2015-2016年上海市虹口区复兴高中高二(上)期末数学试卷和答案

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2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案

2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为。

上海市虹口区2015-2016学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学试卷

上海市虹口区 2015-2016 学年度第一学期期终教课质量监控测试高三数学试卷考生注意：1.本试卷共 4 页， 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 .2.本考试分设试卷和答题纸. 作答一定涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分 .一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 题，只需求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，不然一律得零分 .1．函数 f ( x)2 x 1 的反函数 f 1( x)_________.2．设全集 U R, 若会合 Ax x 1 1 ,则 e U A______.3．若复数 z 知足 zi 2015 i 2016（为虚数单位），则复数 z ______.1 i4．在二项式 (3x 1) 8 的睁开式中，常数项的值为______.（结y果用数字表示）x5．队列式 12cos(2 x) tan x 的最大值为 ______. B5cos x cot( x)6. 在等差数列 a n 中， a 1 a 3 a 5 9, a 2 a 4 a 615,OA Fx则数列 a n 的前 10 项的和等于 _____.7．如图，已知双曲线 C 的右焦点为 F ，过它的右极点 A作实轴的垂线，与其一条渐近线订交于点B ；若双曲线C 的焦距为 4， OFB 为等边三角形（ O 为坐标原点，即双曲线（第7题图）C 的中心），则双曲线 C 的方程为 _________________.8. 已知数据 x 1 , x 2 ,, x 8 的方差为 16，则数据 2 x 11,2 x 2 1, , 2 x 8 1.R 的标准差为O9. 已知抛物线 x 2 8 y 的弦 AB 的中点的纵坐标为 4 ，则AB 的最大值为 __________.（第10题图）10．如下图，半径 R 2 的球 O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完整同样 . 从中随意舀取 4 个水饺，则每种水饺都起码取到 1 个的概率为 ___________.（结果用最简分数表示）12. 设等比数列a n的前n项和为S n,若a1a2a364,且S2 n5(a1a3a5a2n 1) (n N ),则an ______.13．在由正整数构成的无量数列a n中，对随意的n N , 都有anan 1,且对随意的k N ,数列a n中恰有 k 个 k ，则a2016________.2x a, x 1,14. 若函数f xx 3a , x 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ___________.x a 1二、选择题（本大题共 4 题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，不然一律零分 .15. 设、为两个不一样平面，若直线l 在平面内，则“”是“ l ” 的（）（ A ）充足不用要条件（B ）必需不充足条件（ C）充要条件（ D）既不充足也不用要条件16 . 已知直线 x 和 x 5 是函数 f ( x) sin( x ) ( 0, 0 ) 图像的两条相邻的对称轴，则4 4的值为（）（ A ）（B ）（ C）（ D）33 44 217. 已知a、b均为单位向量，且a b 0. 若 c 4 a c 3b 5, 则 c a 的取值范围是( )（A）3, 10 （B）3, 5 （C）3, 4 （ D）10, 518．设函数f ( x) x 2 , x 0,若对于 x 的方程 f ( x)a 有四个不一样的解x1 , x2 , x3 , x4 , log2 x , x 0,且 x1 x2 x3 x4 , 则 x3 (x1 x2)1的取值范围是( ) x3 2 x4（ A ）3, （ B）, 3 （C）3, 3 （ D）3, 3三、解答题（本大题共 5 题，满分74 分）解答以下各题一定在答题纸的规定地区内写出必需的步骤.19．(此题满分12 分) 此题共 2 个小题，每题 6 分 .如图，在正三棱柱 ABCA 1B 1C1中，已知它的底面边长为10，A 1C 1高为 20.B 1(1) 求正三棱柱ABC A 1B 1C1的表面积与体积；Q(2) 若 P 、Q 分别是 BC 、CC 1 的中点，求异面直线 PQ 与AC 所AC成角的大小（结果用反三角函数表示）.PB（第 19题图）20． ( 此题满分 14 分) 此题共 2 个小题，每题 7 分 .已知 ABC 的面积为 S ，且 AB ACS .（1）求 sin A , cos A , tan 2 A 的值；（2）若 B , CA CB 6,求 ABC 的面积 S.421．( 此题满分 14 分) 此题共 2 个小题，第 1小题 6 分，第 2 小题 8 分.对于函数 f ( x)1 , 定义f 1 ( x ) f ( x), f n 1 ( x)f f n ( x) (nN ). 已知偶函数 g ( x ) 的定义域为1 x( ,0) (0,), g (1) 0 ；当 x 0, 且 x 1 时， g ( x ) f 2015 ( x).（ 1）求 f 2 ( x), f 3 ( x ), f 4 ( x ), 并求出函数 y g ( x) 的分析式；(2) 若存在实数 a, b (ab) 使得函数 g ( x) 在 a , b 上的值域为mb , ma ，务实数 m 的取值范围 .22. (此题满分16 分)此题共3 个小题，第1 小题6 分，第2 小题4 分，第2 小题6 分 .已知数列a n的前n 项和为S n ，且 S 20, 2 S n n na n ( nN ).（ 1）计算a 1, a 2, a 3, a 4,并求数列 a n的通项公式；（ 2）若数列 b n 知足 b 1 3b 2 5b 3 (2 n 1)b n2n a n 3, 求证：数列 b n 是等比数列；（ 3）由数列a n 的项构成一个新数列c n ： c1 a1, c2 a2 a3 , c3 a4 a5 a6 a7 , ,c n a2n 1 a2n 1 1 a2n 1 2 a2n1, . 设 T n为数列c n 的前 n 项和，试求lim T n 的值 .4 nn23. (此题满分 18 分) 此题共 3 个小题，第1小题 4分，第 2小题 6分，第 2小题 8分.已知椭圆 C : x 2y2y2 2 1 (a b 0) 的左焦点为F , B 短轴的两个端点分别为a b MA、B,且AB2, ABF 为等边三角形 . o JF H x(1)求椭圆 C 的方程；N(2) 如图，点 M 在椭圆 C 上且位于第一象A（第23题图）限内，它对于坐标原点O 的对称点为 N；过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线 NH 与椭圆C 交于另一点 J，若HM HN 1 ，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；2（ 3）已知l1、l2是过点A的两条相互垂直的直线，直线 l 1与圆 O : x2 y 2 4 订交于 P、Q 两点，直线 l2与椭圆 C 交于另一点R；求PQR 面积取最大值时，直线l1的方程.虹口区 2015 学年度第一学期期终教课质量监控测试高三数学参照答案和评分标准2016年1月一、填空题（本大题共14题,每题 4 分,满分 56 分）1．log x 1( x 0) 2 ．0,2 4 ． 2825． 136. 80 7. x2 y 2 18．839. 12 10 ．8 11 ． 50 12. 4 n 19113 ．63 14 ．1,1 2, 3二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，满分 20 分）15. B 16. A 17. B 18. D三、解答题（本大题共 5 题，满分74 分）19．(此题满分12 分) 此题共 2 个小题，每题 6 分 .解：（ 1 ）A1 C1B1QA CPB（第 19题图）S正三棱柱侧 =2SABC 3S矩形=2 3 102 +3 10 20 600 50 3(cm2 ) (3 分)ABC A1 B1C1 ABB1 A1 4V正三棱柱ABC A B C =S ABC AA1 = 3 102 20 500 3(cm3)(6 分 )1 1 1 4（2）连接BA1, BC1,则 BC1 / /PQ,又 A1C1 / /AC ,故BC 1 A1等于异面直线PQ与AC 所成角. (8 分)易得BC1 BA1 10 5, 而 A1C1 10 ，故cos BC 1 A1 BC 1 2 A1C 1 2 BA 1 2 5 .2 BC 1 A1 C1 10于是异面直线PQ 与 AC 所成角的大小为arc cos5.(12 分) 1020．(此题满分14 分) 此题共 2 个小题，每题7 分 .解：（ 1）由 AB AC S 得c b cos A 1 c b sin A2tan A 2 , 于是 A0,.(4 分 )2从而求得sin A 2 5 , cos A 5, tan 2 A 4 . (7 分 )5 5 3（2）由 CA CB 6 得 BA 6 , 即 c 6. (9 分)b c c sin B 6 2(12 分 )由正弦定理，有 b 2sin B sin C sin( A B) 2 5 2 52 5, 25 2 5 2于是 S 1bc sin A 1 2 5 6 2 5 12. (14 分) 2 2 521．(此题满分14 分) 此题共 2 个小题，第1小题 6分，第2小题 8分. 解：（ 1）因为f1( x) f ( x) 1 x 1 , 故1 xf 2 ( x ) f1110, x 1 , f1 ( x )1x1 x1 xf3 ( x ) f f1x ( x 0, x 1), 2 ( x)1 )1 (1xf4 ( x ) f f 3 ( x) 1 ( x 0, x 1),1 x故对随意的 n N , 有f3 n i ( x ) f i ( x ) (i 2,3, 4),于是f2015 ( x) f3 671 2 ( x) f2 (x) 11( x 0, x 1); 故当 x 0, xx又 g (1) 0, 故当 x 0 时， g ( x) 1 1 .x由 g ( x) 为偶函数，当x 0 时， x 0, g( x) g ( x)1 1 , x 0,1 .所以g ( x ) x 11 1 ，x 0. xx(2) 由于y g ( x) 的定义域为( , 0) (0, ) ，又 a b, mb ma ,可知 a 与 b 同号，且m 0; 从而g(x)在 a,b 递减 , 且 a b 0. (8 分)(3分 )1 时， g( x) f 2015( x)1111.x x(6 分)y1-1O 1（第 21题解图）11.xx函数 y g ( x ) 的图像，如下图.由题意，有g ( a) 1 1ma,a (10 分)g ( b) 1 1mb, b故 a, b 是方程 1 1 m x 的两个不相等的负实数根，即方程m x2 x 1 0在,0 上有x两个不相等的实根，于是1 4m 0a b 1m (12 分)ab1m1m 0. 4综合上述，得：实数m 的取值范围为 1 , 0 . (14 分 )4注：若采纳数形联合，得出直线y m x 与曲线 y 1 1有两个不一样交点，并进行求解也可.( x 0)x22. ( 此题满分16 分) 此题共 3 个小题，第1小题 6分，第 2 小题 4分，第2小题 6分.解：（1）当n 1 时，由 2S1 1 a1 , 得 a1 1; 由 S2 a1 a2 0, 得 a2 1;当 n 3 时，由 2 S3 3 2a3 3 3a3 , 得 a3 3 ;当 n 4 时，由 2 S4 4 2a4 10 4a4 , 得 a4 5.猜想： a n 2n 3 ( n N ). (3 分)下边用数学概括法证明：①当 n 2 时， a2 1, 结论明显建立；②假定当 n k 2 时， a k 2 k 3. 由条件知2S n na n n , 故2a k 1 2 S k 1 2 S k (k 1)a k 1 ( k 1) ( ka k k) ( k 1)a k 1 ka k 1,于是( k 1)a k 1 ka k 1 k(2 k 3) 1 ( k 1) (2 k 1), 从而 a k 1 2( k 1) 3.故数列a n 的通项公式为：a n 2n 3 ( n N ). (6 分 )另解（ 1）：当n 1时，由 2S1 1 a1 , 得 a1 1; 由 S2 a1 a2 0, 得 a2 1;当 n 3 时，由 2S 3 3 2 a 3 3 3a 3 , 得 a 3 3.当 n 4 时，由 2 S 4 4 2a 410 4a 4 , 得 a 4 5.(2 分)当 n3 时，由条件知 2 S n na n n , 故2a n2S n 2S n 1na n n( n 1)a n 1 (n 1) na n ( n1)a n 1 1,于是( n 2) a n( n 1)a n 1 1a nan 111 ,(4 分)n1 n2 n 2n1从而 a n(anan 1)(an 1an 2)(a3a 2) a 2故n 1 n 1 n 2n 2 n 32 11 11 1 1 1(111 111 () (2 3 ) ()n 3 n 2) () 21 23 4n 2 n 1n 1a n2n 3 ( n3). 于是数列 a n 的通项公式为： a n2n 3 (nN).(6 分)证：（2）当 n1 时，12a 131, 当 n 2 时，由条件得b(2n 1)b nb 13b 2 5b 3(2n 3)b n 1 (2n 1)b n b 1 3b 2 5b 3(2 n 3)b n 12 na n32 n 1an 13 2 n(2 n 3) 2 n 1(2 n 5) n 1(2n 1)分 )2(8 从而 b n2n1.故数列 b n是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列 .(10 分)解：（ 3）由题意，得c n a 2n 1a 2 n 1 1 a 2n 12a 2 n 1(2 2n13) (22 n 11) (2 2n 11)(2 2n 7) (2 2 n5) 2 n 1 (22n 13) (2 2n 5) 3 4n2 n 1(12分 )24故 T n c 1c 2c n32n23n 1(4 44) (222 )43 4(4 n1) 22 (2 n 1) 4 n 4 2 n3(14分 )4 4 1 2 1从而T n1n1 n(16 分)lim lim 14 3 1.4 n24nn注：在解答第（ 3）小题时，可直接求出 T n .23. ( 此题满分 18 分) 此题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 2 小题 8 分.2 b 2,解：（ 1）由题意，得c3 b,(2分 )b 2c 2 a 2 ,a 2, 故椭圆 C 的方程为x2y 2(4分 )解得b 1,1.c 3.4（2）设 M ( x 0 , y 0), 则由条件，知 x 0 0, y 0 0,且 N(x 0 ,y 0 ), H ( x 0 , 0).从而 HM (0, y 0 ), HN( x 0 , y 0 ).于是由 HMHN (0, y 0 ) ( x 0 , y 0 )y 021, 及 y 0 0, 得 y 02 .22再由点 M 在椭圆 C 上，得x 02y 0 21, 求得 x 02.4所以M(2,2 2,2 ),H( 2, 0 );(6分 )),N(22从而求得直线 NH 的方程 : x4y2 0.x 4 y20,72, 12).(8分)由2求得xJ (102 1, 54 y从而 NJ( 722)2( 12 1 2)23 34, 线段 NJ 的中点坐标为 (12，12).510 2555所以以线段 NJ 为直径的圆的方程为：( x 121 2) 2153. (10分 )5 2)( y505（ 3）当直线 l 1 的斜率不存在时，直线l 2 与椭圆 C 相切于点 A ，不合题意；当直线 l 1 的斜率为 0 时，能够求得S PQR 2 3.(12分)当直线 l 1 的斜率存在且不为0 时，设其方程为 yk x 1 (k0), 则点 O 到直线 l1 的距离为 d1 , 从k 2123 , 而由几何意义，得 PQ 24 d 22 4 k k 2 11 x24; 于因为 l 2l 1 , 故直线 l 2 的方程为 y1, 可求得它与椭圆 C 的交点 R 的坐标为 8 k , kkk 24k 2 4是 AR8 k2k 2 428 k 2 11k 24k 24k 24 .故SPQR 1PQ AR 8 4k 2 3 , (15 分) 2 k 2 4令 u4 k 2 3 3, 则S PQR 32u 32 16 13u2 13 13 13uu当且仅当 u 13( 3), 即 k 10时，上式取等号 . 21613 2 3, 故当k 10 SPQR max16 此时直线l1 的方程为：因为13 2 时，13 ；13y 10 x 1. （也可写成10x 2 y 2 0. ）(18 分) 2。

