比例线段与相似三角形判定
相似判定定理
相似判定定理
相似三角形有四个判定定理，分别是：
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）。
相似三角形的性质：
相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定(平行相似)
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_:_4__. A
D E
F B
G H I
C
3.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点Ｏ， 则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADEΒιβλιοθήκη △GFC△GOED
A G
O
E
B
F
C
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
C E
解析: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC
ll
A
l1
D
E l2
l
l
E
D l1
A
l2
B
C
l3
B
C l3
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
相似
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE
A
过E作EF∥AB交BC于F，则AE BF
AB AC
AC BC
∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF.
B
（图2）
C
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
图中共有__3__对相似三角形.
AB∥EF
△AOB∽△FOE
AB∥CD
△AOB∽△DOC
相似三角形平行线分线段成比例及预备定理
B
A
C
E
若DE ∥ BC 则
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB=∠DCE,
D AB ACBC. DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
A
D
E
B
CEDຫໍສະໝຸດ ABC平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形 相似.
相似三角形的预备定理：
B
D
A
E
C
7．如图，DE∥BC， （1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7， 求AE和BC的长．
8．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
9.已知EF∥BC,求证:
BD DC EG GF
A
E
G
27.2相似三角形的判定 之1
预备定理
回顾：
两个条件要 同时具备
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.
相似三角形的判定:
对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三
角形是相似三角形. 符号语言：
A
B
C B′
A′
在△ABC和△A´B´C´中，
∵ A A , B B , C C
AB B C CA .
C′
AB BC CA
∴△ABC∽△A´B´C´
2、△ABC与△A´B´C´相似比为k, 则△A´B´C´与
△ABC相似比为 1 k
对应角___相__等__, 对应边——成—比——例—的两个三
角形,
叫做相似三角形 A
27.2.1相似三角形的判定平行线分线段成比例(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的判定和平行线分线段成比例的基本概念。相似三角形是指形状相同但大小不一定相同的三角形，它们在几何变换中具有重要作用。平行线分线段成比例是指在三角形中，如果一条平行于一边的直线截断三角形的另外两边，那么所截得的线段比例相等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例，了解相似三角形的判定和平行线分线段成比例在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
3.培养学生的空间想象力和创新能力，让学生在解决实际问题时，能够灵活运用平行线分线段成比例的性质，设计合理的解题方案；
4.培养学生的数学建模和数学应用能力，使学生能够将所学知识应用于解决生活中的几何问题，提高学生的数学素养和实际操作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）相似三角形的判定方法：AA、SAS、SSS
举例：在复杂的四边形中，学生需要识别出平行线分线段成比例的部分，并运用此性质解决问题。
（3）综合运用相似三角形的判定和平行线分线段成比例解决实际问题
-学生需要将所学知识综合运用，解决几何证明和计算问题。
举例：在实际问题中，学生可能需要先判定两个三角形相似，然后利用平行线分线段成比例的性质求解未知长度。
其次，在平行线分线段成比例的教学中，我注意到学生们在将理论知识应用到实际问题解决时，存在一定的难度。这可能是因为他们对平行线分线段成比例的性质理解不够深入。在以后的教学中，我需要设计更多具有实际情境的问题，让学生在实际操作中感受这一性质的应用，提高他们的解题能力。
此外，课堂上的小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们在讨论相似三角形和平行线分线段成比例在实际生活中的应用时，提出了很多有趣的观点。这说明学生们已经能够将所学知识与生活实际联系起来，这是值得肯定的。但同时，我也发现部分学生在讨论中过于依赖他人，缺乏独立思考。针对这一问题，我需要在今后的教学中，多关注学生的个体差异，鼓励他们独立思考，提高解决问题的能力。
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段
A
E
F
B
D
C
作业
姓名： 作业等级： . 1.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图，某女士 身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿 的高跟鞋的高度大约为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠， 使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为（ ） A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
10.在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BD∶DC=AB∶AC， BD－DC=2cm，求 BC.
◆----平行线分线段成比例定理 质定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线） ，所得的对应线段成比例。 2、三角形一边的平行线的判定定理 1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 3、三角形一边的平行线的性质定理 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延 长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 例 、 如 图 5， 在 △ABC 中 ， D 是 BC 上 的 点 ， E 是 AC 上 的 点 ， AD 与 BE 交 于 点 F， 若 AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。
1 2
a b c ，则 x 的值一定是（ bc ac ab 1 3 B、-1 C、 或-1 D、 2 2
）
2.已知一次函数 y kx 1 中，比例系数 k 满足 k 试求直线 y kx 1 与 x 轴的交点坐标.
