概率习题解答5-1

一．填空题：

1. 设随机变量X 数学期望E(X)=12，方差D(X)=9，由切比雪夫不等式估计<<}186{X P 解：4

3691}612{}11812126{}186{2

=

-

≥<-=-<-<-=<

则c

解：04.04

}10{=≤

≥-c

c X P 10=⇒c

3. 设随机变量n X X X ,,21相互独立且都服从区间（1,15）上的均匀分布，当n →∞时，

n

X X X Y n

n +++=

21解：∵8)(=i X E ，∴8)(

)(21=+++=n

X X X E Y E n

n

n X X X ,,21相互独立同分布，由辛钦大数定律：821−→−+++=

P

n

n n

X X X Y

4. 设}{k X 是随机变量序列，a 为常数，则}{k X 依概率收敛于a ）

A 、任意,0>ε ()0lim =≥-∞

→εa X P k k ； B 、a X k k =∞

→lim ；

C 、任意,0>ε ()1lim =≥-∞

→εa X P k k ； D 、()1lim ==∞

→a X P k k 。

5. 设随机变量n X X X ,,21相互独立，则根据辛钦大数定律，当n →∞时，n X X X ,,21依概率

收敛于其共同的数学期望，只要 n X X X ,,21（ ）

A 、有相同的数学期望；

B 、服从同一离散型分布；

C 、服从同一均匀分布；

D 、服从同一连续型分布

解：辛钦大数定律的条件是：随机变量n X X X ,,21相互独立同分布，且数学期望存在。

二、解答题：

1. 设随机变量n X X X ,,21相互独立且有μ=)(i X E ，2)(=i X D ，i=1,2,⋯n,试确定n 的取值

范围，使不等式3

2

}211{1≥<-∑=n i i X n P μ必定成立。

解：∵μ=)(i X E ，∴μ=∑=)1(1i n i X n E ，n X n D i n

i /2)1(1

=∑=，

由切比雪夫不等式估计32812121}211{2

1≥-=⎪⎭

⎫

⎝⎛-≥<-∑=n n X n P n i i μ

2. 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。

解：设X 表示每毫升血液中含白细胞个数，则 700)(,7300)(==X D X E ，

3.设随机变量X 和Y 数学期望分别为－2和2，方差分别是1和4，而相关系数为－1/2,试利用切比雪夫不等式估计}6{≤+Y X P 的值。

【解】令Z =X +Y ，有 02)2()()()(=+-=+=+Y E X E Y X E

32541)2

1

(241)()(2)()()(=-=-++=++=+Y D X D Y D X D Y X

D XY ρ

4.将一枚均匀对称的骰子独立地重复抛掷n 次，当n →∞时，利用大数定律求n 次抛掷出点数的算术平均值n X 依概率收敛的极限。 解：用i X 表示第i 次抛掷出点数，则n

X X X X n

n +++= 21，而n X

X X ,,21相互独立且服

从同一分布

2

7

)(=i X E

由