第十一章 非平稳时间序列分析 《计量经济学》PPT课件

(1987)推荐的方法，k的最大值为 [12(T /100 )1/ 4] ，其 中［x］表示x的最大整数部分，T
我们用下面的例子来说明ADF检验应用EViews 软件是如何进行的。 例11.2.1 检验国内生产总值(y)时间序列（表11.2.1 见精编本265-266页）的平稳性。
利用EViews软件，首先建立工作文件输入样本数据。 1.利用散点图判断平稳性 利用样本数据作散点图如图11.2.2所示:
模型（1）
yt
k
yt1 i
yti
vt
i1
k
模型（2） yt yt1 i yti vt i1 k
模型（3） yt t yt1 i yti vt i1
其中 δ = ρ – 1 ，k为滞后项数。模型（2）含有常
数项，没有时间趋势项，模型（3）含有常数项和时
间趋势项。滞后项数k的选取采用Schwartz（施瓦茨）
yt = yt-1 + ut
（11.2.3）
（11.2.3）式成为一个纯随机游走过程。
2. 当α = μ 时，(11.2.2)式可写成
yt = μ + yt-1 + ut
（11.2.4）
（14.2.4）式成为一个带飘移的随机游走过程。
3. 当 α = μ + βt 时，(11.2.2)式可写成
yt = μ + βt + yt-1 + ut
GENR DY = Y – Y(-1) 生成差分序列Δy，用OLS法估计模型
Δyt = δyt-1 + ut 的参数，如图11.2.4所示：
图11.2.4
由图11.2.4可知，ˆ =0.105475， Tδ=9.987092。此结
果也可以由EViews软件中的单位根检验功能（选择 不包含常数项和滞后项数为零）直接给出， 如图11.2.5所示:
（11.1.5）
（11.1.5）式表明随机游走序列的一阶差分式是平
稳的。
2.带漂移项的随机游走（random walk with drift）序列
带漂移项的随机游走序列由下式确定：
yt = μ+ yt-1 + ut
（11.1.6）
式中μ为非零常数，称之为“漂移项”，ut为白噪声序列。
μ所以被称之为“漂移项”，是因为（11.1.6）的一阶差
（1-ρL）yt = ut
(11.2.8)
yt平稳的条件是特征方程1-ρz = 0 根的绝对值大于1。
显然，此方程仅有一个根 z = 1/ρ，由 | z | >1, 知平
稳性要求 | ρ | < 1 。
因此，检验 yt 的平稳性的原假设和备择假设为 H0: | ρ| ≥ 1 ；H1: | ρ | <1 （11.2.9）
第十一章 非平稳时间序列分析 【本章要点】（1）非平稳时间序列基本概念 （2）时间序列的平稳性检验（3）协整的概念以 及误差修正模型(ECM) 本章将只对非平稳时间序列的基本概念、时间序 列的平稳性的单位根检验以及协整理论等进行简 要讲述。
时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随 着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数 据的随机过程的统计特征随时间变化而变化。只要 宽平稳的三个条件不全满足，则该时间序列便是非 平稳的。当时间序列是非平稳的时候，如果仍然应 用OLS进行回归，将导致虚假的结果或者称为伪回 归。这是因为其均值函数、方差函数不再是常数， 自协方差函数也不仅仅是时间间隔的函数。
一、利用散点图判断平稳性
利用时间序列的散点图判断平稳性，是一种最简单 的方法。首先画出该时间序列的散点图，然后观察 散点是否是围绕其均值上下波动的曲线，如果是的 话，可以判断该时间序列是一个平稳时间序列。否 则的话，该时间序列是非平稳的。
例如，时间序列{yt , t = 1,2, …},观测点在其均值水平 线上下波动，如图11.2.1所示，则可以认为该样本来 自平稳序列{yt , t = 1,2, …}。
ˆ 1 T Vˆ (ˆ )
或
T
ˆ Vˆ (ˆ)
（11.2.12）
（11.2.12）式中 Vˆ (ˆ ) 和 Vˆ (ˆ)分别为参数估计量