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠04、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，=，nmb a =语言描述如下：=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若=.=，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
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H
GFE
13D 2a HD二日a
A
B
C
D
㗊 厽追 㗊 您 追 筇二器 冷
HBCU DBH
石 8 在AABC中 点M N分别为边AC BC的中点 若SACNM二2 则5四边形ABNM二
T MN为AABC中位线
A
M
i MN lAB ACNMGACA3
C
N
B
SACNM
SAACB
I I CM 二
CA
SAACB 45 cnn 二 8
SABNMESAABC Sx M 6
石 9 ABC中 DENFGNBC点吓是奶的三等分点 四边形DFGE和四边形FBCG的面积分
别记作S S2 则 Sis等于
A
T DEHFG
D
E
F
G
AD En AAFG
GǗ SAADE 二
SAAFG
之本
B
c
SAAFG 4SAADE S 二 3SAADE
i DENBC
照 喈然 1 it 题 吕皇 二 二千
A Dl
B
Eh
DF 二 平
C
F 13
二 相似三⻆形的性质与判定
1 定义
对应⻆相等 对应边成比例的两个三⻆形 叫做相似三⻆形
用符号 n 表示
z 性质 对应⻆相等
对应边之比 二对应三线之比 二周⻓比 二相似比 面积比 二 相似比 2
3 判定
预备定理 平行于三⻆形 边的直线与另两边及延⻓线 相交所得三⻆形与原 三⻆形相似
二 01618
x 14
⻩金三⻆形
定义 含360度的等腰三⻆形
①顶⻆为360
20底⻆为360
元
前
ii
腰 底
二152-1
1360
底
腰
i
15 -1
2
9.1已知等腰 ABC中
①LABㄥ为顶⻆
B
E
ABE360 A13 2cm 那么BC的⻓度为 20LAB的底⻆
A
C
A
C
BC AB 2
B 1360 13 二 AB
⻆形相似
CD 二 A 2 - A 5 忙
时 两个直⻆三
A
① ABC is ACAD
AC CD
AB
二
AB AC AC2
cD
3位
D
B
C
② AABCGAACD
AACDZAABC
ABi
AE AD
3
名1.7 如图 四边形ABGH 四边形BCFG 四边形CDEF都是正方形 找出与
HBC相似的三⻆形
设AB a
HB二小三a HC 15a BE a
at btc
当 at btc 二0时
k qf E 1
2 ⻩金分割
比例线段 若四条线段 ab c c满l 足 iǎ 则称四条线段ab cc为l 成比例线段
g 三条线段 abt 的⻓度分别为1 x 4 若其中一条线段的⻓度是另外两条 ⻓度的比例中项 求x的值
① 1 X 42 x 16 204X 12 X
301ㄨ4 x 2
x 12
⻩金分割比
A
i
AC BC
AC为AB BE比例中项
㖌 BC AC
Ad AB BC
C为仍⻩金分割点
⻩金比例 筋
0.618
不71 已知点隄线段服的⻩金分割点 求阳 AB
① BP 7AP时 PB AB二 Eh ② BR AP时 贺二 䂟 i PB A13 合忙 i
不72 把10cm的线段进行⻩金分割后得到两条线段 其中较⻓的线段的⻓为
i ADE n AABC
名 d SAADE 二
2
SAAB
SAABC 9SAADE S 2
55 ADE
S S2 3 5
3 平行线分线段成比例 相似三⻆形判定前置定理
A
B
C
Dl Eh
Fb
㖌 架 l 11121113 7
二
A
11
13 D
h
C
Eb
㗊 l 11121113 7 㖌 㖌㗊 焁
石1 2 如图 已知直线 以 121113 直线化交11.12.13于点A 13 C 直线
炎 DF交1 h l 于点口 E F 已知
丰 若DE 二了 求吓
一 比例
1 比例线段
jǎ
ad be
a b.c.cl成比例
a di 比例外项 b.ci 比例内项
当 a c 5时 b为比例中项
设k法
I 3 二年
x y iZ 2 3 4
设 x 2k y 3k Z 4k
91 已知 q j i 求 ii
设 仁 4k b 3k c 2
ka 炎 btcatzb 4k3ktzk4ktz.sk 二
A
D
E
DENBC AADE a AABC
B
C
常用判定 DAA 20SAS D3SSS
下列四个命题中 真命题的个数为
石1
C
n
i
石1 5 如图 LAC13 D 12比 不能判断的 火和ABCD相似的是
A ABNCD V
B BC平分 ABD V
B
C LA 3D 95 VD ABiBL BDiCD
D
A
C
石1 6 如图 LACB ADE 90 AE EAD 2 当AB⻓为
f 10ㄨ 1 515- 5
不73 当人的下半身与身高的比值越接近2618时越会给人一种美感已知数学老师
身高150cm 不穿鞋子时下半身与上半身的比是7 5 为了追求美数学老师决定买一 双高跟鞋 你觉得鞋子应该选多高 精确到个位
f 下半身 150ㄨ 5 87-5
设鞋子高度为 xcm
8754X 15 tx
Beg 2 若x y 2 1 2 3 求ziiiz 的值
设 x k y 2k Z 3
kxtytzzx 3ytzi.I2Rk
2kt3k 32k 3k
6
合比性质i i ǎ if i
ǒiiiiīiiieg 等比性质 i if
rn
若如
T k 救的值
当 at btc 0时
由寺En 比性质得
k
二
atbtbtctatc.az
15 1- 1
C
B 1360
A
f BC A13ㄨ
15 - 1
g 2 如图 在AABC中 仍二AC ㄥA 360 LABC的平分线交化于口 LACB的
平分线交13吁点E 求信的值
A
DE
CD二
T BD
5513D 385AD
EE DE
AD
二Leabharlann D EBC
⻩金矩形
定义 宽 ⻓二 岭 的矩形
尺规作图在线段上寻找⻩金分割点作出⻩金三⻆形 思路构造后的⻓度