拉压超静定
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第六章 拉压超静定问题
FN1
B' C' A' x
Δl1
FN1l EA
FN3 l e F N3 Δl 3 E 3 A3
(4)补充方程
FN2
FN3 l e FN1l Δe E 3 A3 E A
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配 应力.
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法 q A 例：求解图示超静定梁 的支座反力，并画剪力 图和弯矩图。 分析：可以铰支座B为 “多余”约束，解除 “多余”约束后的基本 静定系为A端固定的悬 臂梁。
1
2 A
3
F
工程中很多建筑结构的力学模型并不是 静定结构，而是超静定结构。
第六章 力法
“鸟巢”国家体育场 杆件结构中大量采用超静定结构
土木工程中常见的简单超静定结构？
B
大型承重桁架
多跨连续梁
既然静定结构可以承担荷载，为什么工程中还 要使用超静定结构呢？ 原因：采用超静定结构要比静定结构更经济，更安全。 例如 (1)通过给静定梁增加支座，降低梁的最大弯矩。
原结构
相当系统
例：求三杆桁架内力,杆长 L1=L2，L3 =L ,面积 A1=A2=A， A3 ,弹性模量 E1=E2=E，E3
B
3 1
D
C
2 N1 N3
A P
A P
N2
解: (1) 列静力平衡方程 X 0 N1 sin N 2 sin 0
Y 0
(3) 利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的 补充方程为
ql 4 FB l 3 0 8 EI 3 EI
3 从而解得“多余”未知力 FB ql 8
B' C' A' x
Δl1
FN1l EA
FN3 l e F N3 Δl 3 E 3 A3
(4)补充方程
FN2
FN3 l e FN1l Δe E 3 A3 E A
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配 应力.
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法 q A 例：求解图示超静定梁 的支座反力，并画剪力 图和弯矩图。 分析：可以铰支座B为 “多余”约束，解除 “多余”约束后的基本 静定系为A端固定的悬 臂梁。
1
2 A
3
F
工程中很多建筑结构的力学模型并不是 静定结构，而是超静定结构。
第六章 力法
“鸟巢”国家体育场 杆件结构中大量采用超静定结构
土木工程中常见的简单超静定结构？
B
大型承重桁架
多跨连续梁
既然静定结构可以承担荷载，为什么工程中还 要使用超静定结构呢？ 原因：采用超静定结构要比静定结构更经济，更安全。 例如 (1)通过给静定梁增加支座，降低梁的最大弯矩。
原结构
相当系统
例：求三杆桁架内力,杆长 L1=L2，L3 =L ,面积 A1=A2=A， A3 ,弹性模量 E1=E2=E，E3
B
3 1
D
C
2 N1 N3
A P
A P
N2
解: (1) 列静力平衡方程 X 0 N1 sin N 2 sin 0
Y 0
(3) 利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的 补充方程为
ql 4 FB l 3 0 8 EI 3 EI
3 从而解得“多余”未知力 FB ql 8
拉压超静定
1 2
F
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
x
列出变形几何关系 将A点的位移分量向各杆投 影.得
l1 y sin x cos
y
x
A x
整理得
l2 x l3 y sin x cos
变形关系为 l3 l1 2l2 cos
l1
l2
l3
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA
FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得 F F cos 2 F FN 1 FN 2 N3 1 2 cos 3 1 2 cos 3 3
拉、压超静定问题
木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许 用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。 F 解： 平衡方程: F FW Fst （1） F 变形协调关系: l st l w FW l FW 物理关系: lW EW AW Fst Fst l lst Est Ast 补充方程:
2
拉、压超静定问题
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程 Fx 0 FN1 FN 2
y
F
0 2FN1 cos FN 3 F
2、变形几何关系 l1 l2 l3 cos 3、物理关系
FN 1l FN 3l l1 l3 EA cos EA
F
根据角钢许用应力，确定F
0.283F st st F 698 kN Ast 根据木柱许用应力，确定F 0.717F W W AW
拉压超静定问题
L FN L EA
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
l1=l2、 l3=l；各杆面积为 A1=A2、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B
DC
1
3
2
l
A G
(a)
B
DC
解：、平衡方程:
1 32
l3
A
l1
E
A
(c)
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0 Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN3 G 0
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
补充方程：由力与变形的物理条件得：
FN1 FN 3
工程力学
拉压超静定问题
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 持结构几何不变性所需要的杆或支座。
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
BDC
1
3
2
A G
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
FN 2
6.1拉压超静定问题
A 简图 N A
C P
P 为什么画轴力图? 应注意什么? + x
轴力的简便求法: 轴力的简便求法: 以x点左侧部分为对象,x点的内力N(x)由下式计算:
N ( x ) = ∑ P (←) − ∑ P (→)
其中“ΣP( )”与“ΣP( )”均为x点左侧与右侧部分的 所有外力。
例11 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量 为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 解： 、平衡方程: B 3 1 D C 2 N3
∑X
= N 1 sin α − N 2 sin α = 0
[σ ] 1 A1 N1 ≤ P= 0 .07 0 .07
160× 308.6 = 705.4kN = 0.07
