分式和反比例函数易错题
初中数学反比例函数易错题目学霸笔记分享
初中数学反比例函数易错题目学霸笔记分享反比例函数易错清单1.利用待定系数法确定反比例函数关系式.【例1】(2014·广东梅州)已知反比例函数打开今日头条，查看更多精彩图片的图象经过点M(2,1).(1)求该函数的表达式;(2)当2<>4时,求y的取值范围(直接写出结果).【解析】(1)利用待定系数法把(2,1)代入反比例函数y=中可得k 的值,进而得到解析式;(2)根据y=可得x=,再根据条件2<>4可得24,再解不等式即可.【答案】(1)∵反比例函数的图象经过点M(2,1).∴k=2×1=2,∴该函数的表达式为.(2),∵2<>4,解得.【误区纠错】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,以及反比例函数的性质,关键是正确确定函数解析式.注意在求不等式的解时不能出错.2.反比例函数系数k的几何意义.【例2】(2014·湖南娄底)如图,M为反比例函数的图象上的一点,MA垂直y轴,垂足为A,△MAO的面积为2,则k的值为 .【解析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2,然后去绝对值得到满足条件的k的值.【答案】∵MA垂直y轴,∴S△AOM=|k|,∴|k|=2,即|k|=4.而k>0,∴k=4.【误区纠错】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义:在反比例函数的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.3.利用数形结合解决反比例函数与不等式相关问题.【例3】(2014·四川南充)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A(2,5)和点B,与y轴相交于点C(0,7).(1)求这两个函数的解析式;(2)当x取何值时,y1<>2.【解析】(1)将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k,b 的值,将点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值,继而可得两函数解析式;(2)寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围.∴一次函数解析式为y=-x+7.将点(2,5)代入反比例函数解析式,∴m=10.∴反比例函数解析式为.∴点D的坐标为(5,2),当0<>2或x>5时,y1<>2.【误区纠错】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题的关键是联立解析式,求出交点坐标.本题在写取值范围时容易出错.4.反比例函数和几何图形相结合问题.【例4】(2014·四川遂宁)已知:如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4)、点B(-4,n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△OAB的面积;(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标,把A的坐标代入一次函数解析式求出即可;(2)求出直线AB与y轴的交点C的坐标,求出△ACO和△BOC的面积相加即可;(3)根据A,B的坐标结合图象即可得出答案.(2)如图,当x=-4时,y=-1,B(-4,-1),当y=0时,x+3=0,x=-3,故C(-3,0).(3)∵B(-4,-1),A(1,4),∴根据图象可知:当x>1或-4<>0时,一次函数值大于反比例函数值.【误区纠错】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数的解析式,三角形的面积,一次函数的图象等知识点,用了数形结合思想.名师点拨1.掌握反比例函数的定义,会判断反比例函数.2.会用待定系数法求反比例函数的解析式.3.会画反比例函数的图象并能说明其性质.4.借助函数思想解决实际问题.提分策略1.反比例函数值的大小比较.比较反比例函数值的大小,在同一个象限内根据反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能按其性质比较,函数值的大小只能根据特征确定.A. 负数B. 非正数C. 正数D. 不能确定又点(-1,y1)和均位于第二象限,-1<>,∴y1<>2.∴y1-y20,即y1-y2的值是负数.【答案】 A2.与反比例函数有关的图形面积的求法.过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义.【例2】如图,点B在反比例函数(x>0)的图象上,横坐标为1,过点B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为().A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】∵点B在反比例函数(x>0)的图象上,过点B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,故矩形OABC的面积S=|k|=2.【答案】 B3.一次函数与反比例函数的综合题解法.主要题型:利用k值与图象的位置关系综合确定系数的符号或图象位置;已知直线与双曲线表达式求交点坐标;用待定系数法确定直线与双曲线的表达式;应用函数图象性质比较一次函数值与反比例值的大小等.解题时,一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识,并结合图象分析、解答问题.【例3】如图,一次函数y=-x+2的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,与x轴交于D点,且C,D两点关于y轴对称.(1)求A,B两点的坐标;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组然后解方程组即可得到A,B两点的坐标;(2)先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标,再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标,然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算.(3)根据坐标与线段的转换可得出AC,BD的长,然后根据三角形的面积公式即可求出答案.【答案】(1)根据题意,得解方程组,得或所以A点坐标为(-1,3),B点坐标为(3,-1).(2)把y=0代入y=-x+2,得-x+2=0,解得x=2,所以D点坐标为(2,0).因为C,D两点关于y轴对称,所以C点坐标为(-2,0).所以S△ABC=S△ACD+S△BCD4.利用反比例函数解决实际问题.把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型,即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质综合方程(组)、不等式(组)及图象求解.【例4】实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数(k>0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x=5时,y=45,求k的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于'酒后驾驶',不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.【解析】(1)①利用y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200确定最大值;②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可;(2)求出x=11时,y的值,进而得出能否驾车去上班.【答案】(1)①y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200,∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升).②∵当x=5时,y=45,y=(k>0),∴k=xy=45×5=225.(2)不能驾车上班.理由如下∵晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,∴第二天早上7:00不能驾车去上班.5.利用反比例函数与几何知识相结合解题.在近几年的中考题目中,常常把几何知识和反比例函数相结合在一起,综合性强,对学生的思维能力要求高.解决此类问题的关键是熟悉常见几何图形的特征,将几何图形的隐含性质结合反比例函数知识挖掘出来.【例5】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).(1)直接写出B,C,D三点的坐标;(2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.【解析】先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B,C,D三点的坐标,再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上,把A、C两点坐标代入中,得到关于a,k的方程组,从而求得k的值.【答案】(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).如图,矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D',设平移距离为a,则A'(2,6-a),C'(6,4-a).∵点A',点C'在的图象上,∴2(6-a)=6(4-a), 解得a=3.∴点A'(2,3).∴反比例函数的解析式为.专项训练一、选择题1.(2014·江苏泰州二中模拟)如图,已知点(m,y1),(m-3,y2),(m-4,y3)在反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是().A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y1>y3>y2D. y3>y2>y1(第1题)(第2题)2.(2014·山东济南二模)如图,过x轴正半轴上的任意一点P,作y轴的平行线,分别与反比例函数的图象交于A,B两点.若点C是y轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为().A. 3B. 4C. 5D. 103.(2013·新疆石河子中考一模)如图,矩形ABOC的面积为3,反比例函数的图象过点A,则k的值为().(第3题)A. 3B. -1.5C. -3D. -6二、填空题4.(2014·安徽安庆正月21校联考)如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数(x>0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,A2A3,…,An-1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是;点Pn的坐标是(用含n的式子表示).(第4题)5.(2013·江西高安模拟)一个函数具有下列性质:①它的图象经过点(-1,1);②它的图象在第二、四象限内;③在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则这个函数的解析式可以为 .三、解答题7.(2014·江苏大丰模拟)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A(-2,1),B(1,m)两点.(1)试确定上述反比例函数和一次函数的关系式;(2)求△AOB的面积.(第7题)8.(2013·河北一模)如图,一次函数y=mx+5的图象与反比例函数(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)两点,过点A作y轴的垂线,垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△OAM的面积S;(3)在y轴上求一点P,使PA+PB最小.参考答案与解析1. C[解析]根据图形,得0<>11,∴1<>2,则点(m,y1)在第一象限,而点(m-3,y2),(m-4,y3)在第三象限.2. C[解析]△ABC的面积3.C[解析]根据矩形面积,得x与y的积等于3,图象过第二象限,所以k=-3.[解析]过点P1,P2向x轴作垂线,分别求出这二点的坐标.(2)在y=-x-1中,当y=0时,得x=-1. ∴ 直线y=-x-1与x 轴的交点为C (-1,0). ∵ 线段OC 将△AOB 分成△AOC 和△BOC ,。
八年级数学下册 第六章 反比例函数 反比例函数易错题(新版)浙教版
反比例函数易错题 1、假设函数()2m 3m 1y m 1x ++=+是反比例函数，那么m 的值为〔 〕
〔A 〕m ＝－2 〔B 〕m ＝1 〔C 〕m ＝2或m ＝1 〔D 〕m ＝－2或m ＝－1
2、如果反比例函数y=〔m-3〕x m 2−6m +4的图象在第二、四象限，那么m= .
3、点P 是反比例函数k y x
=第四象限的图象上一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是〔 〕 〔A 〕2y x =- 〔B 〕2y x = 〔C 〕4y x =- 〔D 〕4y x
= 4、点P 是反比列函数k y x =
，〔k ≠0〕的图象上任一点，过P 点分别做x 轴，y 轴的平行线，假设两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，那么k 的值
为 .
5、甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地的时间〔小时〕表示成汽车平均速度
〔千米/小时〕的函数为 ，自变量的取值范
围 . 6、在函数2a 1y x
--=〔a 为常数〕的图象上有三点：()11,y -、21,y 4⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,y 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，那么函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是〔 〕〔A 〕y 2＜y 3＜y 1 〔B 〕y 3＜y 2＜y 1
〔C 〕y 1＜y 2＜y 3 〔D 〕y 3＜y 1＜y 2
7、如图，直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数2k y x =〔x
〕
的图象分别交于点C 、 D ，且C 点的坐标为〔1-，2〕.
⑴分别求出直线AB 及反比例函数的解析式；
⑵求出点D 的坐标；
⑶利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，1y >2y .。
八年级数学下册反比例函数复习与分式易错题课标试题
八年级数学下册 反比例函数复习与分式易错题 人教新课标版创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日1.反比例函数：一般地，形如：xky =〔k 为常数，k ≠0〕的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是反比例系数．反比例函数有三种表示形式： 、 、2.反比例函数图象及画法：一般地，反比例函数xky =〔k 为常数，k ≠0〕的图象是由两个分支组成的，是双曲线．这两个分支分别位于第一、三象限或者第二、四象限．双曲线两个分支关于原点对称，由于反比例函数中，自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图象与 x 轴和y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 反比例函数图象既是以直线 和直线 为对称轴的轴对称图形；又是是以 为对称中心的中心对称图形。
过原点任意画一条直线，与两个分支交于两点，那么这两个交点是关于 对称的，即假设一个交点是)(b a P ，，那么另一个交点是 ．画反比例函数的图象的根本步骤为： ① 列表；描点；③ 连线． 3.反比例函数性质：〔1〕反比例函数图象的位置和函数值的增减性都是由比例系数k 来确定的： ① 当 k ＞0时， x ，y 同号，图象在第一、三象限，在每一个象限内， 由左至右呈下降趋势，y 随x 的增大而减小；② 当 k ＜0时， x ，y 异号，图象在第二、四象限，在每一个象限内，由左向右呈上升趋势，y 随x 的增大而增大．〔2〕描绘函数值的增减情况时，必须指出“在同一象限内〞，否那么，假设笼统地说：“当k ＞0时，y 随x 的增大而减小〞，就会出现与事实不符的错误，如函数xy 6=，当x 2-=时，y 3-=；当 x=2 时，y=3 ．显然不是y 随x 的增大而减小． 4.求反比例函数关系式的根本方法,是待定系数法。
过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值，即22kxy S ==。
中考数学复习反比例函数专项易错题附答案解析.doc
中考数学复习反比例函数专项易错题附答案解析一、反比例函数1．如图，直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A（ 1， 4）， B 两点，延长AO 交反比例函数图象于点C，连接 OB．（1）求 k 和 b 的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；（3）在 y 轴上是否存在一点P，使 S△PAC △AOBP 坐标，若不存在请说= S ？若存在请求出点明理由．【答案】（1）解：将A（ 1， 4）分别代入y=﹣ x+b 和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x＞ 4 或 0＜ x＜1（3）解：过 A 作 AN⊥ x 轴，过 B 作 BM⊥ x 轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：由，解得： x=4，或 x=1，∴B（ 4，1），∴，∵，∴，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（ 0，t ），∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP（ CD+AE）=|t|=3 ，解得： t=3， t=﹣ 3，∴P（ 0， 3）或 P（0，﹣ 3）．【解析】【分析】（ 1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（ 3）过 A 作 AM⊥ x 轴，过 B 作 BN⊥ x 轴，由（ 1）知， b=5， k=4，得到直线的表达式为： y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（ 4 ，1），于是得到，由已知条件得到，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥ y 轴，设 P（ 0，t ），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点 C 与原点 O 重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 A 在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点 D 的坐标为（，2）．（1）求 k 的值；（2）若将菱形ABCD 沿 x 轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y=（k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形 ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作 DE⊥BO， DF⊥ x 轴于点 F，∵点 D 的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A 点坐标为：（， 5），∴k=5；（2）解：∵将菱形 ABCD向右平移，使点 D 落在反比例函数y=（x＞0）的图象上D′，∴D F=D ′ F，′ =2∴D′点的纵坐标为2，设点 D′（ x， 2）∴2=，解得x=，∴FF ′ =OF﹣OF=′﹣=，∴菱形 ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点 B 落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，菱形 ABCD平移的距离为，综上，当菱形 ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（ 1）根据菱形的性质和 D 的坐标即可求出 A 的坐标，代入求出即可；（2） B 和 D 可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．3．平行四边形 ABCD的两个顶点 A、 C 在反比例函数 y= （ k≠0）图象上，点 B、 D 在 x 轴上，且 B 、 D 两点关于原点对称， AD 交 y 轴于 P 点（1）已知点 A 的坐标是（ 2， 3），求 k 的值及 C 点的坐标；（2）在（ 1）的条件下，若△ APO 的面积为 2，求点 D 到直线 AC 的距离．【答案】（1）解：∵点 A 的坐标是（ 2， 3），平行四边形ABCD 的两个顶点A、 C 在反比B、 D 在x 轴上，且B、 D 两点关于原点对称，∴3= ，例函数 y=（k≠0）图象上，点点 C 与点 A 关于原点 O 对称，∴k=6， C（﹣ 2，﹣ 3 ），即 k 的值是 6， C 点的坐标是（﹣2，﹣ 3）；（ 2 ）解：过点A作AN⊥ y轴于点N ，过点D作DM ⊥ AC ，如图，∵点 A（ 2， 3）， k=6，∴A N=2，∵△ APO 的面积为2，∴，即，得 OP=2，∴点 P（ 0， 2），设过点 A（ 2， 3）， P（ 0， 2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点 A（ 2， 3）， P（ 0， 2）的直线解析式为 y=0.5x+2，当 y=0 时， 0=0.5x+2，得 x=﹣ 4，∴点 D 的坐标为（﹣ 4， 0），设过点 A（ 2， 3）， B（﹣ 2，﹣ 3）的直线解析式为y=mx+b ，则∴过点，得，A（ 2， 3）， C（﹣ 2，﹣ 3）的直线解析式为y=1.5x，∴点 D 到直线 AC 的直线得距离为：【解析】【分析】（ 1）根据点 A 的坐标是（= ．2，3），平行四边形ABCD 的两个顶点A、 C在反比例函数y=（k≠0）图象上，点B、 D 在 x 轴上，且B、 D 两点关于原点对称，可以求得 k 的值和点 C 的坐标；（ 2）根据△ APO 的面积为 2，可以求得 OP 的长，从而可以求得点P 的坐标，进而可以求得直线 AP 的解析式，从而可以求得点 D 的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点 D 到直线 AC 的距离．4．如图，已知抛物线y=﹣ x2+9 的顶点为A，曲线 DE 是双曲线y=（3≤x≤）12的一部分，记作 G1，且 D（ 3， m）、 E（12， m﹣3），将抛物线y=﹣ x2 +9 水平向右移动 a 个单位，得到抛物线 G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线 y=﹣ x2+9 与 x 轴的交点为 B、 C，且 B 在 C 的左侧，则线段 BD 的长为________；（3）点（ 6，n ）为 G1与 G2的交点坐标，求 a 的值．（4）解：在移动过程中，若G1与 G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE 和G1于M、 N 两点，若MN ＜，直接写出 a 的取值范围．【答案】（1）把 D（ 3， m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得，解得，所以双曲线的解析式为y=；（2） 2（3）解：把（ 6， n）代入 y= 得 6n=12，解得 n=2，即交点坐标为（6， 2），抛物线 G2的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9，把（ 6， 2）代入 y=﹣（ x﹣ a）2 +9 得﹣（ 6﹣ a）2+9=2，解得 a=6 ±，即 a 的值为 6±；（4）抛物线 G2 的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9，把 D（ 3，4）代入 y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 3﹣a）2+9=4，解得 a=3﹣或 a=3+ ；把 E（ 12， 1 ）代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 12﹣ a）2+9=1，解得a=12﹣ 2 或 a=12+2 ；1 2∵G 与 G 有两个交点，∴3+ ≤ a ≤﹣12 ，设直线 DE 的解析式为y=px+q，把 D（ 3，4）， E（12， 1）代入得，解得，∴直线 DE 的解析式为 y=﹣x+5，∵G 的对称轴分别交线段DE 和 G 于 M、 N 两点，2 1∴M （ a，﹣a+5）， N（ a，），∵MN ＜，∴﹣a+5﹣＜，整理得 a2﹣13a+36 ＞0，即（ a﹣ 4）（ a﹣ 9）＞ 0，∴a＜ 4 或 a＞ 9，∴a 的取值范围为9＜ a ≤ 12﹣ 2 ．【解析】【解答】解：（2）当 y=0 时，﹣ x2+9=0，解得 x1=﹣ 3， x2=3，则 B（﹣ 3， 0），而 D（ 3，4），所以 BE= =2 ．故答案为 2 ；【分析】（ 1）把 D（ 3，m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、 E 点坐标；（ 2）先解方程﹣x2+9=0 得到 B（﹣ 3， 0），而D（3， 4），然后利用两点间的距离公式计算DE 的长；（ 3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6， 2），然后把（ 6 ， 2）代入y=﹣（ x ﹣a）2+9 得 a 的值；（ 4）分别把 D 点和 E 点坐标代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得 a 的值，则利用图象和 G1与 G2有两个交点可得到3+≤ a≤﹣122 ，再利用待定系数法求出直线DE 的解析式为y=﹣ x+5，则 M（ a，﹣a+5）， N（ a，），于是利用MN ＜得到﹣a+5 ﹣＜，然后解此不等式得到a＜ 4 或 a＞ 9，最后确定满足条件的 a 的取值范围．5．如图 1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为点C；与双曲线y=相交于点 A， B；直线 AB 与分别与 x 轴、 y 轴交于点 D， E．已知点 A 的坐标为（﹣1， 4），点B 在第四象限内且到 x 轴、 y 轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ ABC 的面积；（3）如图 2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线半轴上是否存在点 P，使△PAB 的内切圆的圆心在AB 随之平移，试判断：在y 轴上？若存在，求出点Py 轴的负的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点 A 的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣ 1×4=﹣ 4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点 B 的坐标为（ m，﹣ m）．∵点 B 在双曲线上，2∴﹣ m =﹣ 4，解得 m=2 或 m=﹣ 2．∴m=2 ．∴B（ 2，﹣ 2）．将点 A、 B、 C 的坐标代入得：，解得：．2（2）解：如图1，连接 AC、BC．令y=0，则 x2﹣3x=0，∴x=0 或 x=3，∴C（3 ，0），∵A（﹣ 1， 4）， B（ 2，﹣ 2），∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ 2x+2，∵点 D 是直线 AB 与 x 轴的交点，∴D（ 1， 0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC=× 2× 4+× 2× ；2=6（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣ 3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），个单位，∴抛物线向左平移个单位，再向上平移而平移前 A（﹣ 1， 4）， B（ 2，﹣ 2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点 A 关于 y 轴的对称点A'（，），连接 A'B 并延长交y 轴于点 P，连接 AP，由对称性知，∠ APE=∠BPE，∴△ APB 的内切圆的圆心在y 轴上，∵B（，），A'（，），∴直线 A'B 的解析式为y=3x﹣，∴P（ 0，﹣）．【解析】【分析】（ 1）首先将点 A 的坐标代入反比例函数的解析式求得k 的值，然后再求得 B 的值，最后根据点 A 的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点 B 的坐标，最后，将点 A、 B、O 三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、 b、 c 的值即可；（2）由点 A 和点 B 的坐标可求得直线AB 的解析式，然后将y=0 可求得点 D 的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A， B 的坐标，进而求出点 A 关于 y 轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P 的坐标.6．已知： O 是坐标原点， P（ m，n ）（ m＞0）是函数 y= （ k＞ 0）上的点，过点 P 作直线PA⊥ OP 于 P，直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点 A（a， 0）（ a＞ m）．设△ OPA 的面积为s，且 s=1+．（1）当 n=1 时，求点 A 的坐标；（2）若 OP=AP，求 k 的值；（3）设 n 是小于 20 的整数，且 k≠，求 OP2的最小值．【答案】（1）解：过点 P 作 PQ⊥ x 轴于 Q，则 PQ=n， OQ=m，当 n=1 时， s=，∴a= = ．（2）解：解法一：∵OP=AP， PA⊥OP，∴△ OPA是等腰直角三角形．∴m=n= ．∴1+ = ?an．即 n4﹣ 4n2+4=0，∴k2﹣ 4k+4=0，∴k=2．解法二：∵OP=AP， PA⊥ OP，∴△ OPA是等腰直角三角形．∴m=n ．设△ OPQ 的面积为s1则： s1=∴?mn=（1+），即： n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣ 4k+4=0，∴k=2．（3）解：解法一：∵PA⊥ OP， PQ⊥ OA，∴△ OPQ∽ △ OAP．设：△ OPQ 的面积为s1，则=即：=化简得：化简得：2n 4+2k 2﹣kn 4﹣ 4k=0 （ k ﹣2）（ 2k ﹣ n 4） =0，∴k=2 或 k=（舍去），∴当 n 是小于 20 的整数时， k=2．∵OP 2=n 2 +m 2=n 2+ 又 m ＞ 0， k=2，∴ n 是大于 0 且小于 20 的整数．当 n=1 时， OP 2=5，当 n=2 时， OP 2=5，当 n=3 时， OP 2=32+ =9+ =，当 n 是大于 3 且小于 20 的整数时，即当 n=4、 5、 6 19时， OP 2 的值分别是：22、6 2+2，4 +、5 + 19+ ∵192+ ＞ 182+＞ 32+ ＞5，∴OP 2 的最小值是 5．【解析】 【分析】（ 1）利用 △ OPA 面积定义构建关于a 的方程，求出A 的坐标；（ 2）由已知 OP=AP ， PA ⊥ OP ，可得 △ OPA 是等腰直角三角形， 由其面积构建关于n 的方程，转化为 k 的方程，求出 k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k 的方程， 最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用 m 、n 的代数式表达OP 2,,在 n 的范围内求出 OP 2 的最值 .7．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A （3， 3），把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B （ 6， m ），与 x 轴、 y 轴分别交于C 、D 两点．（ 1）求 m 的值；（ 2）求过 A 、 B 、 D 三点的抛物线的解析式；（3）若点 E 是抛物线上的一个动点，是否存在点E ，使四边形 OECD 的面积 S 1 ， 是四边形 OACD 面积 S 的 ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3， 3），∴经过点 A 的反比例函数解析式为：y=，而直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（ 6， m），∴m=（2）解：∵直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），与x 轴、 y 轴分别交于 C、 D 两点，而这些 OA 的解析式为 y=x，设直线 CD 的解析式为 y=x+b代入 B 的坐标得：=6+b，∴b= ﹣4.5，∴直线 OC 的解析式为y=x﹣ 4.5，∴C、D 的坐标分别为（ 4.5，0），（ 0，﹣ 4.5），设过 A、 B、 D 三点的抛物线的解析式为y=ax2 +bx+c，分别把 A、 B、 D 的坐标代入其中得：解之得： a=﹣ 0.5，b=4 ，c=﹣ 4.5∴y=﹣ 0.5x2+4x﹣ 4.5（3）解：如图，设E 的横坐标为 x，∴其纵坐标为﹣ 0.5x2+4x﹣4.5，∴S1=（﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）× OC，=（﹣ 0.5x2+4x﹣4.5+4.5 ）× 4.，5=（﹣ 0.5x2+4x）× 4.，5而 S=（3+OD）×OC=（3+4.5）×4.5=，∴（﹣ 0.5x2+4x）× 4.5=，解之得 x=4±，∴这样的 E 点存在，坐标为（4﹣，0.5），（4+，0.5）．【解析】【分析】（ 1）先根据点 A 的坐标求得反比例函数的解析式，又点 B 在反比例函数图像上，代入即可求得m 的值；（ 2）先根据点 A 的坐标求得直线OA 的解析式，再结合点 B 的坐标求得直线CD 的解析式，从而可求得点C、 D 的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）先设出抛物线上 E 点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S 的值，令其相等可得到关于x 的二元一次方程，方程有解则点 E 存在，并可求得点 E 的坐标.8．如图，已知 A（ 3 ， m）， B（﹣ 2 ，﹣ 3）是直线 AB 和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x 满足什么范围时，直线AB 在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△ OBC 的面积等于△OAB 的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点 C 的坐标．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y=，把B（﹣ 2，﹣ 3）代入，可得 k=﹣ 2×（﹣ 3 ）=6，∴反比例函数解析式为 y= ；把A（ 3， m）代入 y= ，可得 3m=6，即m=2，∴A（3， 2），设直线 AB 的解析式为y=ax+b，把 A（ 3， 2）， B（﹣ 2，﹣ 3）代入，可得，解得，∴直线 AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当 x 满足： x＜﹣ 2 或 0＜ x＜ 3 时，直线 AB 在双曲线的下方（3）解：存在点 C．如图所示，延长AO 交双曲线于点C1，∵点 A 与点 C 关于原点对称，1∴AO=C O，1∴△ OBC 的面积等于△ OAB 的面积，1此时，点 C1的坐标为（﹣ 3 ，﹣ 2）；如图，过点 C1作 BO 的平行线，交双曲线于点2 2 1的面积，C ，则△ OBC 的面积等于△ OBC∴△ OBC2的面积等于△ OAB 的面积，由B（﹣ 2，﹣ 3）可得 OB 的解析式为 y= x，可设直线 C1C2的解析式为 y= x+b'，把 C1（﹣ 3，﹣ 2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，解得 b'=，∴直线 C1C2的解析式为y= x+，解方程组，可得 C2（）；如图，过 A 作 OB 的平行线，交双曲线于点 C3 3的面积等于△ OBA 的面积，，则△ OBC设直线 AC3的解析式为y= x+，把 A（ 3， 2）代入，可得2=×3+，解得=﹣，∴直线 AC3的解析式为y= x﹣，解方程组，可得 C3（）；综上所述，点 C 的坐标为（﹣ 3，﹣ 2），（（））．【解析】【分析】（ 1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B 的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线 AB 在双曲线的交点坐标为 A,B， X 取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点 C 的坐标。
(易错题精选)初中数学反比例函数易错题汇编及答案解析
1．使关于 x 的分式方程 =2 的解为非负数，且使反比例函数 y= 限时满足条件的所有整数 k 的和为（ ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】
图象过第一、三象
试题分析：分别根据题意确定 k 的值，然后相加即可．∵关于 x 的分式方程 =2 的解为
y1 )
、
B(1,
y2
)
、
C(2,
y3 )
三个点，
1 y1 k ， 1 y2 k ， 2 y3 k ，
y1
k
，
y2
k
，
y3
1k 2
，
而k 0，
y1 y3 y2 ． 故选： B ． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y k （ k 为常数，且 k 0 ） x
∴反比例函数 y= a b 的图象过一、三象限， x
所以此选项正确； D. 由一次函数图象过二、四象限，得 a<0，交 y 轴负半轴，则 b<0， 满足 ab>0，与已知相矛盾 所以此选项不正确； 故选 C. 【点睛】 此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定 a、b 的大小
9．如图，点 P 是反比例函数 y k （x0）图象上一点，过 P 向 x 轴作垂线，垂足为 M，连 x
x
A． 3,1
B． 1, 3
C． 1,3
D． 3,1
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出 k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3 即是在该双曲线上，否则不在. 【详解】
∵点 M 1,3 在双曲线 y k 上，
x ∴ k 13 3 ，
初三数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案
初三数学反比例函数的专项培优易错难题练习题(含答案)及详细答案一、反比例函数1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B（3，﹣2），∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q（n，﹣），∴﹣ =﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P（1，n﹣﹣1），∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2（n﹣1）2，∴n=﹣4或6，∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．3．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.4．如图，已知A是双曲线y= （k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，（1）求直线MN的解析式；（2）求k的值．【答案】（1）解：∵OA在第一象限的角平分线上，∴直线OA的解析式为y=x，∴将OA向上平移个单位后，N（0，），可设直线MN的解析式为y=x+b，把N（0，）代入，可得b= ，∴直线MN的解析式为y=x+（2）解：如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，∴△MDN∽△ABO，∴ = =2，设A（a，a），则AB=a，∴MD= a=DN，∴DO= a+ ，∴M（ a， a+ ），∵双曲线经过点A，M，∴k=a×a= a×（ a+ ），解得a=1，∴k=1．【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.5．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．【答案】（1）①当x=4时，∴点B的坐标是（4，1）当y=2时，由得得x=2∴点A的坐标是（2，2）设直线AB的函数表达式为∴解得∴直线AB的函数表达式为②四边形ABCD为菱形，理由如下：如图，由①得点B（4，1），点D（4，5）∵点P为线段BD的中点∴点P的坐标为（4，3）当y=3时，由得，由得，∴PA= ，PC=∴PA=PC而PB=PD∴四边形ABCD为平行四边形又∵BD⊥AC∴四边形ABCD是菱形（2）四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD时正方形时，PA=PB=PC=PD（设为t，t≠0），当x=4时，∴点B的坐标是（4，）则点A的坐标是（4-t，）∴，化简得t=∴点D的纵坐标为则点D的坐标为（4，）所以，整理得m+n=32【解析】【分析】（1）①分别求出点A，B的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的表达示；②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形ABCD是平行四边形，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等则不是正方形；（2）要使m，n有具体联系，根据A,B，C，D分别在两个函数图象，且由正方形的性质，可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ，即可得到只关于m和n的等式．6．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。
中考数学复习反比例函数专项易错题附答案.doc
中考数学复习反比例函数专项易错题附答案一、反比例函数1．如图，一次函数y1=k1 x+b 与反比例函数y2=的图象交于点A（4， m）和 B（﹣ 8，﹣2），与 y 轴交于点C．（1） m=________， k1=________；（2）当 x 的取值是 ________时， k1 x+b＞；（3）过点 A 作 AD⊥ x 轴于点 D，点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段 AD 交于点 E，当 S四边形ODAC： S△ODE=3： 1 时，求点 P 的坐标．【答案】（1） 4；（2）﹣ 8＜ x＜ 0 或 x＞4（3）解：由（ 1）知， y1= x+2 与反比例函数 y2= ，∴点 C 的坐标是（ 0，2），点 A的坐标是（ 4， 4）．∴CO=2， AD=OD=4．∴S 梯形ODAC= ?OD= × 4=12，∵S 四边形ODAC： S△ODE=3： 1，∴S△ODE= S 梯形ODAC= × 12=4，即OD?DE=4，∴D E=2．∴点 E 的坐标为（ 4，2）．又点 E 在直线 OP 上，∴直线 OP 的解析式是y=x，∴直线 OP 与 y2=的图象在第一象限内的交点P 的坐标为（ 4，2）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2=的图象过点B（﹣ 8，﹣ 2），∴ k2=（﹣8）×（﹣ 2） =16，即反比例函数解析式为y2=，将点 A（ 4， m）代入 y2= ，得： m=4，即点 A（ 4，4），将点 A（ 4， 4）、 B（﹣ 8，﹣ 2）代入 y1=k1 x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1=x+2，故答案为：4，；（ 2 ）∵ 一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数y2= 的图象交于点A（ 4，4）和 B（﹣ 8，﹣ 2），∴当 y ＞ y 时， x 的取值范围是﹣ 8＜ x＜0 或 x＞ 4，1 2故答案为：﹣ 8＜ x＜ 0 或 x＞ 4；【分析】（ 1）由 A 与 B 为一次函数与反比例函数的交点，将 B 坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将 A 的坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出 A 的坐标，将 B 坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（ 2）由 A 与 B 横坐标分别为4、﹣ 8，加上0，将 x 轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x 的范围即可；（ 3 ）先求出四边形ODAC 的面积，由S 四边形ODAC：S△ODE=3： 1 得到△ ODE 的面积，继而求得点 E 的坐标，从而得出直线 OP 的解析式，结合反比例函数解析式即可得．2．如图，平行于y 轴的直尺（一部分）与双曲线y=（k≠0）（x＞0）相交于点A、 C，与x 轴相交于点 B、 D，连接 AC．已知点 A、 B 的刻度分别为 5， 2（单位： cm），直尺的宽度为2cm， OB=2cm．（1）求 k 的值；（2）求经过 A、 C 两点的直线的解析式；（3）连接 OA、 OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣ 2=3cm， OB=2cm，∴A 的坐标是（ 2， 3），代入 y=得3=，解得： k=6（2）解： OD=2+2=4，在y= 中令 x=4，解得 y= ．则C 的坐标是（ 4，）．设AC 的解析式是 y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线 AC 的解析式是y=﹣x+（3）解：直角△ AOB 中， OB=2， AB=3，则 S△AOB× 2×；3=3= OB?AB=直角△ ODC中， OD=4，CD= ，则 S△OCD× 4×=3．= OD?CD=在直角梯形ABDC 中， BD=2， AB=3，CD=，则S梯形ABDC=（AB+DC）?BD=（3+）×2= ．则 S△OAC =S AOB+S ABDC﹣S OCD=3+ ﹣ 3= △梯形△【解析】【分析】（ 1 ）首先求得 A 的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（ 2 ）首先求得 C 的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（ 3 ）根据△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD 利用直角三角形和梯形的面积公式求解．S3．如图，已知一次函数y= x+b 的图象与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点 B，点 C在 y 轴上．（1）当△ ABC 的周长最小时，求点 C 的坐标；（2）当x+b＜时，请直接写出x 的取值范围．【答案】（1）解：作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B交 y 轴于点 C，此时点 C 即是所求，如图所示．∵反比例函数y=（x＜0）的图象过点A（﹣ 1， 2），∴k=﹣ 1 × 2=﹣2 ，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b 的图象过点A（﹣ 1，2），∴2=﹣ +b，解得： b= ，∴一次函数解析式为 y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点 A 的坐标为（﹣1， 2）、点 B 的坐标为（﹣4，）．∵点 A′与点 A 关于 y 轴对称，∴点 A′的坐标为（ 1， 2），设直线 A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线 A′B的解析式为y=x+．令y= x+ 中 x=0，则 y= ，∴点 C 的坐标为（ 0，）（2）解：观察函数图象，发现：当 x＜﹣ 4 或﹣ 1＜ x＜0 时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当x+＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣ 4 或﹣ 1＜ x＜ 0【解析】【分析】（ 1）作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B交 y 轴于点 C，此时点 C 即是所求．由点 A 为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、 B 的坐标，再根据点A′与点 A 关于 y 轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线 A′B解析式中 x 为 0，求出 y 的值，即可得出结论；（ 2）根据两函数图象的上下关系结合点A、 B 的坐标，即可得出不等式的解集．4．给出如下规定：两个图形 G 和 G ，点 P 为 G 上任一点，点 Q 为 G 上任一点，如果1 2 1 2线段 PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1 2和 G之间的距离．在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点．（1）点 A 的坐标为A（ 1， 0），则点B（ 2， 3）和射线OA 之间的距离为 ________，点 C （﹣ 2， 3）和射线OA 之间的距离为________；（2）如果直线y=x+1 和双曲线y=之间的距离为，那么k=________；（可在图 1 中进行研究）（3）点 E 的坐标为（ 1，），将射线OE 绕原点 O 顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE， OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．①请在图 2 中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．②将射线 OE， OF 组成的图形记为图形W，直线 y=﹣ 2x﹣ 4 与图形 M 的公共部分记为图形N，请求出图形W 和图形 N 之间的距离．【答案】（1） 3；（2）﹣ 4（3）解：①如图， x 轴正半轴，∠GOH 的边及其内部的所有点（OH、 OG 分别与OE、 OF 垂直），；②由① 知 OH 所在直线解析式为y=﹣x， OG 所在直线解析式为y=x，由得，即点M（﹣，），由得：，即点N（﹣，），则﹣≤x≤﹣，x，﹣ 2x﹣ 4），图形 N（即线段 MN ）上点的坐标可设为（即图形 W 与图形 N 之间的距离为d，d===∴当 x=﹣时，d的最小值为=，即图形 W 和图形 N 之间的距离．【解析】【解答】解：（1）点（ 2， 3）和射线OA 之间的距离为3，点（﹣2， 3）和射线OA 之间的距离为= ，故答案分别为：3，；（2）直线 y=x+1 和双曲线y= k x 之间的距离为，∴k＜0（否则直线y=x+1 和双曲线y=相交，它们之间的距离为0）．过点 O 作直线 y=x+1 的垂线 y=﹣ x，与双曲线 y= 交于点 E、 F，过点 E 作 EG⊥ x 轴，如图1，由得，即点F（﹣，），则 OF==，∴O E=OF+EF=2 ，在 Rt△ OEG中，∠ EOG=∠OEG=45°， OE=2，则有 OG=EG=OE=2，∴点 E 的坐标为（﹣ 2， 2），∴k=﹣ 2 × 2=﹣4 ，故答案为：﹣ 4；【分析】（ 1）由题意可得出点B（ 2， 3）到射线 OA 之间的距离为 B 点纵坐标，根据新定义得点 C（﹣ 2，3）和射线 OA 之间的距离；（2）根据题意即可得 k＜ 0（否则直线y=x+1 和双曲线 y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点 O 作直线 y=x+1 的垂线 y=﹣ x，与双曲线 y= k x 交于点 E、 F，过点 E 作 EG⊥ x轴，如图 1，将其联立即可得点 F 坐标，根据两点间距离公式可得OF 长，再由 OE=OF+EF 求出 OE 长，在 Rt△ OEG 中，根据等腰直角三角形的性质可得点 E 的坐标为（﹣ 2，2），将 E 点代入反比例函数解析式即可得出k 值.（3）①如图， x 轴正半轴，∠ GOH 的边及其内部的所有点（OH、OG 分别与 OE、OF 垂直）；②由① 知 OH 所在直线解析式为y=﹣x， OG 所在直线解析式为y=x，分别联立即可得出点M 、N 坐标，从而得出x 取值范围，根据题意图形N（即线段MN ）上点的坐标可设为（ x，﹣ 2x﹣4 ），从而求出图形W 与图形 N 之间的距离为d，由二次函数性质知 d最小值 .5．如图 1，已知一次函数 y=ax+2 与 x 轴、 y 轴分别交于点A， B，反比例函数y=经过点M．（1）若 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点 A、 B 重合）．当 a=﹣ 3 时，设点 M 的横坐标为m，求 k 与 m 之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2 的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且 OM= ，求a 的值．（ 3）当 a= ﹣ 2 时，将 Rt△AOB 在第一象限内沿直线y=x 平移个单位长度得到Rt△ A′ O′，B如′图2， M 是 Rt△ A′ O′斜B边′上的一个动点，求k 的取值范围．【答案】（1）解：当 a=﹣3 时， y=﹣ 3x+2，当y=0 时，﹣ 3x+2=0，x=，∵点 M 的横坐标为m，且 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点A、B 重合），∴0＜ m＜，， DANG则，﹣3x+2= ，当x=m 时，﹣ 3m+2= ，∴k=﹣ 3m2+2m（0＜ m＜）（2）解：由题意得：，ax+2=，ax2+2x﹣k=0，∵直线 y=ax+2（ a ≠0）与双曲线 y=有唯一公共点M 时，∴△ =4+4ak=0，ak=﹣ 1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM=，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当 a=﹣2 时， y=﹣ 2x+2，∴点 A 的坐标为（ 1， 0），点 B 的坐标为（ 0 ，2），∵将 Rt△ AOB 在第一象限内沿直线y=x 平移个单位得到Rt△ A′ O′， B′∴A′（ 2，1）， B′（ 1， 3），点 M 是 Rt△ A′O′斜B′上一动点，边当点 M′与 A′重合时， k=2，当点 M′与 B′重合时， k=3，∴k 的取值范围是 2 ≤ k ≤ 3【解析】【分析】（ 1）当 a=﹣3 时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出 A 点的横坐标，由于点 M 的横坐标为m，且 M 是线段 AB 上的一个动点（不与点A、 B 重合）从而得到m 的取值范围，由﹣ 3x+2= ,由 X=m 得 k=﹣ 3m 2+2m（ 0＜ m＜）；（2）由ax+2= 得 ax2+2x﹣k=0，直线 y=ax+2（ a≠0）与双曲线 y= 有唯一公共点 M 时，△ =4+4ak=0， ak=﹣ 1，由勾股定理即可；（ 3 ）当 a=﹣ 2 时， y=﹣2x+2，从而求出 A、 B 两点的坐标，由平移的知识知A′， B′点的坐标，从而得到k 的取值范围。
初三数学分式-反比例函数、勾股定理易错题整理
易错题整理一、分式部分首先记住：1,公式a2--b2=(a+b)(a-b)2，求分式方程时别忘记验根;练习题2，分式方程的化简求值和解分式方程（直接做期中测试卷上的17和18题）3，列分式方程求应用题（一般求什么就设什么）（水航问题）顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；【练习】轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是千米/时．（工程问题）一般设总工作量为1，工作效率为1/天数【练习】甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（）Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天（利润问题）一件产品的利润=售价-进价，总利润=（售价-进价）x件数；利润率100% =⨯利润进价【练习】某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（其他类型）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg，根据题意，可得方程（）A．9001500300x x=+B．9001500300x x=-C．9001500300x x=+D．9001500300x x=-二、反比例函数部分三、勾股定理部分勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边应用：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较， 若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；（1）利用勾股定理设x 列方程.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为（2）利用勾股定理和三角形面积公式例1、 如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？（面积法应用）（3）折叠问题例1、 有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长？例2，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.（4）方位问题 方向的表示为：上北下南，左西右东；如图12，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O 向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里?。
人教版初中数学反比例函数易错题汇编含答案
人教版初中数学反比例函数易错题汇编含答案一、选择题1．如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．32 【答案】B【解析】【分析】 首先根据A,B 两点的横坐标，求出A,B 两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D 两点的坐标，从而得出AC,BD 的长，根据三角形的面积公式表示出S △OAC ,S △ABD 的面积，再根据△OAC 与△ABD 的面积之和为32，列出方程，求解得出答案.【详解】把x=1代入1y x=得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入1y x =得：y=12, ∴B(2, 12), ∵AC//BD// y 轴, ∴C(1,K),D(2,k 2) ∴AC=k-1,BD=k 2-12， ∴S △OAC =12（k-1）×1,S △ABD =12 (k 2-12)×1, 又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， ∴12（k-1）×1＋12 (k 2-12)×1=32，解得：k=3; 故答案为B. 【点睛】:此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键.2．如图，反比例函数y ＝2x的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】 由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．【详解】解：Q 反比例函数2y x=， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，2AB AD ∴=．∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．3．对于反比例函数2yx，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【答案】C【解析】【详解】由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，故选C.考点：反比例函数【点睛】本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化4．如图直线y＝mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝12|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y ＝k x 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．5．在平面直角坐标系xoy 中，函数()20y x x =<的图象与直线1l ：()103y x b b =+<交于点A ，与直线2l ：x b =交于点B ，直线1l 与2l 交于点C ，记函数()20y x x =<的图象在点A 、B 之间的部分与线段AC ，线段BC 围城的区域（不含边界）为W ，当4233b -≤≤-时，区域W 的整点个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．没有【答案】D【解析】【分析】根据解析式画出函数图象，根据图形W 得到整点个数进行选择.【详解】∵()20y x x=<，过整点（-1，-2），（-2，-1）， 当b=43-时，如图：区域W 内没有整点，当b=23-时，区域W 内没有整点，∴4233b-≤≤-时图形W增大过程中，图形内没有整点，故选：D.【点睛】此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键.6．如图，直线y1＝x+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝﹣5x（x＜0）的图象交于C，D两点，点C的横坐标为﹣1，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF ⊥x轴于点F．下列说法正确的是（）A．b＝5B．BC＝ADC．五边形CDFOE的面积为35D．当x＜﹣2时，y1＞y2【答案】B【解析】【分析】根据函数值与相应自变量的关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得一次函数解析式，可判断A选项；根据解方程组，可得C、D点的坐标，根据全等三角形的判定与性质，可判断B选项；根据图形的分割，可得梯形、矩形，根据面积的和差，可判断C选项；根据函数与不等式的关系：函数图象在上方的函数值大，可判断D选项．【详解】解：由反比例函数y 2＝﹣5x （x ＜0）经过C ，点C 的横坐标为﹣1，得 y ＝﹣51-＝5，即C （﹣1，5）． 反比例函数与一次函数交于C 、D 点，5＝﹣1+b ，解得b ＝6，故A 错误；CE ⊥y 轴于E 点，E （0，﹣5），BE ＝6﹣5＝1．反比例函数与一次函数交于C 、D 点，联立65y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩， x 2+6x +5＝0解得x 1＝﹣5，x 2＝﹣1，当x ＝﹣5时，y ＝﹣5+6＝1，即D （﹣5，1），即DF ＝1，在△ADF 和△CBE 中，DAF BCE AFD CEB DF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADF ≌△CBE （AAS ），AD ＝BC ，故B 正确；作CG ⊥x 轴，S △CDFOE ＝S 梯形DFGC +S 矩形CGOE＝()(15)422DF CG FG OG CG ++⨯+g +1×5＝17，故C 错误； 由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，得﹣5＜x ＜﹣1，即当﹣5＜x ＜﹣1时，y 1＞y 2，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系，点的坐标与函数解析式的关系，全等三角形的判定与性质，图形分割法求图形的面积，函数图象与不等式的关系．7．已知点()1,3M -在双曲线k y x =上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．()3,1-B ．()1,3--C ．()1,3D ．()3,1 【答案】A【解析】【分析】先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.【详解】∵点()1,3M -在双曲线k y x=上， ∴133k =-⨯=-，∵3(1)3⨯-=-，∴点(3，-1)在该双曲线上，∵(1)(3)13313-⨯-=⨯=⨯=，∴点()1,3--、()1,3、()3,1均不在该双曲线上，故选：A.【点睛】此题考查反比例函数解析式，正确计算k 值是解题的关键.8．如图，过反比例函数()0k y x x=>的图象上一点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接AO ，若2AOB S ∆=，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】 根据2AOB S ∆=，利用反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，再根据函数在第一象限可确定k 的符号.【详解】解：由AB x ⊥轴于点B ，2AOB S ∆=，得到122AOB S k ∆== 又因图象过第一象限, 122AOB S k ∆==，解得4k = 故选C【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义.9．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x 轴），函数k y x =和3y kx =+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】解：A 、由函数y=k x 的图象可知k ＞0与y=kx+3的图象k ＞0一致，正确； B 、由函数y=k x 的图象可知k ＞0与y=kx+3的图象k ＞0，与3＞0矛盾，错误； C 、由函数y=k x的图象可知k ＜0与y=kx+3的图象k ＜0矛盾，错误；D 、由函数y=k x 的图象可知k ＞0与y=kx+3的图象k ＜0矛盾，错误． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．10．如图，已知点A ，B 分别在反比例函数12y x =-和2k y x=的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为（ ）．A ．8-B ．8C ．2-D ．4-【答案】A【解析】【分析】 设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），将点A 、B 分别代入所在的双曲线解析式进行解答即可．【详解】解：设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），∵点A 在反比例函数12y x =-的图象上， ∴ab ＝−2；∵B 点在反比例函数2k y x=的图象上， ∴k ＝2a•2b ＝4ab ＝−8．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．11．如图，A 、C 是函数1y x=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ．记Rt AOB ∆的面积为1S ，Rt COD ∆的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12=S SD ．由A 、C 两点的位置确定【答案】C【解析】【分析】 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12k|． 【详解】由题意得：S 1=S 2=12|k|=12． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了反比例函数y ＝k x中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．12．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x （x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．13．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.【详解】∵y=的图象经过第一、三象限，∴kb＞0，∴k，b同号，选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；选项C 图象过一、三象限，则k ＞0，图象经过y 轴负半轴，则b ＜0，此时，k ，b 异号，故此选项不合题意；选项D 图象过一、三象限，则k ＞0，图象经过y 轴正半轴，则b ＞0，此时，k ，b 同号，故此选项符合题意； 故选D ．