第五章 习题讲 解
大学物理第五章 习题解答
第五章 习题解答5-1解：等压过程系统做功W ，根据等压过程做功的公式：W=p(V 2-V 1)=νR ΔT 可得ΔT=W/νR ，ν=1mol ，ΔT=W/RW W i T R i T T C Q p 272222)(12=+=∆+=-=υυp 5-2 J T R i E 65.124131.823102=⨯⨯⨯=∆=∆υ5-3 解：等容过程有W=0，Q=ΔE J T R i E 747930031.82322=⨯⨯⨯=∆=∆=υ 5-4解：等压过程系统做功W ，根据等压过程做功的公式：W=p(V 2-V 1)=νR ΔT=200JW i T R i T T C Q 2222)(12+=∆+=-=υυp 单原子分子 i =3，J Q 500200223=⨯+= 单原子分子 i =5，J Q 700200225=⨯+= 5-5. 一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达b 状态，有334J 热量传入系统，系统做功J 126。
（1）经adb 过程，系统做功J 42，问有多少热量传入系统?（2）当系统由b 状态沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统做功为J 84，试问系统是吸热还是放热？热量传递了多少?解：由acb 过程可求出b 态和a 态的内能之差Q=ΔE+W ，ΔE=Q -W=334-126=208 Jadb 过程，系统作功W=42 J ， Q=ΔE+W=208+42=250J 系统吸收热量ba 过程，外界对系统作功A=-84 J ， Q=ΔE ＋W=-208-84=-292 J 系统放热 5-6解：ab 过程吸热，bc 过程吸热 cd 过程放热，da 过程放热取1atm=105Pa 根据等温、等压过程的吸热公式可得J V p V p i T T C Q a a b b ab 336)(2)(12=-=-=V υ J V p V p i Q b b c c bc 560)(22=-+= J V p V p i Q c c d d cd 504)(2-=-= J V p V p i Q d d a a da 280)(22-=-+= 整个过程总吸热J Q Q Q bc ab 8961=+=，总放热J Q Q Q da cd 7842=+=p净功J Q Q W 11221=-=，效率%5.128967841112=-=-=Q Q η 5-7 卡诺热机的效率为%4028011112=-=-=T T T 卡η，可得高温热源温度7.4661=T K 如果%50'28011112=-=-=T T T 卡η，可得560'1=T K ，温度提高了3.93'11=-T T K 5-8 %251068.11026.1117712=⨯⨯-=-=Q Q η。
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TTk k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。
第五章习题讲解计量经济学庞皓
第五章习题答案练习题5.1参考答案（1）因为222()i i Var u X σ=，所以22()i i f X X =，所以取221i iW X =，用2i W 乘给定模型两端，得312322221i i iii i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即22221()()i i i iu Var Var u X X σ==（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为***12233ˆˆˆY X X βββ=--()()()()()()()***2****22232322322*2*2**2223223ˆii i i i i i i i i i i i i i i i iW y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑()()()()()()()***2****23222222332*2*2**2223223ˆii i i i i i i i i i i i i i i i i W y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑其中22232***23222,,i ii ii i iiiW X W X W Y XXYWWW ===∑∑∑∑∑∑******222333i i i i i x X X x X X y Y Y =-=-=-练习题5.2参考答案（注意：数据是竖着看）（1） 模型的估计Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 05/16/11 Time: 01:14 Sample: 1 60Included observations: 60Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 9.347522 3.638437 2.569104 0.0128 X 0.6370690.019903 32.00881 0.0000R-squared0.946423 Mean dependent var 119.6667 Adjusted R-squared 0.945500 S.D. dependent var 38.68984 S.E. of regression 9.032255 Akaike info criterion 7.272246 Sum squared resid 4731.735 Schwarz criterion 7.342058 Log likelihood -216.1674 F-statistic 1024.564 Durbin-Watson stat1.790431 Prob(F-statistic)0.000000该模型样本回归估计式的书写形式为：22ˆ9.347522+0.637069t= (2.569104) (32.00881)R =0.946423 R =0.945500 F=1024.564 DW=1.790431i i Y X =（2）模型的检验1．Goldfeld-Quandt 检验。
第五章课后习题分析
20log K 20
解得：K=10 系统频率特性为： G( j )
10[1 0.2 j ( j ) 2 ] 1 4 j 100( j ) 2
系统传递函数为： G( s )
10s 2 2s 10 100s 2 4s 1
其对数相频特性见图 5，转折频率 1 2rad / s ，其幅频特性如图 5-8-1 0.5s 1
1 ，转折频率 2 10rad / s ，其幅频特性如图 5-8-1 0.1s 1
20dB / dec
0.1 1
2
10
②
(rad / s)
③ ④
40dB / dec
①
0.1
1
第五章习题分析
5-2
试求下列函数的幅频特性 A(ω )、相频特性φ (ω )，实频特性 U(ω )和虚频特性 V(ω )。 (1) G1 jω = 解： (1) G1 jω =
5 jT ω +1 5 jT ω +1
(2) G2 jω =
1 j ω (j0.1ω +1)
=
5(1 −jT ω ) 1+(T ω )2
e 类似，但 No a No
(4) G4 s = (s+1)(s+2)(s+3) (5) G5 s = s(s+1)(0.5s+1) (6) G6 s = (s+1)(s+2)
K K
——> ——> ——> No
5-8(1,3,6)
试画出下列传递函数的 Bode 图。 (1) G1 s =
10 (0.5s+1)(0.1s+1) 10
=
线性代数课后习题解答第五章习题详解
