施加虚位移，建立受力平衡方 程，求解未知反力。
超静定结构应用力法求解的步骤
1
确定结构类型
了解结构是否为超静定结构，并确定不
计算反力
2
可靠支持反力的个数。
根据力法原理，建立并求解受力平衡方
程，计算未知反力。
3
验证平衡
通过检查受力平衡方程是否满足等式的
确定应力分布
4
要求，验证计算的反力是否正确。
பைடு நூலகம்
根据已知反力和结构的几何特性，计算 并绘制应力分布图。
材料力学 简单的超静定问题
l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
材料力学——6简单的超静定问题
M
(x)
X
1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
l 2
B
l 0
M
(x)M EI
( x)dx
0
如果B处支撑为弹簧 （弹簧系数K） ？
例 P
A
l
l
2
2
BA
P
B
l
l
2
2
X1
解
M
(x)
X1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
静定基
l 2
x
B
l 0
M (x)M EI
(x)dx
X1 K
求解 线性方程
未知力
以一例说明解法
q
12 3
X1 X2 X3
• 静定基（含未知数）
1 0, 2 0, 3 0
• 位移协调条件
建立方程的过程
以1为例说明
X1 X2 X3
1
M (x)M1(x) dx EI
(M X1 M X2 M X3 M q )M1(x) dx EI
M X1M1 dx M X2 M1(x) dx M X3 M1(x) dx M qM1(x) dx
A
P0 =1 B
M (x) x
解： 协调条件——D截面转
角为零
A
静定基
D
/2
0
M
( )M
EI
()Rd
0
DX
P 2
二、装配应力
1、静定问题无装配应力
B
C
2、静不定问题存在装配应力
1
2
A
下图，3号杆的尺寸误差为，
简单的超静力问题
简单的超静定问题
20
例题 6-2
2. 取1杆和2杆为AB杆的多余约束，FN1和FN2 为多余未知力。得基本静定系如图c。
F
3
AC
B
(c)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
21
例题 6-2
3. 由变形图（图d）可得变形相容条件为
E
(d) C Dl1 FN1
Δl1 2Δl3 Δl2 2Δl1
F
A
F
FN3
2E F 1A 1F cNo 2 3 l 1sF N E l1 3 3c A 3o s
于是可求出多余未知力FN3 。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
例2
y
q
A
C
BxA
l/2
l/2
l
8
B
超静定梁
q
A
l/2
FC
l
基本静定系统
B 补充方程为 5ql4 FCl3 0 38E4 I 48EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
1
第 6 章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
2
§6-1 超静定问题及其解法
Ⅰ. 关于超静定问题的概述
(b)
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
mm×30 mm的矩形，钢的弹性
模量E=210 GPa，铜的弹性模
量E3=100 GPa。
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
29
例题 6-3
解：1. 装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如 图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，
材料力学(I)第六章
N2 y N1 N2 N3
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
材料力学
5 Pa RD a RD a 6 EI 3EI 3EI
如何得到？
A D
P
B
自行完成
C D
RD
例题 6
图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，
已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。
D
a
A
C
L
2
L
B
2
P
解：变形协调条件为 wC lCD
D
a
C
FC
A
( P FC ) L wC 48EI FC L lCD EA
温度应力：
FB E t A
6 1 12 . 5 10 碳素钢线胀系数为 C0
温度应力：超静定结构中，由于温度变化，使构
件膨胀或收缩而产生的附加应力。
不容忽视！！！
路、桥、建筑物中的伸缩缝 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节
例题 11
图示阶梯形杆上端固定，下端与支座距离=1mm， 材料的弹性模量E=210GPa，上下两段杆的横截 面面积分别为600平方毫米和300平方毫米。试 作杆的轴力图。
C
A
FA
B
L2
FC
FA FB FC qL 0
L2
M
A
0
FB
变形协调方程
L qL2 FC FB L 0 2 2
3 FB qL 16
FA 3 qL 16
C q C FC 0
7.5kNm
5qL4 FC L3 5 0 FC qL 8 384 EI Z 48EI Z
由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在 工程上（如桥梁等）应用非常广泛。
●超静定问题的解法：
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