另外：若将钢的面积增大 倍 怎样？ 另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？ 若将木的边长变为25mm，又怎样？ 若将木的边长变为 边长变为 ， 怎样？ 结构的最大载荷永远由钢控制着。 结构的最大载荷永远由钢控制着。
Α1=5cm2 ， Α2=10cm2，当温度升至T2
=25℃时,求各杆的温度应力。 a (线膨胀系数α =12.5× 10 −6 / oC N1 a 弹性模量E=200GPa) 解： 、平衡方程： ；
∑Y = N − N
1
2
=0
、几何方程： a
∆L = ∆LT − ∆LN = 0
N2
、物理方程
∆ LT = 2 a ∆ Tα ;
1 A 3 D
2
B 1
α α
C 2
∑ ∑Y = N1 cosα + N2 cosα − N3 = 0
拉压超静定
A 1 B 2
FN1
D
FN2 F
D
3 C h
FN3
F
平衡方程为
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0
这是一次超静定问题
A 1 B 2
1 D
E
l3
D3
l2
( FN1 FN3 ) cos FN2 F cos 0 FN1 sin FN3 sin F sin 0 l1 l3 2 l2 cos
A 1 B 2
D
物理方程为
FN1l1 FN1h l1 EA EA cos FN2l2 FN2h l2 EA EA FN3l3 FN3h l3 EA EA cos
2.10 拉伸、压缩超静定问题 一、超静定问题及求解方法 静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出, 这种情况称作静定问题。 超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部 未知力, 这种情况称做超静定问题。
超静定的次数: 未知力数超过独立平衡方程数 的数目, 称作超静定的次数。
2.10 拉伸、压缩超静定问题 变形协调方程: 在静不定问题中, 各部分变形之 间必存在相互制约的条件, 这种条件称为变形相 容条件(变形协调方程)。
2 FN1 3 FN2 6 F
这是一次超静定问题
(2) 画变形几何关系图 建立变形几何方程
变形协调条件为： 梁 ABCD 绕 铰 链 A 转 动 , ①、② 两杆仍与其铰接
d C 2d B
②
A a
60º B
工程力学(马浩)拉压超静定问题
解超静定问题的步骤： 解超静定问题的步骤：
根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个 根椐变形相容条件建立变形几何方程。 数与超静定次数相等。 数与超静定次数相等。 将变形与力之间的关系（胡克定律） 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程。 补充方程。 联立补充方程与静力平衡方程求解。 联立补充方程与静力平衡方程求解。
α
F
几何方程为
∆l1 +∆l3 = 2 l2cosα ∆
A
α
1
1
∆l3
B 2
α α
D
β
E
α α
D
∆l2
C
D1
3
2
P
H
∆l1
3
G
D
'
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
α
N 2l2 N 2 H = ∆ l2 = EA EA
N 3 l3 N3 H = ∆ l3 = EA EA cosα
3 3 2 1
2
1
l
B
a C
a A
C
B
A
∆l 3
C′
∆l 2
B′
∆l1
A′
G (4) 联立平衡方程与补充方程求解
N1+ N2 + N3 −G=0 N1⋅ 2a + N2⋅a =0 N1+ N3 = 2N2
x =0
G N1 = − 6 G = N2 3 5 G N3 = 6
思考题 刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。
F
A
N 1 l1 N1 H = ∆ l1 = EA EA cosα
轴向拉伸与压缩超静定结构
求各杆的变形量△Li ，如图1；
变形图近似画法，图中弧之切线。
小变形放大图与位移的求法。
A
B
C
L1
L2
P
C"
写出图2中B点位移与两杆变形间的关系 L2 B' P
解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知：
C
图 2
A
L1
B
一、拉、压超静定问题
试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？
角钢截面面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
[例3] 图示桁架，3根杆材料均相同，AB杆横截面面积为200mm2，AC杆横截面面积为300 mm2，AD杆横截面面积为400 mm2，若F=30kN，试计算各杆的应力。
列出平衡方程：
即：
列出变形几何关系
，则AB、AD杆长为
解：设AC杆杆长为
、物理方程
解平衡方程和补充方程，得: 、补充方程 、温度应力
F
F
F
F
F
F
二、装配应力——预应力
§2-9 装配应力和温度应力
装配应力： 超静定结构中才有装配应力 1、列出独立的平衡方程 2、变形几何关系 3、物理关系 4、补充方程 5、求解方程
、几何方程
解：、平衡方程:
2、静不定结构存在装配应力。
如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。
A
B
C
1
2
A
B
C
1
2
D
A1
3
、物理方程及补充方程：
、解平衡方程和补充方程，得:
d
A1
N1
N2
N3
A
A1
变形图近似画法，图中弧之切线。
小变形放大图与位移的求法。
A
B
C
L1
L2
P
C"
写出图2中B点位移与两杆变形间的关系 L2 B' P
解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知：
C
图 2
A
L1
B
一、拉、压超静定问题
试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几次超静定？
角钢截面面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
[例3] 图示桁架，3根杆材料均相同，AB杆横截面面积为200mm2，AC杆横截面面积为300 mm2，AD杆横截面面积为400 mm2，若F=30kN，试计算各杆的应力。
列出平衡方程：
即：
列出变形几何关系
，则AB、AD杆长为
解：设AC杆杆长为
、物理方程
解平衡方程和补充方程，得: 、补充方程 、温度应力
F
F
F
F
F
F
二、装配应力——预应力
§2-9 装配应力和温度应力
装配应力： 超静定结构中才有装配应力 1、列出独立的平衡方程 2、变形几何关系 3、物理关系 4、补充方程 5、求解方程
、几何方程
解：、平衡方程:
2、静不定结构存在装配应力。
如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。
A
B
C
1
2
A
B
C
1
2
D
A1
3
、物理方程及补充方程：
、解平衡方程和补充方程，得:
d
A1
N1
N2
N3
A
A1
工程力学第12讲 拉压：超静定问题
(a)
FN2 l2 ( FBx )l2 lCB EA EA
4. 建立补充方程 5. 支反力计算
FAx l1 FBx l2 0
(b)
联立求解平衡方程(a)与补充方程(b)
FAx Fl2 l1 l2 Fl1 FBx l1 l2
例 8-2 已知：F = 50 kN，[st ] = 160 MPa，[sc ] = 120 Mpa ，A1= A2。试问：A1=? A2=?