第五章 相似矩阵及二次型1．试用施密特法把下列向量组正交化：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111),,(321a a a ； (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=011101110111),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法:令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11111a b ， [][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=101,,1112122b b b a b a b ， [][][][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=12131,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b ，故正交化后得: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=311132013111),,(321b b b ．(2) 根据施密特正交化方法:令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110111a b ; [][]⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=123131,,1112122b b b a b a b , [][][][]⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--=433151,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b 故正交化后得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=5431153321531051311),,(321b b b2．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121312112131211; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------979494949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T ,所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵． 证明 因为B A ,是n 阶正交阵，故A AT =-1，B B T =-1E AB A B AB A B AB AB T T T===--11)()(故AB 也是正交阵．5．求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎭⎫⎝⎛-4211; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321; (3)())0(,12121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a n nΛM .并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① )3)(2(4211--=---=-λλλλλE A . 故A 的特征值为3,221==λλ．② 当21=λ时,解方程0)2(=-x E A ,由⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00112211)2(~E A 得基础解系⎪⎭⎫⎝⎛-=111P所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量． 当32=λ时,解方程0)3(=-x E A ,由⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00121212)3(~E A 得基础解系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212P 所以)0(222≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量．③ 023121)1,1(],[2121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==P P P P T 故21,P P 不正交．(2) ① )9)(1(633312321-+-=---=-λλλλλλλE A . 故A 的特征值为9,1,0321=-==λλλ． ② 当01=λ时，解方程0=Ax ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111P故)0(111≠k P k 是对应于01=λ的全部特征值向量. 当12-=λ时,解方程0)(=+x E A ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112P故)0(222≠k P k 是对应于12-=λ的全部特征值向量 当93=λ时，解方程0)9(=-x E A ，由⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121213P故)0(333≠k P k 是对应于93=λ的全部特征值向量．③ 0011)1,1,1(],[2121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==P P P P T ， 012121)0,1,1(],[3232=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==P P P P T ， 012121)1,1,1(],[3131=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==P P P P T， 所以321,,P P P 两两正交．(3) λλλλ---=-2212221212121n n n n na a a a a a a a a a a a a a a E A ΛMO M M ΛΛ=)(222211n n n a a a +++--Λλλ[])(222211n n a a a +++-=-Λλλ∑==+++=∴ni i na a a a 12222211Λλ, 032====n λλλΛ当∑==ni ia121λ时，()E A λ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------=-212221212223211212122322n n n n nnn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛMO M M ΛΛΛΛ初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000000000121ΛΛM M O M M ΛΛn n n n a a a a a a取n x 为自由未知量，并令n n a x =，设112211,,--===n n a x a x a x Λ.故基础解系为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a P M 211当032====n λλλΛ时，()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-22122212121210n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a E A ΛM M M ΛΛ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000021~ΛM M M ΛΛn a a a 初等行变换 可得基础解系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112312200,,00,00a a P a a P a a P n n M ΛM M综上所述可知原矩阵的特征向量为 ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112212100,,,a a a a a a a P P P n n n ΛM M M ΛΛΛ6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明 因为|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.7. 设n 阶矩阵A 、B 满足R (A )+R (B )<n , 证明A 与B 有公共的特征值, 有公共的特征向量.证明 设R (A )=r , R (B )=t , 则r +t <n .