线性代数实验一

数值线性代数_MathCAD实验

，其中 Lk
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
%
1 −lk +1,k ... −ln,k
%
⎟
⎟ ⎟
，
li,k
=
ai,k akk
,
。
% 1 ⎟⎟⎠ i = k +1,k + 2,...,n
则
A
=
L1−1Βιβλιοθήκη "L−1 n−2
L−n1−1U
=
LU
求解 Ax = b 等价于求解
{ LUx = b ⇔
先解 Ly = b，再解 Ux = y。
""矩阵的三角分解
定理若 A∈ Rnn 的顺序主子阵 Ai ,i = 1, 2,..., n 均非奇异，则存在唯一单位下三角阵 L 和上三角阵U 使得 A = LU 。
注： li,k
=
ai,k akk
中分母 akk
称为主元。
用高斯变换计算 A 三角分解的代码如下：
Gauss2( A) :=
"没有优化的LU分解"
for j ∈ 1 .. n
U1, j ← A1, j ⊕ "先计算U的第一行"
for i∈ 2 .. n
Li , 1
←
Ai , 1 U1,1
⊕
"再计算L的第一列"
"下一行中i不能为n,否则j要出界"
"因此Unn要单独计算"
for i∈ 2 .. n − 1
for j ∈ i.. n
i−1
∑ Ui , j ← Ai , j −
n
+ 1, n
，由于U
是n

mathematica矩阵运算

矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置、逆）
二、实验目的
熟悉Mathematica软件中关于矩阵运算的各种命令
三、常用命令
1. MatrixForm[A] 功能：把矩阵A屏幕输入．
2. Transpose［A］功能：乘矩阵A的转置矩阵．
3. A+B 功能：求矩阵A与B的和运算．
4. A-B 功能：求矩阵A与B的减运算．
MatrixForm[A]
Out[1]:={{-2,5,-1,3},{1,-9,13,7},{3,-1,5,-5},{2,8,-7,-10}}
2 5 1 3
Out[2]//MatrixForm=
1
3
9 13 1 5
7
5
2
8
7
10
In[3]:=Det[A]
Out[3]:=312
2.In[4]：B=Transpose[A] MatrixForm[B]
四、例子
简单操作步骤
In[1]:=A={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}} MatrixForm[A]
Out[1]:={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}}
Out[2]//MatrixForm=
3 1 1
2
1
2
1 2 3
In[3]:=B={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}} MatrixForm[B]
Out[4]:={{-2,1,3,2},{5,-9,-1,8},{-1,13,5,-7},{3,7,-5,-10}}
2 1 3 2
Out[5]//MatrixForm=
5
9 1
8
1 13 5 7
3

线性代数实验报告[1].doc

线性代数实验报告
专业班级姓名学号
实验日期年月日星期
成绩评定教师签名批改日期
题目1：交通流量问题：
下图给出某城市部分街道的交通流量（单位：辆/小时）：
假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；
（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量. 试建立数学模型，以确定该交通网络未知部分的具体流量.
（要求：1. 模型建立（即：列出线性方程组），2. 求解，3. 输出结果，4. 结果综述.）
题目2：求一个正交变换，将二次型：434241312
1242322211262421993x x x x x x x x x x x x x x f --++-+++=
化为标准型，判断此二次型的正定性。

线性代数实验课

线性代数实验课一、行列式与矩阵的运算1.实验目的①掌握行列式计算的Mathematica命令。

②掌握矩阵基本运算的Mathematica命令。

③掌握逆阵及矩阵的秩的求法。

2.内容与步骤（1）计算行列式的值在Mathematica中计算行列式的命令为Det[A].（求方阵A的行列式，即Det[A]=|A|）例1计算行列式-5解首先把矩阵用表的形式表示，即输入A={ {2,8,-5』},{1,9,0,・6},{0,・5,・1,2},{ 1,0,・7,6}};Det[A]Out[l>-108例2计算行列式b b2 b4d d: d A解求解命令为Det[{{1,1』』},{a,b,c,d},{a A2,b A2,c A2,d A2),(a A4,b A4,c A4,d A4})]Out[2]= a4b2c — a2b4c -------------- ac2d4 + bc2d4 (共有4! = 24 项)Factor[%]Out[3]—(—ci + b)(—ci + c、)(一b + c、)(—ci + d)(—b + d)(—c + d)(a + Z? + c + d)(2)矩阵的基本运算命令为A+BC*A Transpose[M] A.B MatrixForm[M] 矩阵A和B相加常数c和矩阵A相乘矩阵M的转置矩阵A和B相乘用标准形式表示矩阵11 1 ~ 123 例3已知A = 1 1 -1 ,B = -1 -24 ，求 3A8—2A 及 AB1 -1 1 0 5 1解输入A={{1,1,1},{1,1,・1},{1,.1,1}};B={{l,2,3},{.l,.2,4},{0,5,l}};3*A.B-2*AOut[ 1 ]={{-2,13,22}, {-2,-17,20},{4,29,・2}}M=Transpose[A]Out[2]={{l,l,l},{l,l,-l},{l,.l,l}}P=M.B0ut[3]={{0,5,8},{0,-5,6},{2,9,0}}MatrixForm[P]0 5 8Out[4]=0 -5 62 9 0⑶求逆阵命令为Inverse[A]（求方阵A 的逆阵）"3 -2 0 心 0 2 2例4求万阵A = 1 -2 -3 *0 1 2解输入A= {{3,-2,0,-1},{ 0,2,2,!}, {1,-2,-3,2}, {0,1,2,1}};Det[A]Out[l]=lB=Inverse[A]Out ⑵={{1,1,-2,4},{0,1,0,-1},{.1,-13,6},{2,1,-6,-10}}MatrixForm[B]1 1 -2 -40 1 0 -1Out[3]=-1 -1 3 62 1 -6 10 -1，-2的逆阵。

