空间向量与空间角试题

空间向量与空间角试题

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课时作业(二十)

[学业水平层次]

一、选择题

1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )

A ．30°

B ．150°

C ．30°或150°

D ．以上均不对

【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为⎝ ⎛

⎦

⎥⎤0，π2.应选A. 【答案】 A

2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( )

A.522

66 B ．－52266 C.52222

D ．－52222

【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →

＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →

|AB →||CD →|＝53×22＝522

66，

∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为522

66. 【答案】 A

3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝

AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD →

＝(0,1,0)．

取PD 中点为E ， 则E ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，12，12，

∴AE →＝⎝

⎛⎭

⎪⎫0，12，12，

易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →

是平面PCD 的法向量，∴cos AD →，AE

→＝22，

∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B

4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )

图3-2-29

A ．－33

B ．－32 C.33 D.3

2

【解析】 设AD ＝1，则A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →＝(－1,1,0)，A 1B →

＝(0,2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则⎩⎪⎨

⎪⎧

A 1E →·

m ＝0，A 1B →·

m ＝0，所以⎩⎨

⎧

－x ＋y ＝0，

2y －2z ＝0，

所以⎩⎨

⎧

y ＝x ，y ＝z ，

取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面

A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面A 1

B 1B ，所以DA →

＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m ·DA →

|m ||DA →|＝13＝3

3，

又二面角B 1-A 1B -E 为锐二面角，所以二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为3

3，故选C.

【答案】 C 二、填空题

5．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．

【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1,0,0)，

M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝ ⎛

⎭⎪⎫1，1，12， ∴AM →＝⎝

⎛⎭

⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝

⎛⎭

⎪⎫1，0，12，

∴cos 〈AM →，CN →〉＝1

252·52

＝2

5，

故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为2

5. 【答案】 2

5

6．(2014·临沂高二检测)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)、B (2,1，6)，则向量AB →

与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．

【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB →

＝(1,3，6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →

|n |·|AB →|＝3t

4|t |，因为〈n ，AB →〉∈[0，π]，

所以sin 〈n ，AB →

〉＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫3t 4|t |2＝74. 【答案】 7

4

7．已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1

上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面

角的正切值等于________．

【解析】如图，建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．

所以A(1,0,0)，E

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1，1，

1

3

，F

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，1，

2

3

，

所以AE

→

＝

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

0，1，

1

3

，EF

→

＝

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－1，0，1

3

，

则

⎩⎪

⎨

⎪⎧n2·AE→＝0，

n2·EF

→

＝0，

即

⎩⎪

⎨

⎪⎧y＋

1

3z＝0，

－x＋1

3z＝0.

取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．

所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2

|n1||n2|

＝311

11.

所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α

＝311

11

，sin α＝22

11

，所以tan α＝2

3.

【答案】

2

3

三、解答题

8. 如图3-2-30所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC