高考数学热点难点专题12+解三角形的方法(理)
新高考解三角形解答题技巧
新高考解三角形解答题技巧
解三角形解答题是高考的热点题型，主要涉及正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等知识。
以下是一些解题技巧：
1. 熟悉基础知识：解三角形的问题需要熟练掌握正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等基础知识。
2. 审题清晰：认真审题，明确题目要求，弄清楚已知条件和未知数，再根据已知条件进行推导。
3. 善于运用三角形的性质：在解题过程中，要善于运用三角形的性质，如角平分线定理、中线定理等，这些性质可以帮助我们简化计算过程。
4. 观察三角形形状：通过已知条件和推导结果，观察三角形的形状，如直角三角形、等腰三角形等，这有助于我们找到解题的突破口。
5. 灵活运用公式：在解题过程中，要灵活运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式等公式，以适应不同的情况。
6. 逻辑清晰：在推导过程中，逻辑要清晰，每一步都要有明确的依据，避免出现跳跃或错误。
7. 细心计算：在计算过程中，要细心，避免因计算错误导致整个解题过程失败。
8. 多做练习：通过多做练习，可以熟悉各种题型，提高解题速度和准确性。
总之，解三角形解答题需要熟练掌握基础知识、善于运用三角形的性质和公式、逻辑清晰、细心计算等多方面的技巧。
同时，多做练习也是提高解题能力的有效途径。
解三角形是高中数学重点和难点也是历年高考必考点和命题热点题型
解三角形是高中数学重点和难点也是历年高考必考点和命题热点题型
高一到高三数学必刷基础题型全归纳解已更新完成解三角形专题，而三角形是高中数学教学中的重点和难点，也是历年高考的必考点和命题热点。
其中，正弦定理和余弦定理及解三角形更是重中之重，但面对利用正余弦定理或三角函数关系所产生的各类解，学生往往缺乏必要的甄别意识和区分技能，从而造成“会而不对，对而不全”的现象时有发生。
利用这些题型掌握可以轻松提高
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等
3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合
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高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)
高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
解三角形的技巧与方法归纳
第1页，－共1页 解三角形的 【2 】技能与办法归纳一.常见的常识1.C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2cos )2sin(C B A =+. 2.323sin π=⇒=A A 或32π=A （两解）;623cos π=⇒=A A （一解）. 3.降幂公式：22cos 1cos 2A A +=,22cos 1sin 2A A -=; 合一公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+A b a A b A a .4.b a B A >⇔>B A B A cos cos sin sin <⇔>⇔.5.此类题型常消失：已知)3sin(2)(π+=A A f ,30π<<A ,求)(A f 得规模. 我们常把换元法与数形结正当一升引！二.化简所给的三角等式时的办法与留意1.办法：边化角或角化边;但有时也可能要边角混杂（此情形有但很少）.2.转化办法无非运用三个公式：正弦定理.余弦定理.面积公式.3.细心化简,切不可随便在等式双方同除一个不肯定是否不为0的式子.4.若化成角时,要留意π=++C B A 的运用（消元）.三.求最值或规模的问题,一般是化成某个角的三角函数,并精确给出角的规模. 举例：在锐角三角形ABC 中,3π=B ,求A A cos 3sin 3+得规模.四.作图,把已知前提都标在图上,剖断所给前提的类型选择正弦或余弦定理.1.一般地,是SSA,SAS,SSS 时常用余弦定理;是AAS 或SSA 常用正弦定理.2.有时也可以联合三角形的其他几何性质：如：已知2=a ,3π=A ,可以画出其外接圆,点A 在优弧BC 上移动.如：作某一边上的高后,可以用平面几何常识求解.3.三角形的中线性质：三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线, 则)(2)2(2222AC AB BC AD +=+.。
2019年高考数学命题热点解析理科专题12【解三角形的方法】
（六）角的范围问题
例 6．在锐角三角形 ABC 中，A＝2B，a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，求ba的取值范围．
【答案】( 2, 3)
【解析】由已知及正弦定理可解得a
b
=2cosB，由
0＜A＜
π，可得π
2
6
＜B＜
π，解得
4
cosB
的范围，即可解得a
b
的取值范围．
8
【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正 弦定理，余弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题． 练习 1．已知ΔABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acosC＋c＝2b.
所以
，当且仅当 a = c = 2 时等号成立，
故△ ABC 面积的最大值为 3．
练习 2．在ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，且
.
（1）求角 A 的大小； （2）已知公差为 dd ≠ 0的等差数列an中，a1 ⋅ sinA = 1，且a1,a2,a4成等比数列，记bn = ana4n+1，求数列bn 的前 n 项和Sn. 【答案】（1）A = π6；（2）Sn = nn+1.
【解析】（1）由正弦定理可得
，再根据三角函数恒等变换即可求
出 cosA =
3，又
2
A
为三角形的内角，可得
A
=
π6 （2）先求出等差数列an
=
2n，再根据裂项相消法求bn的
前 n 项和.
（2）根据题意，因为 AE 平分∠BAC，
12
所以
，故AB
AC
=
BE CE
=
解三角形的各种方法与注意事项
解三角形的各种方法与注意事项在几何学中，三角形是一个有着很多有趣性质的形状。
在解决三角形的问题时，我们需要了解不同的解法和注意事项，以便确保我们的解答是正确的。
本文将介绍解三角形的各种方法和注意事项。
第一种方法：正弦定理正弦定理是解三角形问题中经常使用的方法之一。
它是指在任何三角形ABC中，一条边的长度与其对应角的正弦值成比例。
公式如下： sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c在这个公式中，a、b和c是三角形的边长，A、B和C则是三角形对应的角度。
如果我们已知三角形中两个角的度数和一条边的长度，我们可以使用正弦定理来计算另外两条边的长度。
第二种方法：余弦定理余弦定理也是解决三角形问题的有效方法之一。
它指出，在任何三角形ABC中，一条边的长度和与之相邻的两个角的余弦值成反比例。
公式如下：c² = a² + b² - 2ab cos(C)根据这个公式，如果我们知道了三角形中的三条边中的两条边和这两条边之间所形成的角度，我们就可以计算第三条边的长度。
第三种方法：海伦公式海伦公式是解决三角形问题中的另一个重要工具。
它可以用来计算任何三角形的面积。
它指出，在任何三角形ABC中，如果知道了三条边的长度，可以使用以下公式来计算三角形的面积：S = √s(s-a)(s-b)(s-c)其中，S是三角形的面积，a，b和c是三角形的边长，s是周长一半（也就是三条边的和除以2）。
注意事项解决三角形问题时，我们还需要注意一些细节。
首先，我们需要确保我们选取的角是正确的。
如果我们错误地选择了一个不是对应角度的角，我们得到的结果可能是错误的。
其次，我们需要注意在使用正弦定理，余弦定理和海伦公式时单位的一致性。
我们不能同时使用英寸和厘米或者度和弧度，必须确保我们在使用相同的单位。
最后，我们需要在计算时注意精度。
如果我们使用了不够精确的坐标，我们可能会得到不准确的答案。
解三角形的实用方法
解三角形的实用方法在几何学中，解三角形是一项重要的任务，它涉及到通过给定的边长或角度来确定三角形的其他未知量。
本文将介绍几种常见的实用方法来解决三角形问题。
一、已知边长解三角形当我们已知三角形的三条边长时，可以使用余弦定理和正弦定理来求解三个内角。
接下来以边长分别为a、b、c，内角为A、B、C的三角形为例进行说明。
1. 余弦定理余弦定理给出了两边和夹角余弦之间的关系：c² = a² + b² - 2abcosC，b² = a² + c² - 2accosB，a² = b² + c² - 2bccosA。
根据这些公式，我们可以计算出三个内角的余弦值，然后使用反余弦函数得出最终结果。
2. 正弦定理正弦定理描述了三角形的边与其对应角的正弦之间的关系：sinA/a= sinB/b = sinC/c。
根据这个公式，我们可以计算出三个内角的正弦值，然后使用反正弦函数得出最终结果。
通过以上两个定理，我们可以根据已知的边长求解三角形的内角。
二、已知角度解三角形当我们已知三角形的一个内角以及与该角相对应的两个边长时，可以使用正弦定理和余弦定理求解三角形的其他未知量。
1. 正弦定理根据正弦定理，我们可以得到一个方程，用于计算三角形的边长：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
通过已知的内角和两个边长，可以解出第三边的长度。
2. 余弦定理如果我们已知一个角和两个边长，可以使用余弦定理求解三角形的一条边：c² = a² + b² - 2abcosC，b² = a² + c² - 2accosB，a² = b² + c² -2bccosA。
通过以上两个定理，我们可以根据已知的角度和边长求解三角形的其他未知量。
三、特殊三角形的解法除了上述方法外，特殊三角形也有一些独特的解法。
解三角解题方法归纳总结
解三角解题方法归纳总结在数学学科中，三角函数是一种重要的概念。
而解三角形问题，在中学数学中占据着重要的位置。
为了帮助学生更好地掌握解三角解题方法，本文将对解三角解题方法进行归纳总结。
一、正弦定理正弦定理是解决三角形中任意一角的问题时常用的方法之一。
正弦定理的表达式为：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中 a、b、c 代表三角形的三边的长度，A、B、C 代表对应的三个内角。
以解题中常见的“已知三边求三角形内角”问题为例，可以利用正弦定理进行求解。
首先，根据正弦定理的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知角度的等式。
然后，通过解等式，求得未知角度的数值。
二、余弦定理余弦定理也是解决三角形中任意一边的问题时常用的方法之一。
余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中 a、b、c 代表三角形的三边的长度，C 代表对应的夹角度数。
以解题中常见的“已知两边和夹角求第三边”问题为例，可以利用余弦定理进行求解。
首先，根据余弦定理的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知边长的等式。
然后，通过解等式，求得未知边长的数值。
三、正切函数正切函数是三角函数中的一种，解决三角形内角问题时，可以通过正切函数来求解。
正切函数的表达式为：tanθ = 对边/邻边。
以解题中常见的“已知一角和对边求邻边”问题为例，可以利用正切函数进行求解。
首先，根据正切函数的表达式，将已知数据代入，得到一个含有未知边长的等式。
然后，通过解等式，求得未知边长的数值。
四、角平分线定理角平分线定理是解决三角形内角问题时常用的方法之一。
角平分线定理指出，三角形内一条角平分线将对边分成两条线段，那么这两条线段的比等于另外两条边的比。
以解题中常见的“已知两边和其夹角，求夹角的平分线”问题为例，可以利用角平分线定理进行求解。
首先，根据角平分线定理的表达式，将已知的两边和夹角的数据代入，得到一个含有未知角度的等式。
高三理数解三角知识点形
高三理数解三角知识点形高三理数解异数学是理科学习中非常重要的一门学科，而数学的一大难点便是解题。
在高三的数学学习中，解三角形必定是一个难点。
接下来，我将为大家介绍一些高三理数解三角知识点形。
首先，我们来谈谈如何解决三角形题目中的角度求解问题。
在解三角形问题时，我们经常需要计算角度的值。
我们可以利用三角函数的性质来帮助我们进行角度求解。
以求解sin角的值为例，我们可以通过题目中给定的信息，结合对应的三角函数性质，利用sin函数的定义域来限定可能的取值范围，然后再根据具体的条件来确定最终的角度。
当然，在实际运算时，我们需要利用计算器等工具来帮助我们更快地得出结果。
其次，我们来探讨一下如何解决三角形题目中的边长求解问题。
在解决边长问题时，我们通常需要利用三角函数的关系式和定理来辅助求解。
例如，利用正弦定理、余弦定理和正切定理等可以帮助我们求解未知边长的长度。
这些定理可以帮助我们在已知某个角的值和至少两个边长的情况下，推导出其他边长的长度，从而解决边长求解问题。
另外，在解决三角形题目时，我们还经常遇到解决特殊三角形的问题。
特殊三角形是指具有特定边长和角度关系的三角形，例如等腰三角形和平面直角三角形等。
对于这些特殊三角形，我们可以根据其特点和性质，利用已知的信息来解决问题。
例如，对于等腰三角形，我们知道其两条底边是相等的，可以通过已知的角度或边长推导出其他未知的值。
而对于平面直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解边长和角度。
解决三角形问题时，我们还需要注意一些常见的解题技巧。
首先是化简题目，将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地理解和解决问题。
其次是运用图形分析法，通过画图的方式来帮助我们更好地理解题目，并找到解题的思路。
此外，推导公式和运用已知条件也是解题中常用的技巧。
通过推导，我们可以得到问题的关键方程或关系式，从而更好地解决问题。
最后，在解题时，我们还需要注意一些常见的错误和易忽略的点。
例如，忽略题目中的约束条件，没有严格按照已知条件推导和计算，以及计算精度不足等。
解三角形的方法与应用
解三角形的方法与应用三角形作为几何学中的基本图形之一，其性质和应用广泛存在于数学、物理、建筑学等领域。
解三角形是指根据已知条件求解出三角形的各边长、角度等未知数值。
本文将介绍解三角形的常用方法和一些实际应用案例。
一、通过两边和夹角解三角形当已知三角形两边长度和夹角时，可以通过余弦定理来求解三角形的第三边长度。
余弦定理的数学表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中a、b为已知两边的长度，c为未知边的长度，C为已知的夹角。
通过直接代入数值，可以计算出c的值。
例如，已知一个三角形两边分别为3cm和4cm，夹角为60度，我们可以使用余弦定理计算出第三边的长度。
代入公式，得：c^2 = 3^2 + 4^2 - 2×3×4×cos60°c^2 = 9 + 16 - 24×0.5c^2 = 1由于c的长度必须为正数，我们可以得出c的值为1cm。
因此，该三角形的第三边长度为1cm。
二、通过两角和一边解三角形当已知三角形两角和一边的长度时，可以通过正弦定理来求解三角形的其他未知量。
正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c为三角形的三边长度，A、B、C为对应的角度。
通过已知条件，可以构建一个比例方程组，从而求解出未知量。
例如，已知一个三角形两角分别为30度和60度，一边的长度为3cm。
我们可以使用正弦定理来求解其他未知量。
根据正弦定理可以得到以下两个等式：3/sin30° = b/sin60°3/sin30° = c/sin90°通过解方程组，可以求解出其他两条边的长度。
计算结果显示，b 的长度为3√3 cm，c的长度为6 cm。
三、实际应用案例解三角形在很多实际问题中都有应用。
以下是几个常见的实际应用案例：1.测量高度：当无法直接测量高处物体的高度时，可以通过观察其与地面或水平面的夹角，并测量与观察点的水平距离，利用三角形的性质计算出高度。
高中数学解三角形方法
高中数学解三角形方法解三角形是高中数学中的重要内容之一，它涉及到了三角函数、三角关系等知识点。
本文将介绍常见的解三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、正切定理以及解决特殊三角形的方法。
通过学习和掌握这些方法，我们可以准确地解决各类三角形相关题目。
1. 正弦定理正弦定理是解三角形常用的方法之一。
它适用于已知一个角和两边的情况下，求解其他两个角或边的长度。
正弦定理的表达式为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$其中，$a$、$b$、$c$ 分别表示三角形的边长，$A$、$B$、$C$ 表示对应的角度。
2. 余弦定理余弦定理也是解三角形中常用的方法之一。
它适用于已知三边的长度，求解其中一个角的情况。
余弦定理的表达式为：$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$$$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$$$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$3. 正切定理正切定理也是解三角形的一种方法，它适用于已知一个角和边长的情况下，求解其他两个角的大小。
正切定理的表达式为：$$\tan A=\frac{a}{b}$$$$\tan B=\frac{b}{a}$$$$\tan C=\frac{a}{c}$$4. 解决特殊三角形的方法在解三角形问题中，有时会遇到特殊的三角形，如等腰三角形和直角三角形。
对于这些特殊的三角形，可以利用其特点来简化解题过程。
（1）等腰三角形：等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
在解决等腰三角形问题时，可以利用等边性质得出两个角相等。
例如，已知等腰三角形的底边长度和顶角，可以利用等边性质求解其他两个角。
（2）直角三角形：直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在解决直角三角形问题时，可以利用勾股定理求解三个边的长度。
通过掌握上述解三角形的方法，我们可以灵活运用并解决各类三角形相关题目。
解三角形的几种方法