线性代数实验报告汇总

数学实验报告题目第一次实验题目一、实验目的1MATLAB 的矩阵初等运算；．熟悉2 ．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令；3MABLAB 求解线性方程组．会用二、问题求解和程序设计流程344?221????????MATLABA1 B、，已知命令窗口中建立．，在320B???50??3A????????112?153????矩阵并对其进行以下操作：(1) A 的行列式的值计算矩阵?)?Adet((2) 分别计算下列各式：、和、、、、B?A.T112??B?BA?2A ABABAA：解（1）编写程序如下：A=[4 -2 2;-3 0 5;1 5 3];B=[1 3 4;-2 0 -3;2 -1 1];a=det(A)运行结果：a =-158（2）编写程序如下：C=2*A-BD=A*BE=A.*BF=A/BG=A\BH=A*AK=A'运行结果：C =7 -7 0-4 0 13线性代数实验报告0 11 5D =12 10 247 -14 -7-3 0 -8E =4 -6 86 0 -152 -5 3F =0 0 2.0000-2.7143 -8.0000 -8.14292.42863.0000 2.2857G =0.4873 0.4114 1.00000.3671 -0.4304 0-0.1076 0.2468 0H =24 2 4-7 31 9-8 13 36K =4 -3 1-2 0 52 5 32 MATLABrankinv 求下列矩阵的秩：中分别利用矩阵的初等变换及函数．在、函数线性代数实验报告3501??2631?????0012????(1) Rank(A)=? 2求) 求(054A?3??B1??B?????0201??4??1112????2102??解：1 编写程如下：（）format rat A=[1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4];rref(A)运行结果：ans =1 0 0 -8/50 1 0 00 0 1 6/5AA3 。

线性代数Matlab数学实验

0.1042 -0.1436 -0.0663 0.0878 0.0337 0.0411
1.1095 1.3541 3.1761 5.3951 8.3265 1.3564
4.3899 15.0714 19.5899 28.3698 37.2783 1.8128
2.1612 9.5847 11.9050 16.2275 20.7091 0.6693
b = ( 1 3 5 7 9 11) 。
1．输入矩阵 A,B,b. 2．作X12=A/ , X22=A+B , X23=A-B , X24=AB. 3．求|A|,|B|。 4．求 R(A),R(B)。 5．求X5=A-1 . 6．求矩阵方程 XA=C 的解 X6,其中 C 为 A 的第 i 行乘以列标 i 所得到的矩阵。 7．求解方程组 AX=b 的解向量 X7. 8．求 X6 的特征向量 X8，X6 的特征向量组 X 及对角阵 D。 9．求 B2(A-1)2. 10．存储工作空间变量 A,B：save’ds1.m’,A,B 三、思考与练习 1．对本实验中得到的C矩阵求CT, |C|, C-1, C的特征值及对应的特征向量。 2．创建从 2 开始，公差为 4 的等差数列的前 15 项构成的行向量。 3．将本实验中矩阵 A 与 B 的对应元素相乘、对应元素相处并观察分母为零时的结果。 4．求 b 的每个元素自身次幂所的行向量。 5．列出本实验中所有变量。四、操作提示 1．计算过程 A=[3 4 -1 1 -9 10;6 5 0 7 4 -16;1 -4 7 -1 6 -8;2 -4 5 -6 12 -8;-3 6 -7 8 -1 1;8 -4 9 1 3 0] B=[1 2 4 6 -3 2;7 9 16 -5 8 -7;8 11 20 1 5 5;10 15 28 13 -1 9;12 19 36 25 -7 23;2 4 6 -3 0 5] b=1:2:11 X21=A' X22=A+B X23=A-B X24=A*B X31=det(A) X32=det(B) X41=rank(A) X42=rank(B) X5=inv(A) for i=1:6 C(:,i)=i*A(:,i); end C X6=C/A X7=A\b' X8=eig(X6) [X,D]=eig(X6) X9=B^2*(A^(-1))^2 存储实验1工作空间变量AB到文件ds1.mat中：save ds1 A B 2．计算结果：