§8 应变能概念
应变能与功能原理 外力功与应变能计算 例题
应变能与功能原理
应变能与外力功 弹性体因变形而储存的能量－应变能 Ve
外力在变形过程中所作之功－外力功 W
弹性体功能原理 根据能量守恒定律，弹性体因变形所储 存的应变能 ，数值上等于外力所作的功
Vε W
功能原理Байду номын сангаас立条件：载荷由零逐渐缓慢 增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能 等的变化，均可忽略不计。
提问
塑性材料和脆性材料按照什么指标区分？ 塑性材料的失效是指什么？ 脆性材料的失效是指什么？ 拉压杆件的强度条件是什么？ 什么叫作许用应力？ 强度计算有哪几种类型？
§8 简单拉压静不定问题
静不定问题与静不定度 静不定问题分析 例题
静不定问题与静不定度
静定问题 仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反 力与内力）的问题 静不定问题 仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题
表面aa－积压, 截面cd－拉应力最大, 截面ab－剪切
2. 强度校核
挤压强度：
Fbs F 2
s bs
F 2
Fbs F 9.0 MPa[s bs ] Abs 2b
2-3 拉压变形、超静定
§2--6 拉压杆的弹性应变能
一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存
与杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“U”表示。 二、 拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。
N（ x） F N(x)
1 d U = d W = FN ( x ) • ∆ d x 2
A
B
60C ° 60° D ∆1 ∆ C ∆
2
3）变形图如左图 ,
B'
C点的垂直位移为：
∆ LC = BB′ + DD ′ 2 ∆ 1 sin 60 + ∆ 2 sin 60 = 2
D'
A 800
B
60° 60° D C 400 P 400
∆L 1.36 = = 2 sin 60 2 sin 60o = 0.79 mm
FN 2 = 0.72 P = A2 [σ 2 ]
∴[P2 ] = A2 [σ 2 ] / 0.72 = 2502 × 12 / 0.72 = 1042kN
r求结构的许可载荷： 方法2:
[∆1 ] = L[σ 1 ]/ E1 = 0.8mm [∆ 2 ] = L[σ 2 ]/ E2 = 1.2mm
4N 1
FN 1 = 0.07 P ; FN 2 = 0.72 P
r求结构的许可载荷： 方法1: FN 1 = 0.07 P = A1 [σ 1 ]
1m
250
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
∴[P1 ] = A1 [σ 1 ] / 0.07 = 308 .6 × 160 / 0.07 = 705 .4 kN
∑X
= FN 1 sin α − N 2 sin α = 0
26拉压超静定问题
3）物理方程lT Tl Nhomakorabeal RBl EA
T l R l
EA
T
R T
A
E
对于钢杆，
1.21051/C
E210103M P a
当△T= 40°C时:
T 100MPa
2.6 超静定问题
超静定问题的概念
静定问题:
超静定问题: 超静定次数:
2.6.1 拉（压）杆超静定问题解法
1）解除“多余”约束，使超静定结构变 为静定结构（称基本结构），建立静力 平衡方程。
2）根据“多余”约束性质，建立变形协 调方程。
3）建立物理方程（如胡克定律，热膨胀 规律等）。
4）联解静力平衡方程以及2）和3）所建 立的补充方程，求出未知力（约束力或 内力）。
lAClCB0
（3）物理方程 由胡克定律
lAC
NACaRAa EA EA
lBC
NBCbRBb EA EA
得补充方程 RAaRBb
（4）求解得
Pa RB a b
Pb RA a b
1）由静力平衡方程
(FF NN 11F F NN 22)cosFN3F0
求各杆的装配应力。
1）由静力平衡方程
FN1 FN2
FN3 (FN1 FN2 )0
2）变形协调方程 3）物理方程
l1 l3
l2 e
l1
l1
l2
FN1l EA
l3
FN 3l E 3A3
得补充方程 FN3l e FN1l
E3 A3
EA
2．温度应力
1．装配应力
第五节 简单拉压超静定问题
第五节简单拉压超静定问题在前面几节讨论的问题中，杆件的约束反力和杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。
例如图5-25a所示的杆AB，在C处受到集中力P，则AC、CB段的内力可由平衡方程求出；同样，图5-26a所示的构架，是由AB及AC两杆组成，在A点受到载荷G的作用，求AB和AC杆的两个未知内力时，因能列出两个平衡方程，所以是静定问题。
(a) (b)图5-25图5-26在工程实际中，有时为了增加构件和结构物的强度和刚度，或者由于构造上的需要，往往要给构件增加一些约束，或在结构物中增加一些杆件，这时构件的约束反力或杆件的数目多于刚体静力学平衡方程的数目，因而仅用静力平衡方程不能求解。
这类问题称为超静定问题或称静不定问题。
未知力个数与独立的平衡方程数之差称为静不定次数或称超静定次数。
例如图5-25b所示的杆，A、B两端有未知的约束力R1、R2，y方向静力平衡方程数只有1个，故属于一次超静定问题；图5-26b所示的构架，是由AB、AC、AD三杆组成，若取节点A研究，其所受力组成平面汇交力系，可列出2个静力平衡方程，但未知力有3个（N1、N2、N3），属于一次超静定问题。
显然仅由静力平衡方程不能求出全部未知内力。
求解超静定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须根据杆件变形之间的相互关系（称为变形协调条件），列出变形的几何方程，再由力和变形之间的物理条件（虎克定律）建立所需的补充方程。
下面通过例题说明超静定问题的解法。
例5-8图5-27a所示为两端固定的杆。
