八年级上册数学 7.2 定义与命题
7.2定义与命题说课稿
《7.2定义与命题》说课稿一、教材分析1、教材地位与作用本节课是北师大版初中数学八年级上册第七章第二节第二课时的内容，是初中数学的重要内容之一。
本节课是学生第一次接触证明，它为学生学习后面的各种几何证明奠定了基础。
因此本节课在教材中具有非常重要的作用。
通过本节课的学习让学生掌握初中阶段必备的基础证明知识，锻炼他们的观察，语言表达能力，以及进一步发展逻辑思维。
2．教学目标：（1）了解公理，定理和证明的含义；理解并牢记8个公理，并能运用它们去判断一个命题的真假。
（2）了解证明的表达格式，会按照规定格式证明简单命题。
二．教法与学法分析1、学情分析：对初中学生来说，他们的抽象思维和归纳能力已初步形成，希望老师创设他们自主学习的环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会。
本节课我设置了三个探究活动，学生可以互相讨论和交流等。
2、教法：新课标要求教师应激发学生的积极性，向学生提供充分从事教学活动的机会，帮助他们自主探究和合作交流，为达到这一目标，结合教材和学生实际采用发现法，小组合作法，启发法，反馈练习等方法教学。
3、学法：新课标指出自主探究和合作交流是学生学习的主要方式，因此在课堂上要确立学生的主体地位，指导学生学会观察，动口表达，动脑思考，主动多感官参与，多智能投入，共同探索新知和解决新问题的能力。
三、教学过程分析为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：1.预习展示设计意图：这一块主要分为两部分，一部分回顾上节课有关命题的重要知识点，可以更有效的对本节课的学习起到作用。
另一部分预习本节课的重要知识点2、合作探究，交流创新设计意图：通过设置三个探究题，学生可以互相探究，互相交流，展示自我等，既可以很好的完成学习目标又可以培养学生的合作能力，交流能力和创新意识。
3、当堂训练设计意图：可以很好的对本节所学内容进行检测，及时反馈。
老师在这一块要有所侧重有所针对的进行讲解。
4.自我小结设计意图：学生自己进行小结，谈一谈自己收获了什么，还有哪些方面的疑问。
7.2定义与命题(2)
“如果……那么……”
条件
结论
• 2、说明一个命题是假命题的方法： 举反例
• 3、说明一个命题是真命题的方法：
证明
说明的依据：公理（等式的性质） 定义、已证明的定理
下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，
那么这两个三角形全等 条件：两个三角形的两边及其夹角对应相等 结论：这两个三角形全等 （2）直角三角形的两个锐角互余。 条件：两个角是一个直角三角形的锐角 结论：这两个角互余。
课堂小结
• 1.命题有真命题和假命题之分 • 2.说明一个命题是假命题的方法： 举反例 • 3.说明一个命题是真命题的方法： 证明 4.证明的依据： 基本事实（公理）、定义、 定理 、已被证明的真命题 5.证明的三步骤： 已知、求证、证明
试一试
１、下列的命题中,哪些是真命题? 哪些是假命题?请说明理由:
上述命题中,哪些是真命题?哪些是假命题? 你的理由是什么?
思考下列命题的题设(条件)是什么?结论是什么? （1）直角三角形的两个锐角互余;
(2)两条直线被第三条直线所截, 同位角相等, 两直线平行; (3)三角形的三条高交于一点. (4)垂直于同一条直线的两条直线平行. (5)三角形的两边之和大于第三边;
对顶角相等
(真命题)
C
2 3 1
A
已知:如图，直线AB和直线CD 相交于点O, 求证：∠1＝∠2
D
O
B
证明∵直线AB和直线CD相交于点O, ∴∠1＋∠3＝180° ∠2＋∠3＝180° （平角的定义） ∴∠1＝ 180°—∠3； ∠2＝ 180°—∠3 (等式的性质) ∴∠1＝ ∠2 （等量代换）
公认的真命题（不需要证明的真 命题）叫公理
北师大版八年级数学上册7.2定义与命题优秀教学案例
3.鼓励学生主动提问，培养学生敢于质疑的精神，提高他们的问题解决能力。
（三）小组合作
1.划分学习小组，鼓励学生相互讨论、交流，提高团队协作能力。
2.设计小组合作任务，使学生在讨论中深入理解定义与命题，提高他们的逻辑思维能力。
3.注重小组评价，激发学生的竞争意识，提高他们的学习积极性。
北师大版八年级数学上册7.2定义与命题优秀教学案例
一、案例背景
北师大版八年级数学上册7.2节“定义与命题”的教学，旨在让学生理解概念的含义，掌握命题的构成要素，培养学生的逻辑思维能力。本节课内容是学生对数学语言和基本概念的深入学习，是建立良好数学思维的基础。
在这个阶段，学生已经掌握了初步的数学概念和简单的逻辑推理，但对定义与命题的深层含义理解不足，容易混淆概念，对命题的真假判断缺乏准确性。因此，在教学过程中，我以学生已有的知识为基础，通过丰富的教学活动和实例，引导学生深入理解定义与命题的关系，提高他们的逻辑思维和判断能力。
这些亮点体现了我在教学过程中的创新与实践，注重启发式教学，关注学生的全面发展，培养他们的自主学习能力和团队协作能力。同时，我也注重激发学生的学习兴趣，让他们在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高他们的数学素养。
2.感受数学的严谨性和逻辑性，培养学生的求真精神。
3.认识到数学在实际生活中的应用价值，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生热爱祖国，为祖国的繁荣富强而努力学习的情感。
在教学过程中，我将以学生为主体，关注每个学生的个体差异，充分调动他们的积极性，引导他们主动参与课堂讨论，培养他们的自主学习能力。同时，注重启发式教学，引导学生发现定义与命题之间的内在联系，提高他们的逻辑思维能力。
数学课件-7.2 定义与命题
3.( 改编 )下列命题中,是真命题的是( C ) A.若2x=-1,则x=-2 B.任何一个角都比它的补角小 C.等角的余角相等 D.一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 4.把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式: 相等 .