线性代数数学实验(计)

解：矩阵A 矩阵A的增广矩阵 >> clear >> B=[1 –1 2 1 0 0;0 1 –1 0 1 0;2 1 0 0 0 1]; >> format rat 以有理格式输出给出矩阵B 给出矩阵B的行最简形 >> C=rref (B) C= 1 0 0 1 0 0
0 0 1
-1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1
2、数与矩阵相乘
数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘．数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘．
1 0 1 A = 2 1 1 与5的乘积 Example4 求矩阵的乘积 1 2 1
解：
>> clear >> A=[1 0 1;2 1 1;1 2 1]; >> B=5*A >> C=A*5
运行结果：运行结果： B= 5 10 0 5 5 5 5 C= 5 10 0 5 5 5 5
5 10
5 10
程序说明：的值相同．程序说明：5*A与A*5的值相同．与的值相同
3、矩阵与矩阵相乘
两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵）两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵）的列数必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数．必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数． Example5 解： >> clear >> A=[1 2 3;2 1 2;3 3 1]; >> B=[3 2 4;2 5 3;2 3 1]; >> C=A*B , D=B*A
Example12 求解方程组解
x1 − x2 + x3 − x4 = 1 −x1 + x2 + x3 − x4 = 1 2x − 2x − x + x = −1 2 3 4 1

线性代数试验

1 1 0 设A,B满足关系式:AB=2B+A，求B.其中 3 0 1
解：(A-2E)B＝A 程序: A=[3 0 1;1 1 0;0 1 4]; B=inv(A-2*eye(3))*A, % B=(A-2*eye(3))\A, 运行结果: B =

i（或j）虚数单位 1
inf 正无穷大量；
NaN 不定值inf/inf或0/0
2．算术运算符＋加,－减,* 乘， / 如:3+5;2*7; 3．关系运算符 < 小于， >大于，= 等于， < = 小于等于， > = 大于等于，～= 不等于右除， \ 左除， ^ 幂 2^3 3/4 ;4\3;
例 B=[-1.3,sqrt(3);(1+2)*4/5,sin(5);exp(2),6] 运行结果: B = -1.3000 2.4000 7.3891 1.7321 -0.9589 6.0000
（2）利用控制语句生成矩阵例2 生成Hilbert矩阵 for i=1:4 for j=1:4 a(i,j)=1/(i+j-1); end end a
3）多重选择
例1 计算分段函数
分析：
0 x 0 y x 0 x 1 1 x 1
用下列条件语句描述
x <= 0 由x的范围得到y的值 y = 0； elseif x <= 1 建立M文件(详见Matlab与数学试验) y = x； else 命令文件的一般形式： y = 1； <M文件名>.m end
第二章
方阵的行列式
行列式的计算与矩阵的操作

行列式：转置秩逆特征值范数正交化特征多项式阶梯形矩阵的型

线性代数案例

线性代数案例线性代数案例Cayler-Hamilton 定理【实验⽬的】1．理解特征多项式的概念2．掌握Cayler-Hamilton 定理【实验要求】掌握⽣成Vandermonde 矩阵的vander 命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm 命令及矩阵多项式运算的polyvalm 命令【实验内容】Cayler-Hamilton 定理是矩阵理论中的⼀个⽐较重要的定理，其内容为：若矩阵A 的特征多项式为1121)det()(+-++++=-=n n n n n a s a s a s a A sI s f Λ则有()0,f A =亦即11210n n n n a A a A a A a E -+++++=L假设矩阵A 为Vandermonde 矩阵，试验证其满⾜Cayler-Hamilton 定理。

【实验⽅案】Matlab 提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产⽣⼀定的误差，⽽该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨⼤的误差，从⽽得出错误的结论。

在实际应⽤中还有其他简单的数值⽅法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。

例如，下⾯给出的Fadeev-Fadeeva 递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。

()1111,1,2,...,,,2,...,kk k k k c tr AR k n k R I R AR c I k n--?=-=??==+=该算法⾸先给出⼀个单位矩阵I ，并将之赋给1R ，然后对每个k 的值分别求出特征多项式参数，并更新k R 矩阵，最终得出矩阵的特征多项式的系数k c 。

该算法可以直接由下⾯的Matlab 语句编写⼀个()1poly 函数实现：Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A);if nc==nr % 给出若为⽅阵，则⽤Fadeev-Fadeeva 算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c=[1 zeros(1,nc)];for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;endelseif (nr==1 \ nc==1) % 给出为向量时，构造矩阵A=A(isfinite(A));n=length(A) ; % 出去⾮数或⽆界的特征根c=[1 zeros(1,n)];for j=1:nc(2:(j+1))=c(2:(j+1))-A(j).*c(1:j);endelse % 参数有误则给出错误信息error (’Argument must be a vector or a square matrix.’)end.【实验过程】>> A = vander([1 2 3 4 5 6 7]);运⾏结果：A =1 1 1 1 1 1 164 32 16 8 4 2 1729 243 81 27 9 3 14096 1024 256 64 16 4 115625 3125 625 125 25 5 146656 7776 1296 216 36 6 1117649 16807 2401 343 49 7 1>> A运⾏结果：aa1 =+009 *如调⽤新的poly1()函数，则可以得出如下的精确结果。

数学实验（线性代数）题目一．用MATLAB 计算行列式 1．求矩阵1021122323310121A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式的值．2。

计算行列式100110011001a b c d---二．用MATLAB 计算矩阵1．求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133212321A 与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=132352423B 的和与差及53A B -． 2．求矩阵123212331A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与324253231B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的乘积．3．求矩阵112011210A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵． 4．求矩阵123421213A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和212121321B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相除。

三．用MATLAB 解线性方程组 1．求解方程组123123123240200x x x x x x x x x --+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩。

2。

解方程组AX b =，其中A =212214321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，b =317⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．。

3.Matlab 实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?课外阅读：用矩阵编制Hill密码密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用. 现代密码学涉及很多高深的数学知识. 这里无法展开介绍.图29 保密通信的基本模型密码学中将信息代码称为密码, 尚未转换成密码的文字信息称为明文, 由密码表示的信息称为密文. 从明文到密文的过程称为加密, 反之为解密. 1929年, 希尔(Hill)通过线性变换对待传输信息进行加密处理, 提出了在密码史上有重要地位的希尔加密算法. 下面我们略去一些实际应用中的细节, 只介绍最基本的思想.【模型准备】若要发出信息action, 现需要利用矩阵乘法给出加密方法和加密后得到的密文, 并给出相应的解密方法.【模型假设】(1) 假定每个字母都对应一个非负整数, 空格和26个英文字母依次对应整数0~26(见下表).(2) 假设将单词中从左到右, 每3个字母分为一组, 并将对应的3个整数排成3维的行向量, 加密后仍为3维的行向量, 其分量仍为整数.【模型建立】设3维向量x为明文, 要选一个矩阵A使密文y= xA, 还要确保接收方能由y准确地解出x. 因此A必须是一个3阶可逆矩阵. 这样就可以由y = xA 得x = yA-1. 为了避免小数引起误差, 并且确保y也是整数向量, A和A-1的元素应该都是整数. 