2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案

2015-2016学年度第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ）求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ）求证：AC ⊥PB ；（II ）求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ）求p 的值；（II ）设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ）求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132）说明：1.第9题，答对一个空给3分。

沪教版高二上期末数学试卷1(附答案及详细解析)

沪教版高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分；第7～12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）1．（4分）已知两点A（﹣1，2）、B（3，6），则直线AB的倾斜角为．2．（4分）向量在上的投影为．3．（4分）直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角的大小等于（用反三角函数式表示）．4．（4分）如图为中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，关于其传说被列为国家级非物质文化遗产．依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为．5．（4分）在平面直角坐标系中，以点为直径的圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，则D+E+F＝．6．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A（4，﹣2），动点P满足，则动点P的轨迹方程是．7．（5分）某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．8．（5分）已知数列的通项公式为，则＝．9．（5分）已知数轴上分别对应实数m、n（m＞n）的两个点E、F的距离用行列式可以表示为，类比于此，平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝．10．（5分）等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为．11．（5分）平面上线段|GH|＝4，如果三角形GPH上的顶点P永远保持，那么随着P的运动，三角形GPH面积的最大值等于．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A（2，1），B（0，2），点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，若，则2x+y的最小值为．二、选择题（本大题满分20分.本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得5分，否则一律得零分）13．（5分）已知过定点（4，5）的直线m的一个法向量是，则直线m的点方向式方程可以为（）A．3（x﹣4）＝2（y﹣5）B．C．3（x﹣4）﹣2（y﹣5）＝0D．14．（5分）用数学归纳法证明：，在第二步证明当n＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为（）A．B．C．D．15．（5分）列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的_____条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要16．（5分）已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分76分.本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17．（14分）用行列式讨论关于x、y的二元一次方程解的情况并求解．18．（14分）已知向量的夹角为120°，且，设．（1）试用t来表示的值；（2）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．19．（14分）定义“矩阵”的种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵变换下成点（ax+cy，bx+dy），设矩阵．（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为（3，1），试求点P的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．20．（16分）已知圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点．（1）求坐标原点到直线AB的距离；（2）圆C上有两个动点S、T，使得，证明：点O到直线ST的距离为定值；（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，点O到直线UV的距离为d，求出d关于r的函数d＝f（r），并求出其值域．21．（18分）平面直角坐标系xOy中，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n≥3，n∈N）是圆C：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）上的点，且构成了一个公差d不为零的等差数列{a n}．记S n＝a2+a2+…+a n．（1）若a＝r＝10，n＝3，P1（20，0）及S3＝1140，求点P3的坐标；（2）若a＝r，P1（0，0），对于给定的自然数n写出符合条件的点P1、P2、…、P n存在的充要条件，并说明理由；（3）若C：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），点P1（a+r，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S n 的最小值．沪教版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分；第7～12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）1．（4分）已知两点A（﹣1，2）、B（3，6），则直线AB的倾斜角为45° ．【解答】解：∵A（﹣1，2）、B（3，6），∴，由斜率等于倾斜角的正切值可得，直线AB的倾斜角为45°．故答案为：45°．2．（4分）向量在上的投影为．【解答】解：向量在上的投影为＝＝，故答案为：3．（4分）直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角的大小等于arctan3（用反三角函数式表示）．【解答】解：直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的斜率分别为﹣1 和2，设直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角为θ，则tanθ＝＝3，∴θ＝arctan3，故答案为：arctan3．4．（4分）如图为中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，关于其传说被列为国家级非物质文化遗产．依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为﹣37．【解答】解：由中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，得，∴依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为：（﹣1）1+3＝＝﹣37．故答案为：﹣37．5．（4分）在平面直角坐标系中，以点为直径的圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，则D+E+F＝﹣6+4．【解答】解：以点为直径的圆的圆心为（0，），半径为||＝＝，故该圆的方程为x2+＝，即x2+y2﹣（5+）y﹣1+5＝0．而已知圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，故D＝0，E＝﹣5﹣，F＝﹣1+5，∴D+E+F＝﹣6+4，故答案为：﹣6+4．6．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A（4，﹣2），动点P满足，则动点P的轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2＝9．【解答】解：设动点P（x，y），∵点A（4，﹣2），动点P满足，∴（x，y）•（x﹣4，y+2）＝4，整理得：x2﹣4x+y2+2y＝4，即动点P的轨迹方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝9．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2＝9．7．（5分）某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是2047．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1，a＝3不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝7不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝15不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝31不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝63不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝127不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝255不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝511不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1023不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2047此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为2047．故答案为：2047．8．（5分）已知数列的通项公式为，则＝﹣5．【解答】解：要求，即求，而＝＝．故答案为：﹣5．9．（5分）已知数轴上分别对应实数m、n（m＞n）的两个点E、F的距离用行列式可以表示为，类比于此，平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝||．【解答】解：由题意可类比得：平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝||．故答案为：||．10．（5分）等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为200．【解答】解：等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，∴a3＝10×22＝40，S3＝＝70．则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10即|x﹣70|+|y+40|＝10，分类讨论：x≥70，y≥﹣40时，化为：x+y＝40．x＞70，y＜﹣40时，化为：x﹣y＝120．x＜70，y＞﹣40时，化为：x﹣y＝100．x＜70，y＜﹣40时，化为：x+y＝20．画出图形：所表示的图形正方形ABCD的面积＝＝200．故答案为：200．11．（5分）平面上线段|GH|＝4，如果三角形GPH上的顶点P永远保持，那么随着P的运动，三角形GPH面积的最大值等于．【解答】解：设P（x，y），以GH中点为原点，GH为x轴，GH的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵平面上线段|GH|＝4，三角形GPH上的顶点P永远保持，∴G（﹣2，0），H（2，0），＝2，y≠0，整理，得x2+y2﹣+4＝0，y≠0，圆心坐标（，0），半径r＝＝＝，∴三角形GPH面积的最大值S＝＝．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A（2，1），B（0，2），点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，若，则2x+y的最小值为1．【解答】解：点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，转换为参数方程为：（θ为参数），所以：，，，由于：，（2，1）＝x（0，2）+y（1+cosθ，sinθ），故：y＝，2x＝1﹣则：2x+y＝1+﹣，＝1+2（），设，故：t+t cosθ＝1﹣sinθ，t cosθ+sinθ＝1﹣t，所以：，由于，故：t≥0整理得：2x+y的最小值为1+2×0＝1．故答案为：1二、选择题（本大题满分20分.本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得5分，否则一律得零分）13．（5分）已知过定点（4，5）的直线m的一个法向量是，则直线m的点方向式方程可以为（）A．3（x﹣4）＝2（y﹣5）B．C．3（x﹣4）﹣2（y﹣5）＝0D．【解答】解：∵直线m的一个法向量是，∴直线的一个方向向量为（3，2），∴直线的斜率为：．又∵直线过点A（4，5），∴直线的点方向式方程为：．故选：D．14．（5分）用数学归纳法证明：，在第二步证明当n ＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为（）A．B．C．D．【解答】解：用数学归纳法证明：，在第二步证明当n＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为，故选：D．15．（5分）列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的_____条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要【解答】解：二元一次方程组存在唯一解充要条件为⇔a1b2≠a2b1，⇔向量与不平行，即列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的充要条件，故选：C．16．（5分）已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，令S＝x2dx＝x3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S＝．故选：B．三、解答题（本大题满分76分.本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17．（14分）用行列式讨论关于x、y的二元一次方程解的情况并求解．【解答】解：由题意，可知：此二元一次方程组对应的系数行列式为：．①系数行列式＝0，即m2﹣4＝0，m＝±2．当m＝2时，二元一次方程组即为：，此时二元一次方程组无解；当m＝﹣2时，二元一次方程组即为：，此时二元一次方程组无解；②系数行列式≠0，即m2﹣4≠0，m≠±2．此时二元一次方程组有唯一解，此时唯一解为：．18．（14分）已知向量的夹角为120°，且，设．（1）试用t来表示的值；（2）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由已知有：＝||||cos120°＝1×＝﹣1，又，则＝（3﹣）•（t+2）＝3t2﹣22+（6﹣t）＝4t﹣14，故答案为：＝4t﹣14，（2）由与的夹角为钝角，则＝4t﹣14＜0且≠λ，即t且t≠﹣6，故答案为：（﹣∞，﹣6）．19．（14分）定义“矩阵”的种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵变换下成点（ax+cy，bx+dy），设矩阵．（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为（3，1），试求点P的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）由题意，可设点P的坐标（x，y），则有：（x，y）•＝（3，1），即：（x+3y，2x﹣y）＝（3，1）．∴，解得：．∴点P的坐标为：（）．（2）由题意，可假设这样的直线l存在，且直线方程为ax+by+c＝0．设直线l上任意一点P（x，y）经矩阵A变换后得到的点为P′（x′，y′）仍在该直线l上．则有：（x，y）•＝（x′，y′），即：（x+3y，2x﹣y）＝（x′，y′）．∴，∵任意一点P（x，y）在该直线l上，∴ax+by+c＝0．又∵点P′（x′，y′）仍在该直线l上，∴ax′+by′+c＝0．即：a（x+3y）+b（2x﹣y）+c＝0．整理，得：（a+2b）x+（3a﹣b）y+c＝0．∴，解得：．∴不存在这样的直线．20．（16分）已知圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点．（1）求坐标原点到直线AB的距离；（2）圆C上有两个动点S、T，使得，证明：点O到直线ST的距离为定值；（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，点O到直线UV的距离为d，求出d关于r的函数d＝f（r），并求出其值域．【解答】解：（1）圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点，∴△AOB为等腰直角三角形，∴点O到直线AB的距离为，（2）证明：∵圆C上有两个动点S、T，使得，∴⊥，∴△SOT为等腰直角三角形，∴点O到直线ST的距离为，即点O到直线ST的距离为定值，（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，∴⊥，∴OU＝r，OV＝2，∴|UV|＝，∴d•＝2r，∴d＝，∴d＝f（r）＝，∴d＝f（r）＝2•＝2∈（0，2）．21．（18分）平面直角坐标系xOy中，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n≥3，n∈N）是圆C：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）上的点，且构成了一个公差d不为零的等差数列{a n}．记S n＝a2+a2+…+a n．（1）若a＝r＝10，n＝3，P1（20，0）及S3＝1140，求点P3的坐标；（2）若a＝r，P1（0，0），对于给定的自然数n写出符合条件的点P1、P2、…、P n存在的充要条件，并说明理由；（3）若C：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），点P1（a+r，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S n 的最小值．【解答】（1）由a1＝|OP1|2＝400，由S3＝（a1+a3）＝1140，得出a3＝360，联立方程：X2+Y2＝360，（X﹣10）2+Y2＝100，求得X＝18，Y＝±6，∴P3的坐标为（18，±6）（2）对于每个自然数k，1≤k≤n，|OP k|2＝（k﹣1）d，对于递增数列来说，最大值为k＝n时，（2r）2＝4r2∴|OP n|2＝（n﹣1）d＜4r2∴0＜d＜（3）由a1＝|OP1|2＝（a+r）2，∴OP k的最大值为a+r，最小值为|a﹣r|，∴d＜0∴a n＝|OP n|2＝（a+r）2+（n﹣1）d≥（a﹣r）2，得到0＞d≥﹣∵n≥3，∴＞0∴S n＝na2+在区间0＞d≥﹣递增，∴S n的最小值为n（a+r）2+＝n（a+r）2+（﹣）＝n（a2+r2）。

2015-2016年上海市复旦附中高二上期末

复旦大学附属中学2015学年第一学期高二年级数学期末考试试卷一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C 过点()2,3-，则C 的方程是__________．2．若过点()2,2P 可以向圆222220x y kx y k k +--+-=作两条切线，则实数k 的取值范围是 ____________________．3．参数方程cos 1cos x y θθ=⎧⎨=+⎩（R θ∈）化为普通方程是____________________． 4．M 是椭圆2219x y +=上动点，1F ，2F 是椭圆的两焦点，则12F MF ∠的最大值为__________． 5．圆()229x y a +-=与椭圆221259x y +=有公共点，则实数a 的取值范围是__________． 6．与圆2240x y x +-=外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是__________．7．双曲线()22230x y k k -=<的焦点坐标是（用k 表示）__________．8．已知(),P x y 是圆()2211x y ++=上一点，则23x y +的最大值为__________．9．若直线x a =与圆221x y +=在第一象限有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是__________． 10．椭圆E ：22143x y +=的右顶点为B ，过E 的右焦点作斜率为1的直线L 与E 交于M ，N 两点，则MBN △的面积为____________________．11．设实数x ，y 满足24x y =y 的最小值是__________． 12．椭圆C ：221168x y +=向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C '： ()()22121168x y --+=．设直线l ：()()21130a x a y ++--=，当实数a 变化时，l 被C '截得的最大弦长是______________________________．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．“0ab <”是“方程22ax by c +=表示双曲线”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件15．过点()3,0和双曲线()2210x ay a -=>仅有一交点的直线有（）A ．1条B ．2条C ．4条D ．不确定16．双曲线C 的左、右焦点为1F ，2F ，P 为C 的右支上动点（非顶点），I 为12F PF △的内心．当P 变化时，I 的轨迹为（）A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．直线的一部分D ．无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+，O 为坐标原点．（1）求证：l 与C 必有两交点；（2）设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．18．斜率为1的动直线L 与椭圆22142x y +=交于P ，Q 两点，M 是L 上的点，且满足2MP MQ ⋅=，求点M 的轨迹方程．19．已知椭圆2221x y +=上存在两点A ，B 关于直线L ：4y x b =+对称，求实数b 的取值范围．20．已知双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=，且点()5,0A 到双曲线上动点P C 的方程．21．设定点()0,1A ，常数2m >，动点(),M x y ，设(),p x m y =+，(),q x m y =-，且4p q -=．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设直线L ：132y x =-与点M 的轨迹交于B ，C 两点，问是否存在实数m 使得92AB AC ⋅=？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案 1.292y x =-或243x y = 2.()()1,14,-⋃+∞ 3.()2211x y +-= 4. 7arccos 9π-5. []6,6-6.()280y x x =>或()00y x =<7.0,⎛ ⎝和0,⎛ ⎝2 9.)2 10.711.2 12.8 BC17. （1）证明略；（2）1k =18.轨迹为椭圆，2221m n +=或2227m n +=19.⎛ ⎝⎭ 20.2214x y -=21.（1）()2221244x y x m -=≥-；（2）不存在。