解三角形的几种方法解三角形，是高中阶段我们学习的重要内容之一，在实际生活中应用也很广泛。
而正弦定理、余弦定理、等面积法、勾股定理等正是解决这一类问题的重要工具，下面我就通过例题从不同解法加以说明。
例：如右图：在ABC ∆中，,32,34==AC AB D 为BC 的中点，,300=∠BAD 求BC 的长。
1、余弦定理解：延长AD 到E, 使得AD=DE, 连结BE.因 D 为BC 的中点,故 EDB ADC ∆≅∆,即BE=AC. 在ABE ∆中，由余弦定理得：BAD cos AE 2AB -AE AB BE 222∠⋅⋅+=有 022230cos AE 342-AE )3(4)3(2⋅⋅⋅+= 整理得：03612AE -AE 2=+，即6AE = 故AD=3.在ABD ∆中，由余弦定理得：BAD cos AD 2AB -AD AB BD 222∠⋅⋅+=有022230cos 3342-3)3(4BD ⋅⋅⋅+=,即21BD = 故212BC =.总结：余弦定理适用于解决知两边及夹角或知三边求其它各边角的三角形问题。
2、等面积法 解：ACD ABD S ∆∆=SD A C AC AD BAD AD AB ∠⋅⋅=∠⋅⋅sin 21sin 21 代入AB 、AC 、BAD ∠得：1sin =∠DAC 即090=∠DAC . 以下又分三种解法： (1) BC 21S A ABD S ∆∆=AC AC BAD AD AB B sin AB 2121sin 21∠⋅⋅⋅=∠⋅⋅ 整理得：AD=3.在ADC t ∆R 中，由勾股定理得：21CD =,即212BC =. (2) 在C A B ∆中，由余弦定理得：BAD cos AC 2AB -AC AB BC 222∠⋅⋅+=解得：212BC =.(3) 取AB 的中点E ，连结DE. 因D 为BC 的中点及090=∠DAC .故090E =∠DA .在E R AD t ∆中，330cos 32EAD cos AE AD 0=⋅=∠⋅=. 在ADC t ∆R 中，由勾股定理得：21CD =, 即212BC =. 3、正弦定理在BD A ∆和CD A ∆中，由正弦定理得：BD BAD AB ADB ∠=∠sin sin ,CDCADAC ADC ∠=∠sin sin 因0180ADC ADB =∠+∠,故ADC=sin∠∠.sinADB又因BD=DC,故CAD⋅=1, 即090∠DAC.==sin20∠30sin以下可以按解法2中的三种方法做出。
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
1.根据角度关系求解三角形：通过已知角度的大小关系，可以确定三角形的形状和大小，常见的题型包括等腰三角形、直角三角形等。
2. 利用三角函数求解三角形：三角函数包括正弦、余弦、正切等，通过已知角度和边长的关系，可以利用三角函数求解三角形。
3. 利用勾股定理求解三角形：勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和，通过已知两条直角边的长度，可以求出斜边的长度，从而确定三角形的形状和大小。
4. 利用海龙公式求解三角形：海龙公式是指通过三角形三条边的长度求出其面积的公式，通过已知三条边的长度，可以求出三角形的面积和其他相关信息。
解题方法：
1. 画图：在解决三角形问题时，画图是非常重要的，可以帮助我们更好地理解题意和确定解题思路。
2. 建立方程：通过已知条件，可以建立方程，从而求解未知量。
3. 利用三角函数：当已知角度和边长的关系时，可以利用三角函数求解未知量。
4. 应用勾股定理：当已知直角边的长度时，可以应用勾股定理求解斜边的长度和其他相关信息。
5. 应用海龙公式：当已知三条边的长度时，可以应用海龙公式求解三角形面积和其他相关信息。
总结：
解决三角形问题需要掌握一定的基础知识和解题方法，其中画图、建立方程、利用三角函数、应用勾股定理和海龙公式等是常用的解题方法。
此外，需要注意理解题意和确定解题思路，以便正确地解决问题。
解三角形方法与技巧例题和知识点总结
解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。
解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。
三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。
解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。
正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。
首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。
然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。
同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。
例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。
由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。
高中数学解决三角函数问题的五种方法(带答案)
高中数学解决三角函数问题的五种方法（带答案）方法一：角度法1. 计算给定角度的三角函数值。
2. 利用已知三角函数值的关系进行运算或计算未知三角函数值。
3. 根据问题给出的条件，确定需要解决的三角函数问题类型，如求角度、边长等。
4. 根据已知和未知的三角函数值，利用三角函数的简单性质和公式解决问题。
5. 最后，确保结果符合问题的要求，有必要的话进行合理的近似处理。
方法二：等式法1. 将问题中的三角函数转换成等式形式。
2. 根据已知的等式，利用等式的性质和公式进行推导和运算。
3. 通过求解等式，得到未知三角函数值或角度。
4. 判断结果是否符合问题的要求，并进行必要的近似处理。
方法三：图像法1. 根据给定的角度，画出三角函数图像。
2. 根据图像性质分析问题中的条件，确定需要求解的问题类型。
3. 利用图像，在合适的位置找到所需的三角函数值或角度。
4. 确认结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。
方法四：三角恒等式法1. 根据问题中的条件，利用已知的三角恒等式进行变形和推导。
2. 将问题转化为包含已知三角函数的等式。
3. 通过求解等式，得到所需的三角函数值或角度。
4. 验证结果是否符合问题的要求，如有需要，进行近似处理。
方法五：三角函数特性法1. 根据问题中的条件，利用三角函数的特性进行分析。
2. 根据已知的特性，推导出所需的三角函数值或角度。
3. 判断结果是否满足问题要求，如有必要，进行近似处理。
这些方法是解决高中数学中三角函数问题常用的方法。
通过选择合适的解决方法，结合问题中给出的条件，可以有效地解决各种三角函数问题。
请注意，以上所提供的答案仅供参考，具体问题的解决方法可能因具体条件而有所不同。
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高考数学热点必会题型第12讲-解三角形中的最值问题(原卷及答案)
高考数学热点必会题型第12讲解三角形中的最值问题——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、求三角形中的边长有关的最值【题型】二、求三角形中的周长有关的最值【题型】三、求三角形中的面积有关的最值【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值【题型】五、化角为边判断三角形的形状【题型】六、化边为角判断三角形的形状【题型】七、利用不等式求范围问题【题型】八、利用三角函数值域求范围问题二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值A B C所对的三边分别为例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC中，角,,，若ABC的面积为1，则BC的最小值是（）,,,2a b c c bDA．2 B．3 C例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2 C 1 D ．例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（ ）A ．7B ．C ．D ．5【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（ ）AB ．C ．D ．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（ ）A ．8+B ．8+C ．16+D ．16+例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1BC ．2D ．例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B C D ．例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A B C ．D ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（ ）A 43B C 43D 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6 B ．3C ．D ．【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（ ）A B ．32C ．D ．2+例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD 由ACD 与等边ABC 拼接而成，其中22AD CD ==，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________. 第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．等腰或直角三角形例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（ ） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（ ） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．9D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．24例28．（2023·全国·高三专题练习）设()2πsin cos cos 4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A BC D 例29．（2023·全国·高三专题练习）如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE 的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A 与湖对岸B ，F 点，设宝塔底部E 点和这三个点在同一直线上，无人机从A 点沿AD 直线飞行200米到达宝塔顶部D 点后，然后再飞到F 点的正上方，对山脚的江天禅寺EB 区域进行拍照.现测得从A 处看宝塔顶部D 的仰角为60°，sin ABD ∠=100BF =米.若无人机在C 点处获得最佳拍照角度时（即BCE ∠最大），该无人机离地面的高度为（ ）A ．B ．C ．D ．200米例30．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1B C ．2D ．例31．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，cos B =2AC =，AB k =，则（ ）A ．△ABC 外接圆面积为定值，且定值为9πB ．△ABC 的面积有最大值，最大值为3+C ．若k =60C =︒D ．当且仅当02k <≤或6k =时，△ABC 有一解例32．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）A ．若A ＝30°，3a =，4b =，则△ABC 有两解B ．若()3AB AC CB -⊥，则角A 最大值为30° C ．若222a b c +>，则△ABC 为锐角三角形D ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，则直线AP 必过△ABC 内心 【题型】八、利用三角函数值域求范围问题例33．