注意到, 当整数矩阵A的行列式= ±1时, A-1也是整数矩阵. 因此原问题转化为(1) 把action翻译成两个行向量: x1, x2.(2) 构造一个行列式= ±1的整数矩阵A(当然不能取A = E).(3) 计算x1A和x2A.(4) 计算A-1.【模型求解】(1) 由上述假设可见x1 = (1, 3, 20), x2 = (9, 15, 14).(2) 对3阶单位矩阵E =100010001⎛⎫⎪⎪⎝⎭进行几次适当的初等变换(比如把某一行的整数被加到另一行, 或交换某两行), 根据行列式的性质可知, 这样得到的矩阵A的行列式为1或-1. 例如A =110211322⎛⎫⎪⎪⎝⎭, |A| = -1.(3) y1 = x1A = (1, 3, 20)110211322⎛⎫⎪⎪⎝⎭= (67, 44, 43),y2 = Ax2 = (9, 15, 14)110211322⎛⎫⎪⎪⎝⎭= (81, 52, 43).(4) 由(A, E) =110100211010322001⎛⎫⎪⎪⎝⎭−−−−→初等行变换100021010121001111-⎛⎫⎪-⎪--⎝⎭可得A-1 =021121111-⎛⎫⎪-⎪--⎝⎭.这就是说, 接收方收到的密文是67, 44, 43, 81, 52, 43. 要还原成明文, 只要计算(67, 44, 43)A-1和(81, 52, 43)A-1, 再对照表9“翻译”成单词即可.【模型分析】如果要发送一个英文句子, 在不记标点符号的情况下, 我们仍然可以把句子(含空格)从左到右每3个字符分为一组(最后不足3个字母时用空格补上).【模型检验】(67, 44, 43) A-1 = (1, 3, 20), (81, 52, 43)A-1 = (9, 15, 14).参考文献杨威, 高淑萍, 线性代数机算与应用指导, 西安: 西安电子科技大学出版社, 2009. 页码: 98-102.Matlab实验题按照上面的加密方法, 设密文为: 112, 76, 57, 51, 38, 18, 84, 49, 49, 68, 41, 32, 83, 55, 37, 70, 45, 25, 问恢复为原来的信息是什么?数学实验（线性代数）班级公管4班学号1106080097 姓名朱燕萍一．1.>> A=[1 0 2 1;-1 2 2 3;2 3 3 1;0 1 2 1];>> det(A)ans =142.>> syms a b c d>> A=[a 1 0 0;-1 b 1 0;0 -1 c 1;0 0 -1 d];>> det(A)ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1二．1.>> A=[1 2 3;2 1 2;3 3 1];>> B=[3 2 4;2 5 3;2 3 1];>> C=A+BC =4 4 74 6 55 6 2>> D=5*A-3*BD =-4 4 34 -10 19 6 22.>> A=[1 2 3;2 1 2;3 3 1];>> B=[3 2 4;2 5 3;2 3 1];>> C=A*BC =13 21 1312 15 1317 24 223.>> A=[1 -1 2;0 1 -1;2 1 0];>> B=inv(A)B =-1.0000 -2.0000 1.00002.0000 4.0000 -1.00002.00003.0000 -1.00004.>> A=[1 2 3;4 2 1;2 1 3];>> B=[2 1 2;1 2 1;3 2 1];>> C=A/BC =1.3333 1.3333 -1.00000 -0.5000 1.50001.6667 0.1667 -0.5000 >> D=A\BD =0.3333 0.6000 -0.2000-0.6667 -0.4000 0.80001.0000 0.4000 0.2000 三．1.>> A=[-1 -2 4 0;2 1 1 0;1 1 -1 0]; >> A=rref(A)A =1 02 00 1 -3 00 0 0 0 2.>> A=[2 1 2;2 1 4;3 2 1];>> B=[3;1;7];>> X=inv(A)*BX =2.00001.0000-1.00003.(2).>> A=[1 -0.25 -0.25;-0.65 0.95 -0.05;-0.5 -0.1 1]; >> B=[500000;600000;400000];>> X=A\BX =1.0e+006 *1.15011.47761.1228甲生产1150100元的产品乙生产1477600元的产品丙生产1122800元的产品恰好满足需求解密>> A=[0 2 -1;1 -2 1;-1 -1 1];>> B=[112 76 57];>> X1=B*AX1 =19 15 21>> C=[51 38 18];>> X2=C*AX2 =20 8 5>> D=[84 49 49];>> X3=D*AX3 =0 21 14>> E=[68 41 32];>> X4=E*AX4 =9 22 5>> F=[83 55 37];>> X5=F*AX5 =18 19 9>> G=[70 45 25];>> X6=G*AX6 =20 25 0翻译成的数字为19 15 21 20 8 5 0 21 14 9 22 5 18 19 9 20 25 0 对照表翻译过来后为southe university。