在C、D两截面处有一对力P作用，杆的横截面面积为A，弹性模量为E，求A、B处支座反力，并作轴力图。
图5-27解：取AB 杆为研究对象，设A 、B 处的约束反力为压力，如图5-27b 所示，由平衡方程得 （a ）上式中只知道两个未知约束反力相等，不能解出具体值，故还需要列一个补充方程。
显然，杆件各段变形后，由于约束的限制，总长度保持不变，故变形协调条件为根据虎克定律，得到=，，，代入上式得到变形的几何方程为整理后得（b ）将式（a ）代入式（b ），可解得作出杆的轴力图，如图5-27c 所示。
拉压超静定问题
材料力学
拉压超静定问题
1.1 超静定的概念 图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的 约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样 的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在 工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上 的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35 （c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35 （d）］。
σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α） ＝6.52×106 Pa＝6.52 MPa （压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α） ＝11.3×106 Pa＝11.3 MPa （拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问
题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配
1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为 压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0 ∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a 可见这是一次超静定问题。 称2性）可列知补，充Δl1方＝程Δ。l2。设由杆图3伸2-长38了（Δal3），，杆变1、形2的分几别何缩关短系了为Δl1与Δl2。由对
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E ＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆 3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2 压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
拉压超静定问题
1.1 超静定的概念 图2-35（a）、（b）所示杆件和结构，它们的 约束力与内力都可由静力平衡方程求出，这样 的杆件或结构称为静定杆件或静定结构。但在 工程中，有时为了提高强度和刚度，或构造上 的需要，往往还给杆件或结构增加一些约束。
例如在图2-35（a）所示杆件下端增加固定端约束［图2-35 （c）］，在图2-35（b）所示结构中增加一根杆［图2-35 （d）］。
σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α） ＝6.52×106 Pa＝6.52 MPa （压）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α） ＝11.3×106 Pa＝11.3 MPa （拉）
在工程中，杆件制成后，其尺寸有微小的误差是常见的。对于超静定问
题，在强行装配后，将在各部分引起应力，这种应力称为装配应力。装配
1） 列静力平衡方程。取结点A为研究对象，设杆1、2的轴力FN1、FN2为 压力，杆3的轴力FN3为拉力［图2-38（b）］。
图2-38
列出平衡方程
∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0 ∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a 可见这是一次超静定问题。 称2性）可列知补，充Δl1方＝程Δ。l2。设由杆图3伸2-长38了（Δal3），，杆变1、形2的分几别何缩关短系了为Δl1与Δl2。由对
【例2-13】在图2-38（a）所示结构中，三杆都是钢杆，钢的弹性模量E ＝200GPa，三杆的横截面面积均为A，α＝30°。由于制造上的误差，杆 3比原设计长度l短了δ，δ/l=1/1000。求装配后三杆的应力。
【解】为了使三杆连接在一起，装配时需要用力把杆3拉长，把杆1与杆2 压短，装配好以后，各杆处于图2-38（a）中虚线所示位置。
72材料力学-拉压超静定
L2
A
2 E1 A1 cos3 N3 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
第四章 拉、压超静定问题
超静定问题的方法步骤：
平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程——虎克定律；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组；
N2 2 33.3MPa A2
第四章 拉、压超静定问题
B 3
D
C
静不定问题存在温度应力
1
A
2
如图，1、2号杆的尺寸及材料都
L1
L2
相同，当结构温度由T1变到T2时,
L3
A1
求各杆的温度内力。（各杆的线膨
胀系数分别为i ; △T= T2 -T1)
第四章 拉、压超静定问题
B 3 1
B 1
A1
3 D
C
静不定问题存在装配应力
如图示3号杆的尺寸误差为，求各杆
2
的装配内力。
A
解：、平衡方程:
N3
N1
N2
A1
X N
1
1
sin N2 sin 0
Y N cos N
2
cos N3 0
第四章 拉、压超静定问题