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，若222a b c kab +-=，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．0,1例34．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，cos cos ()sin sin A CA B C a c+=，cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(4⎤⎦B ．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4例35．（2022·全国·高三专题练习）已知在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60B ︒=，ABC b 的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．C ．)D ．[)2,6例36．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱111ABC A B C 的外接球的表面积为36π，球心为O ，则（ ） A ．1OA BC ⊥B ．该三棱柱所有棱长之和的最大值为36C ．该三棱柱侧面积的最大值为12D ．三棱锥O ABC -的体积是该三棱柱的体积的16答案第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 CD【答案】C【分析】由三角形面积公式得到21sin b A=，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A -=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=， 设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44AA A A -=--表示点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PA k APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC ，所以||3BC ，即BC故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2 C 1 D ．【答案】C【分析】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用正弦定理得出b B =，c C =，利用平面向量数量积的运算性质得出222924AD b bc c =++，利用三角恒等变换思想化简得出2224AD B =+，利用正弦型函数的有界性可得出线段AD 长的最大值.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由正弦定理可得3sin sin sin 3b c B C π===b B =，c C =， ()()1112333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，即32AD AB AC =+，所以，()()22222229324444cos3AD ADAB ACAC AB AB AC b c cb π==+=++⋅=++22224212sin 48sin 24sin sin b c bc B C B C =++=++1cos 21cos 2124824sin sin 22B CB C --=⋅+⋅+ 224sin sin 6cos 224cos 23033BB B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124sin sin 6cos 224cos 223022B B BB B B ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 212cos 6cos 212cos 22302BB B B B B -=⋅+-+++ 236B =+，所以，2224AD B =+，203B π<<，则4023B π<<，当22B π=时，即当4B π=时，AD 取最大值，即max 1AD =. 故选：C.【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（ ） A ．7B ．C ．D ．5【答案】B【分析】设A θ=，结合正弦定理得22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ2sin BC θ=，然后结合化简整理得到关于θ的函数，进而结合函数的图象与性质即可求出结果.【详解】设A θ=，由正弦定理知22sin sin 3AB BC ===⎛⎫- ⎪⎝⎭θπθ，因此22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ 2sin BC θ=，故222sin 4sin 3AB BC ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭πθθ222sin cos cos sin 4sin 33⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πθπθθsin 4sin =++θθθ5sin =+θθ()=+θϕ，其中tan ϕ 所以当()sin 1θϕ+=时，，取得最大值，且最大值为 故选：B.【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（ ） AB．C．D．【答案】D【分析】cos 2B B +=，推导出3B π=，由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =，24sin 4sin()3c C A π==-，由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=，∴112cos B B +=，sin()16B π∴+=，262B k πππ∴+=+，2B π<，3B π∴=，cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，∴a bc，b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===， 4sin a A ∴=，24sin 4sin()3c C A π==-，214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+， 三角形ABC 为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =∴a b c ++≤ABC的周长最大值为故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（ ）A．8+B．8+C．16+D．16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=，进而结合基本不等式得16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设,,AB c BC a AC b ===， 因为ABCABDCBDSSS=+，243ABC BD π∠==，，ABD CBD ∠=∠， 所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，=，所以4ac a c +=，因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，a c +≥所以16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立， 由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立，所以16a b c ++≥+，当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+，再利用基本不等式即可得8a b +，从而可得到ABC 周长的最大值．【详解】解：在ABC 中，60C =︒，4AB c ==， ∴由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-，由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++，∴8a b +（当且仅当4a b ==时等号成立），ABC ∴周长8412a b c +++=（当且仅当4a b ==时等号成立），即当且仅当4a b ==时，ABC 周长的最大值为12， 故选：C ．【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得216()3a b ab =+-，再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值，从而得ABC 周长的最大值.第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（ ） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=；利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ，进而得到sin A ；利用三角形面积公式，将ABCS表示为以2b 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得：22212sin 12sin 4sin C A B -=-+， 即222sin sin 2sin A C B =+，由正弦定理得：22224a c b =+=；由余弦定理得：2222cos 4a b c bc A =+-=，222222cos c b b c bc A ∴+=+-，即cos 2bA c=，()0,A π∈，sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=，2242c b ∴=-，ABCS∴=则当289b =时，42max 996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()max 142233ABC S∴=⨯=. 故选：A.例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A ，再根据cos cos 2b C c B +=，利用余弦定理化角为边求得边a ，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为()sin sin sin b c B c C a A -+=， 所以222b bc c a -+=， 所以1cos 2A =， 又()0,A π∈， 所以3A π=，因为cos cos 2b C c B +=，所以222222222a b c a c b bc ab ac+-+-+=， 所以2a =，由2222cos a b c bc A =+-，得224b c bc bc =+-≥， 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，则1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC故选：B.例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（ ）ABCD．【答案】A【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得12cos 0B +=，进而可得角B ，应用正弦定理有033c A A ππ⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角形面积公式、三角恒等变换得26ABCSA π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC 面积的最大值. 