2015-2016年上海市虹口区复兴高中高二上学期期末数学试卷与解析

2015-2016学年上海市虹口区复兴高中高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为．2．（4分）已知复数z与（z+2）2+5均为纯虚数，则复数z=．3．（4分）已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．4．（4分）若圆C经过点A（1，2）及点B（3，1），且以AB为直径，则圆C的标准方程为．5．（4分）已知|z|=1，则的取值范围是．6．（4分）抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为．7．（4分）已知直线x﹣y﹣1=0与抛物线y2=4x交于A、B两点，则|AB|=．8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为．9．（4分）与椭圆有相同的焦点且以y=为渐近线的双曲线方程为．10．（4分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．11．（4分）已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为．13．（4分）已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B（1，0）}，则表示M∩N的图形面积为．14．（4分）关于曲线，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y=0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；⑤曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件16．（5分）已知直线，则下列说法错误的是（）A．直线的倾斜角为B．直线必过点C．当t=1时，直线上对应点到点（1，2）的距离是D．直线不经过第二象限17．（5分）若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或218．（5分）F1，F2分别是双曲线的左右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则的值为（）A．2 B．C． D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知复数z满足z=﹣4．（1）求复数z的共轭复数；（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．20．（14分）已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．22．（16分）设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．（1）若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；（2）设复数β满足条件|β+3|+（﹣1）n|β﹣3|=3a+（﹣1）n a（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于，求实数x0的取值范围．23．（18分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．2015-2016学年上海市虹口区复兴高中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）．【解答】解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4∴=1∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）2．（4分）已知复数z与（z+2）2+5均为纯虚数，则复数z=±3i．【解答】解：设z=bi（b∈R，b≠0），∵（z+2）2+5=（bi+2）2+5=9﹣b2+4bi为纯虚数，∴，解得b=±3，∴z=±3i．故答案为：±3i．3．（4分）已知直线l的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为．【解答】解：设直线的方向向量为=（a，b），直线的倾斜角为α．则=a﹣b=0，∴=tanα，∴α=，故答案为：．4．（4分）若圆C经过点A（1，2）及点B（3，1），且以AB为直径，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣）2=．【解答】解：∵A（1，2），B（3，1），设圆心为C，∴圆心C的坐标为C（2，）；∴|AC|=，即圆的半径r=，则以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣）2=．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣）2=．5．（4分）已知|z|=1，则的取值范围是[﹣1，3]．．【解答】解：∵|z|=1，∴|z|﹣|1﹣i|≤|z﹣1+i|≤|z|+|1﹣i|，即﹣1≤|z﹣1+i|≤3，故答案为：[﹣1，3]．6．（4分）抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，抛物线方程为y2=12x．【解答】解：椭圆的右焦点，（3，0），则抛物线的p=6，物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，所求抛物线方程为：y2=12x．故答案为：y2=12x．7．（4分）已知直线x﹣y﹣1=0与抛物线y2=4x交于A、B两点，则|AB|=8．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），直线x﹣y﹣1=0经过抛物线的焦点．联立方程组，得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1•x2=﹣1，k=1，∴|AB|=x1+x2+p=8．故答案为：8．8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由图象可知当点M位于A时，直线的斜率最小，由，解得，即A（3，﹣1），∴OM的斜率k=，故答案为：．9．（4分）与椭圆有相同的焦点且以y=为渐近线的双曲线方程为．【解答】解：∵椭圆的焦点为（5，0）（﹣5，0），故双曲线中的c=5，且满足∴所以双曲线的方程为．故答案为：．10．（4分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|≤|++|+||=+1．∴|++|的最大值是+1，故答案为：+1．11．（4分）已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．【解答】解：联立函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m得x=1±．当x=1﹣时，y=1﹣m，当x=1+时，y=1+m，设动点P（x，y），则=（1﹣﹣x，1﹣m﹣y），=（1+﹣x，1+m﹣y），则+=（2﹣2x，2﹣2y），由|+|=2，得（2﹣2x）2+（2﹣2y）2=4，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为18．【解答】解：∵动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，∴，化为|a﹣b|+|a+b﹣2|=4．分为以下4种情况：或或或．可知点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．可知：当取点A时，取得最大值=．∴a2+b2的最大值为18．故答案为：18．13．（4分）已知集合M={（x，y）|x﹣3≤y≤x﹣1}，N={P|PA≥PB，A（﹣1，0），B（1，0）}，则表示M∩N的图形面积为+2．【解答】解：建立坐标系：M为直线y=x﹣1和y=x﹣3之间的点的集合（含线上的点），设P点的坐标为（x，y）则可将PA≥PB表示成：≥，∴（x+1）2+y2≥2[（x﹣1）2+y2]，∴（x﹣3）2+y2 ≤8，即N集合为以（3，0）为中心，半径为2的圆内的点的集合，则直线y=x﹣3经过圆心F，过圆心F做FE⊥CD，垂足为E，联立方程组得到，解得x=2±，y=1±，则D（2﹣，1﹣），C（2+，1+），∴|CD|2=（2+﹣2+）2+（1+﹣1+）2=24，即CD=2，∴CE=CD=，在直角三角形CEF中，sinCFE===，∴∠CFE=60°，∴∠CFD=120°，∴S扇形CFD=π×8=π，S△CFD=CF•DF•sin120°=×8×=2，∴S弓形=S扇形CFD﹣S△CFD=π﹣2，∵S半圆=π×8=4π，∴S M∩N的图形=S半圆﹣S弓形=4π﹣（π﹣2）=π+2，故答案为：π+2．14．（4分）关于曲线，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y=0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；⑤曲线C与曲线有4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为①②④⑤．【解答】解：对于①，将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，故①正确；对于②，将方程中的x换成﹣y，y换成﹣x方程不变，故②正确；对于③，由方程得x2＞1，y2＞1，故曲线C不是封闭图形，故③错；对于④，联立曲线圆x2+y2=2，方程组无解，无公共点，故④正确；对于⑤，当x＞0，y＞0时，联立曲线C与x+y=2只有一解（），根据对称性，共有有4个交点，这4点构成正方形，正确．故答案为：①②④⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．16．（5分）已知直线，则下列说法错误的是（）A．直线的倾斜角为B．直线必过点C．当t=1时，直线上对应点到点（1，2）的距离是D．直线不经过第二象限【解答】解：直线，普通方程为3x﹣4y﹣25=0，直线的倾斜角为arctan；x=1时，y=﹣，直线不经过第二象限，故选：C．17．（5分）若直线ax+by﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：将直线ax+by﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（a2+b2）y2﹣6by+9﹣3a2=0．令△＜0得，a2+b2＜3．又a、b不同时为零，∴0＜a2+b2＜3．由0＜a2+b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，∵椭圆方程知长半轴a=2，短半轴b=，∴可知P（a，b）在椭圆内部，∴过点P的一条直线与椭圆=1的公共点有2个．故选：C．18．（5分）F1，F2分别是双曲线的左右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则的值为（）A．2 B．C． D．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a，又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e===．故选：B．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知复数z满足z=﹣4．（1）求复数z的共轭复数；（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．【解答】解：（1），∴．（2）w=﹣8+（2+a）i，∴，，∵|w|≤|z|，则68+4a+a2≤68，a2+4a≤0，﹣4≤a≤0，所以，实数a的取值范围是：﹣4≤a≤0．20．（14分）已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．【解答】解：（1）线段AB的垂直平分线为2x+y﹣9=0与直线x﹣2y﹣2=0联立可得圆心C（4，1），…（3分）∴半径r=5，故所求圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．…（7分）（2）当直线l的斜率不存在时，x=0显然满足题意；…（9分）当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx，∵弦长为6，∴圆心C到直线l的距离d=4，…（11分）即，解得，此时直线l：15x+8y=0，…（13分）故所求直线l的方程为x=0或15x+8y=0．…（14分）21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【解答】解：（1）设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B （x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，﹣）．∴=3；当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣3），其中k≠0，由得ky2﹣2y﹣6k=0⇒y1y2=﹣6又∵，∴，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点，如果=3，那么该直线过点T（3，0）．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A（2，2），B（，1），此时=3，直线AB的方程为：，而T（3，0）不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足=3，可得y1y2=﹣6，或y1y2=2，如果y1y2=﹣6，可证得直线AB过点（3，0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（﹣1，0），而不过点（3，0）．22．（16分）设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应．（1）若β是关于t的一元二次方程t2﹣2t+m=0（m∈R）的一个虚根，且|β|=2，求实数m的值；（2）设复数β满足条件|β+3|+（﹣1）n|β﹣3|=3a+（﹣1）n a（其中n∈N*、常数），当n为奇数时，动点P（x、y）的轨迹为C1．当n为偶数时，动点P（x、y）的轨迹为C2．且两条曲线都经过点，求轨迹C1与C2的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B（x0，0）（x0＞0）的最小距离不小于，求实数x0的取值范围．【解答】解：（1）β是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，（2分）则，所以m=4（2分）（2）方法1：①当n为奇数时，|α+3|﹣|α﹣3|=2a，常数），轨迹C1为双曲线，其方程为，x≥a；（2分）②当n为偶数时，|α+3|+|α﹣3|=4a，常数），轨迹C2为椭圆，其方程为；（2分）依题意得方程组解得a2=3，因为，所以，此时轨迹为C1与C2的方程分别是：，x≥，．（2分）方法2：依题意得（2分）轨迹为C1与C2都经过点，且点对应的复数，代入上式得，（2分）即对应的轨迹C1是双曲线，方程为；对应的轨迹C2是椭圆，方程为．（2分）（3）由（2）知，轨迹C2：，设点A的坐标为（x，y），则=，（2分）当即时，当即时，，（2分）综上或．（2分），23．（18分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

高二期末卷收集【包含答案】

【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．【答案：1 】2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是．【答案：220x y +-= 】3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为．．解析：直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的普通方程为21x =和22(1)1x y -+=，圆心到直线的距离为11122-=，所以弦长为=】4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是．【答案：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭】 5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为．【答案：221205x y -= 解析：设双曲线2222:1x y C a b-=的半焦距为c ，则210,5c c ==．又∵C 的渐近线为b y x a =±，点(2,1)P 在渐近线上，∴12ba=⋅，即2a b =．又222c a b =+，∴a b ==C 的方程为221205x y -=．】6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．【答案：2 】7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．【答案：32】 8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．【答案：6解析：∵12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得1122824AF MF AF MF ===，又122236,6AF AF AF -=⨯=∴=．】9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．【答案：[]3,6解析：设(,9)A a a -，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M有公共点，则d r ≤，即d ≤36a ≤≤．】 10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案：22222a b a b+ 解析：设()cos ,sin P OP OP θθ，cos ,sin 22Q OQ OQ ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于,P Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ①，222221sin cos a b OQ θθ=+ ②， ①＋②得22221111a bOPOQ+=+，于是当OP OQ ==时，OP OQ ⋅达到最小值22222a b a b +．】二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案：B 】12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（）A ．B ． 4C ．D ．【答案：C解析：设抛物线方程为22y px =，焦点F ，则23,22pMF p =+=∴=，∴24y x =，OM ===】13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（） A ．1⎡⎣B ．(),113,⎡-∞++∞⎣C ．2⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣【答案：D圆心为(1,1)，半径为1．直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1=，即212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，设m n z+=，即21104z z --≥，解得2z ≤-2z ≥+】 14、直线143x y+=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【答案：B解析：直线与椭圆的交线长为5．直线方程34120x y +-=．设点(4cos ,3sin )P θθ．点P 与直线的距离12cos sin 15d θθ+-=，当02πθ≤≤时，121)5d ≤，1)3PAB S ∆≤<，即此时没有三角形面积为3；当22πθπ<≤时，121)5d ≤，1)PAB S ∆≤，即此时有2个三角形面积为3．选B ．】三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ．【解：设,(,)z x yi x y R =+∈，则222222444()44z x yi x y z z x yi x y i z x y x y x y zz ⎛⎫-+=+=++=++- ⎪+++⎝⎭∵4z R z+∈，∴2240y y x y -=+，又22z -=，∴22(2)4x y -+=，联立解得，当0y =时，4x =或0x =（舍去0x =，因此时0z =），当0y ≠时，11x z y =⎧⎪=±⎨=⎪⎩，综上所得1234,1,1z z z ===．】 16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D，且CD =P 的方程．【解：直线AB 的斜率为1k =，AB 中点坐标为(1,2)，所以直线CD 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=．设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-= ①．又由直径CD =22(1)40PA a b =∴++= ②．由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩，∴圆心(3,6)P -或(5,2)P -，∴圆P 的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．】17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．【解：（1）由已知得2,1a b ==，∴c ==，∴椭圆G 的焦点坐标为(,0)3,0)．（2）由题意知，1m ≥．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点,A B 的坐标分别为,1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，此时AB =；当1m =-时，同理可得AB =；当1m >时，设切线方程为()y k x m =-，由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=．设,A B 两点两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则222121222844,1414k m k m x x x x k k-+==++，又由l 于圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB === 由于当1m =±时，AB =，所以(][),11,AB m =∈-∞-+∞．因为23AB m m==≤+，当且仅当m =2AB =，所以AB 的最大值为2．】18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ．（1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥；（2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解：依题意，可设直线MN 方程为1122,(,),(,)x my a M x y N x y =+，则有1112(,),(,)M a y N a y --．由22x my a y px =+⎧⎨=⎩消去x 可得2220y mpy ap --=，从而有121222y y mp y y ap +=⎧⎨=-⎩ ①于是21212()22()x x m y y a m p a +=++=+ ②又由2211222,2y px y px ==可得()()221221222244y y ap x x a pp-=== ③（1）如图1，当2p a =时，点,02p A ⎛⎫⎪⎝⎭即为抛物线的焦点，l 为其准线2p x =-，此时1112,,,22p p M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并由①可得212y y p =-．证法1：1112(,),(,)AM p y AN p y =-=-，∴22211120AM AN p y y p p ⋅=+=-=，即11AM AN ⊥．证法2：∵1112,AM AN y y k k p p=-=-，∴11212221AM AN y y p k k p p ==-=-，即11AM AN ⊥．（2）存在4λ=，使得对任意的0a >，都有22134S S S =成立，证明如下：证明：记直线l 与x 轴的交点为1A ，则1OA OA a ==．于是有11111121111231112211(),221,211(),22S MM A M x a y S M N AA a y y S NN A N x a y =⋅=+=⋅=-=⋅=+()2222212121222131212121212441()()()4a y y y y a y y S S S x x a x x a y y x a x a y y ⎡⎤+--⎣⎦==⎡⎤+++⎣⎦++，由①、②、③代入上式化简可得22134S S S =，所以对任意的0a >，都有22134S S S =恒成立．】四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，所以有2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=．（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥，设该圆的切线方程为y k xm=+，解方程组22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4280k x kmx m +++-=，则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>，12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++．要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k --+=++，所以223880m k --=，所以223808m k -=≥，又22840k m -+>，所以22238m m ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，所以283m ≥，即m ≥或m ≤．因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =222228,381318m m r r m k ====-++，所求的圆为2283x y +=，此时圆的切线方程y kx m =+都满足m ≥或m ≤；而当切线斜率不存在时，切线为x =椭圆22184x y +=的两个交点为33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或33⎛-± ⎝⎭满足OA OB ⊥．综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．AB ===①当0k ≠时，AB =因为221448k k ++≥，所以221101844k k<≤++，所以3AB <≤，当且仅当k =“=”； ②当0k =或k不存在时，AB =综上，AB的取值范围是,3⎡⎢⎣．【上海市虹口区2014-2015学年度高二第一学期数学期末质量测试】一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则得零分.1．数1与9的等差中项是 .52．方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 .211320⎛⎫ ⎪-⎝⎭3．行列式24152134--k 的元素-3的代数余子式的值为7，则=k .3 4．若131lim 33(1)n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是 . )2,4(-∈a 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和248,60,n n S S ==则3n S =_______ . 366．已知()()126,3,3,8P P --，且12||2||PP PP =，点P 在线段12P P 的延长线上，则P 点的坐标为__________.()12,19-7. 已知向量、a b 满足==+=1a b a b ，则、a b 的夹角为___________.120︒ 8．设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .251+- 9．执行右边的程序框图，若，则输出的S . 10. 给出下列命题：① 若022=+，则==；② 若R k ∈，则0=⋅k ;9p =_______=52③ 若//=;④ 若两个非零向量+=+，则=⋅⑤ 已知a 、b 、c 是三个非零向量，若0=+b a=. 其中真命题的序号是 . ①、④、⑤11．已知1e 、2e 是两个不平行的向量，实数x 、y 满足1212(5)(1)xe y e y e xe +-=++，则 x y +=____________.512. 若数列{}n a 是等差数列，首项120142015201420150,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是___________ .4028二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13.“11220a b D a b =≠”是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（）CA. 充分不必要条件B. 必要不充分条C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14．若=)4,5(-，=)9,7(，向量AB 同向的单位向量坐标是（）BA. )135,1312(--B. )135,1312(C. )135,1312(-D. )135,1312(-15．用数学归纳法证明123(21)(1)(21)n n n +++++=++…时，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）CA. 1B. 13+C. 123++D. 1234+++16. 由9个正数组成的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++、232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列四个判断正确的有（）A①第2列322212,,a a a 必成等比数列 ②第1列312111,,a a a 不一定成等比数列③23213212a a a a +≥+ ④若9个数之和等于9，则122≥aA ．3个B ．2个C ．1个D ．0个三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）已知关于x 的不等式012<+x a x 的解集为()b ,1-．求实数a 、b 的值。