B 1
A1
3 D
积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：
A P N2
N3 N1
解：、平衡方程:
A P
X N sin N
1
2
sin 0
Y N cos N
1
2
cos N3 P 0
第二章-轴向拉伸与压缩超静定
(δ − ∆L3) cosα = ∆L 1
N3 N1 α α N2 A1
（3） 本构方程
N3L3 N1L 1 (δ − ) cosα = E3 A3 E1A 1
（4）联立求解
∆L3 A 1
δ
∆L1
A
E1A cos2 α 1 N1 = N2 = ⋅ L3 1+ 2cos3 α E1A / E3 A 1 3
例
木制短柱的四角用四个40×40× 的等边角钢加固， 木制短柱的四角用四个40×40×4的等边角钢加固，角 40
钢和木材的许用应力分别为[ =160M 和 =12MPa， 钢和木材的许用应力分别为[σ]1=160 Pa和[σ]2=12 ， 弹性模量分别为E =200 =10GPa；求许可载荷 弹性模量分别为 1=200GPa 和 E2 =10 ；求许可载荷P 解：(1)平衡方程 (1)平衡方程
解法二——混合法：a、由几何和物理方程消除 1和N2； 混合法： 由几何和物理方程消除N 解法二 混合法 个方程（ 个力未知量， 个位移未知量） b、解3个方程（含1个力未知量，2个位移未知量）
3、超静定问题的解法 、
力学——原有基地 （1）静力平衡方程——力学 静力平衡方程 力学 原有基地 几何——新开方向 （2）变形协调方程——几何 变形协调方程 几何 新开方向 （3）材料本构方程——物理 材料本构方程 物理——构筑桥梁 构筑桥梁 物理 代数——综合把握 （4）方程联立求解——代数 方程联立求解 代数 综合把握
（5）求结构的许可载荷 《方法1》 方法1
4N1 N2 N2
4N 1
Ni = Ai [σi ] (i = 1, 2)
A1=3.086cm2
角钢面积由型钢表查得
拉压超静定问题
第六章 超静定问题
(a)
(b)
图a所示静定杆系,为减小杆1、2中的内力或节点A的
位移，而增加了杆3 ，构成超静定杆系(如图b) 。
河南理工大学万方科技学院
材料力学
第六章 超静定问题
(b)
此时有3个未知内力FN1 、FN2 、FN3，但只有两个独立
的平衡方程── 一次超静定问题。
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(拉力）
材料力学
第六章 超静定问题
F N 1F N 22c F N 3 o s2co E sl33 A 3 e2E 1A 1 l1 co 2 s （压力）
至于各杆横截面上的装配应力，只需将装配内力(轴力) 除以杆的横截面面积即可。
由此可见，求解超静定杆系(结构)中的装配内力的关键， 仍在于根据变形几何相容条件，并结合应用物理关系列出补充 方程。
材料力学
第六章 超静定问题
例6-4 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。 求1、2杆的受力。
1l A
a
a
30o 2 B
A
FAX
a
FN1 a
30o FN2 B
P
FAY
P
平衡方程: m A 0F N 1 a F N 2 co 2 a s P 2 3 a 0 0
变形关系: coLs2302L1 物理关系: L1FEN1L A
P 假设均受拉力。
河南理工大学万方科技学院
材料力学
第六章 超静定问题
变形几何相容方程：
l1l32l2
1
2
3
a
a
即 l12l2l30（2） A
B
物理方程：
l1
5.14 拉压超静定问题(一)
5.14 拉压超静定问题（一）
轴向拉压超静定问题
静定、超静定概念 1. 静定问题——未知力的数目（小于）等于静力平衡方程的数目，仅用静力
平衡方程就能求出全部未知力 。 2. 超静定（静不定）问题——未知力的数目大于静力平衡方程的数目，仅用
静力平衡方程不能求出全部未知力。 3. 多余约束----结构保持静定所需约束之外的约束。
FN 2 FN 3
⑴
Fy 0, FN1 FN 2 cos FN3 cos F 0 ⑵
y FN1
FN2 FN3
A
x
F
轴向拉压超静定问题
B
C
D
21 3
A
l3
l2
A´ l1 F
3. 列几何方程 l2 l3 l1cos
4. 列物理方程
l1
FN1l1 E1 A1
5. 列补充方程
l2
l3
FN 2l2 E2 A2
FN 2l2 FN3l3 FN1l1 cos
E 2 A2 E 3 A3 E1A1
（3）
轴向拉压超静定问题
FN 2 FN 3
⑴
FN1 FN 2 cos FN3 cos F 0
⑵
FN 2l2 FN3l3 FN1l1 cos
E2 A2 E3 A3 E1 A1
补充方程
求解
多余未知力：多余约束提供的约束力。
轴向拉压超静定问题
4、超静定次数的判定 全部未知力数目 - 全部独立平衡方程数目 超静定次数 = 多余约束的数目
FN1 FN2 FN3 FN4
F
F
轴向拉压超静定问题
静不定问题的解法——力法
三方面 力学平衡方程 变形几何方程 物理方程
补充方程
轴向拉压超静定问题
静定、超静定概念 1. 静定问题——未知力的数目（小于）等于静力平衡方程的数目，仅用静力
平衡方程就能求出全部未知力 。 2. 超静定（静不定）问题——未知力的数目大于静力平衡方程的数目，仅用
静力平衡方程不能求出全部未知力。 3. 多余约束----结构保持静定所需约束之外的约束。
FN 2 FN 3
⑴
Fy 0, FN1 FN 2 cos FN3 cos F 0 ⑵
y FN1
FN2 FN3
A
x
F
轴向拉压超静定问题
B
C
D
21 3
A
l3
l2
A´ l1 F
3. 列几何方程 l2 l3 l1cos
4. 列物理方程
l1
FN1l1 E1 A1
5. 列补充方程
l2
l3
FN 2l2 E2 A2
FN 2l2 FN3l3 FN1l1 cos
E 2 A2 E 3 A3 E1A1
（3）
轴向拉压超静定问题
FN 2 FN 3
⑴
FN1 FN 2 cos FN3 cos F 0
⑵
FN 2l2 FN3l3 FN1l1 cos
E2 A2 E3 A3 E1 A1
补充方程
求解
多余未知力：多余约束提供的约束力。
轴向拉压超静定问题
4、超静定次数的判定 全部未知力数目 - 全部独立平衡方程数目 超静定次数 = 多余约束的数目