轴力图01234-5-4-3-2-101234567N(F/4)x(a)第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ，F 作用点为D ，则：B BD R N =F R N B CD +=F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EAa N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45F R B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD-= 445F F F N CD-=+-= 47345F F F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232= 223311233EA l N EA l N EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-简单的超静定问题(圣才出品)
图 6-2-4 （2）补充方程 作铰 A 的位移图，由几何关系可得变形协调方程： Δl1/sin30°＝2Δl2/tan30°＋Δl3/sin30°③ 其中，由胡克定律可得物理关系：
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
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Δl1＝FN1l1/EA1＝FN1l/（EA1cos30°） Δl2＝FN2l2/EA2＝FN2l/（EA2） Δl3＝FN3l3/EA3＝FN3l/（EA3cos30°） 代入式③可得补充方程： FN1l/（EA1sin30°·cos30°）＝2FN2l/（EA2tan30°）＋FN3l/（EA3sin30°·cos30°）④ （3）求解 联立式①②④，可得各杆轴力：FN1＝8.45kN，FN2＝2.68kN，FN3＝11.55kN。
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MB = 0
FN2 Leabharlann 2 2a+
FN4
2 2
a
+
FN3
2a − F ( 2 a + e) = 0 2
②
根据结构的对称性可得 FN2＝FN4③
（2）补充方程
如刚性板的位移图所示，根据几何关系可得：Δl1＋Δl3＝2Δl2④
由结构对称可知 Δl2＝Δl4，其中，由胡克定律可得各杆伸长量：
Δl1＝FN1l/EA，Δl2＝FN2l/EA，Δl3＝FN3l/EA
代入式④，整理可得补充方程：FN1＋FN3＝2FN2⑤
（3）求解
联立式①②③⑤，解得各杆轴力：
FN1
=
(1 4
−
e )F(压) 2a
FN2
=
FN4
=
F 4
材料力学-简单超静定
1
建立力学模型
根据实际情况，选择适当的力学模型来描述系统的行为。
2
应用适当的计算方法
使用强大的计算方法，如有限元分析或解析方法，来解决超静定问题。
3
验证和优化
通过验证和优化计算结果，确保超静定结构的设计合理和可靠性。
简单超静定的应用范围和意义
建筑和桥梁设计
通过应用简单超静定材料 力学理论，可以设计出更 加稳定和安全的建筑和桥 梁结构。
2 材料创新
将超静定理论与热力学、 电磁学等领域相结合， 探索多物理场耦合的复 杂问题。
研究新型材料的超静定 特性，推动材料创新和 应用领域的进步。
3 智能结构设计
结合超静定理论和智能 材料，开发具有适应性 和自修复能力的结构。
简单超静定的相关实例分析和工程应用
实例1：桥梁设计 实例2：机械零件 实例3：材料性能
分析简单超静定桥梁的受力特点和优化设计方 法。
研究简单超静定机械零件的强度和刚度，优化 设计方案。
通过简单超静定力学模型，改进材料的性能和 可靠性。
总结和展望材料力学-简单超静定的未来 研究方向
1 多物理场耦合
材料力学-简单超静定
材料力学-简单超静定为你揭示了材料力学中的重要概念、计算方法和工程应 用。通过分析简单超静定问题，你将深入了解超静定结构的力学特性和解决 步骤。
分析简单超静定问题的背景
1 需求的复杂性
2 对刚体的限制
现实世界中，材料力学 问题往往涉及多种约束 条件和复杂的外力情况。
刚体假设无法适用于所 有情况，因此需要超静 定理论来帮助分析。
机械工程
简单超静定分析对于设计 高精度机械零件和装置具 有重要作用。
材料研究
了解材料力学的超静定现 象有助于开发新型材料和 改进现有材料的性能。
材料力学土木类第六章简单的超静定问题
B
D
C 解：一次超静定问题
1 32
(1)力：由节点A的平衡条件列 出平衡方程
y
F
N1
F
N3
F
N2
A
F
A F
Fx 0, FN1sinFN2 sin 0
F y 0 ,F N 3 F N 1 co F N 3 s co F s 0
x
l 3
B
D
1 32
A A'
C (2)变形：变由变形协调条件建立补充方程来求
解。
例 梁AC在B、C处分别为固定铰支座和可动铰支座，
梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接。在梁受荷载作
用以前，杆 AD 内没有内力。已知梁和拉杆用同样的
钢材制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩
为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图。试求钢
例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模
量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁， 试求在荷载F 作用下各杆的轴力
l
解: (1)受力分析--平衡方程
1
2
3
a
a
a
D2 C
A BF
FN1 A
FN2
FN3
B
C
D F
Y 0 , F N 1 F N 2 F N 3 F 0 M D 0 , 1 . 5 F N 1 0 . 5 F N 2 0 . 5 F N 3 0