上海市复兴高级中学2015-2016学年高二下学期期末考试(数学)2016-06-07

上海市复兴高级中学2015-2016学年度第二学期高二年级数学期末试卷（满分100分，120分钟完成。

答案一律写在答题纸上）一. 填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1、如果复数=z 421ii -+（其中i 为虚数单位），那么z Im （即z 的虚部）为__________。

2、在二项式8)1(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是（用数字作答）. 3、在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是__________4、若()22213222132102,*nn n n n x a x a x a x a x a x a n N --+=++++++∈ ，则13521...n a a a a -++++的值为．5、一平面截一球得到面积为π12的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积是．6则总体标准差的点估计值为（结果精确到0.01）.7、某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；8、把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________. 9、若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______.10、设正四面体ABCD的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d ___11、△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且A,B,C 在平面α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为___________。

12、在球心为O ，体积为的球体表面上两点A 、B ，则AOB ∠的大小为 .13、△ABC 的三边长分别是3,4,5,P 为△ABC 所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P 到α的距离为_________.14、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，DAα，BC α，且DA ⊥l 于A ，BC ⊥l 于B ，AD=4，BC=8，AB=6，在平面β内不在l 上的动点P ，记PD 与平面β所成角为1θ，PC 与平面β所成角为2θ，若21θθ=，则△PAB 的面积的最大值是。

上海市高二第一学期数学期末考试试卷含答案

上海市高二第一学期数学期末考试试卷注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为．10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采AB 用 .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是 . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（） A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1）求a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥；（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.【教师版】高二数学练习卷答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 1 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_“实验数据”_．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 0.614 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 36π ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的600名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____68___人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 0.7 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为2 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 3 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 56． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = 45 . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱，AB 每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用 “三局两胜制” .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1. 则以上结论中，正确结论是 ① ② ③ . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ C ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ B ）A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ D ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ C ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.解（1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC所成的角或其补角. ……………………………………………………………………2分设1BB a =，则112B D a =，13BD a =，所以11tan 2B BD ∠.……………1分所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arc 263arcsinarccos 33=）……1分（2）连接BD ，交AC 于O ，在1BDD 中，O 、E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .……………………………………………………………2分因为OE 在平面AEC 上，而1BD 不在平面AEC 上，…………………………1分由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.解（1）甲摸出的球编号为奇数的概率是12,…………………………………2分乙摸出的球编号为奇数的概率是12,……………………………………………2分所以两球编号均为奇数的概率是14.………………………………………1分（2）()3616P m n +==,………………………………………………………1分 ()2716P m n +==,………………………………………………………………1分 ()1816P m n +==………………………………………………………………1分所以甲赢的概率为32131616168++=，乙赢的概率为58.……………………1分所以这种游戏规则不公平. ……………………………………………………1分（也可直接写出样本空间，写出答案，酌情给分）19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将锥底面圆直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.解（1）由题，4,3OB OA ==1分所以圆锥的体积为221164ππ4433π333V OB OA =⋅⋅=⋅⋅=.……………………2分圆锥的侧面积为32πS rl π==侧.……………………………………………………2分（2）取BO 中点BH ，在AOB 中，中位线//DH AO ，可得DH ⊥平面BOC ，所以DCH ∠即直线CD 与平面BOC 所成的角. …………………………………2分222315tan 542DH DCH HC ∠===+.……………………………………………2分所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为155.……………………………1分 20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1）求a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．解（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，……………………………2分得0.02a =，…………………………………………………………………2分（2）各区间的中点值为55、65、75、85、95 ……………………………1分对应的频数分别为10、20、45、20、5…………………………………………1分这100名大一新生每天阅读时间的平均数为551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………1分所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. …………………1分（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此每组中抽取的人数分别为1人、2人、2人. ………………2分因此，再从中任选2人进行调查，其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为323P=105⨯=.………………………………………………………………………2分21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉与臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC小面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最长度.（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小（1）证明因为AB BCD ⊥面，所以AB CD ⊥，…………………………………1分又BC CD ⊥，所以CD ABC ⊥面………………………………………………………2分所以AC CD ⊥……………………………………………………………………………1分（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平面图形，由题，3π4BCD ∠=，……………………1分所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长. 又22311211cos π224BD =+-⨯⨯⨯=+…………2分 22+…………………………1分（3）由题，151153P ==…………………………1分 23162P ==……………………………………………1分 321126P ==……………………………………………1分所以312P P P <<.………………………………………1分【附加题】单选题1．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8 【提示】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案；【答案】D【解析】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ，令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ，即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立，即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合，故22(0,8]m n +∈，故选：D2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524a b =+-，则OM 的最小值为（） A 5 B 25 C ．33D 5【提示】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到245a b OM +-=圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【答案】B【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ，因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524a b =+-，则245a b OM +-=几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等，即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，125=.故选：B。

虹口高级中学2015学年第二学期高二数学期末考试

上海市虹口高级中学2015学年第二学期高二年级数学学科期末考试试卷2016.6.21（考试时间90分钟，总分100分）一、填空题（每题4分，共40分）1.若z∈C，且1+i∙z=1（i为虚数单位），则复数z=。

2.正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线CD1与BC1所成角为。

3.A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，那么不同排法总数为。

4.圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则圆锥的体积为。

5.右图是一个正三棱柱零件，面ABB1A1平行于正投影面，则零件的左视图的面积为。

6.在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，则刚好构成直角三角形的概率是。

7.已知一个正方体的八个顶点都在球面上，且这个球的表面积为24π，则这个正方体的体积是。

8.若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，地球半径为R，则A、B两地的球面距离为。

9.国家防空导弹系统测试过程中，在甲、乙、丙三个基地分别设立了A系统、B系统和C系统，已知A系统拦截成功率为78，B系统拦截成功率为89，C系统拦截成功率为910，若导弹袭击经过三个基地的防区被拦截的成功率为。

10.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，当E从D运动到C，则K所形成的轨迹长度为。

二、选择题（每题4分，共16分）11.设a，b，c是空间的三条直线，则下面四个命题中真命题的个数是（）①a⊥b，b⊥c，则a∥c②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线③若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交④若a，b共面，b，c共面，则a，c也共面A.0个B.1个C.2个D.3个12.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q=P PA≤1，则集合Q 构成的几何图形为（）A.圆B.四分之一圆C.球D.八分之一球13.已知 x−1x n的展开式中第项与第3项与第5项的二项式系数相等，则展开式中系数最小的项为第（）项A.5B.4C.4或5D.5或614.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i i=1，2，⋯，8是上底面上其余的八个点，则AB∙AP i i=1，2，⋯，8的不同值的个数为（）A.1B.2C.4D.8三、解答题（共44分）+w−2,试确15.（8分）已知复数w满足w−4=3−2w i（i为虚数单位），复数z=5w定一个以z为根的实系数一元二次方程。

上海市复兴高中高二数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)

复兴高中高二期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 设集合{1,0,1}A =-，{0,1,2,3}B =，则()A B =R ð2. 不等式11x x->的解集为 3. 对于实数a 、b ，“若0a b +≤，则0a ≤或0b ≤”为命题（填“真”、“假”） 4. 如图，以长方体ABCD A B C D ''''-的顶底D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB '的坐标为(5,4,3)，则AC '的坐标为5. 某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是6. 长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，1AA =A 、B 两点之间的球面距离为7. 关于x 的不等式|2|6ax +<的解集为(1,2)-，则实数a =8. 某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中 “同意”的人数为人9. 71()x x-展开式中系数最大的项为10. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60°的概率为（用最简分数表示）11. 已知正实数x 、y 满足111x y+=，则4911x yx y +--的最小值为 12. 定义()A ∏为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合25{,,1,4}34M =-，集合M 的所有非空子集依次记为1215,,,M M M ⋅⋅⋅，则1215()()()M M M ∏+∏+⋅⋅⋅+∏=二. 选择题13. 若a 、b 为实数，则“1a <-”是“11a>-”的（） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件14. 如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A. B. C. D.15. 在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A. 60B. 70C. 80D. 100 16. 设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（）A. 20192B. 1C. 0D. -1三. 解答题17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和3，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知集合{0,1,2}M =，函数()y f x =的定义域为{1,2,3,4}D =，值域为A . （1）若A M =，求不同的函数()y f x =的个数；（2）若A M ⊆，① 求不同的函数()y f x =的个数；② 若满足(1)(2)(3)(4)4f f f f +++=，求不同的函数()y f x =的个数.19. 已知函数21()4f t at a=+（t ∈R ，0a <）的最大值为正实数，集合 {|0}x aA x x-=<，集合22{|}B x x b =<. （1）求A 和B ；（2）定义A 与B 的差集：{|}A B x x A x B -=∈∉且，设a 、b 、x 设均为整数，且x A ∈，()P E 为x 取自A B -的概率，()P F 为x 取自A B 的概率，写出a 与b 的二组值，使2()3P E =，1()3P F =.20. 已知等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++.（1）求21(1)n x -+的展开式中n x 项的系数，并化简：01122111111n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C -------+++⋅⋅⋅+；（2）证明：① 11k k n n kC nC --=；② 1222221()2()()n nn n n n C C n C nC -++⋅⋅⋅+=.21. 已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {2,3}2. (,0)-∞3. 真4. (5,4,3)-5. 12π+ 6.23π7. 4- 8. 126 9. 35x 10. 811 11. 25 12. 132二. 选择题13. B 14. A 15. A 16. C三. 解答题17.（1）30；（2）arctan2. 18.（1）36；（2）①82；②19.19.（1）(,0)A a =，(,)B b b =-；（2）4a =-，2b =或7a =-，3b =.20.（1）21n n C -；（2）证明略. 21.（1）1(,)(0,)4-∞-+∞；（2）(1,2]{3,4}；（3）23a ≥.。