如果两个角是对顶角,那么它们
知识点2 定理与证明 5.“两点确定一条直线”这句话是( B ) A.定理 B.基本事实 C.结论 D.定义 6.如图,一个三角形被纸板挡住了一部分,我们还能够画出一个与它完全重合的三角形,其原 理是判定两个三角形全等的基本事实或定理.本题中用到的基本事实或定理是( A )
第七章 平行线的证明
7.2 定义与命题
知识点1 定义与命题 1.下列语句中,属于定义的是( D ) A.两点确定一条直线 B.两条平行线被一条直线所截得的同位角相等 C.两点之间线段最短 D.直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 2.( 教材母题变式 )下列语句是命题的为( D ) A.作直线AB的垂线 B.同角的余角相等吗? C.延长线段AO到C,使OC=OA D.两直线相交,只有一个交点
Hale Waihona Puke 11.把命题“内错角相等,两条直线平行”改写成“如果……,那么……”的形式为:两条直线被第
三条直线所截,如果 截得的内错角相等 ,那么 这两条直线平行 .
12.在平面直角坐标系中,对于任意两点A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),规定运算: ( 1 )A⊕B=( x1+x2,y1+y2 ); ( 2 )A☉B=x1x2+y1y2; ( 3 )当x1=x2且y1=y2时,A=B. 有下列四个命题: ①若有A( 1,2 ),B( 2,-1 ),则A⊕B=( 3,1 ),A☉B=0; ②若有A⊕B=B⊕C,则A=C; ③若有A☉B=B☉C,则A=C; ④( A⊕B )⊕C=A⊕( B⊕C )对任意点A,B,C均成立. 其中正确的命题为 ①②④ .( 只填序号 )
7.2(2)定义与命题 徐利华
教学过程：
一、创设情境，导入新课
师：上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？ 生：判断一件事情的句子，叫做命题． 师：那么如何判断一个命题的真假呢？ 生：举反例就可以． 师：好，下面我们来做一组练习：
下列各命题哪些是真命题？哪些是假命题？请说出你的理由． （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果a>b,b>c,那么a=c； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （4）菱形的四条边都相等； （5）全等三角形的面积相等. 师：大家思考后，来分组讨论．
师：很好，同学们不仅能辨别命题的正确与否，还能举例说明命题的错误.真棒！由大家刚才分析可以
知道：要说明一个命题是一个假命题，通常举出一个例子就可以．
师：那么请同学们思考一下，如何证实一个命题是真命题呢？下面开始我们今天的主要的探究任务（
北师大版数学八年级上册《定义与命题》期末试题分类选编(含答案)
7.2 定义与命题1．（2022·四川成都·八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）A ．如果两个角是内错角，那么它们一定相等B ．如果两个角是同位角，那么它们一定相等C ．如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补D ．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等2．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．两直线平行，同旁内角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．直角三角形的两锐角互补D ．三角形的一个外角大于任何一个内角3．（2022·四川省遂宁市第二中学校八年级期末）用反证法证明“若a c ⊥，b c ⊥，则a b ∥”时，应假设（ ）A ．a 不垂直于cB ．a ，b 都不垂直于cC ．a b ⊥D ．a 与b 相交4．（2022·四川巴中·八年级期末）用反证法证明“在ABC 中，,A B ∠∠对边是,a b ，若A B ∠>∠，则a b >．”第一步应假设（ ）A ．a b <B ．a b =C ．a bD ．a b5．（2022·四川眉山·八年级期末）已知ABC ∆中，AB AC =，求证：90B ∠<︒，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设（ ）成立A ．90B ∠≥︒ B ．90B ∠>︒C ．90A ∠>︒D ．90A ∠≥︒6．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列命题中，真命题的个数是 （ ）①对顶角相等；①两点之间，线段最短；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2022·四川省遂宁市第二中学校八年级期末）下列命题是真命题的是（ ） A ．如果a =1，那么a=1；B ．三个内角分别对应相等的两个三角形全等；C ．如果a 是有理数，那么a 是实数 ；D ．两边一角对应相等的两个三角形全等．8．（2022·四川眉山·八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）A ．两个单项式的和一定是多项式B．等腰三角形的中线、高线、角平分线重合C．有两边及一角对应相等的两三角形全等D．全等三角形的对应高相等9．（2022·四川成都·八年级期末）下列命题中，假命题的是（）A．等角的余角相等B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C．三角形的任意两边之和大于第三边D．两直线平行，同位角相等10．（2022·四川宜宾·八年级期末）用反证法证明“在①ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，①C＞①B＞①A且①C≠90°，那么a2＋b2≠c2．”应先假设（）A．a2＋b2＝c2B．a2＋b2＞c2C．a2＋b2＜c2D．a2＋b2＞c2或a2＋b2＜c2 11．（2022·四川资阳·八年级期末）在下列语句中：①若①A＋①B＝180°，则①A与①B互为邻补角；①120°的角和60°的角互为补角；①由两条射线组成的图形叫角；①连接AB，并延长到点C；①同角的余角相等．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2022·四川成都·八年级期末）下列句子中是命题的是（）A．美丽的天空B．对顶角相等C．你的作业做完了吗？D．作线段AB＝CD13．（2022·四川凉山·八年级期末）下列命题是真命题的是（）A．等底等高的两个三角形全等B．周长相等的直角三角形都全等C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等14．（2022·四川省遂宁市第二中学校八年级期末）命题“相等的角是对顶角”是_________命题．（填“真”或“假”）．15．（2022·四川眉山·八年级期末）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_________________________________．16．（2022·四川巴中·八年级期末）把命题“不能被2整除的数是奇数”改写成“如果…那么…”的形式__________．17．（2022·四川乐山·八年级期末）命题：“对顶角相等”的逆命题是_____________________________．18．（2022·四川乐山·八年级期末）命题“实数a、b，若a b=，则22=”的逆命题是a b_________________________，请你举出一个反例_________________________________，说明逆命题是假命题．19．（2022·四川眉山·八年级期末）用反证法证明“已知，a①b，c①b．求证：a①c”．第一步应先假设______．参考答案：1．D【解析】根据命题的真假判断即可；解：A、两直线平行，如果两个角是内错角，那么它们一定相等，原命题是假命题；B、两直线平行，如果两个角是同位角，那么它们一定相等，原命题是假命题；C、两直线平行，如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补，原命题是假命题；D、如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，是真命题；故选：D．本题主要考查了命题的真假判断，准确分析判断是解题的关键．2．B【解析】利用三角形的性质、平行线的性质和判定进行判断即可．解：两直线平行，同旁内角互补，故A是假命题；内错角相等，两直线平行，故B是真命题；直角三角形的两锐角互余，故C是假命题；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D是假命题；故答案为B．