第一讲：相似三角形——比例线段

第一讲 相似三角形——相似与比例线段

第一课时

一．放缩与相似

1. 相似形的概念

一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相

同的两个图形叫做相似形。

2. 相似形的特征

(1) 相似三角形的特征

∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠C

BC

C B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征

推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。

【典型例题】

1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长

春到大连的实际距离为 千米。

【同类变式】

2. 在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得∆ABC 的三边：

AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际∆A'B'C'的周长是多少米？

3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在

该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2

,问该地实际面积是_________

4. 下列说法正确的有（ ）个

（1）有一个角是100o 的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o 的等腰三角形相似

（3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似

（5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似

A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。

【同类变式】

6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。求

矩形ABCD 的面积。

7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高

是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。

8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不

相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？

二．比例线段

(1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b 或b

a 。 (2) 比例线段：在四条线段a

b

c

d 中，其中两条线段a, b 的比等于两条线段c,d 的比, 即

d

c b a =，那个这四条线段叫做比例线段。其中，a b c

d 叫做成比例的项。 (3) 比例外项，比例内项，第四比例项

(4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b =b:c ,那么线段b 叫做线段的比例

中项。

★比例的性质

(1) 比例的基本性质

d

c b a =a

d =bc (运用等式的基本性质) 特别地，a:b =b:c ，那么b 2

=ac ,反之亦然

(2) 合比,分比性质

如果d c b a =，那么d d c b b a +=+(两种证明方法)，a b c d b d

--= (3) 等比性质 如果k b a b a ==2211，那么2121b b a a ++=k b a b a ==2

211 推论

n n b b b a a a a ++++++++...b ...321321=11b a =22b a =...=n n b a =k 注意 b 1+b 2+b 3+...+b n ≠0

(4) 反比性质

如果d c b a =，那么c

d a b = (5) 更比性质 如果

d c b a =，那么d b c a =（交换内项）或a c b d =（交换外项） 【典型例题】

1. (1) 已知a, b, c, d 是成比例线段，其中a =3,b =2,c =6,求d 的大小

(2) 已知线段a, b, c 其中一条线段是另两条线段的比例中项，且a =3,b =6,求c 的大小

2. 已知3230,2x y x y x y

--==+则 3. 已知

,24,345

a b c a b c ==++=求2a b c -+= 4. 若互不相等的四条线段的长,,,a b c d 满足a c b d =，m 是任意实数，则各正确的（ ） A ．a m c m b m d m ++=++ B. a b c d b c ++= C. a c a d c d --= D. a b c d a b c d

--=++ 5. 43b d f a c e ===，若24240,24b d f a c e a c e -+-+≠=-+则 6. 已知x, y, z 三个不同的正数，且y x y x x z z y

+==-。求x : y

7.已知AD AE

DB EC

=，AD=15，AB=40，AC=28，求AE的长度。

8. 已知AE BE

AD BC

=.求证：(1)

AE BE

ED EC

=;(2)

AE ED

BE EC

=

第二课时三．黄金分割

★黄金分割：当AP:AB=

21-5

≈0.618，我们称之为黄金分割。

注：(1) 黄金分割数

21-5

不是一条线段的长。它指的是一条线段被点P黄金分割所分成

的两条线段中较长的线段比上原线段的比值。

(2) 条件AP>PB,AP:AB=

21-5

是在这个前提下才能成立

(3) 黄金分割清晰定义：线段上一点把它分成两条线段，其中较长线段是较短线段与原线段的比例中项，这种分割叫做黄金分割。

1. (1) 已知线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC>BC,求线段AC和BC的长。

(2) 乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点。求CD的长。