若a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n -r 是齐次方程组A x =0的基础解系, 显然它们是A 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地, 设b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n -t 是齐次方程组B x =0的基础解系, 则它们是B 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,⋅⋅⋅,a n-r,b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r,l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t,使k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r+l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r),则k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r不全为0,否则l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0,与b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m⨯n B n⨯m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA 的特征值, 且B x 是BA 的对应于λ的特征向量.11. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.解 令ϕ(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则ϕ(1)=3, ϕ(2)=2, ϕ(3)=3是ϕ(A )的特征值, 故 |A 3-5A 2+7A |=|ϕ(A )|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(3)=3⨯2⨯3=18.12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解 因为|A |=1⨯2⨯(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .令ϕ(λ)=-6λ-1+3λ2+2, 则ϕ(1)=-1, ϕ(2)=5, ϕ(-3)=-5是ϕ(A )的特征值, 故|A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|ϕ(A )|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(-3)=-1⨯5⨯(-5)=25.13．设B A ,都是n 阶方阵，且0≠A ，证明AB 与BA 相似． 证明 0≠A 则A 可逆BA BA A A A AB A ==--))(()(11 则AB 与BA 相似．14. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .解 由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解 设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则 (A -λE )p =0, 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解 由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量.因此A 不能相似对角化.16．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222． 解 (1) λλλλ-------=-20212022E A )2)(4)(1(+--=λλλ故得特征值为4,1,2321==-=λλλ． 当21-=λ时，由0220232024321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x x x . 解得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2211321k x x x . 单位特征向量可取:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232311P 当12=λ时,由0120202021321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x x x . 解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122321k x x x . 单位特征向量可取: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3231322P 当43=λ时,由0420232022321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------x x x . 解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1223321k x x x ． 单位特征向量可取: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323P得正交阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==12221222131),,(321P P P P . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4000100021AP P (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=-λλλλ542452222E A )10()1(2---=λλ， 故得特征值为10,1321===λλλ当121==λλ时，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000442442221321x x x . 解得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10201221321k k x x x 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012511P ; ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*15452012540122P 单位化得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=15452352P 当103=λ时,由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000542452228321x x x . 解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2213321k x x x . 单位化⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=221313P . 得正交阵),,(321P P P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=323503215545131155252. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1000100011AP P ． 17．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 00040005相似，求y x ,；并求一个正交阵P ，使Λ=-AP P 1.解 方阵A 与Λ相似，则A 与Λ的特征多项式相同，即E E A λλ-Λ=-λλλ---------⇒12422421x λλλ----=4000005y ⎩⎨⎧==⇒54y x ．18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .解 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11011101101111111011P ,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-1101110111000200020111111101P P A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=244354331.19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=.令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x , 314=x , 325=x .因此 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022********A .20．设3阶对称矩阵A 的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为)1,1,1(1TP =,求A .解 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A . 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1116111A ， 知① ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++666653542321x x x x x x x x x3是A 的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知E A 3-的秩为1，故利用 ① 可推出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---33111333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x 秩为1. 则存在实的b a ,使得②⎩⎨⎧-=-=)3,,()1,1,1(),3,()1,1,1(653542x x x b x x x a 成立．由①②解得1,4,1564132======x x x x x x ．得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411141114A ．21. 设a =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T , a 1≠0, A =aa T .(1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;证明 设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有 A x =λx ,λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .设λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ⋅ ⋅ ⋅, a n 2, 所以a 12+a 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn ,这说明在λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解 设λ1=a T a , λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn =0.因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量. 对于λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n =0, 其线性无关解为p 2=(-a 2, a 1, 0, ⋅⋅⋅, 0)T , p 3=(-a 3, 0, a 1, ⋅⋅⋅, 0)T ,⋅ ⋅ ⋅,p n =(-a n , 0, 0, ⋅⋅⋅, a 1)T .因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p . 22. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A , 求A 100.解 由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100), ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1202105055112021012111P , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12021050555112021012151100100100A⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1). (1)求关系式⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;解 由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x q p q p y x 1111,因此 ⎪⎭⎫⎝⎛--=q p q p A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.000y x , 求⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x . 解 由⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11可知⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x n n n . 由 )1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r , 解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T .令⎪⎭⎫⎝⎛-==11) ,(21p q P p p , 则P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.于是 11100111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p q r p q A nn ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=q p r p q q p n 11001111⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1, ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24．(1) 设⎪⎭⎫⎝⎛--=3223A ，求9105)(A A A -=ϕ；(2) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122221212A ,求891056)(A A A A +-=ϕ．解 (1) ⎪⎭⎫⎝⎛-=3223A Θ是实对称矩阵. 故可找到正交相似变换矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121P . 使得 Λ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-50011AP P从而11,--Λ=Λ=P P A P P A k k因此 1911091055)(--Λ-Λ=-=P P PP A A A ϕ11011050055001--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P P P10004-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111210004111121⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111122222．(2) 同(1)求得正交相似变换矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=31036312166312166P . 