本题考查的是命题的真假判断，熟练准确掌握基础知识是解答本题的关键．3．D【解析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可解答．解：用反证法证明“在同一平面内，若a①c，b①c，则a①b”，应假设：a不平行b或a与b相交．故选D．本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．C【解析】熟记反证法的步骤，直接选择即可．解：根据反证法的步骤，得第一步应假设a＞b不成立，即a≤b．故选：C．此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．5．A【解析】根据反证法的步骤，第一步要从结论的反面出发假设结论，即可判断． 解：90B ∠<︒的反面为90B ∠≥︒故选A ．此题考查的是反证法的步骤，掌握反证法的第一步为假设结论不成立，并找到结论的反面是解决此题的关键．6．C【解析】根据对顶角的定义、点与直线的关系及平行线直接进行排除即可．①对顶角相等，故正确；①两点之间，线段最短，故正确；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；所以正确的有①①①；故选C ．本题主要考查命题，熟练掌握各个概念是解题的关键．7．CA 选项：如果|a|=1，那么a=1，是假命题，应为：如果|a|=1，那么a=±1，故本选项错误；B 选项：三个内角分别对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误；C 选项：如果a 是有理数，那么a 是实数，是真命题，故本选项正确；D 选项：两边一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误．故选C ．8．D【解析】利用多项式的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定方法及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．A 、两个单项式的和不一定是多项式，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、等腰三角形底边的中线、底边的高线及顶角的平分线互相重合，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、有两边及其夹角对应相等的两三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D 、全等三角形的对应高相等，正确，是真命题，符合题意，故选：D ．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多项式的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．9．B【解析】根据余角的性质，绝对值的性质，三角形三边关系和平行线的性质逐项判断即可．A. 等角的余角相等，正确，为真命题；B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数可能相等，也可能互为相反数，故错误，为假命题；C. 三角形的任意两边之和大于第三边，正确，为真命题；D. 两直线平行，同位角相等，正确，为真命题．故选B．本题考查判断命题真假，掌握余角的性质，绝对值的性质，三角形三边关系和平行线的性质是解题关键．10．A【解析】根据反证法的第一步是假设结论的反面成立，即可求解．解：根据题意得：应先假设a2＋b2=c2．故选：A．本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立是解题的关键．11．B【解析】根据邻补角的概念、补角的概念、角的概念、命题的概念、余角的概念判断即可．解：①若①A+①B=180°，则①A与①B互为补角，不一定是邻补角，原命题是假命题；①120°的角和60°的角互为补角，原命题是真命题；①由两条具有公共端点的射线组成的图形叫角，原命题是假命题；①连接AB，并延长到点C，不是命题；①同角的余角相等，原命题是真命题；故选：B．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．B【解析】根据命题的定义分别进行判断．解：A、美丽的天空是描述性语句，不是命题；B、对顶角相等，对问题作出了判断，是命题；C、你的作业做完了吗？，是疑问句，不是命题；D、作线段AB＝CD是描述性语句，不是命题；故选：B．本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．13．D【解析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断利用排除法求解．解：A、等底等高的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误；B、周长相等的直角三角形都全等，是假命题，故本选项错误；C、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，因为一角没有说明是两边的夹角，故本选项错误；D、有一边对应相等的两个等边三角形全等是真命题，故本选项正确．故选：D．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．14．假对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等，但有时两个直角不是对顶角，从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．故答案为：假．考点：命题与定理．15．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．16．如果一个数不能被2整除，那么这个数是奇数【解析】先分清命题“不能被2整除的数是奇数”的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式．解：如果一个数不能被2整除，那么这个数是奇数．故答案为：如果一个数不能被2整除，那么这个数是奇数．本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．17．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角【解析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．18．若a2＝b2，则a＝b当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b（答案不唯一）【解析】根据真假命题的定义进行判断，再举出反例即可．解：命题“实数a、b，若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是：若a2＝b2，则a＝b，逆命题是假命题，举反例：如，当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，故答案为：若a2＝b2，则a＝b；当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，（答案不唯一）本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉相关的性质定理．19．a和c相交【解析】假设结论不成立即可．解：原命题的结论是求证a①c，那么利用反证法时应该假设a和c相交，故答案为a和c相交．本题考查反证法，解决问题的关键是掌握反证法的步骤：①假设结论不成立，①从假设出发推出矛盾，①假设不成立，得到结论成立．。
7.2定义与命题(1)
八年级数学组
学习目标
1.了解定义、命题、真命题、假命题 的含义.
2.结合具体实例，会区分命题的条件 和结论，会判断真命题、假命题.
3.了解反例的作用，知道利用反例可 以判断一个命题是错误的.
问题导学
自学课本165页“议一议”上方 内容. 要求：1.明确定义的概念.
2.通过课本的例子体会 定义的概念. 3.列举一些你学过的定义.
）
训练反馈
1.课本P166页随堂练习2
2.《助学》P161页自主评价=
）
小结
通过学习谈谈你的收获？
Thank You！
The End
问题导学：
自学课本165页“议一 议”及下方内容. 要求：1.完成“议一议”中 的问题. 2.明确命题的概念.
）
Hale Waihona Puke 训练反馈1.课本167页知识技能2.
合作探究 ）
自学课本166页“想一 想”内容，完成相关问 题，并相互交流.
）
训练反馈
1.课本P167页数学理解3
问题导学：
自学课本166页“做一做” 下方内容，并完成做一做中 的问题，明确真命题假命题 的概念，知道反例的作用.
