高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》42PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲

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立体几何---鳖臑

广东二师附中

数学科组

罗剑锋

2018年6月14日

2015年湖北高考数学之后，广大考生感言：

阳马、鳖臑，想说爱你不容易；

中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理；

试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.

阳马、鳖臑是什么呢？

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试题再现

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图1，在阳马ABCDP中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,,,.DEDFBDBE

(I)证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明

理由；

(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC 的值．

阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵. 再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.

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试题赏析

《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第一章

立体几何初步”的“第六节

垂点P为ABC所在直关系”的例题如图4所示，在

中，90B，平面外一点，PA平面ABC。问：四面体PABC中有几个直角三角形？（哪个角是直角？）

如图5，鳖臑几何体PABC中，PA平面ABC，ACCB，AMPB于M，ANPC于N．证明：

PBMN．

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典型例题

例1、2017年广州一测（10）变式

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四

个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC 为鳖臑,

PA⊥平面ABC,

4PAAC，2AB,

三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上,

则球O的表

面积为（

）

（A）8

（B）12

（C）20

（D）32

P

A

C

图4

M

P

A

B

C

图5

N

RtABC

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变式1、中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC，AB⊥BC，QA=BC=3，AC=5，则三棱锥Q-ABC 外接球的体积为（

）

A．32

B.

C.

D.

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变式2、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱锥PABC为鳖臑,

PA⊥平面ABC,

2PAAB，该鳖臑的外接球的表面积为24，则该鳖臑的体积为_________

例2、

(2015年湖北高考试卷)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图2，在阳马ABCDP中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,,,.DEDFBDBE

证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；DFPECBA

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课后提高训练

真题再现1、2018届高三三模试题：

真题再现2、2015新课标I第18题

如图12，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD.

(1)证明：平面AEC平面BED；

(2)若120ABC，AEEC，三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.

命题者之所以对鳖臑这一几何体如此青睐，正是因为鳖臑几何体中有着丰富的垂直关系，是讨论线线垂直、线面垂直、面面垂直以及三种垂直关系相互转化的非常好的载体；正是因为鳖臑几何体蕴含着棱锥、棱台的所有要素，可以破解立体几何千变万化的空间角；正是因为鳖臑几何体是涵盖了立体几何中最基本、最核心的知识点的模型，蕴含的基本关系揭示了立体几何的基本结构与本质规律．

鳖臑，是立体几何的灵魂．