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．14．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．25D ．6【答案】B【解析】【分析】 设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．【详解】设E 的坐标是m n k mn =（，），，， 则C 的坐标是（m ，2n ），在mn y x = 中，令2y n =，解得：2m x =， ∵1CDE S =V ，∴111,12222m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn =∴4k =故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．15．如图，点A 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意一点，AB x P 轴交反比例函数3y x=-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD Y ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCD S Y 为（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 过点B 作BH ⊥x 轴于H ，根据坐标特征可得点A 和点B 的纵坐标相同，由题意可设点A 的坐标为（2a，a ），点B 的坐标为（3a -，a ），即可求出BH 和AB ，最后根据平行四边形的面积公式即可求出结论．【详解】解：过点B 作BH ⊥x 轴于H∵四边形ABCD 为平行四边形∴//AB x 轴，CD=AB∴点A 和点B 的纵坐标相同由题意可设点A 的坐标为（2a ，a ），点B 的坐标为（3a -，a ） ∴BH=a ，CD=AB=2a －（3a -）=5a∴ABCD S Y =BH·CD=5 故选D ．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用反比例函数求几何图形的面积是解决此题的关键．16．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=k x 在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】【分析】依据抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，即可得到k ＜0，进而得出一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，反比例函数y=k x 的图象在第二四象限，据此即可作出判断.【详解】∵抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，∴△=4﹣4（k+1）＞0，解得k ＜0，∴一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，反比例函数y=k x的图象在第二四象限， 故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x 轴的交点情况确定出k 的取值范围是解本题的关键.17．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x =在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，2CE BE =，34AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．23【答案】B【解析】【分析】 设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长.【详解】设OA=4a根据2CE BE =，34AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a)将这两点代入解析得； 3444k a a k a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：a=12∴BC=AD=32 故选：B【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.18．已知反比例函数y=﹣8x，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞﹣1时，则y ＞8．其中错误的结论有（ ）个 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．【详解】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；③k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，错误；④k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，若0＞x ＞﹣1，﹣y ＞8，故④错误， 故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．19．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x =-上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y <D ．若120x x <<，则12y y >【答案】D【分析】先把点A（x1，y1）、B（x2，y2）代入双曲线1yx=-，用y1、y2表示出x1，x2，据此进行判断．【详解】∵点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线1yx=-上，∴111yx=-，221yx=-．A、当x1=x2时，-11x=-21x，即y1=y2，故本选项说法正确；B、当x1=-x2时，-11x=21x，即y1=-y2，故本选项说法正确；C、因为双曲线1yx=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以当0＜x1＜x2时，y1＜y2，故本选项说法正确；D、因为双曲线1yx=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，所以当x1＜x2＜0时，y1＞y2，故本选项说法错误；故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，函数y =kx 与y =-2x的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数4yx=的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.【详解】连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，如图，∵反比例函数y=-2x为对称图形，∴O为AB 的中点，∴S△AOC=S△COB，∵由题意得A点在y=-2x上，B点在y=4x上，∴S△AOD=12×OD×AD=12xy=1；S△COD=12×OC×OD=12xy=2；S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.故答案选C.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.。
中考反比例函数易错点分析
反比例函数易错点分析【常考点聚焦】反比例函数也是中考重点考查的内容之一，它要求考生能结合具体情境体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的关系式；会画反比例函数的图象，并能根据图象和关系式探索其性质；能用反比例函数解决实际问题.反比例函数与一次函数一样，既考查学生对知识的理解、掌握与应用，也考查学生对数形结合思想的考点要求 反比例函数及表达式 掌握 反比例函数的图象及性质掌握 用反比例函数解决实际问题 掌握 【易错点透视】易错点1：反比例函数及表达式例1 题目1：（2011·长沙12）反比例函数xk y =的图象经过点A(-2，3)，则k 的值为________。
【答案】-6 【分析】本题属于容易题，直接将点A （-2，3）代入反比例函数xk y =中，得k=-6. 题目2：如图，一次函数图象与x 轴相交于点B ，与反比例函数图象相交于点A(1，6-)；△AOB 的面积为6．求一次函数和反比例函数的解析式．【答案】设反比例函数为xk y 1= ∵点A （1，-6）在反比例函数图像上 ∴161k =-，即61-=k ∴反比例函数的解析式为xy 6-= ∵6621=⋅⋅=∆OB S AOB ∴OB=2 ∴点B 的坐标为（-2，0） 设一次函数的解析式为b x k y +=2， ∵点A （1，-6），B （-2，0）在函数图像上 ∴⎩⎨⎧=+--=+02622b k b k 解得：⎩⎨⎧-=-=422b k ∴一次函数的解析式为42--=x y 【分析】反比例函数往往在中考试题中，与一次函数结合起来考查，本题属于此种类型。
考生掌握好待定系数法求函数解析式，反比例函数需要已知一个点，一次函数需要已知两个点，解对方程，问题就很简单。
易错点2：反比例函数的图象及性质例2 题目1：在同一坐标系中，函数xk y =和)0(3≠+=k kx y 的图像大致是（ ）A B C D【答案】A【分析】此题分类讨论：当k>0时，x k y =在第一、三象限，3+=kx y 过第一、二、三象限；k<0时，x k y =在第二、四象限，3+=kx y 过第一、二、四象限。
苏教版八年级数学下册第11章《反比例函数》易错题(含解析)
2020-2021学年八年级数学下册第11章《反比例函数》易错题一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中是反比例函数的是（ ）A ．2x y =B ．yC ．y ＝﹣7x 2D ．y ＝11x + 2．关于函数1y x=，下列判断正确的是（ ） A ．点()1,1-该函数的图像上 B ．该函数的图像在第二、四象限C ．若点()12,y -和()21,y 在该函数图像上，则21y y <D ．若点(),a b 在该函数的图像上，则点(),b a 也在该函数的图像上 3．点A （﹣3，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数y ＝6x-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 34．如图，点A 在函数y ＝﹣8x图象上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△ABO 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，平面直角坐标系中，已知(),)3,31(0,A B -，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AB '，点'B 恰好在反比例函数()0ky k x=≠的图像上，则k 等于（ ）A ．3B ．4C ．6-D ．86．一次函数2y ax =-和反比例函数by x=的图象在同一坐标系中的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b ><C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>7．如图，已知点A ，B 分别在反比例函数1(0)y x x=>，4(0)y x x =->的图象上，且OA OB ⊥，则OBOA的值为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．48．某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）A ．4月份的利润为45万元B ．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C ．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元D ．9月份该企业利润达到205万元9．如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △，⋯⋯是分别以1B ，2B ，3B ，⋯为直角顶点，斜边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点()111,B x y ，()222,B x y ，()333,B x y ，⋯均在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，则1210y y y ++⋯+的值为（ ）A ．B ．6C ．D ．10．如图，一次函数y kx b =+()0k ≠与反比例函数6y x=的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点，与坐标轴分别交于M ，N 两点．则△AOB 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．12二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11．已知点(2,1)A m +在反比例函数12y x=-的图象上，则m =_________． 12．如果函数()21k y k x-=+是反比例函数，那么k 的值为________．13．已知点A 在反比例函数y ＝6x的图象上，点A 关于x 轴的对称点A′在反比例函数y ＝kx的图象上，则k ＝_____． 14．如图，已知Rt △AOB ，∠OBA ＝90°，双曲线ky x=与OA ，BA 分别交于C ，D 两点，且OC ＝2AC ，S 四边形OBDC ＝11，则k ＝_____．15．如图，已知反比例函数()0ky x x=>的图象经过点()4,5A ，若在该图象上有一点P ，使得45AOP ∠=︒，则点P 的坐标是_______.16．如图，A 、B 两点在双曲线()30y x x=>，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知1S =阴影，则12S S +=______．17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线()0y kx k =>分别交反比例函数4y x=和9y x =在第一象限的图象于点,,A B 过点B 作BD x ⊥轴于点,D 交4y x=的图象于点,C 连结AC ．若ABC 是等腰三角形，则k 的值是________________．三、解答题（本大题共6小题,18，19.20题各7分，21题8分,22,23题各10分，共49分） 18．已知反比例函数y ＝k x （k≠0），当x ＝﹣3时，y ＝43． （1）求y 关于x 的函数表达式． （2）当y ＝﹣4时，求自变量x 的值．19．一次函数y 1=kx+b 与反比例函数y 2=nx（n ＞0）交于点A （1，3），B （3，m ）． （1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图像直接写出，当x 为何值时，y 1＜y 2；（3）在x 轴上找一点P ，使得△OAP 的面积为6，求出P 点坐标．20．如图，已知正比例函数2y x =与反比例函数(0)ky k x=>的图象交于A ，B 两点，且点A 的横坐标x 为4，若C 的坐标为(0,8)，连接AC BC ，．求：（1）反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式2kx x<的解集； （3）求ABC 的面积．21．某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的关系满足1y k x =；10分钟后，y 与x 的关系满足反比例函数()220k y k =>．部分实验数据如表：（1）分别求当010x ≤≤和10x >时，y 与x 之间满足的函数关系式．（2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？22．如图，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=在第一象限内交于A 、B 两点，已知()1,A m ，()2,1B ．（1）求2k 的值及直线AB 的解析式．（2）根据函数图象，直接写出不等式21y y >的解集．（3）设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，E 是y 轴上一点，当PED 的面积最大时，请求出此时P 点的坐标．23．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，在第一象限内以OA 为边作OABC ，点()2,C y 和边AB 的中点D 都在反比例函数()0ky x x =>的图象上，已知OCD 的面积为92（1）求反比例函数解析式；（2）点(),0P a 是x 轴上一个动点，求PC PD -最大时a 的值；（3）过点D 作x 轴的平行线（如图2），在直线l 上是否存在点Q ，使COQ ∆为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中是反比例函数的是（ ）A ．2x y =B ．y ＝2xC ．y ＝﹣7x 2D ．y ＝11x + 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义即可作出判断． 【详解】 解：A 、2xy =是一次函数，故选项错误；B 、y 是反比例函数，故选项正确；C 、y ＝﹣7x 2，是二次函数函数，故选项错误；D 、y ＝11x +不符合反比例函数定义，故选项错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式(0)ky k x=≠，也可转化为y=kx -1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 2．关于函数1y x=，下列判断正确的是（ ） A ．点()1,1-该函数的图像上 B ．该函数的图像在第二、四象限C ．若点()12,y -和()21,y 在该函数图像上，则21y y <D ．若点(),a b 在该函数的图像上，则点(),b a 也在该函数的图像上 【答案】D 【分析】根据k=1>0，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k 可得答案. 【详解】 点(1，-1)代入y=1x并不成立，因此不在图象上，故A 选项错误； ∵k=1>0∴图象过一、三象限，故B 选项错误； 当x=-2时，y 1=12-，当x=1时，y 2=1，则y 1<y 2，故C 选项错误； 若点 (a ，b) 在该函数的图像上，则点 (b ，a) 也在该函数的图像上，故Ｄ选项正确； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是熟练掌握反比例函数的图像和性质． 3．点A （﹣3，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数y ＝6x-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 3【答案】C【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y＝6x-求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．【详解】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝6x-的图象上，∴y1＝63--＝2，y2＝61--＝6，y3＝62-＝﹣3，∵﹣3＜2＜6，∴y3＜y1＜y2，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键4．如图，点A在函数y＝﹣8x图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝12|k|，即可求解．【详解】解：∵点A在函数y＝﹣8x图象上，AB⊥x，∴S△ABO＝12|k|＝12×|﹣8|＝4．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为12|k|．5．如图，平面直角坐标系中，已知(),)3,31(0,A B -，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到线段AB '，点'B 恰好在反比例函数()0ky k x=≠的图像上，则k 等于（ ）A ．3B ．4C ．6-D ．8【答案】C 【分析】如图，过B '作B E x '⊥轴于,E 过A 作AC B E '⊥于C ，交y 轴于,D 证明,AB C BAD '≌得到,,B C AD AC BD '==结合已知条件得到B '的坐标，从而可得答案． 【详解】解：如图，过B '作B E x '⊥轴于,E 过A 作AC B E '⊥于C ，交y 轴于,D90,ACB ADB '∴∠=∠=︒ 90,B AC AB C ''∴∠+∠=︒由旋转得：90,BAB '∠=︒,AB AB '=90,BAC B AC '∴∠+∠=︒ ,BAC AB C '∴∠=∠ ,AB C BAD '∴≌ ,,B C AD AC BD '∴==()()3,3,0,1,A B -4,3,BD AC B C AD '∴====1,6,CD OE B E B C CE ''∴===+=()1,6,B '∴-把()1,6B '-代入()0ky k x=≠得： 166,k =-⨯=-故选C ． 【点睛】本题考查的旋转的旋转，三角形全等的判定与性质，求解反比例函数的解析式，图形与坐标，掌握以上知识是解题的关键． 6．一次函数2y ax =-和反比例函数by x=的图象在同一坐标系中的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b ><C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>【答案】A 【分析】根据一次函数的图像和反比例函数的图像进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，反比例函数的图像在第一、三象限，则0b >； 一次函数的图像在第一、三、四象限，则0a >； 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握两个函数图象的性质，能根据图象所在象限分析出k 、b 的正负．7．如图，已知点A ，B 分别在反比例函数1(0)y x x=>，4(0)y x x =->的图象上，且OA OB ⊥，则OBOA的值为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，根据反比例函数中k 的几何意义得12AOM S =△，2BON S =△，利用相似三角形的判定定理得出△AOM ∽△OBN ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：如图，分别过点A ，B 作AM x ⊥轴于点个M ，BN x ⊥轴于点N . 根据反比例函数中k 的几何意义得12AOM S =△，2BON S =△， ∵90AOM BON OBN BON ∠+∠=∠+∠=°， ∴AOM OBN ∠=∠， 又∵AMO ONB ∠=∠， ∴AOM OBN ∽△△，∴2OBOA ==.【点睛】本题是一道反比例函数与几何综合题，证出△AOM∽△OBN，熟知反比例函数系数k 的几何意义是解答此题的关键．8．某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（）A．4月份的利润为45万元B．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元D．9月份该企业利润达到205万元【答案】D【分析】先根据图象求出反比例函数的解析式，将横坐标为4代入求得利润即可判断A，根据图象求出一次函数的解析式，即可判断B，将135代入两个函数求对应的x的值即可；将x=9代入求利润即可；【详解】A、由图象得反比例函数经过点(1，180)，∴反比例函数的解析式为：180yx ，将x=4代入得：y=45，故该选项不符合题意；B、将(4，45)，(5，75)代入一次函数解析式，45=4755k bk b+⎧⎨=+⎩ ， 解得3075k b =⎧⎨=-⎩，求得一次函数解析式为：3075y x =- ，故该选项不符合题意； C 、将y=135代入180y x=和3075y x =-中， 180135x =解得：x=43； 135=3075x - 解得：x=7，故该选项不符合题意；D 、将x=9代入3075y x =-，求得y=270-75=195≠205，故该选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键；9．如图，11OA B ，122A A B ，233A A B △，⋯⋯是分别以1B ，2B ，3B ，⋯为直角顶点，斜边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点()111,B x y ，()222,B x y ，()333,B x y ，⋯均在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，则1210y y y ++⋯+的值为（ ）A ．B ．6C ．D ．【答案】A 【分析】分别过1B 、2B 、3B 作x 轴的垂线，垂足为1H 、2H 、3H ，则11OB H ，122A B H ，233A B H 为等腰直角三角形，根据1B 、2B 、3B 上点的横坐标与纵坐标的积为4，分别求各点的横坐标的值和纵坐标的值，发现规律． 【详解】解：分别过1B 、2B 、3B 作x 轴的垂线，垂足为1H 、2H 、3H ，则11OB H ，122A B H ，233A B H 为等腰直角三角形， 设111OH B H a ==，则24a =，解得2(a =舍去负值)，即1B 的横坐标为2，纵坐标为2， 设1222A H B H b ==，则()44b b +=，解得(21(b =-+舍去负值)，即2B 的横坐标为(421b +=，2B 的纵坐标为22y =，设2333A H B H c ==，则()224a b c c ++=，即()4c c =，解得(2(c =舍去负值)，即3B 的横坐标为222a b c ++=，3B的纵坐标为3y =同理：4y =⋯⋯121022...y y y ∴++⋯+=+++=．故选A ． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的性质，依次设反比例函数图象上各点的纵坐标，表示横坐标，代入反比例函数解析式求解，发现规律． 10．如图，一次函数y kx b =+()0k ≠与反比例函数6y x=的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点，与坐标轴分别交于M ，N 两点．则△AOB 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．12【答案】C 【分析】先求出点A 、B 的坐标，求出直线MN 的解析式，得到点M 、N 的坐标，再利用AOBMONMOANOBSSSS=--求出答案.【详解】∵一次函数y kx b =+()0k ≠与反比例函数6y x=的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点，∴6m=6，3n=6， 解得m=1，n=2， ∴A(1,6)，B （3,2），将A 、B 的坐标代入一次函数y kx b =+()0k ≠中，得632k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得28k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线MN 的解析式为y=-2x+8， 令x=0，则y=8，故M （0,8），令y=0，则-2x+8=0，得x=4，故N （4,0）， ∴OM=8，ON=4， ∴AOBMONMOANOBS SSS=--=111222A B OM ON OM x ON y ⋅-⋅-⋅ =111848142222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =8， 故选：C. 【点睛】此题考查一次函数与反比例函数图象的综合知识，待定系数法求函数解析式，面积加减关系求几何图形的面积.二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11．已知点(2,1)A m +在反比例函数12y x=-的图象上，则m =_________． 【答案】7-． 【分析】将点A(-1，2)代入反比例函数12y x=-，即可求出m 值． 【详解】将点A (-1，2)代入反比例函数解析式得：1212m +=-， 解得：7m =-． 故答案为：-7． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键． 12．如果函数()21k y k x -=+是反比例函数，那么k 的值为________．【答案】1 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义．即y ＝kx（k≠0），只需令k −2＝−1、k ＋1≠0即可． 【详解】 因为()21k y k x -=+是反比例函数，所以2110k k ⎧-=-⎨+≠⎩，所以1k =故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y ＝kx（k≠0）转化为y ＝kx −1（k≠0）的形式．13．已知点A 在反比例函数y ＝6x的图象上，点A 关于x 轴的对称点A′在反比例函数y ＝kx的图象上，则k ＝_____． 【答案】－6 【分析】设点A的坐标为（a，6a），则点A关于x轴的对称点A′的坐标为（a，﹣6a），再代入到反比例函数解析式中求k. 【详解】解：设点A的坐标为（a，6a），则点A关于x轴的对称点A′的坐标为（a，﹣6a），∵点A′在反比例函数y＝kx的图象上，∴﹣6a＝ka，解得：k＝－6，故答案为：﹣6.【点睛】本题考查：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，牢记变化规律.14．如图，已知Rt△AOB，∠OBA＝90°，双曲线kyx与OA，BA分别交于C，D两点，且OC＝2AC，S四边形OBDC＝11，则k＝_____．【答案】12【解析】【分析】首先设出点B坐标，再根据AB⊥x轴，表示出D点坐标，然后运用且OC＝2AC，可得出C点及A点坐标，坐标转化线段长，表示出四边形OBDC的面积，解出k值．【详解】设B（x，0）则D （x ，k x） 点A 的横坐标也为：x过点C 作CE ⊥x 轴交x 轴于点E 则△COE ∽△AOB ∵OC ＝2AC ∴23OE OB = ∴点C 的横坐标为：23x 代入反比例函数解析式：y ＝k x得y ＝32k x∴C 点的坐标为：（23x ，32k x） 又∵23CE AB = ∴A 点的纵坐标为：94k xs 四边形OBDC ＝s △AOB ﹣s △ADC ∴112()11223OB AB AD x x •-•-= 即：19192()()1124243k k k x x x x x x •--•-= 解得：k ＝12 故本题答案为：12 【点睛】本题考查反比例函数背景下图形面积转化问题，用点坐标转化线段长是解题关键． 15．如图，已知反比例函数()0ky x x=>的图象经过点()4,5A ，若在该图象上有一点P ，使得45AOP ∠=︒，则点P 的坐标是_______.【答案】⎛⎝⎭【分析】作AE⊥y轴于E，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，作A′F⊥x轴于F，则△AOE≌△A′OF，可得OF=OE=4，A′F=AE=3，即A′（4，-3），求出线段AA′的中垂线的解析式，利用方程组确定交点坐标即可．【详解】解：如图，作AE⊥y轴于E，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，作A′F⊥x 轴于F，则△AOE≌△A′OF，可得OF=OE=5，A′F=AE=4，即A′（5，-4）．∵反比例函数()0ky xx=>的图象经过点A（4，5），所以由勾股定理可知：=∴k=4×5=20，∴y=20x，∴AA′的中点K（91,22），∴直线OK的解析式为y=19x，由1920y xyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∵点P 在第一象限，∴P（3，故答案为（3）． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．16．如图，A 、B 两点在双曲线()30y x x=>，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知1S =阴影，则12S S +=______．【答案】4【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义，求出S 1+S 阴影和S 2+S 阴影，求出答案．【详解】解：∵A 、B 两点在双曲线3y x =上， ∴S 1+S 阴影=3，S 2+S 阴影=3，∴S 1+S 2=6-2=4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线()0y kx k =>分别交反比例函数4y x=和9y x =在第一象限的图象于点,,A B 过点B 作BD x ⊥轴于点,D 交4y x=的图象于点,C 连结AC ．若ABC 是等腰三角形，则k 的值是________________．【答案】34【分析】 根据题意，先求出点A 、B 的坐标，然后得到点C 的坐标，由等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出k 的值.【详解】 解：根据题意，有,4y kx y x =⎧⎪⎨=⎪⎩则4kx x =，解得：A同理可得：BC ∴ AB AC ∴≠ ABC 为等腰三角形，①当AB BC =时，22AB BC即(222⎛+= ⎝ 整理得29,16k ≈解得34k =或34k =-（舍去）； ②当AC BC =时， 22,AC BC =即222⎛+= ⎝ 整理得237k =，解得k =（舍）.故答案为：34或7. 【点睛】 本题利用反比例函数与一次函数交点特征将点坐标用含 的式子表示出来，对等腰三角形的腰进行分类讨论.属于常考题型三、解答题（本大题共6小题,18，19.20题各7分，21题8分,22,23题各10分，共49分） 18．已知反比例函数y ＝k x （k≠0），当x ＝﹣3时，y ＝43． （1）求y 关于x 的函数表达式．（2）当y ＝﹣4时，求自变量x 的值．【答案】（1）y ＝﹣4x ；（2）x ＝1 【分析】（1）将x ＝﹣3，y ＝43代入y ＝k x（k≠0），即利用待定系数法求该函数的解析式； （2）将y ＝﹣4代入（1）中的反比例函数解析式，求x 值即可．【详解】解：（1）根据题意，得43＝﹣3k ， 解得，k ＝﹣4；∴该反比例函数的解析式是y ＝﹣4x；（2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y＝﹣4x，∴当y＝﹣4时，﹣4＝﹣4x，即x＝1．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还利用了反比例函数图象上点的坐标特征，求函数值对应得自变量的值．19．一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=nx（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图像直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．【答案】（1）y2=3x，y1=-x+4．（2）x＜1或x＞3．（3）（-4，0）或（4，0）．【分析】（1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，在利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可；（3）由题意可知A的纵坐标的值即为△OAP的高，且P点在横轴上，根据三角形的面积公式可知OP的长为4，写出可能的坐标即可．【详解】解：（1）将A（1，3），代入y2=nx（n＞0），得n=3，再将B（3，m）代入y2=3x，得m=1，所以将A，B两点坐标代入y1=kx+b，得3=1=3k bk b+⎧⎨+⎩，解得14kb=-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为y 1=-x+4；（2）根据题意的一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x 的取值范围即为所求，此时x 的范围是：x ＜1或x ＞3；（3）由题意得△OAP 的高为3∴S △OAP =12·3·|OP|=6， ∴OP 的长为4，又∵点P 在x 轴上，∴点P 的坐标为（-4，0）或（4，0）．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根据题意细心分析是解题关键． 20．如图，已知正比例函数2y x =与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于A ，B 两点，且点A 的横坐标x 为4，若C 的坐标为(0,8)，连接AC BC ，．