初二数学第一学期第7章第2节定义与命题_练习题和答案
C.同旁内角互补 D.垂线段最短吗？
3．（2016-2017学年浙江桐乡现代片四校八年级上期中）在下列各数中可以用来证明命题“质数一定是奇数”是假命题的反例是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
4．（2016-2017学年安徽安庆二十校八年级上期中）下列命题中是假命题的是（ ）
条件：一个点在角平分线上，
结论：这个点到角两边的距离相等．
【考点】命题
【考查能力】应用意识能力
10．（芜湖市2018学七年级期中）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)如果a=0,那么ab=0；
(2)如果x=4,那么x2=16；
(3)面积相等的三角形是全等三角形；
(4)如果三角形有一个内角是钝角，那么其余两个角是锐角；
【考查能力】应用意识能力
二、较难题
9．（来宾市部分中学2018届九年级中考数学模拟）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)对顶角相等；
(2)同角的余角相等；
(3)三角形的内角和等于180°；
(4)角平分线上的点到角的两边距离相等．
【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
【答案】答案不唯一，如：α＝50°，β＝60°，α＋β>90°
【考点】命题
【考查能力】应用意识能力
【技能技巧考查题】
一、中等题
7．（来宾市部分中学2018届九年级中考数学模拟）请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．
(1)若a＞b，则a2＞b2；
(2)两个无理数的和仍是无理数；
(3)若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第七章 平行线的证明 定义与命题
12.将下面证明中每一步的理由写在括号里： 如图，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF. 求证：∠A＝∠D. 证明：∵AB∥DE( 已知 )， ∴∠B＝∠DEF( 两直线平行，同位角相等). ∵BE＝CF( 已知 )， ∴BE＋EC＝EC＋CF( 等式的性质)， 即BC＝EF.
14．下列说法正确的是( B) A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理不一定都要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 15．(2020·和平期末)下列命题是真命题的是( C) A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0和1 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0和1 D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
5．下列命题中，是真命题的是(C ) A．两个锐角之和为钝角 B．两个锐角之和为锐角 C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角 6．(2020·宜昌)能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( )C
7．下列命题，不能作为公理的是(C ) A．两点确定一条直线
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
数学 八年级上册 北师版
第七章 平行线的证明
7.2 定义与命题
1．下列语句属于定义的是(D ) A．两点之间线段最短 B．25的平方根是±5 C．同旁内角互补 D．含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程是二元一次方程 2．(2020·雅安)下列四个选项中不是命题的是( B ) A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
7.2数学定义与命题
小结与反思
通过本节课的学习, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
课堂小结
• 1、命题都是由条件和结论两部分组成
“如果……那么……”
条件
举反例
结论
• 2、说明一个命题是假命题的方法： • 3、说明一个命题是真命题的方法：
证明
证明的依据：公理（等式的性质） 定义、已证明的定理
+
有关概念、公理
条件1
定理1
有关概念、公理
定理2 定理3
……
……
条件2
《原本》问世之前，世界上还没有一 本数学书籍像《原本》这样编排，因 此《原本》是一部具有划时代意义的 著作。
本套教材共九条公理，我们已经学过八条：
1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
7.2 定义与命题
真正的含义
有一位田径教练向领导汇报训练成绩
小明的百米 成绩是9秒9. 继续努力, 争取达到10 秒.
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争 抢非常激烈.于是命令: 发给每个人一
个球,不要再抢 啦.
可见交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。 为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的 规定,也就是给出它们的定义 . 例如: “具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人 民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
正确的命题称为真命题，不正确的 命题称为假命题
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论
试用举反例的方法说明下列命题是假命题：
（1）如果a+b>0,那么ab>0.
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数.
初二数学7.2定义与命题课件
请说出下列名词的定义：
（１）无理数
（4）压强
（２）直角三角形
（３）一次函数
（１）无限不循环小数是无理数 （２）有一个角是直角的三角形是直角三角形 （３）函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，且ｋ≠０）叫做一 次函数 （4）单位面积所受的压力叫做压强
2.指出下列句子哪些是定义.
(1)两直线平行,内错角相等;
比一比
男生为一组，女生为一组，每个小组说出 三个命题，另一组把它改写“如果„„那 么„„”的形式。看哪一组表现较好。
课内练习
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短。 （3） 2 不是无理数。
（×） （ √） （×）
（4）作一条直线和已知直线平行。 （×）
梯形：有一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形
比较下列句子在表述形式上，哪些对事情作了判断？ 哪些没有对事情作了判断？ 1、父母是我们人生的第一位教师。 2、延长线段AB。 3、“非典”是不可以战胜的。 对事情作了判断的句子： （1）
（3）
没有对事情作了判断的句子：（2）
一般地，对某一件事情作出正确或 不正确的判断的句子叫做命题。
宋丹丹：他就是~~~ 主动和我接近，没事儿和我唠嗑，不是给 我割草就是给我朗诵诗歌，还总找机会向我暗送秋波呢！ 赵本山：别瞎说，我记着我给你送过笔，送过桌，还给你家送 一口大黑锅，我啥时给你送秋波了？秋波是啥玩意？ 宋丹丹：秋波是啥玩意你咋都不懂呢,这么没文化 赵本山：啥呀？ 宋丹丹：秋波就是秋天的菠菜。
判断下列命题是正确的还是错误的 (1)两个锐角的和是钝角; 错
(2)点P到A、B两点的距离相等,则点P是
线段AB的中点; 错
2024年北师大版八年级上册教学设计第七章7.2 定义与命题