【详解】由sin()2sin cos 0B C A B ++=，得sin 2sin cos 0A A B +=， ∴sin (12cos )0A B ⋅+=，又sin 0A ≠， ∴12cos 0B +=，即1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴2,33B C A B A πππ==--=-，又sin sin c bC B=，∴2sin sin 302sin 33sin3A b C c A A B ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 211sin sin sin sin 2sin cos sin 2232ABCSbc A A A A A A A A A A π⎫⎛⎫==-=-==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2226A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由03A π<<，有52666A πππ<+<，则sin 2sin 162A ππ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC故选：A.【点睛】关键点点睛：由已知等量关系求角，利用三角形内角性质、正弦定理及三角形面积公式得到ABC 面积关于内角A 的函数式，根据内角的范围求最值.例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．【答案】C【分析】设AC x =，BAC θ∠=，则2AB x =，结合正弦定理表示得1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠，由余弦定理可得x 与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC x =，BAC θ∠=，则由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠①，sin sin CD ACCAD ADC=∠∠②，又ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，①②式联立可得21AB AC =，则2AB x =，则211sin 2sin sin 22ABC S AB AC BAC x x x θθ=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅△，对ABC ，由余弦定理可得22222536cos 24AB AC BC x BAC AB AC x +--∠==⋅，则()22422242424425362536036sin 1cos 1416x x x S x x x x x θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪=⋅=⋅-=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2422422199********+14420256161616x x x x x ⎡⎤=--+=--=---⎢⎥⎣⎦， 当220x =时，2S 有最大值，()2max 925614416S =⨯=，所以max 12S =， 故选：C【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，本题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD 为ABC 的角平分线，则AB BDAC CD= 例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A B C ．D ．【答案】A【分析】通过余弦定理分别表示BD ，从而找到角A ，C 的关系，将四边形的面积用角A ，C 表示，从而求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：在ABD △中， 有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2214214cos 178cos A A =+-⨯⨯⋅=-，在BCD △中，有2222cos BD CB CD CB CD C =+-⋅2222222cos 88cos C C =+-⨯⨯⋅=-，则9178cos 88cos cos cos 8A C A C -=-⇒-=，由四边形ABCD 的面积=三角形ABD 的面积+三角形BCD 的面积， 故1111sin sin 14sin 22sin 2222S AB AD A CB CD C A C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯ 2(sin sin )A C =+，在三角形中，易知,(0,)A C π∈，sin ,sin 0A C >，()22sin sin (cos cos )A C A C ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos A C A C A C A C =++++-22cos()4A C =-+≤，当且仅当A C π+=时等号成立，此时229(sin sin )4sin sin 8A C A C ⎛⎫++≤⇒+≤ ⎪⎝⎭，故2(sin sin )2S A C =+≤=故选：A.【点睛】方法点睛：四边形对角线是公共边，以之为连接点找到角与角的关系，把面积也化成角来表示，从而借助三角函数的最值来求得面积的最值.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（ ） A43BC43D【答案】C【分析】建立直角坐标系，设(,)D x y ，写出,,A B C 的坐标，利用:2:1DB DC =列式得关于,x y的等式，可得点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算AB和点D 距离直线AB 的最大距离d r +，代入三角形面积公式计算.【详解】以BC 的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B C -，设(,)D x y ，因为:2:1DB DC =，所以()()22221414++=-+x y x y ，得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大，已知直线AB0y -=，2AB =，点D 距离直线AB 的最大距离为：4433+=d r ，所以ABD △面积的最大值为1442233⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭ABD S △. 故选：C【点睛】解答本题的关键在于建立直角坐标系，设点(,)D x y ，通过:2:1DB DC =得关于,x y 的等式，从而判断出点D 的轨迹，数形结合分析得当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6 B ．3C ．D ．【答案】D【解析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=.若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=， 当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinc A=，λ=b a，则实数λ的最大值是（）AB．32C．D．2+【答案】D【分析】根据余弦定理和sinc A=得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，进而得22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cosa cb b A=+-，结合sinc A=，得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，解得22212sin12aA Ab=+-，即22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则当12Aπ=时，222max(2ba⎛⎫=⎪⎝⎭．max max()2baλ==故选：D．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD由ACD与等边ABC拼接而成，其中22AD CD==，则平面四边形ABCD面积的最大值为______.【答案】2【解析】设D θ∠=，利用余弦定理求出AC ，利用面积公式将ACD 与等边ABC 的面积用θ表示，利用三角函数的性质即可求解.【详解】设D θ∠=，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos 54cos AC AD CD AD CD θθ=+-⨯=- ，所以)21sin 54cos 23ABCSAC πθ=⨯=-， 因为1sin sin 2ACDSAD CD θθ=⨯⨯=，所以)sin 54cos ABC ACDS SSθθ=+=+-sin 2sin 3πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，所以2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以max 2S =，故答案为：2【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，求面积的最值，考查余弦定理、辅助角公式，属于中档题.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________.【分析】设AGP θ∠=，在,APG AQG 中由正弦定理，用θ表示出,PG GQ ，再利用正余弦的和角公式，将11GP GQ+表示为 θ的函数，求该函数的最值即可. 【详解】设BC 中点为D ，AGP θ∠=，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，如下图所示：因为G是重心，所以22233AG AD AC =⋅=⨯=. 在AGP 中，由正弦定理得，sin sin GP AGPAG APG=∠∠，所以sin165sin sin 66AG GP πππθθ⋅==⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理在AGQ △中，由正弦定理得1sin 6GQ πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以11sin sin 2sin cos 666GP GQ πππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=++-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2πθ=时，max112GP GQ π⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B【分析】利用余弦定理进行边化角222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理可得()()2220a b c a b ab +--+=即2220c a b ab --+=，再用余弦定理可得1cos 2C =． 【详解】因为()2cos cos a b c A B +=+，则222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理得()()2220a b c a b ab +--+=，所以2220c a b ab --+=即222a b c ab +-=， 则2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ∵()0,πC ∈，所以π3C =. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ， 法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+． 于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形， （1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，()22a abc a ca c c==+++⋅，a a c =+， 上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立， 综上，△ABC 为直角三角形． 