使得 11,500010001--Λ=Λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A AP P891056)(A A A A +-=ϕ)5)(()56(828E A E A A E A A A --=+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅Λ=-42223121302221121118P P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4222112112．25．用矩阵记号表示下列二次型:(1) yz z xz y xy x f 4244222+++++=; (2) ;4427222yz xz xy z y x f ----+=(3) .46242423241312124232221x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x z y x f 121242121),,(．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z y x f 722211211),,(．(3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=432143211021013223111211),,,(x x x x x x x x f ．26. 写出下列二次型的矩阵:(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312)(T f ; 解 二次型的矩阵为⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312A .(2)x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321)(T f .解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A .27．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1) 322322214332x x x x x f +++=;(2) 43324121242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=．解 (1) 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002Aλλλλ---=-320230002E A )1)(5)(2(λλλ---=故A 的特征值为1,5,2321===λλλ． 当21=λ时, 解方程0)2(=-x E A ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001002101202100002~E A . 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011ξ. 取 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011P当52=λ时，解方程0)5(=-x E A ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001100012202200035~E A 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1102ξ. 取 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212102P ．当13=λ时，解方程0)(=-x E A ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001~E A 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1103ξ. 取 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212103P ，于是正交变换为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212121021210001y y y x x x . 且有 23222152y y y f ++=． (2) 二次型矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111111001111011A λλλλλ--------=-1101111001111011E A 2)1)(3)(1(--+=λλλ，故A 的特征值为1,3,14321===-=λλλλ当11-=λ时，可得单位特征向量⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212121211P ，当32=λ时，可得单位特征向量⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=212121212P ， 当143==λλ时，可得单位特征向量⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0210213P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2102104P ．于是正交变换为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432143212102121021212121021210212121y y y y x x x x 且有242322213y y y y f +++-=．28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p .对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21 ,0(3=p .于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u z y x 21322312132231031234,使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29．证明：二次型Ax f xT=在1=x 时的最大值为矩阵A 的最大特征值.证明 A 为实对称矩阵，则有一正交矩阵T ，使得B TAT n =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-λλλO 211成立． 其中n λλλ,,,21Λ为A 的特征值，不妨设1λ最大，T 为正交矩阵，则T T T =-1且1=T ，故T T T B T B T A ==-1则Ax x f T =By y BTx T x TT T ==2222211n n y y y λλλ+++=Λ． 其中Tx y =当1====x x T Tx y 时， 即122221=+++n y y y Λ即122221=+++n y y y Λ 1122111)(λλλ==++=y n n y y f 最大最大Λ． 故得证．30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32=(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令 ⎪⎩⎪⎨⎧+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+-=323223*********y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2. 令 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+=32322311x x y x y x x y , 即⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110010111C . (3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.3223222212421)21(2x x x x x x -+++= 232322212)2(21)21(2x x x x x +-++=.