第1课时定义与命题课时目标1.掌握定义、命题的含义,并感受其在数学和生活中的广泛应用.2.理解命题的结构,会将命题写成“如果……那么……”的形式,会区分命题的条件和结论,并判断其真假.3.通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识,关注现实,培养学生进行思考的能力和质疑精神.学习重点掌握定义、命题的含义,并感受其在数学和生活中的广泛应用.学习难点理解命题的结构,会将命题写成“如果……那么……”的形式,会区分命题的条件和结论,并判断其真假.课时活动设计情境引入通过多媒体播放图片,创设小华和小刚对话的场景,让学生发现有关的数学问题.小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.小华:哈!这个黑客终于被逮住了.小刚:是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……小华:这个黑客是个小偷吧?小刚:可能是个喜欢穿黑衣服的贼.设计意图:创设这个情境,激发和引导学生更主动地参与课堂交流,感受到为了进行有效交流必须引入定义和命题.用这种形式引入,让学生及早融入课堂,积极思考,也作为本节课的一个贯穿的背景.更重要的是,希望学生初步感受定义的重要性.探究新知教师引导学生回答下面问题.1.阅读下面的内容,并填一填.(1)“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义;(2)“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义;(3)“无限不循环小数被称为无理数”是“无理数”的定义;(4)“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形”是“多边形”的定义;(5)“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.教师通过上述例子,引出定义的含义.证明时,为了交流的方便,必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.2.从本册数学课本中找找有哪些定义?设计意图:这里的例子,既有几何概念方面的定义,也有代数方面的定义,还有生活中的定义,力图让学生认识到定义在工作、学习、生活中的广泛应用,达成定义的必要性以及科学性、准确性、简洁性、唯一性的共识;然后通过在教材上找定义,体验定义的无所不在,突显教材在学习中的指导作用.鼓励学生自己动脑思考并与小组的其他同学相互讨论,对学生的答案给予肯定,激发他们学习数学的兴趣.探究新知下列各语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有?(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;(2)对顶角相等;(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(5)你喜欢数学吗?(6)作线段AB=CD.学生组内合作,互相交流讨论.教师引导,通过上述例子引出命题的概念.解:(1)(2)(3)(4)作出了判断,(5)(6)没有作出判断.教师总结:判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.命题是一个陈述句.设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上道出对命题的认识和理解,表示判断的句子都是命题,而不管判断是否正确.不表示判断的句子就不是命题,在此过程中培养学生的表达能力和总结能力.探究新知观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征?(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;(2)如果a=b,那么a2=b2;(3)如果两个三角形中有两边和一个角分别相等,那么这两个三角形全等.学生组内合作,互相交流讨论.教师引导,总结交流结果.教师总结:一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成,条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.设计意图:这些命题都是“如果…那么……”的形式,让学生进一步体会命题的含义,并概括出命题的结构特征:有“如果……那么……”的结构,进而明晰命题的条件和结论,使学生更好地认识命题及其结构.典例精讲例指出下列命题的条件和结论,其中哪些命题是错误的?你是如何判断的?(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;(2)如果a≠b,b≠c,那么a≠c;(3)全等三角形的面积相等;(4)如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.学生分组进行讨论交流,教师展示答案.解:(1)条件:两个角相等;结论:它们是对顶角.例:等腰三角形的两个底角相等,但它们不是对顶角,所以命题不正确.(2)条件:a≠b,b≠c;结论:a≠c.例:a=c=3,b=1,同样满足条件a≠b,b≠c.所以命题不正确.(3)条件:两个三角形全等;结论:这两个三角形的面积相等.命题正确.(4)条件:室外气温低于0℃;结论:地面上的水一定会结冰.例:结冰需要一个过程,在室外温度低于0℃时才刚刚开始结冰.所以命题不正确.教师总结:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.设计意图:明晰了命题的结构之后,自然应让学生结合实例分析命题的条件和结论.在这样的分析过程中,必然会思考这些命题的真假.巩固学生分析命题的条件和结论,进一步引导学生体会:要说明一个命题是假命题,通常举出一个反例就可以了.同时,与前面内容相呼应:要说明一个命题是正确的,无论验证多少个特殊的例子,也无法保证命题的正确性.巩固训练1.指出下列命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题.(1)互为补角的两个角相等;(2)如果a=b,那么a+c=b+c;(3)如果两个长方形的周长相等,那么这两个长方形的面积相等.解:(1)条件:两个角互为补角;结论:这两个角相等.假命题.(2)条件:a=b;结论:a+c=b+c.真命题.(3)条件:两个长方形的周长相等;结论:这两个长方形的面积相等.假命题.2.分别把下列命题写成“如果……,那么……”的形式.(1)两点确定一条直线;(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;(3)内错角相等.解:(1)如果经过两点画直线,那么只能画出一条直线.(2)在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.(3)如果两个角是内错角,那么这两个角相等.设计意图:旧知识和新知识的结合体,巩固真命题与假命题的概念,学会用举反例来证明假命题,体会命题的完备性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,同时也加深对“如果……,那么……”形式的理解与掌握,培养学生的核心素养.课堂小结1.定义和命题的概念.2.命题的条件和结论.3.判断真假命题.设计意图:通过回顾本节所学的知识,加深学生对本节所学内容的理解,培养学生善于反思的习惯.课堂8分钟.1.教材第167页习题7.2第2,3题.2.七彩作业.教学反思第2课时公理、定理和证明课时目标1.了解真命题的证明,通过实例感受证明的过程与格式.2.初步感受公理化思想,并了解本套教科书所采用的基本事实.3.阅读有关《原本》和公理化的资料,感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.学习重点了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的基本事实.学习难点体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性.课时活动设计复习回顾1.回忆我们上次学习到了哪些知识?对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.判断一件事情的句子,叫做命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.2.举一个反例就可以说明一个命题是假命题,那么如何证实一个命题是真命题呢?设计意图:开门见山,引导学生回忆命题引出下面活动.情境引入公元前3世纪,人们已经积累了大量的数学知识,在此基础上,古希腊数学家欧几里得(公元前300年前后)编写了一本书,书名叫做《原本》.为了说明每一结论的正确性,他在编写这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的数学名词称为原名,公认的真命题称为公理.除了公理外,其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.已学的八条基本事实有:1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行(简述为:同位角相等,两直线平行).5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等.此外,数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质,以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据,称为“等量代换”.又如,如果a>b,b>c,那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.设计意图:经历实际情境,初步体会公理化思想和方法,了解本教材所采用的基本事实,让学生对真假命题有一个清楚的认识,从而进一步了解定理、公理的概念.培养学生的语言表达能力.探究新知定理证明学生组内合作,互相交流完成下面问题,教师及时指导,规范学生证明过程的书写.1.定理:同角的补角相等.已知:℃B和℃C是℃A的补角,求证:℃B=℃C.证明:℃℃B和℃C是℃A的补角,℃℃B=180°-℃A,℃C=180°-℃A.℃℃B=℃C(等量代换).℃同角的补角相等.2.定理:同角的余角相等.已知:℃B和℃C是℃A的余角,求证:℃B=℃C.证明:℃℃B和℃C是℃A的余角,℃℃B=90°-℃A,℃C=90°-℃A.℃℃B=℃C(等量代换).℃同角的余角相等.设计意图:通过学生合作交流,培养了学生互助交流的意识;让学生初步感受证明推理的过程,体会证明的思路,体验书写的过程以及数学的严谨性.典例精讲例已知:如图,直线AB与直线CD相交于点O,℃AOC与℃BOD是对顶角.求证:℃AOC=℃BOD.证明:℃直线AB与直线CD相交于点O,℃℃AOB与℃COD都是平角(平角的定义).℃℃AOC=℃BOD都是℃AOD的补角(补角的定义).℃℃AOC=℃BOD(同角的补角相等).由例题得到定理:对顶角相等.设计意图:让学生进一步体会证明的思路与书写的过程.巩固训练已知:如图,℃ABC.求证:AB+BC>AC,BC+CA>AB,CA+AB>BC.证明:℃AC是以点A,点C为端点的线段,℃AB+BC>AC(两点之间线段最短).同理BC+CA>AB,CA+AB>BC.设计意图:让学生进一步感受证明推理的过程,体会证明思路,体验书写的过程以及数学的严谨性.课堂小结1.公理:公认的真命题.2.定理:经过证明的真命题.3.证明:演绎推理的过程.设计意图:通过回顾本节课所学的内容,加深学生对本节所学内容的理解,掌握证明推理的过程,体验数学的严谨性,培养学生反思的习惯.课堂8分钟.1.教材第171页习题7.3第3,4题.2.七彩作业.第2课时公理、定理和证明1.公理:公认的真命题.2.定理:经过证明的真命题.3.证明:演绎推理的过程.教学反思。