上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案

上海市高二第一学期期末考试数学时间90分钟，满分100分，(2023年1月)一、选择题:共20题，1－10题每题3分，11－20题每题4分，总计70分。

1、过点P(－5，7)，倾斜角为135°的直线方程为( )A.120x y -+=B.20x y +-=C.120x y +-=D.20x y -+=2、已知曲线经过点P(1，2)，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不可能3、已知直线1l ：()310a x y -+-=和2l ：()41030ax a y +-+=，则“2a =”是“直线1l 与直线2l 垂直”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4、已知方程2220x y x my m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是( )A.(2，+∞)B.(－∞，2)C.[2，+∞)D.()(),22,-∞+∞5、若双曲线C ：221824x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.66、如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AD=2，AA 1=3，P 是线段A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( )A.DD 1B.B 1CC.D 1CD.AC 7、已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为( )2 2π 2π 28、方程222143x y λλ+=--表示焦距为25λ的值为( ) A.1 B.－4或1 C.－2或－4或 D.－2或119、已知抛物线C ：212y x =，点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )是经过抛物线C 焦点F 的直线与抛物线的焦点点，且125x x +=，则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在 10、已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1=2，AB=BC=1，E 为BC 的中点，则异面直线A 1E 与D 1A 所成角的正切值为( )A.2B.2147C.172D.17711、当点A 在椭圆2214x y +=上运动时，连接点A 与定点B(2022，0)，则AB 的中点P 的轨迹方程为( ) A.()2220221164x y -+= B.()2220221164x y ++= C.()22101114x y -+= D.()22101141x y -+=12、已知圆的方程为2212160x y x y +--=，该圆过点(3，4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) 3 3 3 313、已知直线l 经过抛物线232x y =的焦点为F ，交抛物线于M ，N 两点，若在y 轴负半轴上存在一点T(0，t)，使得∠MTN 为钝角，则t 的取值范围为( )A.(－8，0)B.(－∞，－8)C.(－4，0)D.(－∞，－4)14、已知直线l ：2x ty =+和双曲线C ：228y x -=，若l 与C 的上支交于不同的两点，则t 的取值范围是( )A.,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B.2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.0,2⎛ ⎝⎭ D.12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭15、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆交于M 、N 两点，若2MNF ∆的周长为16，离心率12e =，则△2MNF 面积的最大值为( )A.1216、已知双曲线Γ：2212425x y -=，点P 为曲线Γ在第三象限一个动点，以下两个命题，则( ) ①点P 到双曲线两条渐近线的距离为1d ，2d ，则12d d ⋅为定值。

上海市复兴高级中学2015-2016学年高二5月月考数学试题

2015-2016学年第二学期5月份阶段考试高二年级数学试卷考生注意：时间90分钟，总分100分，试卷共4页．一、填空题（每题3分，共36分）1．2222310C C C +++=________．2．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为_________．3．过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是以侧棱为底边的等腰三角形，若侧面与底面所成的角为θ，则=θcos _________．4．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的表面积为_________． 5．长方体1111ABCD A B C D -内接于球面，且12,3,1AB AD AA ===，则顶点,A B 间的球面距离为____________．6．在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =________cm ．7．直线t ty tx (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为________． 8．甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 _________种．9．上海F1赛组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共________种．10．在直角坐标平面xoy 上，由不等式组221x y x y ⎧≤⎪⎪≤⎨⎪-≤⎪⎩确定的区域面积为___________．11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是____________．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，,AB a P =为线段1BC 上一点，Q 为平面ABCD内一点，则1D P PQ +的最小值为______________．二、选择题（每题3分，共12分）13．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥ 则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件14．如右图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（）A ．B ．C ．D ．15．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（） A ．22228642P P P P； B ．22228642C C C C； C ．2222486424C C C C P； D ．222286424!C C C C16．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱PQBCD11B 1C 1D 1 1 主视图1 1左视图的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）A ．①②；B ．②③；C 、①③；D ．①③④三、解答题：（本大题满分52分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）17．（8分）晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：（1）3个舞蹈节目排在一起；（2）3个舞蹈节目彼此分开；（3）3个舞蹈节目先后顺序一定；（4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．18．（10分）（1）解不等式3221326x x x P P P +≤+；（2）已知m m m C C C 76510711=-，求mC 8．19．（10分）如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为20π，2OA =，120AOP ∠=︒．（1）求异面直线1A B 与AP 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求点A 到平面1A PB 的距离．20．（10分）已知中心在原点，顶点1A 、2A 在x 轴上，其渐近线方程是y x =，双曲线过点(6,6)P ．（1）求双曲线方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问:是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论．A 1A（第19题）21．（14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90,3,6, C BC AC D E ∠=︒==、分别是AC AB 、上的点，且//,2DE BC DE =，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BE 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．2015-2016学年第二学期5月份阶段考试高二年级数学试卷（参考答案）考生注意：时间90分钟，总分100分，试卷共4页．一、填空题（每题3分，共36分）1．2222310C C C +++=___165_____．2．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为____12π_____．3．过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是以侧棱为底边的等腰三角形，若侧面与底面所成的角为θ，则=θcos ___13______． 4．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的表面积为___8π____． 5．长方体1111ABCD A B C D -内接于球面，且12,1AB AD AA ===，则顶点,A B 间的球面距离为． 6．在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =___32_____cm ．7．直线t t y tx (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为____2____． 8．甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有____122653180C C C =_____种．9．上海F1赛组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共____36____种．10．在直角坐标平面xoy 上，由不等式组221x y x y ⎧≤⎪⎪≤⎨⎪-≤⎪⎩确定的区域面积为____12_______．11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是_30+65_．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，,AB a P =为线段1BC 上一点，Q 为平面ABCD内一点，则1D P PQ +的最小值为______________．212a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭二、选择题（每题3分，共12分）13．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥ 则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件 14．如右图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ C ）A ．B ．C ．D ．15．高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有（ B ） A ．22228642P P P P； B ．22228642C C C C； C ．2222486424C C C C P； D ．222286424!C C C CPQABCD1A 1B 1C 1D 1 1 主视图1 1左视图16．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ C ）A ．①②；B ．②③；C 、①③；D ．①③④三、解答题：（本大题满分52分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤） 17．（8分）晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：（1）3个舞蹈节目排在一起；（2）3个舞蹈节目彼此分开；（3）3个舞蹈节目先后顺序一定；（4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．解：（1）63634320P P = （2）535614400P P =（3）8383/6720P P = （4）84485437440P P P -= 各2分18．（10分）（1）解不等式3221326x x x P P P +≤+；解： 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --≤++-，-------1分∵3x ≥，∴3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --≤++-，即2317100x x -+≤，-------2分解得253x ≤≤，-------3分 ∵3x ≥，且x N *∈，-------4分 ∴解集为{}3,4,5．-------5分（2）已知m m m C C C 76510711=-，求mC 8．解：()()()5!!6!!7!!75!6!107!m m m m m m -⨯-⨯-⨯-=⨯--------2分()()7661660m m m ----=--------3分 2m =--------4分828m C =--------5分19．（10分）如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为20π，2OA =，120AOP ∠=︒．（1）求异面直线1A B 与AP 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求点A 到平面1A PB 的距离．（1）解：以O 为原点，分别以OB ，1OO 为y ，z 轴的正向，并以AB 的垂直平分线为x 轴，建立空间直角坐标系．由题意2122220S AA π=⋅+2π⋅⋅=π表，解得13AA=． -------------2分易得相关点的坐标分别为：()0,2,0A -，)10P ,，()10,2,3A -，()0,2,0B ．得()3,3,0AP =，()10,4,3A B =-， -------------------3分设1A B 与AP 的夹角为θ，异面直线1A B 与AP 所成的角为α，则112cos 05A B AP A B APθ⋅==>⋅，得cos cos αθ=，---------------4分即异面直线1A B 与AP 所成角的大小为arc cos5----------------5分（2）设平面1A PB 的法向量为(,,)n u v w =，则1,n A B n BP ⊥⊥-----------6分11(0,4,3),(3,1,0),0,0A B BP n A B n BP =-=-⋅=⋅= 443030w v v w v u ⎧=⎪-=⎧⎪⎪∴⇒⎨-=⎪=⎪⎩，取3v =，得平面1A PB 的一个法向量为(3,3,4)n =，-------------------8分且27n =，1(0,0,3)A A =---------------------------------------9分A 1A（第19题）所以点A 到平面1A PB的距离11227n A A d n⋅===．------------10分20．（10分）已知中心在原点，顶点1A 、2A 在x 轴上，其渐近线方程是y x =，双曲线过点(6,6)P ．（1）求双曲线方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问:是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论．【解答】 (1)如图，设双曲线方程为22221xy a b-= …………1分由已知得2222661a bb a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………3分解得22912a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以所求双曲线方程为221912x y -=……………………4分 (2) (6,6)P 、()13,0A 、()23,0A -，∴其重心()2,2G …………………………………………………………5分假设存在直线l ，使()2,2G 平分线段MN ，设()()1122,,,M x y N x y ，则有22121112221212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴43k =……………………7分 ∴l 的方程为()4223y x -=-………………………………………8分由221291084233x y y x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩,整理得24280x x -+= ∵0∆<,∴所求直线l 不存在．…………………………………………10分21．（14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90,3,6, C BC AC D E ∠=︒==、分别是AC AB 、上的点，且//,2DE BC DE =，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BE 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．解：（1）CD DE ⊥，1A D DE ⊥,1,A D CD 是平面1ACD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面1ACD ，………………1分又1A C平面1ACD ， ∴1A C ⊥DE ………………2分又1AC CD ⊥,,DE CD 是平面BCDE 内的两条相交直线， ∴1A C ⊥平面BCDE ．………………3分（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，(0023A ，，，()030B ，，，()220E -，， ∴(10323A B =-，，,()1210A E =--，，………………5分设平面1A BE 的一个法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴32z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴取2y =，得(123n =-，，………………7分又∵(103M -，，zyxA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M∴(10CM =-， ,CM n θ<>=，CM 与平面1A BE 所成角α∴cos ||||1CM n CM n θ⋅====⋅cos cos 2αθ==…9分∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒．………………10分（3）设线段BE 上存在点P ，设P 点坐标为()2,3,0t t --，则[]0,1t ∈则(12,0,A D =--，()22,3,0DP t t =-+- 设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，，则()()111120022300x tx t y ⎧-+-=⎪⎨-++-+=⎪⎩ ∴取，得)1223,,13t n t ⎛⎫-=- ⎪⎪-⎝⎭．假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n ⋅=)[]2250,0,133t t t -==∉-，………………13分∴不存在线段BE 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．………………14分。

2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣13．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞05．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=110．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．512．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据空间向量的坐标表示，求出即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），∴=（2﹣1，2﹣2，0﹣3）=（1，0，﹣3）．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是基础题．2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x=﹣1．故选D．【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．3．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆+=1中a=3，b=2，求出c，即可求出椭圆+=1的离心率．【解答】解：∵椭圆+=1中a=3，b=2，∴c==，∴e==，故选：C．【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的．【解答】解：∵x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x2＞4的解集为{x|x ＞2或x＜﹣2}”，故命题q错误．∴A，B，C不对，D正确应选D．【点评】考查复合命题真假的判断方法，其步骤是先判断相关命题的真假，然后再复合命题的真假判断规则来判断复合命题的真假．7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义．【分析】要判断：“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的什么条件，我们要在前提条件abc≠0的情况下，先判断，“ac＞0”时“曲线ax2+by2=c是否为椭圆”，然后在判断“曲线ax2+by2=c为椭圆”时，“ac ＞0”是否成立，然后根据充要条件的定义进行总结．【解答】解：若曲线ax2+by2=c为椭圆，则一定有abc≠0，ac＞0；反之，当abc≠0，ac＞0时，可能有a=b，方程表示圆，故“abc≠0，ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的必要非充分条件．故选B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先设双曲线的方程，再由题意列方程组，处理方程组可求得a，进而求得b，则问题解决．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF1|﹣|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2=20．又∵|PF1|•|PF2|=2，∴4a2=20﹣2×2=16∴a2=4，b2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y2=1．故选C．【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，同时考查处理方程组的能力．10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】要求AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值，在平面BB1C1C作出AC1的射影，利用解三角形，求出所求结果即可．【解答】解：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D===故选C【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．【解答】解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=．故选C．【点评】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．12．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意知，直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），作图如右图：∵椭圆的焦距为2c，∴直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c．∴|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，又|MF1|+|MF2|=2a，∴2a=（+1）c，∴该椭圆的离心率e===﹣1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0）是关键，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于5．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=4；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=4．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，此类型的题目一般运用圆锥曲线的定义求解，会使得问题简单化．属基础题．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，∴=，∴2=（）2=+2||•||cos60°+2•||cos60°+2•cos60°=1+1+1+++=6，∴AC1的长为||=．故答案为：．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】平面的法向量．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=3．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2，整理后两边同除以x A2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0 ∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x A2（x A2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【专题】计算题；综合题．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，即命题P：a＞1或a＜﹣3；∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，∴4+（a﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a＜3，即命题q：﹣1＜a＜3，由pΛq为假命题，¬q也为假命题，∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出双曲线方程为，设点P（x0，y0），则，（x0），由此能证明•的取值范围为[3+2，+∞）．【解答】解：此命题为真命题．证明如下：∵F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，∴a2+1=4，解得a2=3，∴双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有=1，（），解得，（x0），∵=（x0+2，y0），=（x0，y0），∴==x0（x0+2）+=，这个二次函数的对称轴为，∵，∴当时，取得最小值=3+2，∴•的取值范围为[3+2，+∞）．【点评】本题考查命题真假的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【考点】轨迹方程；抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．【解答】解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为k OA、k OB．∴由OA⊥AB，得①依点A在AB上，得直线AB方程②由OM⊥AB，得直线OM方程③设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x2+，整理得④由③、④两式得由①式知，y A y B=﹣16p2∴x2+y2﹣4px=0因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．【点评】本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos＜＞的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得，解得λ的值，可得的坐标以及||的值，从而得出结论．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，建立空间坐标系．则有题意可得D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（﹣，0，﹣1），=（﹣1，0，1），cos＜＞==﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．又=（，﹣1，0），=+=（，λ﹣1，λ），由ES⊥平面AMN可得，即，解得λ=．此时，=（0，，），||=，故当||=时，ES⊥平面AMN．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。

上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题(解析版)