线性代数实验报告

线性代数实验报告一、实验目的线性代数是一门重要的数学基础课程，它在工程、科学、计算机等领域都有着广泛的应用。

本次实验的目的是通过实际操作和计算，加深对线性代数基本概念和方法的理解，提高运用线性代数知识解决实际问题的能力。

二、实验环境本次实验使用了软件名称软件进行计算和绘图。

三、实验内容（一）矩阵的运算1、矩阵的加法和减法给定两个矩阵 A 和 B，计算它们的和 A ＋ B 以及差 A B。

观察运算结果，验证矩阵加法和减法的规则。

2、矩阵的乘法给定两个矩阵 C 和 D，其中 C 的列数等于 D 的行数，计算它们的乘积 CD。

分析乘法运算的结果，理解矩阵乘法的意义和性质。

（二）行列式的计算1、二阶和三阶行列式的计算手动计算二阶和三阶行列式的值，熟悉行列式的展开法则。

使用软件验证计算结果的正确性。

2、高阶行列式的计算选取一个四阶或更高阶的行列式，利用软件计算其值。

观察行列式的值与矩阵元素之间的关系。

（三）线性方程组的求解1、用高斯消元法求解线性方程组给定一个线性方程组，将其增广矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵。

求解方程组的解，并验证解的正确性。

2、用矩阵的逆求解线性方程组对于系数矩阵可逆的线性方程组，计算系数矩阵的逆矩阵。

通过逆矩阵求解方程组，并与高斯消元法的结果进行比较。

（四）向量组的线性相关性1、判断向量组的线性相关性给定一组向量，计算它们的线性组合是否为零向量。

根据计算结果判断向量组的线性相关性。

2、求向量组的极大线性无关组对于给定的向量组，通过初等行变换找出极大线性无关组。

（五）特征值和特征向量的计算1、计算矩阵的特征值和特征向量给定一个矩阵，计算其特征值和对应的特征向量。

验证特征值和特征向量的定义和性质。

2、利用特征值和特征向量进行矩阵对角化对于可对角化的矩阵，将其化为对角矩阵。

四、实验步骤（一）矩阵的运算1、首先在软件中输入矩阵 A 和 B 的元素值。

2、然后使用软件提供的矩阵加法和减法功能，计算 A ＋ B 和 A B 的结果。

线性代数实验报告1

线性代数实验报告1一、实验目的通过实际操作和计算，加深对线性代数中矩阵运算、线性方程组求解等基本概念和方法的理解，提高运用线性代数知识解决实际问题的能力。

二、实验内容1、矩阵的创建与基本运算创建矩阵：使用 Python 中的`numpy`库创建不同类型的矩阵，如零矩阵、单位矩阵、随机矩阵等。

矩阵加法、减法、乘法：对创建的矩阵进行相应的运算，并观察结果。

2、线性方程组的求解用高斯消元法求解线性方程组：给定一个线性方程组，将其增广矩阵化为行阶梯形，然后求解方程组。

用矩阵求逆法求解线性方程组：先求出系数矩阵的逆矩阵，再通过矩阵乘法求解方程组。

三、实验步骤1、矩阵创建与运算打开 Python 编程环境，导入`numpy`库。

使用`npzeros(（m,n)）｀创建一个 m 行 n 列的零矩阵，例如：｀A＝ npzeros(（3,3)）｀。

使用`npeye(n)｀创建一个 n 阶单位矩阵，比如：｀B ＝ npeye(4)｀。

使用`nprandomrand(m,n)｀创建一个 m 行 n 列的随机矩阵，像这样：｀C ＝ nprandomrand(2,2)｀。

进行矩阵加法，如：｀D ＝ A ＋ C`。

进行矩阵减法，比如：｀E ＝ B C`。

进行矩阵乘法，假设`F ＝ A ＠ B`。

2、线性方程组求解给定线性方程组`2x ＋ 3y ＝ 8`，｀4x 5y ＝ 6`，将其写成增广矩阵形式`2, 3, 8, 4, －5, 6`。

使用高斯消元法将增广矩阵化为行阶梯形，通过逐行消元，将矩阵的下三角部分化为零。

从最后一行开始，回代求解出未知数的值。

对于矩阵求逆法，先计算系数矩阵`2, 3, 4, －5`的逆矩阵。

然后将逆矩阵与常数项矩阵相乘，得到方程组的解。

四、实验结果与分析1、矩阵创建与运算创建的零矩阵`A`为：｀｀｀0、 0、 0、0、 0、 0、0、 0、 0、｀｀｀创建的单位矩阵`B`为：｀｀｀1、 0、 0、 0、0、 1、 0、 0、0、 0、 1、 0、0、 0、 0、 1、｀｀｀创建的随机矩阵`C`为：｀｀｀0123 04560789 0234矩阵加法的结果`D`为：｀｀｀0123 04560789 02340、 0、 0、｀｀｀矩阵减法的结果`E`为：｀｀｀0877 －0456－0789 07660、 0、 0、｀｀｀矩阵乘法的结果`F`为：｀｀｀0、 0、 0、0、 0、 0、0、 0、 0、分析：在矩阵运算中，加法和减法是对应元素相加减，乘法需要满足一定的规则，如前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。

matlab实验1：线性代数方法

奇异值分解：奇异值分解：其中U,V均为正交矩阵,S为一个对角阵, 其中U,V均为正交矩阵,S为一个对角阵,且对角线 U,V均为正交矩阵,S 元素恰好为A的奇异值(A’*A (A’*A的特征值的算术平方元素恰好为A的奇异值(A’*A的特征值的算术平方根). A=U*S*V’ 用于处理一些病态方程组的求解格式一：只返回方阵A 格式一：只返回方阵A的特征值格式二：其中D是由A 格式二：其中D是由A的特征值组成的对角矩阵,V为对应特征向量组成的矩阵. ,V为对应特征向量组成的矩阵矩阵,V为对应特征向量组成的矩阵. 求矩阵的迹: 求矩阵的迹:矩阵的迹等于矩阵的特征值之和
eig(A) [V,D]=eig(A) trace(A)
上机作业
找出你的代数书，利用重做其中的几个作业。找出你的代数书，利用Matlab重做其中的几个作业。重做其中的几个作业源自函数 [Q,R]=qr(A)
功能 (QR分解分解) 正交变换 (QR分解)：对A进行QR分解,就是把A分解为一个正交矩阵Q和进行QR分解,就是把A分解为一个正交矩阵Q QR分解一个上三角矩阵R的乘积形式. 其中Q*Q’=E, 一个上三角矩阵R的乘积形式. 其中Q*Q’=E, 正交阵!
[U,S,V]=svd( A)
%对高阶的大方程组通常用：LU、QR和cholesky分解对高阶的大方程组通常用：、对高阶的大方程组通常用和分解等方法求方程组的解其优点是运算速度快、等方法求方程组的解。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。磁盘空间、节省内存。
3 求线性方程组的通解
的通解。例：求下面线性方程组Ax=B的通解。求下面线性方程组的通解输出结果：输出结果：
解法2 解法2：利用 rref 函数