ˆ 和 ˆ 的方差估计值。
但是，这里的问题是（11.2.12）式中的统计量Tρ和 Tδ 不服从t分布，而是一个非标准的非对称的分布， 它具有Dickey-Fuller(1979)提出的分布（简称DF分布） ，相应的检验就是我们下面要介绍的著名的Dickey -Fuller（简称DF）检验。
图11.2.2
y 的图形近似于指数增长，因而是非平稳的。 2.利用样本自相关函数进行稳定性判断 利用样本数据作自相关函数图形，如图11.2.3所示：
图11.2.3
从图11.2.3可以看出，自相关函数(Autocorrelation) 随着k的增加，衰减缓慢，说明 y 序列是非平稳的。
3.单位根检验（Unit Root Test ） （1）DF检验 在工作文件窗口，输入命令：
H0:δ = 0 ；H1:δ < 0 （11.2.11） 当δ = 0 时，原假设H0为真，则相应的随机过程为 是非平稳的。可以看出，非平稳性问题或单位根问
题，可以表示为ρ = 1或δ = 0 。
从而我们可以将检验时间序列 yt 的非平稳性的问题 简化成在模型（11.2.7）中，检验回归参数ρ = 1是 否成立，或者在模型（11.2.10）中，检验回归参数 δ = 0是否成立。按照以前参数检验的做法，我们可 以分别用两个t检验进行：
ˆ T Vˆ (ˆ)
（11.2.13）
第二步：检验假设 H0: δ = 0 ；H1: δ < 0
若 Tδ > τ，则接受原假设H0 ，即yt 非平稳；
若 Tδ < τ，则拒绝原假设H0 ，即yt 为平稳序列。
τ为DF分布表的临界值。
2.ADF检验 DF检验存在的问题总是假设随机项误差 vt 为白噪声。 但大多数的经济数据序列是不满足此项要求的。为此 Dickey和Fuller(1979)提出扩展的DF检验法，即扩展 的迪克—富勒检验(Augmented Dickey-Fuller Test)来实 现的，称为ADF检验。 这个检验将DF检验的右边扩展为包含 yt 的一些滞后项 使残差白噪声化，ADF检验的回归式为：
E( yt) y0 t E(ui) y0 t i1
t
t
V ( yt)
V (y0
t
ui)
V (ui)
t
2 u
i1
i1
（11.1.9） （11.1.10）
（11.1.9）和（11.1.10）式表明yt的均值和方差都 是t 的函数，而且随着时间发散到无穷大。显然， 带漂移项的随机游走时间序列也是非平稳时间序列。
为了求出yt的方差，我们将(11.1.1)式进行一系列
的迭代
yt = yt-1 + ut = yt-2 + ut-1+ ut = yt-3 + ut-2+ ut-1+ ut = y0+ u1+ u2+…+ ut
t
y0 ui
(11.1.3)
i1
式中y0为yt的初始值，可取任意常数或取初始值为
零。则方差
（11.2.5）
（11.2.5）式成为一个带趋势项的随机游走过程。
以上三种情况，其数据生成过程都可以概括写成如
下形式：
yt = α + ρyt-1 + ut
（11.2.6）
当α = 0，ρ =1时，式（11.2.6）就是随机游走过程；
当α =μ，ρ =1时，式（11.2.6）就是带飘移项的随
机游走过程；当α =μ+ βt，ρ =1时，式（11.2.6）
（三）DF检验 (Dickey-Fuller Test) 1.DF检验 DF检验的具体作法是用传统方法计算出的参数的T— 统计量，不与t 分布临界值比较而是改成DF分布临界 值表。
DF检验的具体做法如下：
第一步：对式
Δyt = δyt-1 + ut
（11.2.10）
进行OLS估计,然后计算统计量Tδ
常见的非平稳时间序列有以下几种: 1.随机游走(random walk)序列 随机游走序列是一个简单的随机过程：
yt = yt-1 + ut 式中ut为白噪声。
(11.1.1)
yt的均值为
E(yt) = E(yt-1) + E(ut) = E(yt-1) (11.1.2)
(11.1.2)式表明 yt 的均值不随时间的变化而变化。
ˆ k t1
T
(
yt
y
)2
t 1
（11.2.1）