求：（1）反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式2k x x <的解集； （3）求ABC 的面积．【答案】（1）32y x=；（2）4x ≤-或04x <≤；（3）32 【分析】 （1）将4x =代入2y x =求出y ，得到8(4)A ，，把点A 代入k y x=求出k 即可求解；（2）联立方程组232y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩求出点B 的坐标，根据,A B 两点的横坐标，结合图像直接写出不等式的解集即可；（3）因为C 的坐标为(0,8)，8(4)A ，，所以4AC =，求出点B 到AC 的距离，再根据三角形面积公式直接求解即可．【详解】（1）由题意，把4x =代入y=2x ，得8y =，∴8(4)A ，把8(4)A ，代入k y x =，解得，32k =， ∴32y x= （2）解方程组232y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得，121244,88x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ()4,8B ∴--∴4x ≤-或04x <≤（3）8(4)A ，， (08)C ，，4AC ∴= ，AC OC ⊥点(4,8)B --到AC 的距离为()8816C B y y -=--=， ∴()114163222ABC C B S AC y y =-=⨯⨯=△. 【点睛】本题是一道反比例函数与一次函数的综合，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，利用图像求不等式的解集，及图像的交点问题，掌握待定系数法及用图像法求不等式的解集是解本题的关键．21．某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y （微克）与时间x （分钟）的关系满足1y k x =；10分钟后，y 与x 的关系满足反比例函数()220k y k x=>．部分实验数据如表：（1）分别求当010x ≤≤和10x >时，y 与x 之间满足的函数关系式．（2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？【答案】（1）当010x ≤≤时，3y x =；当10x >时，300y x =；（2）99分钟 【分析】（1）根据题意及图表数据列式求解即可求解．（2）将y=3代入，分别得出时间，求时间差即可得出结果．【详解】解：（1）当010x ≤≤时，将(10,30)代入1y k x =，解得13k =，即3y x =；当10x >时，将(15,20)代入2k y x=中， 解得2300k =，即300y x =． （2）当3y =时，33x =，解得1x =；当3y =时，3003x=，解得100x =， ∴有效时间为100199-=（分钟）．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数及反比例函数的解析式及函数的实际应用，解题的关键是理解题意并通过题意获得解决问题所需的相关数据．22．如图，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=在第一象限内交于A 、B 两点，已知()1,A m ，()2,1B ．（1）求2k 的值及直线AB 的解析式．（2）根据函数图象，直接写出不等式21y y >的解集．（3）设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，E 是y 轴上一点，当PED 的面积最大时，请求出此时P 点的坐标．【答案】（1）22k =；3y x =-+；（2）01x <<或2x >；（3）33,22⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m 和2k 的值，再根据待定系数法即可得到AB 的解析式；（2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式21y y ＞的解集；（3）设点(),3P x x -+，用含x 的代数式表示出△PED 的面积，再根据二次函数的最值即可得到点P 的坐标；【详解】（1）：∵点()2,1B 在双曲线22k y x=上， ∴2212k =⨯=， ∴双曲线的解析式为22y x=． ∵()1,A m 在双曲线22y x =， ∴2m =，∴()1,2A ．∵直线11:AB y k x b =+过()1,2A 、()2,1B 两点，∴11221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为3y x =-+（2）根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：双曲线在直线上方的部分对应的x 范围是：01x <<或2x >，∴不等式21y y >的解集为01x <<或2x >．（3）点P 的坐标为33,22⎛⎫⎪⎝⎭． 设点(),3Px x -+，且12x ≤≤， 则22113139()222228S PD OD x x x =⋅=-+=--+． ∵12a =-＜0，∴S 有最大值． ∴当32x =时，S 最大9=8，33=2x -+， ∴此时点P 的坐标为33,22⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，准确计算是解题的关键． 23．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，在第一象限内以OA 为边作OABC ，点()2,C y 和边AB 的中点D 都在反比例函数()0k y x x =>的图象上，已知OCD 的面积为92（1）求反比例函数解析式；（2）点(),0P a 是x 轴上一个动点，求PC PD -最大时a 的值；（3）过点D 作x 轴的平行线（如图2），在直线l 上是否存在点Q ，使COQ ∆为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6y x =；（2）6；（3）存在．点Q 的坐标为93,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭或23,22⎛⎫ ⎪ -⎪⎝⎭【分析】（1）先用k 表示出点C ，D 的坐标，作CE x ⊥轴于点,E DF x ⊥轴于点F ，根据OCD CDFE S S ∆=梯形，列出方程，即可求解；（2）由三角形的三边长关系可知：当,,P C D 在一条直线上时，PC PD -最大，再求出直线CD 的解析式，进而即可求解；（3）设点Q 的坐标为3,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分三种情况讨论：①当∠QOC=90°时，②当∠OCQ=90°时，③当∠OQC=90°时，利用勾股定理，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）当2x =时，2k y =， 2,2k C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， OABC 中，//BC OA ，2B c k y y ∴==， D 是边AB 的中点，124D B k y y ∴==，即：4,4D k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作CE x ⊥轴于点,E DF x ⊥轴于点F ，则()19422422OCD CDFE k k S S ∆⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭梯形，解得：6k =． ∴反比例函数解析式为：6y x=． ()2在PCD 中，PC PD CD -<，当,,P C D 在一条直线上时，PC PD CD -=，由()1知，(),(32,34,2C D ）， ∴设直线CD 的解析式为：1y k x b =+， 则1123,342k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得：139,42k b =-=， CD ∴的解析式为：3942=-+y x ， 由39042x -+=，得6x =， PC PD ∴-最大时，a 的值为6；()3设点Q 的坐标为3,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ①当∠QOC=90°时，则OQ 2+OC 2=QC 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫+++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m=94-，∴点Q 的坐标为93,42⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当∠OCQ=90°时，则CQ 2+OC 2= OQ 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m=174， ∴点Q 的坐标为173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当∠OQC=90°时，则CQ 2+OQ 2= OC 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m=22+或22-，∴点Q 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫⎪⎪⎝⎭．综上所述，点Q 的坐标为93,42⎛⎫-⎪⎝⎭或173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫⎪⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图像和性质，待定系数法，勾股定理，是解题的关键．。
(易错题精选)初中数学反比例函数易错题汇编附答案解析
（易错题精选）初中数学反比例函数易错题汇编附答案解析一、选择题1．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解析】分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（1，1），∴OA=，∴BO=，∵直线AC的解析式为y=x，∴直线BD的解析式为y=-x，∵OB=，∴点B的坐标为（−，），∵点B在反比例函数y=的图象上，∴，解得，k=-3，故选C．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．2．如图，反比例函数y＝2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】 由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．【详解】解：Q 反比例函数2y x=， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，2AB AD ∴=．∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．3．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y=(0)k k x<的大致图象是 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】【详解】解：k<0时，y=(0)k k x<的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限，观察可知B 选项符合题意，故选B.4．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝xC ．y ＝x+1D ．1y x = 【答案】D【解析】【分析】需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的函数．【详解】解：A 、y ＝x 2是二次函数，开口向上，对称轴是y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，错误；B 、y ＝x 是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而增大，错误；C 、y ＝x+1是一次函数k ＝1＞0，y 随x 的增大而减小，错误；D 、1y x=是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，正确； 故选D ．【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．5．如图，点A 是反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣4【答案】B【解析】【分析】 作AE ⊥BC 于E ，由四边形ABCD 为平行四边形得AD ∥x 轴，则可判断四边形ADOE 为矩形，所以S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，根据反比例函数k 的几何意义得到S 矩形ADOE =|k|．【详解】解：作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，而S矩形ADOE=|k|，∴|k|=8，而k＜0∴k=-8．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1，1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝8x上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为( )A．85B．235C．3.5 D．5【答案】B 【解析】【分析】设点D(m，8m)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据AAS先证明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN＝DG＝1＝AH，据此可得关于m的方程，求出m的值后，进一步即可求得答案.【详解】解：设点D(m，8m)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD，又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，∴△DHA≌△CGD(AAS)，∴HA＝DG，DH＝CG，同理△ANB≌△DGC(AAS)，∴AN＝DG＝1＝AH，则点G(m，8m﹣1)，CG＝DH，AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，故点G(﹣2，﹣5)，D(﹣2，﹣4)，H(﹣2，1)，则点E(﹣85，﹣5)，GE＝25，CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣25＝235，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.7．函数kyx=与y kx k=-（0k≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.【详解】当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y 轴于负半轴，y 随着x 的增大而增大，A 选项错误，C 选项符合；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y 轴于正半轴，y 随着x 的增大而增减小，B. D 均错误，故选：C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.8．已知点()1,3M -在双曲线k y x =上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．()3,1-B ．()1,3--C ．()1,3D ．()3,1 【答案】A【解析】【分析】先求出k=-3，再依次判断各点的横纵坐标乘积，等于-3即是在该双曲线上，否则不在.【详解】∵点()1,3M -在双曲线k y x=上， ∴133k =-⨯=-，∵3(1)3⨯-=-，∴点(3，-1)在该双曲线上，∵(1)(3)13313-⨯-=⨯=⨯=，∴点()1,3--、()1,3、()3,1均不在该双曲线上，故选：A.【点睛】此题考查反比例函数解析式，正确计算k 值是解题的关键.9．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1=1k x（x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象上，∠ABO=30°，则21k k =（ ）A ．-3B ．3C ．13D ．- 13【答案】A【解析】【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值．【详解】如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a.∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90°在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3∴点A 3a ，a ）同理可得 点B 3，-3a ）∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a∴213333k a k a==-. 故选A.【点睛】考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k ，是解决问题的方法．10．对于反比例函数2y x=-，下列说法不正确的是( ) A ．图象分布在第二、四象限B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大C ．图象经过点（1,-2）D ．若点()11,A x y ，()22,B x y 都在图象上，且12x x <，则12y y <【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B. k=−2<0，当x>0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；C.∵221-=-,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确； D. 若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，,若x 1<0< x 2,则y 2<y 1，故本选项错误. 故选:D.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.11．