令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=333222112)2(21)21(2x y x x y x x y , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--=33322321121222212121y x y y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12+y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10022011121C . 31. 设f =x 12+x 22+5x 32+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3为正定二次型, 求a .解 二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5212111a a A , 其主子式为a 11=1, 2111a a a -=, )45(5212111+-=--a a a a .因为f 为正主二次型, 所以必有1-a 2>0且-a (5a +4)>0, 解之得054<<-a .32．判别下列二次型的正定性：(1)312123222122462x x x x x x x f ++---=;(2)424131212423222162421993x x x x x x x x x x x x f -++-+++=4312x x -解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=401061112A ,0211<-=a ，0116112>=--，038401061112<-=---， 故f 为负定． (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=19631690230311211A ， 0111>=a ，043111>=--, 06902031211>=--,024>=A ． 故f 为正定．33．证明对称阵A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U ，使U U A T =，即A 与单位阵E 合同． 证明 A 正定，则矩阵A 满秩，且其特征值全为正．不妨设n λλ,,1Λ为其特征值，n i i ,,10Λ=>λ由定理8知，存在一正交矩阵P使⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=n TAP PλλλO 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n λλλλλλOO2121 又因P 为正交矩阵，则P 可逆，P P T =-1．所以)(PQ PQ P PQ A TT Q T ⋅==．令U PQT=)(，U 可逆,则U U A T =.。
高等数学第五章课后习题答案
班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级 姓名姓名 学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小： （1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。
（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。
第五章 习题解答
Q = ΔU −W = 2090 − (−52.8) = 2143(J)
（c） ΔU , ΔH 同（a）。W = 0 看作向真空膨胀。 Q = ΔU = 2090 (J)
（2）该过程实为部分水蒸气液化的可逆相变过程。
W
=
− p (V2
−V1 )
=
− p( m ρg
− V1 )
=
−101325
×
⎛ ⎜ ⎝
解：先看理想气体：
( ) ΔS = nRT ln
p1 p2
=
8.314
×
300
ln
105 106
= −19.14
J ⋅ K-1
4
ΔA = ΔU − Δ (TS ) = 0 − (−19.14× 300) = 5743(J)
ΔG = ΔH − Δ (TS ) = 0 − (−19.14× 300) = 5743(J)
/
J·mol-1
S
O m
/
J·K-1·mol-1
Cp,m / J·K-1·mol-1
Sn（白锡）
0
52.30
26.15
Sn（灰锡）
-2197
解：计算
10℃时白锡转化为灰锡的
Δ
GΟ
trs m
。
44.76
25.73
( ) ( ) ∫ Δ
trs
H
O m
T
=
Δ trs
H
O m
298.15K +
T
298.15K ΔtrsC p,mdT
2
解：水物质的量： n = pV = 50.663×103 ×100×10−3 = 1.6377 (mol)
第5章-习题详解
z B w 0
α
Φ = ∫ B ⋅ dS = e y Bm sin(ωt ) ⋅ en hw
S
h y en
= Bm hw sin(ωt ) cos α dΦ = −ωBm hw cos(ωt ) cos α in = − dt
x 穿过线圈的磁通变化既 (2) 线圈以角速度 ω 旋转时， 习题 5-1 题图 有因磁场随时间变化引起的，又有因线圈转动引起 的。此时线圈面的法线 e n 是时间的函数，表示为 en (t ) ， α = ωt 。因此
Φ = B (t ) ⋅ en (t ) S = e y Bm sin(ωt ) ⋅ e y hw cos α = Bm hw sin(ωt ) cos(ωt )
故
in
=−
dΦ = −ωBm hw cos 2ωt dt
5-2
长直导线载有电流 i = I m cos ωt ，其附近有一 a × b 的矩形线框，如图所示。在下列两 种情况下求线圈中的感应电动势：(1)线圈静止不动；(2)线圈以速度 v 向右方运动。
导体表面外侧的坡印廷矢量s由高斯定理可知面电荷在导体外产生的电场为当轴向通以均匀分布的恒定电流i设以电流流向为z坐标方向时导体内的电场为根据边界条件导体表面上电场的切向分量应连续即oz恒定电流i在导体外产生的磁场为521在球坐标系下已知真空中时变电磁场的电场强度为cossin
第 5 章 时变电磁场
5-1
C/ m 2
10 4 cos(ωt − kz ) ，电缆的内外导体之间填充了理想 r 介质，介质参数为 ε r = 2, µ r = 1 。求：理想介质中的电场强度 E 和磁场强度 H 。
在无源区域，已知电磁场的电场强度 E = e x 0.1sin(6.28 ×109 t − 20.9 z ) V/m，求空间任一 点的磁场强度 H 和磁感应强度 B。
(研05)第五章 习题讲解-5
5
例3：已知壁面温度为t′℃，室内空气温度为t ℃，为防止在
壁面上发生结露现象，室内的最大允许相对湿度为多少？
答：壁面温度为 t′℃ ，即露点温度为 t′℃，由此查饱和水蒸 气表，得到相应的饱和压力pv ，pv就是出现结露现象时水蒸气
的分压力。
室内空气温度t ℃下水蒸气的饱和压力ps 同样可由饱和水蒸 气表查出。
临界点 饱和蒸汽线 饱和水线
2
例3：判断下列各种说法是否正确，说明理由。 (1) 湿空气相对湿度愈高的，其含湿量也愈大。 (2) 当相对湿度为 0 时，湿空气不含水蒸气，全为干空气；而当 相对湿度为 1 时，湿空气就不含干空气，全为水蒸气。 (3) 当相对湿度固定不变时，湿空气温度越高，则含湿量越大。 (4) 当含湿量固定不变时，湿空气温度越高，则相对湿度越小。
∴出现结露现象时的相对湿度为
max
v pv s ps
6
例5：(1)冬季室内供暖时，为什么会感到空气干燥？ (2)如果等量的干空 气与湿空气降低相同的温度，两者放出的热量是否相等？已知干空气的比 定压热容为 1.005 kJ/(kg· K)，水蒸气的比定压热容为 1.842 kJ/(kg· K)。 答：(1)空气的相对湿度越小，空气越干燥。冬季取暖时，室内空气温 度逐渐升高，水蒸气的饱和压力也相应地升高，而空气的含湿量不变，即 分压力不变，∴相对湿度降低了。 (2)空气冷却过程放出的热量等于空气冷却前后的焓差。
①不考虑水蒸气凝析时：
设湿空气中干空气质量为ma，水蒸气质量为mst，则放热量为 Q1 = 1.005×ma×ΔT + 1.842×mst×ΔT
设干空气质量为 ma + mst，则放热量为
Q2 = 1.005×(ma + mst)×ΔT 显然 Q1＞Q2 ，湿空气放出更多的热量。 ②若考虑水蒸气的凝析，则还要增加水的汽化潜热，湿空气会放出更多 的热量。 7