八年级数学上册7.2定义与命题第1课时定义与命题教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册7.2定义与命题第1课时定义与命题教学设计（新版北师大版）一. 教材分析本节课的内容是北师大版八年级数学上册7.2定义与命题，主要介绍定义与命题的概念及其相互关系。
通过本节课的学习，使学生理解定义与命题的含义，掌握定义与命题的书写格式，能够正确书写定义与命题，并能够分析、判断命题的正确性。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了命题与定理的内容，对命题的概念有一定的了解。
但学生在定义与命题的书写格式、分析判断命题的正确性方面存在困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生理解定义与命题的关系，通过例题讲解，让学生掌握定义与命题的书写格式，提高学生分析判断命题正确性的能力。
三. 教学目标1.理解定义与命题的概念及其相互关系。
2.掌握定义与命题的书写格式。
3.能够正确书写定义与命题。
4.能够分析、判断命题的正确性。
四. 教学重难点1.教学重点：定义与命题的概念及其相互关系，定义与命题的书写格式。
2.教学难点：定义与命题的书写格式，分析判断命题的正确性。
五. 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组合作法、问答法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握定义与命题的概念及其相互关系，提高分析判断命题正确性的能力。
六. 教学准备1.准备相关定义与命题的例题。
2.准备投影仪、黑板等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾七年级学习的命题与定理内容，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍定义与命题的概念，讲解定义与命题的相互关系。
让学生明确定义与命题的区别与联系。
3.操练（10分钟）让学生根据定义与命题的概念，尝试书写几个简单的定义与命题。
教师选取部分学生的作品进行点评，指出书写格式上的优点与不足。
4.巩固（10分钟）讲解定义与命题的书写格式，强调书写要求。
让学生再次尝试书写定义与命题，并相互检查，纠正错误。
5.拓展（10分钟）分析判断一些给定的命题是否正确。
教师引导学生运用定义与命题的知识，通过逻辑推理分析命题的正确性。
北师大版八年级数学上册：7.2定义与命题(教案)
另外，小组讨论的环节，学生的参与度很高，大家能够积极地表达自己的观点。但在引导讨论的过程中，我发现有些学生对于命题在实际生活中的应用还是感到困惑。这可能是因为我对这个环节的引导不够到位，或者学生对这些概念的理解还不够深入。下次我会尝试提供更多的实际情境，让学生更好地体会命题的应用。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了命题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对命题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我尝试通过引入日常生活中的例子，帮助学生理解命题的概念。我发现这种方法确实能够激发学生的兴趣，让他们更积极地参与到课堂讨论中来。大家在分析真假命题的时候，表现出了很强的逻辑思维能力，这是我很欣慰的地方。
在实践活动方面，我发现学生通过动手操作，能够更直观地理解命题的真假判断。但我也观察到，有些小组在实验操作时，分工不够明确，导致效率不高。在接下来的课堂中，我会强调团队合作的重要性，并指导他们如何更有效地进行分工合作。
1.讨论主题：学生将围绕“命题在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
北师大版八年级上册数学7.2定义与命题教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角的平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用尺规作图画出一个角的平分线。
3.证明方法：指导学生运用角的平分线定义及基本图形性质进行简单命题的证明。
4.实践应用：结合实际情境，设计相关问题，让学生运用角的平分线知识解决实际问题。
本节课旨在帮助学生掌握角的平分线的定义和性质，培养他们的逻辑思维能力和解题技巧。
二、核心素养目标
1.理解与运用：通过学习角的平分线定义，使学生能够理解并运用角的平分线性质解决相关问题，培养他们的几何直观和空间观念。
5.情感态度：激发学生对几何学的兴趣，培养他们勇于探索、克服困难的意志，形成积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-角的平分线的定义：重点讲解角的平分线的概念，使学生理解并掌握角的平分线的表示方法。
-举例：如讲解角的平分线时，可以通过具体图形说明什么是角的平分线，如何用符号表示等。
-角的平分线性质：强调角的平分线上的点到角的两边的距离相等这一核心性质。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角的平分线的基本概念。角的平分线是从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等角的射线。它是解决几何问题中非常重要的一部分，可以帮助我们更好地理解和处理角的关系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用角的平分线性质解决实际问题，以及它如何帮助我们找到等边三角形。
八年级数学上册 7.2 定义与命题 名师e线 证明步骤一二三素材 (新版)北师大版
证明步骤一二三一、证明的步骤证明是由条件〔〕出发，经过一步步的推理，最后推出结论〔求证〕正确的过程.下面例析命题证明的步骤与方法.命题 两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.证明步骤 第一步：根据题意，画出图形.如右图，画直线AB 、CD ，使它们互相平行，AB 、CD 被直线EF 截于点M 、N ，再画内错角∠AME 、∠DNF 的平分线，分别为MG 、NH.注意：所画图形要符合题意，注意“题〞与“图〞的对应关系.第二步：根据条件、结论，结合图形，写出、求证.：如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点M ，N ，MG 平分∠AME ，NH 平分∠DNF. 求证：MG ∥NH.注意：首先分清条件和结论，然后结合图形，用符号语言把条件局部写成，把结论局部写成求证.第三步：经过分析，找出由推出求证的途径，写出证明过程.分析：①〔分析法〕：欲证MG ∥NH ，需证∠1=∠2.由MG 平分∠AME ，NH 平分∠DNF ，得∠1=21∠AME ，∠2=21∠DNF.只要证得∠AME=∠DNF 即可.而又由AB ∥CD 可证得这两个内错角相等.②〔综合法〕：由AB ∥CD ，得∠AME ＝∠DNF.又由MG 平分∠AME ，NH 平分∠DNF ，得∠1=21∠AME ，∠2＝21∠DNF.所以∠1=∠2，故证得MG ∥NH. 注意：此分析过程一般情况下不用书写.证明：∵AB ∥CD 〔〕，∴∠AME ＝∠DNF 〔两直线平行，内错角相等〕.又∵MG 平分∠AME ，NH 平分∠DNF 〔〕，∴∠1＝21∠AME ，∠2＝21∠DNF 〔角平分线的定义〕. ∴∠1=∠2.∴MG ∥NH 〔内错角相等，两直线平行〕.注意：通常由分析法探索证题途径，由综合法写出证明过程.证明过程中的每一步推理都要有根据，不能“想当然〞.这些根据可以是条件，也可以是定义、公理及定理等.二、平行线的判定例 如图，如果∠B ＋∠D ＝∠BED ，求证：AB ∥CD.分析：要证明AB ∥CD ，假设能寻找到一条直线，使得AB 与CD 都与之有关，问题那么可迎刃而解.证明：如图，过点E 作EF ，使EF ∥AB.∴∠BEF=∠B 〔两直线平行，内错角相等〕.∵∠B+∠D=∠BED=∠BEF+∠DEF ，∴∠DEF=∠D〔等量代换〕.∴EF∥CD〔内错角相等，两直线平行〕.∴AB∥CD.跟踪训练如图，一个合格的变形管道，经过两次拐弯后，如果∠C＝60°，∠B＝120°，求证：AB∥CD.答案证明：∵∠C=60°，∠B=120°，∴∠C+∠B=180°.∴AB∥CD.。
北师大出版社初中八年级数学上册第七章定义与命题 (第1课时)
有些命题没有写成“如果……那么……”的形式， 条件和结论不明显，对于这样的命题，要经过分析才能 找出条件和结论，也可以先将它们改写成“如果……那 么……”的形式.