2015-2016学年上海市复兴高级中学高二（上）期末数学试卷一、填空题1. 抛物线24x y =的焦点坐标是__________．【答案】()0,1 【解析】【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.【详解】因为抛物线方程为24x y =，所以焦点在y 轴上，且焦点为()0,1. 故答案为()0,1【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型. 2. 已知复数z 与（z+2）2+5均为纯虚数，则复数z=__．【答案】±3i 【解析】【分析】设(,0)z bi b R b =∈≠，然后代入2(2)5z ++利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知条件列出方程组，求解即可得答案．【详解】解：设(,0)z bi b R b =∈≠，222(2)5(2)594z bi b bi ++=++=-+为纯虚数，∴29040b b ⎧-=⎨≠⎩，解得3b =±，3z i ∴=±．故答案为：3i ±．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题． 3. 已知直线l 的一个法向量是n (1,3)=-，则此直线的倾斜角的大小为__．【答案】6π【解析】【分析】设直线的方向向量为(,)m a b =，直线的倾斜角为α．利用0m n =，即可得出．【详解】解：设直线的方向向量为(,)m a b =，直线的倾斜角为α．则30m n a b =-=，∴tan b aα=，6πα∴=，故答案为：6π．【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．4. 若圆C 经过点A （1，2）及点B （3，1），且以AB 为直径，则圆C 的标准方程为__．【答案】（x ﹣2）2+（y ﹣32）2=54【解析】【分析】因为线段AB 为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB 的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C 与点A 之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．【详解】解：(1,2)A ，(3,1)B ，设圆心为C ，∴圆心C 的坐标为3(2,)2C ；||AC ∴=，即圆的半径2r =，则以线段AB 为直径的圆的方程是2235(2)()24x y -+-=．故答案为：2235(2)()24x y -+-=．【点睛】此题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径．同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程．5. 已知|z|=1，则|1|z -+的取值范围是__．【答案】[]1,3 【解析】【分析】满足||1z =的复数z ，在以原点为圆心，1为半径的圆上，而|1|z -+表示复数z 在复平面内对应点到点(1,A 的距离，利用点与圆的位置关系求出取值范围.【详解】解：满足||1z =的复数z ，在以原点为圆心，1为半径的圆上，而1z -+表示复数z 在复平面内对应点到点(1,A 的距离，12AO ==min111z AO ∴-+=-=，max113z AO -=+=，故113z i ≤-≤ 故答案为：[]1,3【点睛】本题考查两复数差的模的几何意义，转化为点与圆的位置关系，属于基础题．6. 已知抛物线的顶点是椭圆2212516x y +=的中心，焦点是椭圆的右焦点，则抛物线方程为________．【答案】212y x = 【解析】【分析】求出椭圆的右焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线方程．【详解】因为椭圆2212516x y +=的右焦点为(3,0)，所以抛物线的6p，而抛物线的顶点是椭圆2212516x y +=的中心，焦点是椭圆的右焦点，所以抛物线方程为：212y x =．故答案为：212y x =．【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 7. 已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．【答案】8 【解析】【分析】【详解】直线与抛物线联立可得2121066x x x x +⇒+-==，因为直线1y x =-过抛物线焦点（1，0），所以12628AB x x p =++=+=8. 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组220210380x yx yx y--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为__．【答案】1 3 -【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当点M位于A时，直线的斜率最小，由210380x yx y+-=⎧⎨+-=⎩，解得31xy=⎧⎨=-⎩，即(3,1)A-，OM∴的斜率1133k-==-，故答案为：13-．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于中档题．9. 与椭圆2214924x y+=有相同的焦点且以43y x=±为渐近线的双曲线方程．【答案】221916x y-=【解析】试题分析：∵椭圆2214924x y +=的焦点为（5，0）（-5，0），故双曲线中的c=5，且满足43b a =，22a b +=25，∴2a =9，2b =16，所求双曲线方程为221916x y -=．考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质．点评：基础题，理解椭圆、双曲线的几何性质，注意布列a,b,c 的方程．10. 在平面直角坐标系中，O 为原点， (1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是．1 【解析】【分析】【详解】试题分析：设()()()22,,3,,1,31D x y CD x y CD x y =-=∴-+=，表示以()3,0M 为圆心，r=1为半径的圆，而(1,OA OB OC x y ++=-，所以(OA OB OC x t ++==，(1,,P PM ∴==，11PM r t PM r t ∴-≤≤+≤≤，故OA OB OD ++得最大值为1 考点：1．圆的标准方程；2．向量模的运算 11. 已知函数()21x f x x -=-与()1g x mx m =+-的图像相交于点A ，B 两点，若动点P 满足4PA PB +=，则点P 的轨迹方程是______. 【答案】（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．【解析】分析】函数f （x ）21x x -==-111x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）．直线g （x ）＝mx+1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）．可得两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称．设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）．利用动点P 满足|PA PB +|＝4，即可得出．【详解】函数f （x ）21x x -==-111x --，可得f （x ）的对称中心为Q （1，1）．直线g （x ）＝mx+1﹣m 即y ＝m （x ﹣1）+1，经过定点Q （1，1）．则两图象相交的两点A ，B 关于点Q 对称．设A （x 0，y 0），B （2﹣x 0，2﹣y 0）．设P （x ，y ）． ∵PA PB +=（2﹣2x ，2﹣2y ）．∵动点P 满足|PA PB +|＝4=4，化为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4．【点睛】本题考查了函数的对称性、轨迹方程、向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，准确推理两函数均关于点（1,1）对称是关键，属于中档题．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若动点P （a ，b ）到两直线l 1：y=x 和l 2：y=﹣x+2的距离之和为a 2+b 2的最大值为__．【答案】18 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式可得：|||2|4a b a b -++-=．通过分类讨论可知：点(,)a b 是如图所示的正方形的4最大值．【详解】解：动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+的距离之和为∴+=，化为|||2|4a b a b -++-=．分为以下4种情况：0203a b a b a -⎧⎪+-⎨⎪=⎩或0201a b a b b -⎧⎪+-<⎨⎪=-⎩或0203a b a b b -⎧⎪+->⎨⎪=⎩或0201a b a b a -⎧⎪+-<⎨⎪=-⎩．可知点(,)a b 是如图所示的正方形的4条边．可知：当取点A=22a b ∴+的最大值为18．故答案为：18．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．13. 已知集合M={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N={P|PA 2PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【答案】43π+3【解析】【分析】建立坐标系：M 为直线1y x =-和3y x =-之间的点的集合（含线上的点），N 集合为以(3,0)为中心，半径为2的圆内的点的集合，联立方程组，求出点C ，D 的坐标，求出CD 的长，再解直角三角形，求出扇形的圆心角，根据图形之间的面积，最后求出M N ⋂的图形面积．【详解】解：建立坐标系：M 为直线1y x =-和3y x =-之间的点的集合（含线上的点），设P 点的坐标为(,)x y 则可将2PAPB 表示成：22(1)2(x y x ++-2222(1)2[(1)]x y x y ∴++-+， 22(3)8x y ∴-+，即N 集合为以(3,0)为中心，半径为22 则直线3y x =-经过圆心F ，过圆心F 做FE CD ⊥，垂足为E ，联立方程组得到221(3)8y x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得23=±x 13y =则(23D 13)-，(23C +，13)，222||(2323)(1313)24CD ∴=+++=，即26CD =162CE CD ∴==，在直角三角形CEF 中，63sin 22CE CFE CF ∠===， 60CFE ∴∠=︒，120CFD ∴∠=︒，120883603CFD S ππ∴=⨯=扇形，113sin12082322CFD S CF DF ∆=︒=⨯⨯=， 8233CFD CFD S S S π∆∴=-=-弓形扇形，1842S ππ=⨯=半圆，844232333M N S S S πππ⋂⎛⎫∴=-=--=+ ⎪⎝⎭弓形的图形半圆，故答案为：4233π+．【点睛】本题以集合的交集为载体，考查了直线和圆的位置关系，求出三角形，扇形，弓形的面积，属于中档题． 14. 关于曲线2211,1C x y +=，有如下结论： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线x ±y=0对称；③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π； ④曲线C 不是封闭图形，且它与圆x 2+y 2=2无公共点；⑤曲线C 与曲线:||||2D x y +=4个交点，这4点构成正方形．其中所有正确结论的序号为__．【答案】①②④⑤ 【解析】【分析】分析关于原点对称的两点(),x y 与(),x y --，是否都在曲线上，即可判断①；分析关于直线y x =与y x =-对称，点(),x y 与(),y x ，点(),x y 与(),y x --是否都在曲线上，即可判断②；根据21x >，21y >，可判断③；联立方程，可判断④⑤；【详解】解：对于①，将方程中的x 换成x -，y 换成y -方程不变，故①正确；对于②，将方程中的x 换成y -，y 换成x -方程不变；或将方程中的x 换成y ，y 换成x 方程不变，故②正确；对于③，由方程得21x >，21y >，故曲线C 不是封闭图形，故③错；对于④，联立曲线2211:1C x y+=圆222x y +=，方程组无解，无公共点，故④正确；对于⑤，当0x >，0y >时，联立曲线C 与22x y +=只有一解(2,2)，根据对称性，共有有4个交点，这4点构成正方形，正确．故答案为：①②④⑤【点睛】本题考查了命题真假的判定，属于基础题. 二、选择题15. “直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．【详解】解：“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A ．【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．16. 已知直线3443x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t R ∈），则下列说法错误．．的是（） A. 直线的倾斜角为3arctan 4B. 直线必过点11(1,)2-C. 当1t =时，直线上对应点到点(1,2)的距离是32D. 直线不经过第二象限【答案】C 【解析】【分析】先将直线的参数方程化普通方程，然后对各选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】直线3443x t y t=+⎧⎨=-+⎩，普通方程为34250x y --=，斜率3tan 4k α==，所以直线的倾斜角为3arctan 4；当1x =时，112y =-；直线34250x y --=化斜截式为：32544y x =-，不经过第二象限；当1t =时，该点坐标为()7,1-，它到到点(1,2)的距离是()()22711235-+--=故选：C ．【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的互化，斜率与倾斜角的关系，两点间的距离公式的应用等，属于基础题．17. 若直线ax+by ﹣3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，设点P 的坐标（a ，b ），那过点P 的一条直线与椭圆2243x y +=1的公共点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 1或2【答案】C 【解析】【分析】根据直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点即为将方程代入圆中消去x 得到方程无解，利用根的判别式小于零求出a 与b 的关系式，得到a 与b 的绝对值的范围，再根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．【详解】解：将直线30ax by +-=变形代入圆方程223x y +=，消去x ，得2222()6930a b y by a +-+-=．令∆<0得，223a b +<．又a 、b 不同时为零，2203a b ∴<+<．222231433a b a b +<+< ∴可知(,)P a b 在椭圆内部，∴过点P 的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点有2个．故选：C ．【点睛】本题考查学生综合运用直线和圆方程的能力．以及直线与圆锥曲线的综合运用能力，属于中档题．18. F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2的值为（）A. 2 【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的定义算出△12AF F 中，1||2AF a =，2||4AF a =，由2ABF ∆是等边三角形得12120F AF ∠=︒，利用余弦定理算出c =，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率．【详解】解：根据双曲线的定义，可得12||||2BF BF a -=，2ABF ∆是等边三角形，即2||||BF AB =，12||||2BF BF a ∴-=，即11||||||2BF AB AF a -==，又21||||2AF AF a -=，21||||24AF AF a a ∴=+=，12AF F ∆中，1||2AF a =，2||4AF a =，12120F AF ∠=︒，222121212||||||2||||cos120F F AF AF AF AF ∴=+-︒，即222214416224()282c a a a a a =+-⨯⨯⨯-=，解之得c =，由此可得双曲线C 的离心率c e a ===．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题19. 已知复数z 满足z=261ii-+-﹣4．（1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w=z+ai ，且|w |≤|z|，求实数a 的取值范围．【答案】（1）82z i =--（2）﹣4≤a ≤0 【解析】分析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【详解】解：（1）261iz i-+=- (26)(1)482(1)(1)i i z i i i -++∴=-=-+-+，∴82z i =--．（2）w z ai =+8(2)w a i ∴=-++，∴||z =||w ==||||w z ，则268468a a ++，240a a +，40a -，所以，实数a 的取值范围是：40a -．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．20. 已知圆C 过两点A （0，4），B （4，6），且圆心在直线x ﹣2y ﹣2=0上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过原点且被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程．【答案】（1）（x ﹣4）2+（y ﹣1）2=25（2）x=0或15x+8y=0 【解析】【分析】（1）线段AB 的垂直平分线为290x y +-=与直线220x y --=联立，求出圆心坐标，半径，即可求圆C 的方程；（2）分类讨论，求出圆心C 到直线l 的距离，利用直线l 过原点且被圆C 截得的弦长为6，结合勾股定理，求出k ，即可求直线l 的方程．【详解】解：（1）线段AB 的垂直平分线为290x y +-=与直线220x y --=联立可得圆心(4,1)C ，∴半径=5r ，故所求圆C 的标准方程为22(4)(1)25x y -+-=．（2）当直线l 的斜率不存在时，0x =显然满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线:l y kx =，弦长为6，∴圆心C 到直线l 的距离4d =，4=，解得158k =-，此时直线:1580l x y +=，故所求直线l 的方程为0x =或1580x y +=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．21. 在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：命题“如果直线l 过点T （3，0），那么OA OB ⋅＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，消去x 后利用韦达定理判断2121212121()4OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题；（2）根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.【详解】（1）证明：设过点(,)30T 的直线l 交抛物线22y x =于点1122(,),(,)A x y B x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l 与抛物线相交于(3,A B ，所以963OA OB ⋅=-=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，22(3)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，得2260ky y k --=，则126y y =-，又因为22112211,22x y x y ==，所以212121212136()6344OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=，综上所述，命题“如果直线l 过点T （3，0），那么OA OB ⋅＝3”是真命题；（2）逆命题是：“设直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点，如果OA OB ⋅＝3，那么该直线过点2(1)3y x =+”，该命题是假命题，例如：取抛物线上的点1(2,2),(,1)2A B ，此时OA OB ⋅＝3，直线AB 的方程为2(1)3y x =+，而T （3，0）不在直线AB 上.【点睛】该题考查的是有关判断命题真假的问题，涉及到的知识点有四种命题之间的关系，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积，属于简单题目. 22. 设复数β=x+yi （x ，y ∈R ）与复平面上点P （x ，y ）对应．（1）若β是关于t 的一元二次方程t 2﹣2t+m=0（m ∈R ）的一个虚根，且|β|=2，求实数m 的值；（2）设复数β满足条件|β+3|+（﹣1）n |β﹣3|=3a+（﹣1）n a （其中n ∈N *、常数3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），当n 为奇数时，动点P （x 、y ）的轨迹为C 1．当n 为偶数时，动点P （x 、y ）的轨迹为C 2．且两条曲线都经过点，求轨迹C 1与C 2的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹C 2上存在点A ，使点A 与点B （x 0，0）（x 0＞0）的最小距x 0的取值范围．【答案】（1）m=4（2）221123x y += （3）00x <0x ≥【解析】【分析】（1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出m 的值．（2）分n 为奇数和偶数，化出a 的范围，联立双曲线方程，求出a 值，推出双曲线方程即可．（3）设点A 的坐标，求出||AB 表达式，根据x 范围，x 的对称轴讨论0330x <，0x >时，||AB ，求出实数0x 的取值范围．【详解】解：（1）β是方程的一个虚根，则β是方程的另一个虚根，则2||4m βββ===，所以4m =（2）①当n 为奇数时，|3||3|2a ββ+--=，常数3(,3)2a ∈，轨迹1C 为双曲线，其方程为222219x y a a-=-，x a ； ②当n 为偶数时，|3||3|4a ββ++-=，常数3(,3)2a ∈，轨迹2C 为椭圆，其方程为22221449x ya a +=-；依题意得方程组42224222421445990449421536019a a a a a a a a⎧+=⎪⎧-+=⎪-⇒⎨⎨-+=⎩⎪-=⎪-⎩ 解得23a =，因为332a <<，所以a =此时轨迹为1C 与2C 的方程分别是：22136x y -=，()3x；221123x y +=．（3）由（2）知，轨迹222:1123x y C +=，设点A 的坐标为(,)x y ，则22222001||()()34AB x x y x x x =-+=-+-22220000334123()34433x x x x x x x =-++=-+-，[x ∈-当040233x <即0330x <时，22014||333min AB x =-，005x ∴<当043x >0x >时，023|||min AB x =-，083x ∴综上005x <或083x ．【点睛】本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题．23. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当TF PQ最小时，求点T 的坐标.【答案】(1) 22162x y +=；（2）证明见解析，(3,0)T -【解析】【分析】（1）由题意2c =，又222,a a b c ==+，由此可求出,a b 的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：()223420my my +--=.（ⅰ）设PQ 的中点为()00,M x y ，求出,OM OT k k ，只要OM OT k k =，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用m 表示出PQ ，TF可得：2|TF PQ =⎫≥=再根据取等号的条件，可得T 的坐标. 【详解】（1）2c =，又22222,6,162x y a b a =⇒==∴+=. （2）椭圆方程化为2236x y +=.（ⅰ）设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：()223420m y my +--=.设PQ 的中点为()00,M x y ，则002226,33m y x m m ==-++ 又TF 的方程为()02y m x -=-+，则3x =-得y m =，所以003OM OT y mk k x ==-=，即OT 过PQ 的中点，即OT 平分线段PQ.（ⅱ）)2213m PQ m +==+，又TF =，所以2212|3m TF PQ ++⎫===≥=. 当1m =±时取等号，此时T 坐标为()3,1T -±.【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法，属于中档题.。

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