土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利 用装配应力来提高构件承载能力的例子。
(2) 温度应力
静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变 形不会在杆中产生内力。
超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所 引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这 种内力称为温度内力。
材料力学超静定问题
材料力学超静定问题
材料力学是研究物质内部受力和变形的学科，其中超静定问题是力学中的一个
重要分支。
超静定问题是指在结构中由于支座的限制，导致结构处于超静定状态，无法通过静力学方法进行完全确定。
在实际工程中，超静定问题的解决对于结构的设计和分析具有重要意义。
超静定问题的解决方法有很多种，其中较为常用的是引入位移法和能量法。
位
移法是通过引入未知的位移量来解决超静定问题，通过位移的约束条件和力的平衡条件来求解结构的内力和位移。
而能量法则是通过能量的原理来解决超静定问题，通过构造适当的能量函数，利用能量的最小原理来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，超静定问题的解决需要结合具体的结构和受力情况来进行分析。
通常可以通过建立结构的受力模型，确定支座的约束条件，引入适当的未知量，建立相应的方程组，利用位移法或能量法来求解结构的内力和位移。
在进行计算时，需要考虑结构的受力平衡和位移连续性等条件，确保所得到的解是合理的。
除了位移法和能量法外，还可以利用有限元方法来求解超静定问题。
有限元方
法是一种数值计算方法，通过将结构福利分割成有限个单元，建立相应的数学模型，利用数值计算的方法来求解结构的内力和位移。
有限元方法具有较高的计算精度和适用范围，可以有效地求解复杂结构的超静定问题。
总的来说，超静定问题的解决是结构力学中的一个重要课题，对于工程实践具
有重要意义。
在实际工程中，需要根据具体的结构和受力情况，选择合适的方法来进行分析和求解。
通过合理的建模和计算，可以有效地解决超静定问题，为工程设计和分析提供可靠的依据。
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第六章 简单的超静定问题
例题： 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定， 则为几次超静定？
B
DE
A
C
FP
(a)静定。 未知内力数：3 平衡方程数：3
B
D
A
C
F
P
(b)超静定。 未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
(c)静不定。
未知内力数：3
平衡方程数：2
FP
静不定次数=1
静不定问题的解法： （1）建立静力平衡方程； （2）由变形协调条件建立变形协调方程； （3）应用物理关系，代入变形协调方程，得到补充方程；
基本静定基的选取：
(1)解除B支座的约束,以约束反力
代替，即选择一端固定一端自由
的悬臂梁作为基本静定基。
(2)解除A端阻止转动的约束，以 约束反力代替，即选择两端简支 的梁作为基本静定基。
基本静定基选取可遵循的原则：
(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条
E3 A3
F FN3 = 1+ 2E1 A1 cos3 a
E3 A3
(拉力) (拉力)
温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制， 因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。
杆件的变形 ——
由温度变化引起的变形 温度内力引起的弹性变形
例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固 定,上下两段的面积为
=-
[13EI
32(1+
24
I Al
2
)
]
M
M
A
C
B D
l
材料力学--简单的超静定问题
故为一次超静定问题。
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
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第六章
简单的超静定问题
1
第六章 简单的超静定问题
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4
超静定问题及其解法 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1 超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
8
[例6-2-3] 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材 料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E， 杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷 [F]。
1
2
A
3 D
a
a
a
F
9
解：取刚性梁为研究对象，列 FN1 FN2
静力平衡方程：
MA 0:
受力图 A
a
a
FN1 a FN2 2a FN3 3a F 3a 0
(2)几何方程——变形协调方程：
(2)
A
l2 F l1
l1 l2 l3 cosa
(3)物理方程——胡克定律：
l3
F
FN1l1 E1 A1
l3
FN3l3 E3 A3
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
aa
FN1l1 FN3l3 cosa
(3)
(1)
变形协调条件：
A
位移图
l2 2l1, l3 3l1
l1
l2
即： FN2l 2 FN1l , EA EA