当k逐渐增大时，迅速衰减，则认为该序列是平稳的；
如果它衰减非常缓慢，则认为该序列是非平稳的。
三、单位根检验（Dickey-Fuller — DF检验）
（一）单位根过程
单位根过程是较随机游走更为一般的非平稳过程，
假定有增长趋势的变量 yt 的数据生成过程可写成：
若呈现随机游走状态，一方面如果还是用OLS进 行回归，这时会导致伪回归（这是因为随机游走 不是有限方差，高斯-马尔可夫定理不再成立， OLS估计的参数不再是一致的）。另一方面，由 于这种冲击对变量的影响不会在短期内消失，所 以随机游走状态也可能是持久的，所以对变量的 平稳性的检验有着极其重要的意义。
接收原假设H0表明 yt 是非平稳的，而拒绝原假设则 表明 yt 是平稳序列。 在ρ =1时，原假设为真，此时（11.2.7）就是随机 游走过程(11.2.3)，它是非平稳的。 因此检验非平稳性就是检验ρ =1，或者说，就是检 验单位根。这样一来，就将对非平稳性的检验转化 为对单位根的检验，这就是单位根检验方法的由来。
(1-L) yt = α + ut
(11.2.2)
其中ut是平稳过程，α可取不同的值，L 是滞后算
子Lyt = yt-1。由于其特征方程
1- z = 0有一个单位根 z = 1，所以称(11.2.2)式为单
位根过程。根据α取值不同，单位根过程可以有以
下三种不同形式：
1.当α = 0 时，(11.2.2) 可写成
由式（11.2.7）两边各减去yt-1，得到
yt – yt-1 = ρyt-1 – yt-1 + ut
即
Δyt = δyt-1 + ut （11.2.10）
（11.2.10）式中差分Δyt = yt – yt-1 ,δ = ρ – 1 。 绝大多数经济变量的时间序列相关系数ρ都取正
值且小于1，因此，假设（11.2.9）可以改写为：
3. 带趋势项的随机游走序列 随机游走序列(11.1.1) 和（11.1.6）是比较简单的非 平稳序列，它们是
yt = μ + β t + yt -1 + ut
(11.1.11)
的特例。 (11.1.11) 式称为带趋势项的随机游走序列，
容易证明，该时间序列也是非平稳时间序列。
§11.2时间序列的平稳性检验 由于大多数宏观经济变量，如GDP、消费总额、 货币供应量M2等的时间序列都不是平稳的，随着 时间的位移而持续地增长，也就是说有一种增长 趋势的特征。但是当经济出现突发性振荡（如石 油价格猛增、或金融危机等）后，受到冲击的这 些宏观经济变量是逐渐回到它们的长期增长的趋 势上去呢？还是呈现出随机游走的状态。
图11.2.1 y 的散点图
二、利用样本自相关函数进行稳定性判断 不同时间序列具有不同形式的自相关函数,因此可以 从时间序列的自相关函数的图形来判断时间序列的 稳定性。
在实际应用中，采用样本自相关函数来判断时间 序列是否为平稳过程。 一般地，由样本数据计算出样本自相关函数
T k
( yt y)(ytk y)
分：
Δyt = yt – yt-1 = μ + ut
（11.1.7）
（11.1.7）式表明随机游走序列向上或向下漂移取决于μ
的符号。
由（11.1.6）式进行迭代可以得到：
t
yt y0 t ui i1
（11.1.8）
（11.1.8）式表明yt是许多随机变量的一个积累，
且具有明显的趋势。
由于
t
t
t
V(yt)
V
(
y0
ui)
V
(ui)
t
2 u
(11.1.4)
i 1
i 1
(11.1.4) 式表明 yt 的方差随时间的变化而变化， 平稳性的第二个条件遭到破坏，即随机游走时间
序列是非平稳序列。
但是，随机游走时间序列的一个很有用的一个特
点是：若将(11.1.1)式写成差分形式便有
Δyt = yt–yt-1 = ut
就是带趋势项的随机游走过程。
（二）单位根检验的基本思想
பைடு நூலகம்
在（11.2.6）式中，若α = 0，则式（11.2.6）可以
写成：
yt = ρyt-1 + ut
（11.2.7）
式（11.2.7）称为一阶自回归过程，记作AR(1),可以
证明当| ρ | <1时是平稳的，否则是非平稳的。
AR(1)过程也可以写成算符形式：