法二： 利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=． （1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+． 变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=， 即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形． （2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形． 故选：B例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由条件和余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，然后化简可得答案. 【详解】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，即22222a c b a +-= 所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（ ） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形 【答案】BC【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A ；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B ； 由已知得022A B ππ>>->，结合正弦函数性质可判断C ；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或22180A B +=即90A B +=，ABC ∴为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，1sin 40sin 2540sin3040202a B =<=⨯=，即sin a Bb a <<，ABC ∴必有两解，故B 正确； 对于C ，ABC 是锐角三角形，2A B π∴+>，即022A B ππ>>->，由正弦函数性质结合诱导公式得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式知22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<，即222sin sin sin 0A B C +->，即2220a b c +->，cos 0C ∴>，即C 为锐角，不能说明ABC 为锐角三角形，故D 错误. 故选：BC【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD【分析】对于A ，利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简判断，对于B ，利用余弦定理统一成边化简进行判断，对于C ，先利用余弦定理求出cos A ，从而可求出sin A ，再利用正弦定理可求出ABC 外接圆半径，对于D ，利用三角函数的性质结合三角形内角进行判断 【详解】解：对于A ，因为a b >，所以由正弦定理得sin sin 0A B >>，所以22sin sin A B >，所以1cos 21cos 222A B-->，所以cos2cos2A B <，所以A 正确， 对于B ，因为cos cos a B b A c -=，所以22222222a c b b c a a b c ac bc+-+-⋅-⋅=，即22222222a c b b c a c +---+=，所以222a b c =+，所以ABC 一定为直角三角形，所以B 正确，对于C ，由余弦定理得2222536163cos 22564+-+-===⨯⨯b c a A bc ，因为(0,)A π∈，所以sin A ==2sin a R A ===ABCC 错误， 对于D ，因为在ABC 中，()()()cos ,cos ,cos (1,1]A B B C C A ---∈-，()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以ABC 一定是等边三角形，所以D 正确，故选：ABD【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据降幂公式，先得到1cos 22A c bc+=+，化简整理，再由正弦定理，得到sin cos 0A C =，推出cos 0C =，进而可得出结果. 【详解】因为2cos22A b c c +=，所以1cos sin sin sin 122sin 2sin 2A B C B C C ++==+，所以sin cos sin B A C= 即()cos sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠， 所以cos 0C =，因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形.故选：B例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理得到A B =或2A B π+=，即可判断.【详解】在ABC 中，对于 cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π+= 即A B =或2A B π+=.所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式、结合诱导公式求出sin B 的值，结合角B 的范求得角B ，即可求解.【详解】因为cos sin cos b A c B a B =-由正弦定理化边为角可得：sin cos sin sin sin cos B A C B A B =-， 所以()()sin sin sin cos sin cos sin sin πsin C B A B B A A B C C =+=+=-=， 因为sin 0C ≠，所以sin 1B =， 因为0πB <<，所以π2B =， 所以ABC 是直角三角形， 故选：C.例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（ ） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B <B ．若sin cos sin cos A A B B =,则ABC 一定是等腰三角形C ．若ABC 是锐角三角形，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ 【答案】ACD【分析】结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．【详解】解：因为A ，0πB ∈（，），且cos y x =在0π（，）上单调递减，故由cos cos A B >，得A B <，故a b <，结合正弦定理得sin sin A B <,故A 正确；sin cos sin cos A A B B =⇒ sin 2sin 2A B =,故22A B =，或22πA B +=，即=A B ，或π2A B +=，故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 若三角形ABC 为锐角三角形，则π2A B +>π02A B ⇒>->，故πsin sin()cos 2A B B >-=， 同理可得sin cos B C >,sin cos C A >，三式相加得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，故C 正确；ABC 不是直角三角形，即A ，B ，C 都不是直角，因为tan tan[π()]tan()C B C B C =-+=-+=tan tan tan tan 1A BA B +⋅-,整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，故D 正确． 故选：ACD ．第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．9D ．【答案】A【分析】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；法二：根据正弦定理，将边化角，得到tan =2tan B C ，画出图形，作出辅助线，设,AD h BD x ==，得到22+=4x h ，利用基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】法一：由正弦定理得：=3cos =6cos a c B B ， ()11=sin =6cos 2sin =3sin2322ABCSac B B B B ⋅⋅≤ 法二：由正弦定理得：sin cos +cos sin =3sin cos B C B C C B ， 所以sin cos =2cos sin B C B C故tan =2tan B C ，如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 设,AD h BD x ==，则2CD x =， 由勾股定理得：22+=4x h ， 所以()2213313=3=+=4=322224ABCSx h xh x h ⋅⋅⋅≤⨯当且仅当=x h 故选：A.例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =， 由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：112322S BC n =⨯224362n n +-=⨯=，。
重难点12 解三角形-2023年高考数学(热点 重点 难点)专练(全国通用)(解析版)
重难点12 解三角形1．正弦定理(1)定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R （其中R 为△ABC 的外接圆半径）。
(2)运用方法适用情形：两角A ，B 及其对边a ，b (知三求一)。
列方程：a sin A ＝bsin B 。
(3)变形：a ＝2R sin_A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C 等等。
2．余弦定理(1)定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 。
(2)运用方法适用情形：三边a ，b ，c ，任一内角A (知三求一)。
列方程：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 或cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 。
(3)变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A 等等。
3．三角形面积公式(1)正弦定理推论：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 。
(2)其他常用公式方法：S ＝12底×高；S ＝12×C ×r (C 为周长，r 为内切圆半径)等等。
4.判断三角形的形状主要从两个角度考虑（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。
（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论。
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，避免漏掉一些可能情况。
解题时注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制。