FN1 FN2 FN3 FN4
F
F
轴向拉压超静定问题
静不定问题的解法——力法
三方面 力学平衡方程 变形几何方程 物理方程
补充方程
拉压超静定问题
l2 C
l1 A
B
B
C
A
F
（2） 变形几何方程 Δl1 Δl3 2Δl2
物理方程
Δl1
FN1l1 EA1
Δl2
FN 2 l EA
（3） 补充方程 FN1 FN3 2FN2
Δl3
FN 3 l EA
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l 3
l2 C
l1 A
B
B
C
A
（4）联立F平衡方程与补充方程求解
Fx 0
n = 未知力的个数 －独立平衡方程的数目
2.求解超静定问题的步骤(Procedure for solving a statically indeterminate)
（1）确定静不定次数；列静力平衡方程
（2）根据变形协调条件列变形几何方程
（3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得 补充方程
温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静定结构可以自由变形, 不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或 全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力
称为热应力 (thermal stresses)或温度应力 (temperature stresses).
例题11 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两支承 的距离（即杆长）为 l,杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量
直径 d=10mm,铜杆横截面积为2030mm的矩形,钢的弹性模量
E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚,其变形可略去不
计,故可看作刚体.
B1
1
B
C1
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内容提要
简单的拉、压超静定问题
第1页/共38页
§7—7 简单的 拉、压超静定问题
一、静定与超静定问题 1、静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况 称作静定问题。 2、超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力， 这种情况称做超静定问题。
3、超静定的次数: 未知力个数与独立平衡方程的数目之差, 称作超静定的次数。
F
A F N 3(l cos )
E3 A3
第15页/共38页
D
A
A
FN3
3、补充方程
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
F
(F F N 3)l
2 EA cos 2
F
N 3(l cos )
E3 A3
第16页/共38页
D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F
FN3
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
第17页/共38页
二、超静定问题的基本解法
例题1：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C
点处承受轴力 F 的作用，如图 所示 。计算约束反力。
A a
C
F
B
第4页/共38页
A a
C
F
B
FA
A
C
F
B
FB
这是一次超静定问题
第5页/共38页
A a
C
F
B
A
A
C
F
B
基本系统
C
F
B
FB
相当系统
1、解除多余约束（如选 B 端的约束为多余约束 )， 代以反力FB，得超静定系统的 相当系统。
例题2另解： 设1、2、3三杆用铰链连结，L1 = L2 = L， A1 = A2 = A , E1 = E2 =E ,3 杆的长度 L3,横截面积 A3,弹性模量 E3,试求在 沿铅垂方向的外力P作用下各杆的轴力。
分析：
这是一次超静定问 题，必须建立一个 补充方程。
B
DC
1
3
2
A P
y
FN1 FN 3
FN 2
αα
x
A P
第23页/共38页
B
DC
1
3
2
A P
y
FN1 FN 3
FN 2
αα
x
A P
解： 1、静力方面由平衡方程：
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0
(1)
Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN 3 P 0 (2)
第24页/共38页
B
DC
1
A1
A'
3、物理方面：
l1
FN 1l EA
l3
FN 3l3 E3 A3
FN 3l cos
E3 A3
代入 Δl1 Δl3 cosα
补充方程：
FN 1
FN 3
EA E3 A3
cos2
(3)
第26页/共38页
B
DC
1
3
2
A P
y
N3 N2 N1
αα
A P
13 2
B
Fa l
第9页/共38页
BF BFB 0
A a
C
F
B
A
C
F
B
FB
C
(F
F B)a EA
Fab lEA
第10页/共38页
例题2：设 1、2、3 三杆用铰链连结，l1 = l2 = l， A1 = A2 = A, E1 = E2 = E ,3 杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量 E3 。 试求在沿铅垂方向的外力 F 作用下各杆的轴力。
A C
P B
a
y
(b)
RA
A
C P
解：杆的受力情况如 图 b所示。
Y 0 RA RB P 0
这是一次超静定问题。
B
RB第19页/共38页
(a) A C
P B
a
y RA (b)
A A
C
C
C1
P
B
B
(c)
lAC cc1 lCB cc1 lAC lCB
RB 1、变形方面：变形相容条件是：杆的总长度不变