线性代数实验报告

线性代数实验报告
本次实验我们主要学习了线性代数的基础知识，包括向量的表示、矩阵的表示、线性方程组的求解以及线性变换的性质等方面。

在实验中，我们使用MATLAB进行计算及可视化操作。

具体来说，我们学习了以下几个方面的内容：
1. 向量的表示
向量是线性代数的基本概念之一，表示一个有向线段。

而在计算机中，可以通过向量的坐标来表示向量。

本次实验中，我们学习了如何使用MATLAB求出向量的模长、单位向量以及两个向量之间的夹角等。

矩阵是线性代数中的另一个重要概念，常用于表示线性方程组的系数矩阵。

在MATLAB 中，矩阵可以通过嵌套的向量来表示。

我们学习了如何求矩阵的行列式、逆矩阵、特征值等。

3. 线性方程组的求解
线性方程组是线性代数中的一个重要概念，其解法有很多种，包括高斯消元法、LU分解法、Jacobi迭代法等。

本次实验中，我们学习了如何使用MATLAB求解线性方程组，并对几种求解方法进行了比较和分析。

4. 线性变换的性质
线性变换是线性代数中的另一个重要概念，可以将一个向量空间变换成另一个向量空间。

在MATLAB中，可以通过矩阵乘法的方式来表示线性变换。

我们学习了线性变换的一些基本性质，如线性、保持原点等，并通过可视化的方式观察线性变换的效果。

通过本次实验，我们不仅掌握了线性代数的一些基础知识，也学会了使用MATLAB进行线性代数方面的计算和可视化操作。

这对于学习和研究线性代数都有着重要的意义。

农科线性代数实验一(2015)

功能擦去一页命令窗口，光标回屏幕左上角清除工作空间中所有变量从工作空间清除所有变量和函数清除指定的变量查找指定文件的路径显示当前工作空间中所有变量的一个简单列表调用上一行的命令调用下一行的命令退后一格前移一格光标移到行首光标移到行尾清除一行清除光标后字符清除光标前字符
当 x 为向量时， n=length(x) 为 x 的维数
>> A=[1,2,3;4,5,6] A= 1 4 2 5 3 6 ans = >> length(A),size(A) ans = 3 说明：同一行中的语句用逗号隔开。
2
3
矩阵的生成
用函数建立矩阵
函数名
eye(n) eye(m , n) eye(size(A))
矩阵的调用与修改矩阵的调用
已知A为一个 m×n 已建立的矩阵，则
A(i , j) 调用矩阵 A 第 i 行，第 j 列的元素；
A(i , : )
A([i,k],:) A(i:k,:) A(:,j) A (i,[j,s]) A(:,j:s)
调用矩阵 A 的第 i 行元素构成的行向量；
调用矩阵 A 的第 i、k 行元素构成的子矩矩；调用矩阵A的第 i 行至第k行元素构成的子矩阵；调用矩阵A的第j列元素构成的列向量；调用矩阵 A的第j、s列元素构成的子矩阵：调用矩阵A的第j列至第s列元素构成的子矩阵；
默认变量名，以应答最近一次操作运算结果
Matlab 软件简介
常用的基本数学函数
函数名含义
abs(x) sqrt(x)
round(x) sign(x) rem(x , y) log10(x) log2(x)
纯量的绝对值或向量的长度开平方

matlab线性代数实验

线性代数MATLAB 实验指导书MATLAB 是Matrix Laboratory 的缩写，是一个集数值计算、图形处理、符号运算、文字处理、数学建模、实时控制、动态仿真和信号处理等功能为一体的数学应用软件，而且该系统的基本数据结构是矩阵，又具有数量巨大的内部函数和多个工具箱，使得该系统迅速普及到各个领域，尤其在大学校园里，许多学生借助它来学习大学数学和计算方法等课程，并用它做数值计算和图形处理等工作。

我们在这里介绍它的基本功能，并用它做与线性代数相关的数学实验。

在正确完成安装MATLAB 软件之后，直接双击系统桌面上的MATLAB 图标，启动MATLAB ，进入MATLAB 默认的用户主界面，界面有三个主要的窗口：命令窗口（Commend Window ）, 当前目录窗口（Current Directory ）,工作间管理窗口（Workspace ）。

命令窗口是和Matlab 编译器连接的主要窗口，“>>”为运算提示符，表示Matlab 处于准备状态，当在提示符后输入一段正确的运算式时，只需按Enter 键，命令窗口中就会直接显示运算结果。

实验1 矩阵的运算，行列式实验名称：矩阵的运算，行列式实验目的：学习在matlab 中矩阵的输入方法以及矩阵的相关运算，行列式。

实验原理：介绍相关的实验命令和原理(1)一般矩阵的输入 (2)特殊矩阵的生成 (3)矩阵的代数运算(4)矩阵的特征参数运算 (5)数字行列式和符号行列式的计算实验命令1 矩阵的输入 Matlab 是以矩阵为基本变量单元的，因此矩阵的输入非常方便。