注意：命题的条件部分，有时也可用“已知……” 或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也 可用“求证……”或“则……”等形式表述.
探究新知
说一说
你还学过哪些名词或术语的定义？
探究新知
7.2 定义与命题/
知识点 2 命题的概念
下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些
没有？与同伴进行交流. √（1）任何一个三角形一定有一个角是直角； √（2）对顶角相等；
√（3）无论n为怎样的自然数，式子 n2 n 11的值
都是质数；
√（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这 两条直线也互相平行；
明理由： （1）对顶角相等吗？ （2）画一条线段AB=2cm; （3）两条直线平行，同位角相等； （4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题. 理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情， 也不是命题.
巩固练习
7.2 定义与命题/
变式训练 下列语句在表述形式上，哪些是命题？哪些不是命题？
是 假命题
（3）画一条直线； （4）四边形是正方形； （5）你的作业做完了吗？
否 是 假命题 否
（6）同位角相等，两直线平行；
是 真命题
（7）同角的补角相等；
是 真命题
（8）同垂直于一直线的两直线平行； （9）过点P画线段MN的垂线； （10）x＞2.
是 真命题
否 否
连接中考
7.2 定义与命题/
1. 判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个
7.2.2定义与命题(2)
复习导入
指出下列命题的条件和结论，并改写 “如果„„那么„„”的形式： (1)等边三角形是锐角三角形 如果一个三角形是等边三角形，那么这个 三角形是锐角三角形 (２)同角的余角相等 如果两个角是同一个角的余角， 那么这两个角相等 （３）直角都相等 如果几个角都是直角，那么它们都相等
学习目标
1.通过对定理，公理，及证明的学习， 理解定理与公理的区别。 2.在学习过程个，体会证明也作为公理
例1：已知：如图，直线AB与直线CD相 交与点O,ㄥAOC与ㄥBOD是对顶角。
求证：ㄥAOC=ㄥBOD
训练反馈
4. 证明：同角的补角相等。 如果 ， 那么 . 即这个命题的条件是 结论是：
， 。
已知:ㄥ1+ㄥ2=180° ㄥ1+ㄥ3=180° 求证：ㄥ2=ㄥ3
7.2定义与命题(2)
八年级数学组
复习导入
1.什么叫命题？
判断一件事情的句子,叫做命题.
2.命题的结构: 条件和结论两部分.
条件是已知事项,结论是由已事项推断出 的事项.
3、命题的特征:可以写成“如果……,那 么……”的形式, 结论 “如果”引出的部分是 条件 ,“那么”引出的部分是
.
举反例. 4.要说明一个命题是假命题，我们可以利用
小结
公理、定理、定义和证明的关系
有关概念、公理
定理1
条件1
有关概念、公理
条件2
定理 2
……
定理3
……
拓展提高
A.B.C.D四人参加比赛，甲，乙，丙三位 评委预测，结果如下： 甲说：A第一，B第三 乙说：C第一，D第四 丙说：D第二，A第三 结果三人都只猜对了一半，问到底这四 人排名如何？
）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
条件2
定理2
……
定理3
……
《原本》问世之前，世界上还没有一 本数学书籍像《原本》这样编排，因 此《原本》是一部具有划时代意义的 著作。
本本套套教教材材选选用用如那下几九条条基基本本事事实实作作为为证证明明的的公公理理？
1.两点确定一条直线。 2.两点之间，线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线平行。 (简述为：同位角相等，两直线平行) 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）“两点之间线段的长度，叫做这两点之 间的距离”是“两点之间距离”的定义
（3）“两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形”是“平行四边形”的定义
交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。
为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定, 也就是给出它们的定义 . 例如: 1、“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国 公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
5、命题的分类:真命题和假命题(判断就是 命题).
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过 的观察,实验,验 证特例等方法.
能不能根据已 经知道的真命
题证实呢?
那已经知 道的真命 题又是如 何证实的?.
这些方法 往往并不
可靠.
哦……那 可怎么办
如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似 的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的 数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得
什么是命题？
判断一件事情的句子，叫做命题。
例如：
（1）熊猫没有翅膀.
（2）任何一个三角形一定有直角.
（3）对顶角相等.
（4）无论为怎样的自然数，式子的值都 是质数.
（5）如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行.