第6页/共38页
A a
C
F
B
A
C
F
B
FB
2、位移条件：相当系统多余未知力作用处位移与原超静定系统
的相同。
B 0
第7页/共38页
A C
F
B
3、几何条件
A a
C
F
B
FB
BF BFB 0
第8页/共38页
B 0
A C
F
B
4、补充方程 解得
A a
C
F
B
FB
Fa F B l 0 EA EA
F
FN1
FN3
FN2
αα
A
P
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
F ( EA )cos2
F
N1
F
N
2
1
E3 A3 2 EA
cos2
E3 A3
第18页/共38页
例题1另解：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模
量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图 a 所示 。求A处和 B处的约束反力。
(a)
l AC
RAa EA
B
lCB
RBb EA
RA
Pb l
RB
Pa l
第21页/共38页
一、静力方面：列出静力平衡方程。 二、变形几何方面：根椐变形几何相容条件建立变形几何方 程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。 三、物理方面：将变形与力之间的关系（胡克定律）代入 变形几何方程得补充方程。
第22页/共38页
变形几何方程为： lAC lCB
2、物理方面：根据胡克定律
l Pl EA
lACRAaຫໍສະໝຸດ EAlCBRBb EA
第20页/共38页
(a) A C
P B
补充方程为
3、静力方面 由平衡方程
a
y RA (b)
A
C
P B
RB
RAa RBb EA EA
RA RB P 0
(c)
A
lAC lCB
C
C1
B
D
C
3 1
2
A
F
第11页/共38页
B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
这是一次超静定问题。
第12页/共38页
B
D
C
B
D
C
3
1
FN1
2
A
FN3
αα
A
3
FN2
1
FN3
2
A
F
P
F
1、解除多余约束（如选 3 杆为多余约束 )，代以反力 FN3， 得超静定系统的 基本（相当）系统。
第13页/共38页
D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F FN3
2、位移条件：由杆 1 和杆 2 构成的杆系在 ( F - FN3 )作用下节 点 A 的位移 A ，应等于杆 3 在 FN3 作用下节点 A 的位移 ‘A
A A
第14页/共38页
D
A
A
FN3
A
(F 2EA
F N 3)l
cos2
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
3
2
B
DC
1
3 2
13 2
A Δl1
y
A FN1 FN 3
FN 2
A
P
αα
x
A'
A
Δl3
A2
A1
A'
P
2、变形几何方面： 变形的几何相容条件是：变形后三杆仍铰结在一起
变形几何方程为： l1 l3 cos
第25页/共38页
B
DC
1
3
2
A P
y
N3 N2 N1
αα
A P
13 2
A Δl1
x Δl3 A2
第2页/共38页
4、多余约束：多于维持平衡所必需的支座或杆件。 5、多余未知力 : 与多余约束相应的支反力或内力。
B
C
D
E
2 1
3 4
A F
FN2 FN1
A
B
FN3 FN4
F
C
D
E
2 1
3 4
A F
这是二次超静定问题 可将 AC，AD 杆看作多余约束 FN2 ， FN3 为相应的多余未知力
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简单的拉、压超静定问题
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§7—7 简单的 拉、压超静定问题
一、静定与超静定问题 1、静定问题: 杆件的轴力可以用静力平衡条件求出，这种情况 称作静定问题。 2、超静定问题: 只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力， 这种情况称做超静定问题。
3、超静定的次数: 未知力个数与独立平衡方程的数目之差, 称作超静定的次数。
F
A F N 3(l cos )
E3 A3
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D
A
A
FN3
3、补充方程
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
F
(F F N 3)l
2 EA cos 2
F
N 3(l cos )
E3 A3
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D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F
FN3
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
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二、超静定问题的基本解法
例题1：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模量为E，在C
点处承受轴力 F 的作用，如图 所示 。计算约束反力。
A a
C
F
B
第4页/共38页
A a
C
F
B
FA
A
C
F
B
FB
这是一次超静定问题
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A a
C
F
B
A
A
C
F
B
基本系统
C
F
B
FB
相当系统
1、解除多余约束（如选 B 端的约束为多余约束 )， 代以反力FB，得超静定系统的 相当系统。
例题2另解： 设1、2、3三杆用铰链连结，L1 = L2 = L， A1 = A2 = A , E1 = E2 =E ,3 杆的长度 L3,横截面积 A3,弹性模量 E3,试求在 沿铅垂方向的外力P作用下各杆的轴力。