5.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”（1）先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式； （2）再活用正、余弦定理对边、角进行互化.2023年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题；若考解答题，主要放在第17题位置，为中档题，若为选（填）题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A = 3π，a 3b = 1，则c =（ ） A 31 B 3C ．1 D ．2【答案】D【解析】解法一：（余弦定理）由2222cos a b c bc A =+-得： 223121cos13c c c c π=+-⨯⨯=+-，220c c ∴--=，2c ∴=或1-（舍).解法二：（正弦定理）由sin sin a b A B=，得：31sin sin 3B π=，1sin 2B ∴=， b a <，6B π∴=，从而2C π=，2224c a b ∴=+=，2c ∴=.故选：D2．在△ABC 中，cos C =3，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===， 则sin C 的值为（ ）A 3B 6C 3D ．无解【答案】D【解析】3,23,2AB CD AB BD CD BD ==∴=22222234534cos 12?832?22BD BD BD BC DC BD C DC BC BD BD+-+-∴===>⨯，无解.故选D.．ABC 的内角，ABC 的面积为32，则b =（ ）A 13+ B ．13C 23+D ．23【答案】B 【解析】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，平方得22242a c b ac +=-，又ABC 的面积为32，且30B =︒，故由1113sin sin 302242S ac B ac ac ==︒==，得6ac =，222412a c b ∴+=-，由余弦定理得22222241243cos 22642a cb b b b B ac +----====⨯， 解得2423b =+，又b 为边长，13b ∴=+， 故选B .5．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（ ）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米【答案】D【解析】解：根据题意，CDG ABG ∽△△，EFH ABH ∽， 所以22,1643AB AB BD BD ==++，解得63AB =． 故选：D.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则22sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D【解析】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=,故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 8．在中，若，则的形状是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定.【答案】A【解析】由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得，所以三角形是钝角三角形，故选A.9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B的值为（ ）． A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π 【答案】D 【解析】解：()222tan 3ac b B ac +-=，()2223cos 22sin ac b B acB+-∴=，即3cos cos 2sin B B B =， 3sin cos 02B B ⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭且tan B 有意义即2B π≠， 3sin 2B ∴=， 在ABC 中，B 为3π或23π，故选：D ．10．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos 2c B A b =，则tan A 等于（ ） A ．3 B ．13-C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin 22A CB ∴+=⇒=，4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.11．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 【答案】C【解析】由于222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，根据正弦定理可知222a b c bc +-≤，故2221cos 22b c a A bc +-=≥．又(0,)A π∈，则A 的范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.故本题正确答案为C.ABC 的三个内角()()31cos sin m n A A =-=，，，．若 m n ⊥，且 cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为 A ．ππ63，B ．2ππ36， C ．ππ36，D ．ππ33，【答案】C【解析】由m n ⊥可得0m n = 即3cos sin 0A A -= 所以角3A π=，因为cos cos sin a B b A c C +=二、填空题13．在△ABC 中，105A ∠=︒，45C ∠=︒，AB =BC 等于______． ．记ABC 的内角则b =________． ABCS=12，cos ac B ∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，3AB =，1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=， 同理得6BD =，6BF BD ∴==，在ACE △中，1AC =，3AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos301321312CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =，1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-.在ABC 中，点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9【解析】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线定义和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c +=， 因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.故答案为：9.［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式a cBD BA BC a c a c=+++． 因为1BD =，所以2222212()a c ac BA BC BA BC a c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得1ac a c =+，即ac a c =+，亦即(1)(1)1a c --=，所以44(1)(1)5524(1)(1)9a c a c a c +=-+-+≥+--=， 当且仅当4(1)1a c -=-，即3,32a c ==时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式如图5，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设(,0)C a ，1313,,,2222D A c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为A ，D ，C 三点共线，则AD CD k k =，即333222111222c c a -=---，则有a c ac +=，所以111a c+=．下同方法一．［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在BDC 中，22π12cos13CD a a a a =+-=+-，同理21AD c c =+-．根据内角平分线性质定理知CD BC AD AB =，即2211a a a cc c +-=+-，两边平方，并利用比例性质得2211a a c c -=-，整理得()()0a c a c ac -+-=，当a c =时，可解得2,410a c a c ==+=．当a c ac +=时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在ABD △与BCD △中，由正弦定理得11,sin 60sin sin 60sin AD CD A C==︒︒．在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin120sin60sin60a b AD CD AD CDA B +===+︒︒︒． 所以11sin sin sin a A A C =+，由正弦定理得111a a a c==+，即ac a c =+，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式如图6，作AE BC ∥，交BD 的延长线于E ．易得ABE 为正三角形，则,1AE c DE c ==-．由ADE CDB ∽，得AE DEBC BD =，即11c c a -=，从而a c ac +=．下同方法一． 三、解答题17．在ABC 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值．(2)设5BC =，求ABC 的面积． 【答案】(1)1665；(2)83【解析】（1）5cos 13A =-，3cos 5B =，()0,A π∈，()0,B π∈，12sin 13A ∴=，4sin 5B =，()()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A Bπ∴=-+=+=+123541613513565=⨯-⨯=. （2）由正弦定理得：45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⋅===； 1113168sin 5223653ABCSAC BC C ∴=⋅=⨯⨯⨯=. 18．在ABC 中，2cos c b B =，3C =． （1）求B ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC的周长为4+条件③：ABC）2cos c b =2332π=，23C π=，，解得6B π=；①：由正弦定理结合（矛盾，故这样的ABC 不存在；6π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6R π=22sin 3R π=则周长a b +解得2R =，则ABC S =则由余弦定理可得2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
高考数学(文)专题12+解三角形的方法
【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用例1．在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）因为,由正弦定理，得，由余弦定理，又因为，所以（二）三角形中的中线问题例2．在中，内角的对边分别为，若，.（Ⅰ）求；(Ⅱ)若为边的中线，且，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理得，，进而得到即，由，∴ .由得到，最后由正弦定理可得的值；（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得，解得.得到三边长，结合（Ⅰ）可求的面积．（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得即解得.∴.∴的面积.练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1) (2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.【详解】(1)∵∴∴由正弦定理得：即∴∵C为三角形的内角，∴【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值.（2）由余弦定理，得因为，所以，又因为，所以三角形的面积为，此时.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）; （2）.【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，从而由可得解.（2），所以，所以（时取等号）．练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sin A+sin B)(a+b)=c·(sin C+sin B).（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。