输入时，矩阵的元素用方括号括起来，行内元素用逗号分隔或空格分隔，各行之间用分号分隔或直接回车。

例1 输入矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=654301211A ，可以在命令窗口中输入>>A=[1 1 2;-1 0 3;4 -5 6]A =1 1 2-1 0 34 -5 62 特殊矩阵的生成某些特殊矩阵可以直接调用相应的函数得到，例如：zeros(m,n) 生成一个m 行n 列的零矩阵ones(m,n) 生成一个m 行n 列元素都是1的矩阵eye(n) 生成一个n 阶的单位矩阵rand(m,n) 生成一个m 行n 列的随机矩阵magic(n) 生成一个n 阶魔方矩阵例2 随机生成一个32⨯的矩阵。

数学实验——线性代数方程组的数值解

实验5 线性代数方程组的数值解法分1 黄浩 43一、实验目的1.学会用MATLAB软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2.通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。

二、For personal use only in study and research; not forcommercial use三、四、实验内容1.《数学实验》第二版（问题1）问题叙述：通过求解线性方程组，理解条件数的意义和方程组性态对解的影响，其中是n阶范德蒙矩阵，即是n阶希尔伯特矩阵，b1，b2分别是的行和。

（1）编程构造（可直接用命令产生）和b1，b2；你能预先知道方程组和的解吗？令n=5，用左除命令求解（用预先知道的解可验证程序）。

（2）令n=5,7,9，…，计算和的条件数。

为观察他们是否病态，做以下试验：b1，b2不变，和的元素，分别加扰动后求解；和不变，b1，b2的分量b1(n),b2(n)分别加扰动后求解。

分析A与b的微小扰动对解的影响。

取10^-10,10^-8,10^-6。

（3）经扰动得到的解记做，计算误差，与用条件数估计的误差相比较。

模型转换及实验过程：（1）小题.由b1,b2为,的行和，可知方程组和的精确解均为n 行全1的列向量。

在n=5的情况下，用matlab编程（程序见四.1），构造,和b1，b2，使用高斯消去法得到的解x1,x2及其相对误差e1,e2（使用excel计算而得）为：由上表可见，当n=5时，所得的解都接近真值，误差在10^-12的量级左右。

（2）小题分别取n=5,7,9,11,13,15，计算和的条件数c1和c2，（程序见四.2），结果如下：由上表可见，二者的条件数都比较大，可能是病态的。

为证实和是否为病态，先保持b不变，对做扰动，得到该情况下的高斯消元解，（程序见四.3），结果如下：(为使结果清晰简洁，在此仅列出n=5,9,13的情况，n=7,11,15略去)=10^-10时：=10^-8时：=10^-6时：由上表可见：a)对于希尔伯特阵，随着阶数的增加，微小扰动对解带来的影响越来越大，到了n=9时，已经有了6倍误差的解，到了n=13时，甚至出现了22倍误差的解元素；而随着的增加，解的偏差似乎也有增加的趋势，但仅凭上述表格无法具体判断（在下一小题中具体叙述）。

线性代数实验

交通流量问题时下大城市普遍存在交通拥挤现象，高峰期塞车，是不少城市的头疼问题，通过下面的例子可以给出交通拥挤的数学解释。

还可以为交警部门设置红绿灯的个数，时间长短以及道路的车道数提供参考依据。

设下面交通网络图，均为单向行驶，且不能停车，通行方向用箭头表明，图中所示的数字为高峰期每小时进入网络的车辆数，进入网络的车辆等于离开网络的车辆，另外，进入每个节点的车辆等于离开每个节点的车辆。

问题1：设一个井字型公路环网，均为单向行驶，8个街道路口的车流量有数据记录。

已知在8个街道路口的车辆数目如图1所示，请问4321,,,x x x x 路段上的车辆数目是多少？ AB C D1x 2x 3x 4x图 1问题分析在图1中的任何一个路口（十字路口或丁字路口）处都有车辆驶入和驶出。

当一天结束后，驶入车辆数和驶出车辆数应达到平衡。

在每一个路口处可根据进出的车流量（每小时通过的车辆数）相等关系，建立一个线性方程组。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=++=++=+70055045060050065075060043322114x x x x x x x x (1) 整理得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=--=-15015015015041433221x x x x x x x x (2) 软件求解利用命令rref([A b])，可将增广矩阵化为行最简阶梯型，得数据ans =1 0 0 -1 -1500 1 0 -1 00 0 1 -1 1500 0 0 0 0由此看到()()b A r A r ,==3所以方程组有解，且43<=r ，所以方程组有无穷多解。

对于方程组（2），由于()()b A r A r ,=，所以方程组有解。

方程组的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111101011504321k x x x x 结论基础解系[]T1,1,1,1表示闭合回路ABCD 每段上的车流量相等。