FN3l 3 FN1l EA EA
FN3
D a
F
D
l3
FN2 2FN1, FN3 3FN1 (2)
10
联立求解(1)和(2), 得：
FN1
3 14
F,
=10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每
个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
4FN1 FN2 P 0
4FN1
（2）列变形几何相容方程
FN 2
l1 l2
（3）由物理方程得补充方程：
l1
FN1l1 E1 A1
FN 2l2 E2 A2
l2
12
（4） 解平衡方程和补充方程，得:
14
B
D
C (2) 几何方程
FN2
6 14
F,
FN3
9 14
F
3杆轴力为最大,其强度条件为:
3
FN3 A3
9F 14 A
[ ]
F 14 [ ]A
9
[F] 14 [ ]A
9
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢
加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2
FN 2 A2
[ ]2
0.72 P A2[ ]2
P2
A2 2
0.72
250 2 10 6 12 106 0.72
1042 kN
取 [P] 705.4kN
13
二、装配应力: 杆件尺寸误差引起的应力。
1 静定问题无装配应力。 2 静不定问题存在装配应力。
横截面积A1=A2=A、 A3 ； 弹性模量为：E1=E2=E、E3。
B
外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 1
D 3
C 2
aa
A
F
6
B 1
D 3
aa
C 解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:
F x 0 : FN1 sin a FN2 sin a 0 (1)
2
Fy 0 : FN1 cosa FN2 cosa FN3 F 0
B
D
C [例6-2-5]如图所示3号杆的尺寸误
1
3
aa
2
A0
差为，求各杆的装配内力。 解：(1)取铰A分析，列平衡方程:
A
FN1、 FN2 为压力， FN3为拉力。
FN1 FN3 FN2
A
Fx 0 : FN1 sina FN2 sina 0
Fy 0 : FN1 cosa FN2 cosa FN3 0
A
E1 A1 E3 A3
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
F
FN1
FN2
E1A1F cos2 a 2E1A1 cos3 a E3 A3
;
FN3
2E1 A1
E3 A3F 7
cos3 a E3 A3
[例6-2-2] 两端固定直杆受轴向外力 F 作用，截面 尺寸如图所示，求两端反力。
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
(3) 物理关系－－列物理方程
(4) 补充方程：由几何方程和物理方程得到
(5) 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 4
静定基、基本静定系（相当系统） 静定基：解除超静定结构的多余约束后得到的静
定结构，称为原超静定系统的静定基，同一问题静定 基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和 位移。
F1
FN1 0.07P ; FN 2 0.72P
（5）求结构的许可载荷：
4FN1
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
FN 2
FN 1 A1
[ ]1
0.07 P A1[ ]1
P1
A11
0.07
3.086 10 4 160 106 0.07
705 .4kN
1
2
3
F
1
2
3
3
F
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几 个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对 于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束，相应的 有多余未知力。 3. 超静定次数 n ：n = 未知力数－独立的平衡方程数 4. 超静定问题的解题方法步骤：
(1) 静力学关系－－列静力平衡方程 (2) 几何关系（变形几何相容条件）－－列几何方程
F2
F1
F2
F1
F2
R
R
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束
力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。
5
§6-2 拉压超静定问题
一、拉压超静定问题解法
对拉压超静定问题，可综合运用静力学关系、物 力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求 解。
[例6-2-1] 如图三杆用铰链连接，已知：l1=l2=l、 l3；
简单的超静定问题
1
第六章 简单的超静定问题
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4
超静定问题及其解法 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1 超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
8
[例6-2-3] 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材 料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E， 杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷 [F]。
1
2
A
3 D
a
a
a
F
9
解：取刚性梁为研究对象，列 FN1 FN2
静力平衡方程：
MA 0:
受力图 A
a
a
FN1 a FN2 2a FN3 3a F 3a 0
(2)几何方程——变形协调方程：
(2)
A
l2 F l1
l1 l2 l3 cosa
(3)物理方程——胡克定律：
l3
F
FN1l1 E1 A1
l3
FN3l3 E3 A3
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
aa
FN1l1 FN3l3 cosa
(3)
(1)
变形协调条件：
A
位移图
l2 2l1, l3 3l1
l1
l2
即： FN2l 2 FN1l , EA EA
FN3l 3 FN1l EA EA
FN3
D a
F
D
l3
FN2 2FN1, FN3 3FN1 (2)
10
联立求解(1)和(2), 得：
FN1
3 14
F,
=10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每
个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
4FN1 FN2 P 0
4FN1
（2）列变形几何相容方程
FN 2
l1 l2
（3）由物理方程得补充方程：
l1
FN1l1 E1 A1
FN 2l2 E2 A2
l2
12
（4） 解平衡方程和补充方程，得:
14
B
D
C (2) 几何方程
FN2
6 14
F,
FN3
9 14
F
3杆轴力为最大,其强度条件为:
3
FN3 A3
9F 14 A
[ ]
F 14 [ ]A
9
[F] 14 [ ]A
9
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢
加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2
FN 2 A2
[ ]2
0.72 P A2[ ]2
P2
A2 2
0.72
250 2 10 6 12 106 0.72
1042 kN
取 [P] 705.4kN
13
二、装配应力: 杆件尺寸误差引起的应力。
1 静定问题无装配应力。 2 静不定问题存在装配应力。
横截面积A1=A2=A、 A3 ； 弹性模量为：E1=E2=E、E3。
B
外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 1
D 3
C 2
aa
A
F
6
B 1
D 3
aa
C 解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:
F x 0 : FN1 sin a FN2 sin a 0 (1)
2
Fy 0 : FN1 cosa FN2 cosa FN3 F 0
B
D
C [例6-2-5]如图所示3号杆的尺寸误
1
3
aa
2
A0
差为，求各杆的装配内力。 解：(1)取铰A分析，列平衡方程:
A
FN1、 FN2 为压力， FN3为拉力。
FN1 FN3 FN2
A
Fx 0 : FN1 sina FN2 sina 0
Fy 0 : FN1 cosa FN2 cosa FN3 0
A
E1 A1 E3 A3
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
F
FN1
FN2
E1A1F cos2 a 2E1A1 cos3 a E3 A3
;
FN3
2E1 A1
E3 A3F 7
cos3 a E3 A3
[例6-2-2] 两端固定直杆受轴向外力 F 作用，截面 尺寸如图所示，求两端反力。
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
(3) 物理关系－－列物理方程
(4) 补充方程：由几何方程和物理方程得到
(5) 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 4
静定基、基本静定系（相当系统） 静定基：解除超静定结构的多余约束后得到的静
定结构，称为原超静定系统的静定基，同一问题静定 基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和 位移。
F1
FN1 0.07P ; FN 2 0.72P
（5）求结构的许可载荷：
4FN1
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
FN 2
FN 1 A1
[ ]1
0.07 P A1[ ]1
P1
A11
0.07
3.086 10 4 160 106 0.07
705 .4kN
1
2
3
F
1
2
3
3
F
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几 个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对 于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束，相应的 有多余未知力。 3. 超静定次数 n ：n = 未知力数－独立的平衡方程数 4. 超静定问题的解题方法步骤：
(1) 静力学关系－－列静力平衡方程 (2) 几何关系（变形几何相容条件）－－列几何方程
F2
F1
F2
F1
F2
R
R
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束
力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。
5
§6-2 拉压超静定问题
一、拉压超静定问题解法
对拉压超静定问题，可综合运用静力学关系、物 力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求 解。
[例6-2-1] 如图三杆用铰链连接，已知：l1=l2=l、 l3；