分析：
这是一次超静定问 题，必须建立一个 补充方程。
B
DC
1
3
2
A P
y
FN1 FN 3
FN 2
αα
x
A P
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B
DC
1
3
2
A P
y
FN1 FN 3
FN 2
αα
x
A P
解： 1、静力方面由平衡方程：
Fx 0 FN1 sin FN 2 sin 0
(1)
Fy 0 FN1 cos FN 2 cos FN 3 P 0 (2)
第24页/共38页
B
DC
1
A1
A'
3、物理方面：
l1
FN 1l EA
l3
FN 3l3 E3 A3
FN 3l cos
E3 A3
代入 Δl1 Δl3 cosα
补充方程：
FN 1
FN 3
EA E3 A3
cos2
(3)
第26页/共38页
B
DC
1
3
2
A P
y
N3 N2 N1
αα
A P
13 2
B
Fa l
第9页/共38页
BF BFB 0
A a
C
F
B
A
C
F
B
FB
C
(F
F B)a EA
Fab lEA
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例题2：设 1、2、3 三杆用铰链连结，l1 = l2 = l， A1 = A2 = A, E1 = E2 = E ,3 杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量 E3 。 试求在沿铅垂方向的外力 F 作用下各杆的轴力。
A C
P B
a
y
(b)
RA
A
C P
解：杆的受力情况如 图 b所示。
Y 0 RA RB P 0
这是一次超静定问题。
B
RB第19页/共38页
(a) A C
P B
a
y RA (b)
A A
C
C
C1
P
B
B
(c)
lAC cc1 lCB cc1 lAC lCB
RB 1、变形方面：变形相容条件是：杆的总长度不变
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A a
C
F
B
A
C
F
B
FB
2、位移条件：相当系统多余未知力作用处位移与原超静定系统
的相同。
B 0
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A C
F
B
3、几何条件
A a
C
F
B
FB
BF BFB 0
第8页/共38页
B 0
A C
F
B
4、补充方程 解得
A a
C
F
B
FB
Fa F B l 0 EA EA
F
FN1
FN3
FN2
αα
A
P
FN3 1 2
F EA
cos3
E3 A3
F ( EA )cos2
F
N1
F
N
2
1
E3 A3 2 EA
cos2
E3 A3
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例题1另解：两端固定的等直杆AB横截面积为A，弹性模
量为E，在C点处承受轴力P的作用，如图 a 所示 。求A处和 B处的约束反力。
(a)
l AC
RAa EA
B
lCB
RBb EA
RA
Pb l
RB
Pa l
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一、静力方面：列出静力平衡方程。 二、变形几何方面：根椐变形几何相容条件建立变形几何方 程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。 三、物理方面：将变形与力之间的关系（胡克定律）代入 变形几何方程得补充方程。
第22页/共38页
变形几何方程为： lAC lCB
2、物理方面：根据胡克定律
l Pl EA
lACRAaຫໍສະໝຸດ EAlCBRBb EA
第20页/共38页
(a) A C
P B
补充方程为
3、静力方面 由平衡方程
a
y RA (b)
A
C
P B
RB
RAa RBb EA EA
RA RB P 0
(c)
A
lAC lCB
C
C1
B
D
C
3 1
2
A
F
第11页/共38页
B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
这是一次超静定问题。
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B
D
C
B
D
C
3
1
FN1
2
A
FN3
αα
A
3
FN2
1
FN3
2
A
F
P
F
1、解除多余约束（如选 3 杆为多余约束 )，代以反力 FN3， 得超静定系统的 基本（相当）系统。
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D
B
D
C
3
1
FN3
2
A
A
A A
F FN3
2、位移条件：由杆 1 和杆 2 构成的杆系在 ( F - FN3 )作用下节 点 A 的位移 A ，应等于杆 3 在 FN3 作用下节点 A 的位移 ‘A
A A
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D
A
A
FN3
A
(F 2EA
F N 3)l
cos2
B
D
C
3
1
FN3
2
A A
3
2
B
DC
1
3 2
13 2
A Δl1
y
A FN1 FN 3
FN 2
A
P
αα
x
A'
A
Δl3
A2
A1
A'
P
2、变形几何方面： 变形的几何相容条件是：变形后三杆仍铰结在一起
变形几何方程为： l1 l3 cos
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B
DC
1
3
2
A P
y
N3 N2 N1
αα
A P
13 2
A Δl1
x Δl3 A2
第2页/共38页
4、多余约束：多于维持平衡所必需的支座或杆件。 5、多余未知力 : 与多余约束相应的支反力或内力。
B
C
D
E
2 1
3 4
A F
FN2 FN1
A
B
FN3 FN4
F
C
D
E
2 1
3 4
A F
这是二次超静定问题 可将 AC，AD 杆看作多余约束 FN2 ， FN3 为相应的多余未知力
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