函数临界点的计算及其类型的判断

H1=subs(He,{x,y},{0,0})
H2=subs(He,{x,y},{1,1})
eig(H1) % 得到特征值 -3
3
eig(H2) % 得到特征值 3
9
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结论：f的临界点(0,0)是鞍点，(1,1)是极小值点。
作图观察
[X,Y]=meshgrid(-1:0.2:2); %生成网格点 Z=X.^3+Y.^3-3.*X.*Y; surf(X,Y,Z);%作曲面图 由图像也可以大致判断 (0,0)点为函数的鞍点
1) H>0：若
2 f (x0 x2
)

0
则(x0,y0)是局部极小值点；
若2 f (x0)
x2

0
则(x0,y0)是局部极大值点。
2) H<0：则(x0,y0)是鞍点。
3) H=0：则二阶导数无法判断该临界点的性质，需要从更高阶
的导数用泰勒公式考虑。
(1) 计算f(x,y)=x3+y3-3xy临界点并判断其类型
矩阵，即f的二阶导数 He = [ 6*x, -3] [ -3, 6*y]
[x0,y0]=solve(Ja);%计算临界点
x0 =
0
1
- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2
- 1/2 - (3^(1/2)*i)/2
y0 =
0
1
- 1/2 - (3^(1/2)*i)/2
- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2
解：输入命令 syms x y %定义符号变量 f=x^3+y^3-3*x*y;%给定函数f Ja= jacobian(f,[x,y]) %计算f的Jacobi矩阵，即f的导
数（梯度） Ja = [ 3*x^2 - 3*y, 3*y^2 - 3*x]
He=jacobian(jacobian(f,[x,y]),[x,y]) %f的Hessian
征值，则该临界点为鞍点；否则，仅凭函数的二阶导数无法确定该临
界点的性质。
二元函数的极值
给定二阶导数连续的函数f(x,y)，对于f的临界点(x0,y0)， 只凭函数的一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大值点还是
局部极小值点。而结合函数的Hessian矩阵行列式
H(det(He))，可以判断f的临界点是属于鞍点还是极值点。
x22
2 f (x0)
xnx2

2 f (x0 x1xn
)


2 f (x0)
x2xn
2 f (x0)

xn2
如果在函数的临界点Hessian矩阵是正定(负定)的，即所有特征值大(小)
于零，则该临界点为函数的极小(大)值点；如果既有正的又有负的特
数学分析实验课（十）
函数临界点的计算及其类型的判断
例
判断下列函数临界点的类型 f(x,y)=x3+y3-3xy 分析：首先计算函数的临界点，即一阶导数的 零点，然后通过函数在临界点处的二阶导数， 即Hesse矩阵，的特征值的正负性判断临界点 的类型。
Hessian矩阵
定理：设 f:Rn R1,x0Rn x的各分量的二阶偏2f导(x数0)(i, j 1,2,n)
xixj
存在且连续，
,如果f在点x0处对于自变量 都
则函数f在点x0处二阶可导，并且称矩阵2fx(12x0)
2 f (x0)
D2
f
(x0
)


x2x1
2 f (x0
)
xnx1
为f在点x0处的Hessian矩阵。
2 f (x0)
x1x2 2 f (x0)
15
(1,1)点为函数的极小值点 10
5
0
-5 2
1
0 -1 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
思考
如何利用Matlab，给出课本292页例题的答案？
作业 习题9.3.2中临界点类型判别(2)、(4)、(6)、(8)