专题12+解三角形的方法(理)
【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：1已知两角和任一边，求其他两边和一角；2已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角从而进一步求出其他的边和角2由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB 3已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况存在两解、一解和无解三种可能而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”4利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：1已知三边，求三个角；2已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；3已知两边和其中一边的对角，求其他边和角4由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用例1．在中，（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解【详解】（1）因为,由正弦定理，得，由余弦定理，又因为，所以（Ⅱ）设在中，由余弦定理得即解得∴∴的面积练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b ＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM【答案】12【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值2由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2则CM=BM=∴解得：=2∴CA=4,CM=2【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值【答案】12【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）;（2）【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知sin A sin Bab=c·sin C sin B（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。
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【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用例1．在中，.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得，再由余弦定理，求得，即可求解的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，化简，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）因为,由正弦定理，得，由余弦定理，又因为，所以（Ⅱ）设.在中，由余弦定理得即解得.∴.∴的面积.练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，2sinC＝5sinA．（1）求B；（2）求BC边上的中线长．【答案】（1）60°；（2）.【解析】（1）又2sin C＝5sin A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）若A=，△ABC的面积为，M为BC的中点，求AM.【答案】(1) (2) .【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大小；（2）求得，为等腰三角形，由三角形面积公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.(2)由（1）知，∴∴△ABC为等腰三角形，即CA=CB又∵M为CB中点∴CM=BM设CA=CB=2x则CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（三）面积的最值问题例3．在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理可得，解得，又由且，联立方程组，即可求解，（2）由余弦定理，又由，求得，即可求解面积的最大值.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用，其中解答中合理利用余弦定理，得到的关系，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.练习1．已知△ABC的内角A，B，C满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）; （2）.【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；练习1．在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知(sin A+sin B)(a+b)=c·(sin C+sin B).（1）求角A；（2）若，求△ABC周长的取值范围。
【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理将题目所给方程转化为边的形式，再利用余弦定理化简，可求得角的余弦值，并求得角的大小.（2）先利用余弦定理得到，利用基本不等式求得，由此求得周长的最大值.再根据三角形两边的和大于第三边，求得周长的范围.（五）三角形与三角函数综合例5．已知向量，函数.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简得出，通过配凑角的方法即可得出的值.(Ⅱ)由，结合余弦定理即可得出从而，得出B的范围即可求得的取值范围.(Ⅱ)由，得,从而得故【详解】（1）令，，解得；，；所以函数的单调递増区间为，.（2），.，，，即.由得，又由余弦定理得，解得.【点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系，然后求解，对于面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化（六）角的范围问题例6．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．【答案】【解析】由已知及正弦定理可解得2cos B，由，可得B，解得cos B的范围，即可解得的取值范围．【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质的应用，熟练掌握正弦定理，余弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题．练习1．已知的内角的对边分别为,且2a cos C＋c＝2b.（1）若点在边上,且,求的面积；（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1) 2a cos C＋c＝2b，由正弦定理化简得A＝.再利用正弦定理求出AB=4，利用余弦定理求出AM=5，最后求三角形的面积.(2)先利用余弦定理求出a=2,再利用正弦定理得到再求出，再求出函数的值域,得到的取值范围.（2）由A＝知,.又∵，所以由正弦定理,则由△ABC为锐角三角形,则所以b+c=4sin,即b+c的取值范围为.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.（2）由（1）得．由正弦定理得，即．因为、，所以或，即或，即或．所以知等腰三角形或直角三角形．当时，，所以；当时，，所以．练习1．已知向量，，且函数．（1）若，求的值；（2）在中，且，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算可得，利用正角函数的二倍角公式即可求解（2）由，可得，再根据余弦定理及均值不等式得，即可求出三角形面积的最值.（2）由题可得，因为，所以，又，所以．在中，由余弦定理可得，即．所以，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．练习2．在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）已知公差为的等差数列中，，且成等比数列，记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得，再根据三角函数恒等变换即可求出，又为三角形的内角，可得（2）先求出等差数列，再根据裂项相消法求的前n项和.（2）根据题意，因为平分，所以，故，变形可得，，则，所以.练习1．在中，角所对的边分别是，为其面积，若（1）求角的大小；（2）设的平分线交于，.求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由余弦定理可得，代入题中条件即可得解；（2）在中,由正弦定理得，从而得，可得，再由代入即可得解.【详解】（1）由得得练习2．在中，角所对的边分别是，为其面积，若.（1）求角的大小；（2）设的平分线交于，.求的值.【答案】：（1）(2)【解析】（I）由已知及余弦定理可求得cosB=，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（II）由正弦定理可得sin∠BAD，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos∠BAD，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sin∠BAC的值．【详解】（1）因为所，所以，,即,所以.(2)在中，由余弦定理，,由正弦定理，，以为所以,所以,,所以，,,所以=也可以由角分线定理，再用余弦定理解（十）三角形的判断问题例10．在中，角的对边分别为，满足.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，试求的面积的最大值，并判断此时的形状.【答案】（I）；（II）等边三角形.【解析】（I）由正弦定理可化条件为，利用三角恒等变换即可求解（II）利用余弦定理及均值不等式可得，结合面积公式即可求出最值，根据等号成立条件知三角形形状.练习1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C..(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状.【答案】（1）；（2）等边三角形.【解析】（1）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化简后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由A为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B为60°，可得出三角形ABC三个角相等，都为60°，则三角形ABC为等边三角形．【点睛】此题考查了三角形形状的判断，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。