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=cc Urank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kxr u -=求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k sbK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A AA f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发） 求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s sss s s U s Y[]xy u x x10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K[][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab b P⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P[]1316~==P K K【解】：依据系统传递函数写出能控标准型sss s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++=[]xy u x x0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。
第5章习题讲课讲稿
第5章习题5.8本章习题一、单选题1.关于列表的说法，描述错误的是()。
A. list是一个有序集合，没有固定大小B. list 可以存放任意类型的元素C.使用list时，其下标可以是负数D. list 是不可变的数据类型2.以下程序的输出结果是()。
(提示: ord”a”)==97)list_ demo = [1,2,3,4,5,'a','b']print(list_ demo[11,11st. demo[5])A.1 5B.2 aC. 1 97D.2 973.执行下面的操作后，list_two的值为()。
1i1st_ one = [4,5,6]list_ two=list_ onelist_ one[2]=3A. [4,5,6]B. [4,3,6]C. [4,5,3]D. A，B. C都不正确5.下列选项中，正确定义了一个字典的是()。
A. a={'a'1,'b',2,’c',3]B. b=('a',1.,b',2,’C'3)C. c={'a',1,’b’,2,’c’,3)D.d={'a':1,’b’:2,‘C':3}6.下列选项中，不能使用下标运算的是()。
A.列表(list)B.元组(tuple )C.字典(set)D.字符串(str)7.下列程序执行后输出的结果为()x= 'abc'y=xy=100print(X)A.”ab c”B.100C. 97,98.99D. 以上三项均是错误的8.下列删除列表中最后一个元素的函数是()。
A. delB.popC. removeD.cut9.下列函数中，用于返回元组中元素最小值的提()A. len B、max C. min D. tuple二、判断题1.列表的索引是从0开始的。
()2.通过insert方法可以在指定位置插入元素。
《建筑结构》第五章习题答案解析
第五章受弯构件正截面承载力计算《建筑结构》第五章习题：共用条件：一类环境使用，结构安全等级为二级。
5-25 一钢筋混凝土矩形梁截面尺寸200mm×500mm，弯矩设计值M=120kN·M。
混凝土强度等级C25，试计算其纵向受力钢筋截面面积：①当选用HPB235级钢筋时；②改用HRB400级钢筋时；最后画出相应配筋截面图。
解：依题意查得参数：γ0=1，fc=11.9N/mm2，ft=1.27N/mm2，c=25mm，21fy=210N/mm，ξb=0.614；as=65mm。
h0=500-65=435mm ○M120?106先按单筋矩形截面计算，?s0.266 221fcbh011.920043512?s?12?0.266?0.32b?0.614As=M/[fyh0（1-0.5ξ）]=1560.65mm2，选5?20，As=1571mm2＞?min=0.45 ftbh/fy=0.45×1.27×200×500*210=272mm22＞0.02bh=0.002×200×500=200mm,22 fy=360N/mm，ξb=0.517；as=40mm，h0=500-40=460mm ○M120?106先按单筋矩形截面计算，?s0.2381fcbh0211.9200460212?s?12?0.238?0.28b?0.517As=M/[fyh0（1-0.5ξ）]=120×106/[360×460×（1-0.5×0.28）]=842.6 1mm2，选3#20，As=941mm2，或4#18，As=1018mm2＞?min=272 mm21 ○2 ○5-26 某大楼中间走廊单跨简支板，计算跨度2.18m，承受均布荷载设计值g ＋q=6kN/m2（包括自重），混凝土强度等级C20，HPB235级钢筋。
试确定现浇板厚度h及所需受拉钢筋截面面积，选配钢筋，并画配筋图。
数字信号处理教程(程佩青)第五章习题讲解
考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下 四种级联型网络：
2023/11/3
信号处理
3、给出以下系统函数的并联型实现：
H z= 5.2 1.58z1 1.41z2 1.6z3 1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2
解：对此函数进行因式分解并展成部分分式，得
H z 5.2 1.58z1 1.41z2 1.6z3 1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2
1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2
则 A4
11 1 21 0 0.5 2023/11/311 21 0
12 1.4 22 1 信号处理12 0.9 22 0.8
11 1 21 0 11 0.5 21 0
12 1.4 22 1 12 0.9 22 0.8
H z
1 z1
1
1
6
10
z 1
1
1
6
10
z 1
1 7 10
1 7 10
2 20
2 20
1 1 10 z1 1 1 10 z1
6
6
1
1.61 0.69 z 1
1
0.61 0.36 z 1
2023/11/3
信号处理
H
z
1
1.61 0.69 z 1
1
0.61 0.36 z 1
H z=
1 z1
1 z1 1 z1 z2
5 3z3 1 z1 z2
2023/11/3
信号处理
由 H z 5 3z3 1 z1 z2
得
Hk
H
z
5 3e jk
z2 k N
j k
j 2 k
1 e 3 e 3
中级经济师经济基础习题讲解 (5)
第五章生产要素市场理论【单项选择】在完全竞争要素市场上，生产者边际要素成本曲线，平均要素成本曲线和要素供给曲线的关系是（）。
A.边际要素成本曲线与平均要素成本曲线重合，要素供给曲线向右上方倾斜B.边际要素成本曲线、平均要素成本曲线和要素供给曲线是重合的C.边际要素成本曲线向右下方倾斜，而平均要素成本曲线和要素供给曲线重合D.边际要素成本曲线、平均要素成本曲线和要素供给曲线都是U形曲线『正确答案』B『答案解析』本题考查完全竞争生产者的要素需求曲线。
在完全竞争要素市场上，由于要素价格为常数，所以有：MFC＝AFC＝W1，即完全竞争生产者的边际要素成本曲线及平均要素成本曲线与要素供给曲线重合。
生产者使用生产要素的原则是（）。
A.边际成本等于边际收益B.边际物质产品等于边际收益产品C.边际要素成本等于边际收益产品D.边际要素成本等于边际产品价格『正确答案』C『答案解析』本题考查生产者使用生产要素的原则。
生产者使用生产要素的原则是边际要素成本等于边际收益产品。
关于在完全竞争要素市场上生产者面临的生产要素供给曲线的说法，正确的是（）。
A.该曲线向右上方倾斜B.该曲线是一条折弯线C.该曲线是一条水平线D.该曲线向右下方倾斜『正确答案』C『答案解析』本题考查完全竞争生产者的要素需求曲线。
完全竞争生产者在购买要素时是完全竞争的，即生产者完全是要素市场价格的接受者。
所以，生产者面临的要素供给曲线是一条水平线。
当工资增加的替代效应小于收入效应时，劳动供给曲线的形状是（）。
A.水平B.向右上方倾斜C.垂直D.向后弯曲『正确答案』D『答案解析』本题考查劳动供给曲线特征的形成原因。
工资增加的替代效应小于收入效应，劳动供给减少，劳动供给曲线向后弯曲。
关于劳动供给曲线的特征，下列描述正确的是（）。