命题
反之，如果一个句子没有对某一 件事情作出任何判断，那么它就 不是命题。
7.2定义与命题
☞ 回顾与思考
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗
人。
a a
b
b a bc
驶向胜利 的彼岸
初中数学资源网
d
共同回顾
1、 观察,猜想,度量,实验得出的结 论未必都正确,所以必须要一步一步,有 根有据地进行推理,即证明。
2、有关证明的方法：正面证明（成 立）和举反例（不成立）。
(2)猴子是动物的一种;真命题
(3)玫瑰花是动物;假命题
(4)美丽的天空;不是命题
(5)三个角对应相等的两个三角形一定全
等; 假命题
(6)负数都小于零; 真命题
(7)你的作业做完了吗? 不是命题
(((891))0)所过如有直果的线a质>外b数,l一a都>点c是,作那奇直么数线b;=假lc的.假命平命题行题线;不命是题
2、一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式, 其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是 结论.
下列句子都是命题吗？
(1)熊猫没有翅膀； 如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。 (2)对顶角相等； 如果两个角是对顶角，那么它们就相等。
(3)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互 相平行. 命题一般都写成“如果……,那么……”的形式。你能上
面的命题都写成“如果……,那么……”的形式吗? 反之,如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,
那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:
(1)你喜欢数学吗? (2)作线段AB=CD. ⑶清新的空气； ⑷不许讲话。
1.下列命题的条件是什么?结论是什么?
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角; (2)如果a>b,b>c,那么a=c;
证明定理 同角的补角相等。
已知：∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角。
求证：∠2=∠3
证明：∵∠2是∠1的补角(已知 ) ∴ ∠2＋∠1＝180°(补角的定义 ) ∴ ∠2＝ 180°－∠1 ( 等式的性质 ) ∵∠3是∠1的补角( 已知 ) ∴ ∠3＋∠1＝180°( 补角的定义) ∴ ∠3＝ 180°－∠1 ( 等式的性质 ) ∴ ∠2=∠3( 等量代换 )
(公元前300前后)编写一本书，书 名叫《原本》，为了说明每一个结 论的正确性，他在编写这本书时进 行了大胆创造：挑选了一部分数学 名词和一部分公认的真命题作为证 实其他命题的起始依据，
其中
某些数学名词称为原名. 公认的真命题称为公理.
除了公理外,其它真命题的正确性 都通过推理的方法证实.推理的过 程称为证明.
2、 “两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“两 点之间的距离”的定义; 3、 “在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1, 这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义;
4、 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是“平 Байду номын сангаас四边形”的定义;
你还能举出曾学过的“定义”吗?
小结 拓展
1、定义:对名称和术语的含义加以描述,作 出明确的规定,也就是给出它们的定义 .
2、命题的定义:判断一件事情的句子,叫做 命题.
3、命题的结构:每个命题都由条件和结论两 部分组成.条件是已知事项,结论是由已事 项推断出的事项.
4、命题的特征:一般地,命题可以写成“如 果……,那么……”的形式,其中“如果” 引出的部分是条件,“那么”引出的部分 是结论.
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
哈!这个黑客 终于被逮住了.
是的,现在的因特网广 泛运用于我们的生活, 中,给我们带来了方便,
但…….
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也 在悄悄地议论着。
这个黑客是个 小偷吧？
可能是个喜欢 穿黑衣服的贼.
有一位田径教练向领导汇报训练成绩
小明的百米成绩有进 步，已达到9秒9.
例如：
（1）你喜欢数学吗？ （2）做线段AB=CD
1.下列句子中哪些是命题? (1)动物都需要水;是 (2)猴子是动物的一种;是 (3)玫瑰花是动物;是 (4)美丽的天空;不是 (5)三个角对应相等的两个三角形一定全
等; 是 (6)负数都小于零; 是 (7)你的作业做完了吗? 不是 (8)所有的质数都是奇数;是 (9)过直线外l一点作直线l的平行线;不是 (10)如果a>b,a>c,那么b=c.是
证明定理 对顶角相等。
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O， ∠AOC与∠BOD是对顶角。 求证：∠AOC =∠BOD
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O (已知 ) ∴ ∠AOB与∠COD都是平角( 平角的定义)
∴ ∠∠ABOOCD＋＋∠∠AAOODD＝＝118800°°(补角的定义 )
∴ ∠AOC =∠BOD (同角的补角相等 )
经过证明的真命题称为定理.
他的方法是：
经过证明的真命 题叫定理
用推理的方法证实其它命题的正确性
推理的过程叫证明
确定一些公认的命题作为公理
原名、公理、证明、定 理、定义及它们的关系
经过证明
的真命题
一些
推理的过 叫定理 程叫证明
条件
+ 推理
证实其它命 题的正确性
原名
公理
有关概念、公理
条件1
定理1
有关概念、公理
请你完成定理“三角形的任意两边之和大 于第三边”的证明。
小结 拓展
原名、公理、证明、定理的定义 及它们的关系
一些条件
+
原名、公理
推理的过程 叫证明
经过证明的真 命题叫定理
推理
证实其它命 题的正确性
好！继续努力, 争取超过10秒.
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于
是命令:
不要再抢啦！每
个人发一个球！
什么是定义？
对名称和术语的含义加以描述，作出明 确的规定，也就是给出它们的定义。
例如：
（1）“具有中华人民共和国国籍的人，叫做 中华人民共和国公民”是“中华人民共和国 公民”的定义
命题的特征
每个命题都由条件和结论两部分 组成。条件是已知的事项，结论 是由已知事项推论出的事项。一 般地，命题都可以写成“如 果……那么……”的形式，其中 “如果”引出的部分是条件， “那么”引出的部分是结论。
下列句子中若是命题,并判断它是真命题
还是假命题?
1.下列句子中哪些是命题?
(1)动物都需要水;假命题
例如:如果 a=b , b=c ,那么 a=c , 这一性质
也可看作公理,称为“等量代换”.
又如:如果 a＞b , b＞c ,那么 a＞c , 这一性
质也可看作公理。“不等式的传递性”
从这些公理出发，就可以证明已经探索过的结论 了。例如，我们可以证明下面的定理;
定理 同角(等角)的补角相等 定理 同角(等角)的余角相等 定理 对顶角相等 定理 三角形的任意两边之和大于第三边
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 8.三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)
9.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
数与式的运算律和运算法则都可以看作公理
等式和不等式的有关性质都可以看作公理
在等式中,一个量可以用它相等的量来代替.
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;
(4)菱形的四条边都相等;
(5)全等三角形的面积相等.
2.上述的命题中,哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道 它们是不正确的?与同伴交流.
正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题. 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子, 使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子 称为反例.