A.从左下方向右上方倾斜B.从左上方向右下方倾斜C.从左上方向右下方倾斜然后向后弯曲D.从左下方向右上方倾斜然后向后弯曲『正确答案』D『答案解析』本题考查劳动供给曲线的特征。
第五章 留数定理习题及其解答
第五章 留数定理习题及其解答5.1设有++++++++=+-1212221111)(n nn n z z z z z z f ,能否说0=z 为)(z f 本性奇点?为什么?答：这个级数由两部分组成：即∑∑∞=∞=+-+1012n n n n nz z。
第一个级数当11<z 即1>z 时收敛,第二个级数当12<z 即2<z 时收敛。
于是所给级数在环域21<<z 内收敛(成立),且和函数2111112()11232112z f z z z z z z z -=+=+=---+--。
显然0z =是()f z 的解析点。
可见此级数并非在0z =的去心领域内成立。
故不能由其含无限多个负幂项断定0z =的性质。
注： 此例说明，判断孤立奇点0z 类型虽可从()f z 的Laurent 展开式含有负幂项的情况入手，但切不可忘掉必须是在去心领域内的Laurent 展式，否则与0z 是什么性质的点没有关系。
5.2 设()f z 在全平面解析，证明：若∞为()f z 的可去奇点，则必有0()f z a ≡（常数）；若∞为()f z 的m 级极点，则()f z 必为m 次多项式：01(),0k k k f z a a z a z a =+++≠ ；除此之外，()f z 在00z =处的Taylor 展式必有无限多项系数0≠。
证：因为()f z 在全平面解析，所以()f z 在00z =邻域内Taylor 展式为01()k k f z a a z a z =++++ 且z <+∞。
注意到这Taylor 级数也是()f z 在∞去心邻域内的Taylor 级数。
所以，当∞在()f z 的可去奇点<═>()f z 在∞去心邻域内Laurent 展示无z 的正幂项,即120a a === 。
故0()f z a ≡(常数)；当∞为()f z 的m 级极点⇔()f z 在∞去心邻域内Laurent 展示中只含有限个z 的正幂项,且最高正幂为m 次（0m a ≠）。
画法几何及工程制图第五章习题详解
a
e d
c
m
还有其他求解办法？
换面法
M f F
L
6
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-圆柱
a
c (d)
b
d
a (b) c
D A
B
C
a
c (d) d
b
d a (b)
c
A
C
a c
b
AA — 最左素线， BB — 最右素线 CC — 最前素线， DD — 最后素线
m
m ） （
m
辅助圆法
m M m
13
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
Z
V
W
X
Y
14
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
b
a
d
c
15
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
m （n'） （n ）
s
p 完了吗？ S
31
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与球相交
32
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与球相交
2'
2"
7' 8' 3'4' 5'6'
1 '
8" 4"
6"
7" 3" 5"
1"
6
4 8
1
2
7 5 3
33
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与环面相交
p
34
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与环相交
《管理运筹学》第四版 第5章 单纯形法 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第5章单纯形法1．解：表中a 、c 、e 、f 是可行解，f 是基本解，f 是基本可行解。
2．解：（1）该线性规划的标准型如下。
max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝100.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0（2）至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。
（3）（4，6，0，0，-2）T （4）（0，10，-2，0，-1）T （5）不是。
因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
（6）略 3.解：令333x x x ''-'=，z f -=改为求f max ；将约束条件中的第一个方程左右两边同时乘以-1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量5x 和剩余变量6x ，将原线性规划问题化为如下标准型：j x '、j x ''不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面j x '、j x ''相应的列向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。
4．解： （1） 表5-10,,,,,, 24423 1863 1334 7234max 654332163321543321433214321≥'''=-''+'--=++''+'-+-=+''+'---++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 约束条件：（2）线性规划模型如下。
max 6x 1＋30x 2＋25x 3 s.t. 3x 1＋x 2＋s 1=40 2x 2＋x 3＋s 2=50 2x 1＋x 2-x 3＋s 3＝20 x 1，x 2，x 3，s 1，s 2，s 3 ≥0（3）初始解的基为（s 1，s 2，s 3）T ，初始解为（0，0，0，40，50，20）T ，对应的目标函数值为0。
复变函数习题答案第5章习题详解
第五章习题详解1． 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：1) ()2211+z z解：2)31z z sin3)1123+--z z z4)()z z lz 1+5)()()z e z z π++1126)11-z e7)()112+z e z 8) n nzz +12，n 为正整数9)21z sin2． 求证：如果0z 是()z f 的()1>m m 级零点，那么0z 是()z f'的1-m 级零点。
3． 验证：2i z π=是chz 的一级零点。
4． 0=z 是函数()22--+z shz z sin 的几级极点？5． 如果()z f 和()z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么()()()()z g z f z g z f z z z z ''lim lim 00→→=（或两端均为∞）6． 设函数()z ϕ与()z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数在a z =处各有什么性质：1) ()()z z ψϕ；2)()()z z ψϕ；3) ()()z z ψϕ+；7． 函数()()211-=z z z f 在1=z 处有一个二级极点；这个函数又有下列洛朗展开式：()()()()345211111111-+---+=-z z z z z ，11>-z ，所以“1=z 又是()z f 的本性奇点”；又其中不含()11--z 幂，因此()[]01=,Re z f s 。
这些说法对吗？8． 求下列各函数()z f 在有限奇点处的留数：1)zz z 212-+ 2) 421z e z-3)()32411++z z4)zz cos5) z -11cos6) z z 12sin7) z z sin 18) chz shz9． 计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）1) ⎰=23z dz z zsin2) ()⎰=-2221z zdz ze3) ⎰=-231z m dz z zcos ， 其中m 为整数4)⎰=-12i z thzdz5) ⎰=3z zdz tg π6) ()()⎰=--11z n n dz b z a z （其中n 为正整数，且1≠a ，1≠b ，b a <）。