已知反比例函数y ＝﹣2x的图象上有三个点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3），若x 1＞x 2＞0＞x 3，则下列关系是正确的是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 1【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可．【详解】 解：∵反比例函数y ＝﹣2x， ∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵函数的图象上有三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2）、（x 3，y 3），且x 1＞x 2＞0＞x 3， ∴y 2＜y 1＜0，y 3＞0∴. y 2＜y 1＜y 3故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键．12．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）A 5B 5C 25D 10【答案】B【解析】【分析】过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S △BDO =52，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ， 则∠BDO=∠ACO=90°，∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ，∴251522BODOACSOBS OA⎛⎫==÷=⎪⎝⎭△△，∴5OBOA=，∴tan∠BAO=5OBOA=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．13．如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数1(0)ky xx=>和2(0)ky xx=>的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（）A．∠POQ不可能等于90°B．12PMQMkk=C．这两个函数的图象一定关于x轴对称D．△POQ的面积是()1212k k+【答案】D【解析】【分析】【详解】解：根据反比例函数的性质逐一作出判断：A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故12PM QM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；D ．∵|1k |=PM•MO ，|2k |=MQ•MO ，∴△POQ 的面积=12MO•PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO•PM+12MO•MQ=()1212k k +． 故此选项正确．故选D ．14．若A （-3，y 1）、B （-1，y 2）、C （1，y 3）三点都在反比例函数y=k x （k ＞0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ． y 1＞y 2＞y 3B ． y 3＞y 1＞y 2C ． y 3＞y 2＞y 1D ． y 2＞y 1＞y 3 【答案】B【解析】【分析】反比例函数y=k x（k ＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y 随x 的增大而减小，而A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上的点，可得y 2＜y 1＜0，C （1，y 3）在第一象限双曲线上的点y 3＞0，于是对y 1、y 2、y 3的大小关系做出判断．【详解】∵反比例函数y=k x（k ＞0）的图象在一、三象限， ∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上，∴y 2＜y 1＜0，∵C （1，y 3）在第一象限双曲线上，∴y 3＞0，∴y 3＞y 1＞y 2，故选：B ．【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k ＞0，时，在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，y 随x 的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．15．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数ykx=(x＞0)上，OA＝2，AB＝4，则k的值为（）A．4 B．6 C．325D．425【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB22OA AB=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD855=，OD45=求得8545，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，∴25424CD OD==，∴CD85=，OD45=，∴4585)，∴k325 =，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16．在函数()0k y k x=<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（ ） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到11y k ⨯=，21y k -⨯=，32y k -⨯=，然后计算出1y 、2y 、3y 的值再比较大小即可．【详解】 解：(0)k y k x=<Q 的图象上有1(1,)A y 、2(1,)B y -、3(2,)C y -三个点， 11y k ∴⨯=，21y k -⨯=，32y k -⨯=， 1y k ∴=，2y k =-，312y k =-， 而k 0<，132y y y ∴<<．故选：B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x=（k 为常数，且0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．17．已知反比例函数b y x=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限，该交点横坐标为1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点，则一次函数b c y x a a=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意得b ＜0，a+c ＜0，240b ac =>，可得a ＜0，c ＜0，进而即可判断一次函数b c y x a a =+的图象所经过的象限． 【详解】 ∵反比例函数b y x=与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限， ∴反比例函数的图象在二、四象限，即b ＜0，∵该交点横坐标为1，∴y=a+c ＜0，∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点， ∴240b ac -=，即：240b ac =>，∴a ＜0，c ＜0，∴0b a>，0c a >， ∴b c y x a a=+的图象过一、二、三象限． 故选B ．【点睛】 本题主要考查反比例函数与一次函数的图象和性质，掌握函数图象上点的坐标特征以及函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键．18．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x =在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，2CE BE =，34AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．23【解析】【分析】设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长.【详解】设OA=4a 根据2CE BE =，34AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a)将这两点代入解析得； 3444k a a k a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：a=12∴BC=AD=32 故选：B【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.19．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D【分析】过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°∴∠ECO=∠FOB∴△COE ∽△OBF ∽△AOD又∵3AO BO =，2OC CA = ∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOFS S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =的图象上 ∴212BOF S ==V ∴4COE S =V ∴42k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，∴k=-8故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．20．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线kyx=过点F，交AB于点E，连接EF．若BF2OA3=，S△BEF＝4，则k的值为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】A【解析】【分析】由于23BFOA=，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=4m，然后即可求出E（3m，n-4m），依据mn=3m（n-4m）可求mn=6，即求出k的值．【详解】如图，过F作FC⊥OA于C，∵23 BFOA，∴OA=3OC，BF=2OC ∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m ∵S△BEF=4∴BE=4 m则E（3m，n-4m）∵E在双曲线y=kx上∴mn=3m（n-4m）∴mn=6即k=6．故选A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)易错题型(附答案)
A.y=- 4 x
B.y=- 8 x
C.y= 8 x
D.y= 16 x
2.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的面积为 10，反比例函数 y= k （x＞0）与 AB， x
BC 分别交于点 D，E，若 AD=2BD，则 k 的值为（ ）
5
10
20
5
A.
B.
C.
D.
3
3
3
2
易错点 2 反比例函数与一次函数的综合运用时易出错
A.当 x＞0 时，y＞0
B.图象在第二、四象限
C.y 随 x 的增大而减小
D.y 随 x 的增大而增大
5.在函数
y=
y
a2 x
1
（a
为常数）的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且
x1＜
x2＜0＜x3，则函数 y1，y2，y3 的大小关系为（ D ）
A.y2＜y3＜y1
B.y3＜y2＜y1
x
4.直线 y=-x+2 与反比例函数 y= k （k≠0）相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为-1，则 k x
的值是（ A ）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
26.2 实际问题与反比例函数
易错点 实际问题中，忽略反比例函数自变量的取值范围 1.已知圆柱的侧面积是 100 cm2，若圆柱底面半径为 r（单位：cm），高线长为 h（单位： cm），则 h 关于 r 的函数的图象大致是（ B ）
易错点 忽略反比例函数在不同象限内的增减性
1.若反比例函数 y= k （k＜0）的图象如图所示，则 k 的值可以是（ C ） x
A.-1
反比例函数易错题汇编及答案解析
反比例函数易错题汇编及答案解析一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x 轴平行，A, B两点k的纵坐标分别为4, 2,反比例函数y （x>0）的图象经过A, B两点，若菱形ABCD的xA. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E,根据A, B两点的纵坐标分别为4, 2，可得出横坐标，即可求得AE, BE的长，根据菱形的面积为2 5，求得AE的长，在Rt A AEB 中，即可得出k的值.【详解】k••• A, B两点在反比例函数y — ( x>0)的图象，且纵坐标分别为4, 2,xk k二A( , 4), B ( , 2),4 21 1 1二AE= 2, BE k k k,2 4 4•••菱形ABCD的面积为2話,••• BCX AE= 2即BC 話,• - AB= BC J5 ,在 RtMEB 中，BEAB 2 AE 2 11-k = 14故选：C. 【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题 的关键.k2. 如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数 y = 的图象在第一象限x【答案】C 【解析】 【分析】设0B = a ，根据相似三角形性质即可表示出点 C,把点C 代入反比例函数即可求得 k .【详解】作CD 丄x 轴于D, 设 0B = a , （a > 0） •••△ AOB 的面积为3,1•••严。
B = 3,6 0A = a•「CD // OB , .•.0D = 0A = 6 , CD = 20B = 2a ,a6.C （— , 2a ）,ak「•反比例函数y = 经过点C ,xC. 12D . 183，则k 的值为（••• k = 6x 2殳12,ah丿X 0【点睛】本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键.3. 如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3, 4），顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数【答案】D【解析】【分析】【详解】如图，过点C作CD丄x轴于点D,•••点C 的坐标为（3, 4）,二OD=3, CD=4.•根据勾股定理，得：OC=5.•••四边形OABC是菱形，•点B的坐标为（8, 4）D. 32C. 24•••点B 在反比例函数・(x>0)的图象上,•••四边形ABCD 为平行四边形,••• AD // x 轴，•••四边形ADOE 为矩形，•- S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE, 而S 矩形 ADOE =|k| ,•|k|=8 , 而k v 0 二 k=-8. 故选：B . 【点睛】kk本题考查了反比例函数 y=— ( k ^0系数k 的几何意义：从反比例函数y=— (20图象xx故选D.4.如图，点A 是反比例函数 ky = k(x v 0)的图象上的一点，过点 A 作平行四边形xABCD,使点B C 在x 轴上, 点D 在y 轴上•已知平行四边形 ABCD 的面积为8，则k 的值C. D .- 4【答案】B 【解析】 【分析】作AE 丄BC 于E ,由四边形 ABCD 为平行四边形得 形，所以S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE,根据反比例函数【详解】AD / x 轴，则可判断四边形 ADOE 为矩 k 的几何意义得到 S 矩形ADoE =|k|.8上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 |k| .5.如图直线y = mx 与双曲线y=k 交于点xA 、B ,过A 作AM 丄x 轴于M 点，连接BM ，若C. 3 D .【解析】 【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到 结合反比例函数系数 k 的几何意义得到 【详解】A 、B 两点关于原点对称，再由 k 的值.S A ABM =2S A AOM 并o 1S ZABM = 2S AOM = 2 , S/AOM = — | k|2则k =±2又由于反比例函数图象位于一三象限， k >0,所以k = 2.故选B . 【点睛】根据双曲线的对称性可得：OA=OB 则 1,k本题主要考查了反比例函数y = 中k 的几何意义，即过双曲线上任意x线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点.x 轴、y 轴垂OABF 中，/ OAB =Z B = 90 °点 A 在x 轴上，双曲线k y —过点F ,交xD . 166.如图，四边形A . 6B . 8 C. 12【答案】A【解析】【分析】由于BF 2，可以设F (m, n)贝U 0A=3m, BF=2m,由于S\BE(=4,贝U BE二4，然后即可OA 3 m4 4求出E (3m, n-)，依据mn=3m (n-)可求mn=6，即求出k的值. m m【详解】如图，过F作FC丄OA于C,BF 2OA 3•••OA=3OC, BF=2OC •••若设F ( m, n) 则OA=3m, BF=2m■/ S^BEF=4BE= —则E (3m , n- 4)mk■/ E在双曲线y= 上x4•mn=3m (n-_m•mn=6即k=6.故选A.【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出坐标是解题关键.7.如图，在x轴的上方，直角/B O A绕原点O按顺时针方向旋转•若/B O A的两边分别与1函数y 、yx -的图象交于B、A两点，则/ OAB大小的变化趋势为() xA.逐渐变小【答案】D【解析】B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变【分析】如图，作辅助线；首先证明ABEO^^ OFA,，得到更OF OE;设B为（a,丄），A为AF a2 1 （b, b），得到OE=-a，EB=；，2OF=b, AF=-，进而得到a2b22，此为解决问题的关b键性结论；运用三角函数的定义证明知tan / OAB=_12为定值，即可解决问题.2【详解】解：分别过B和A作BE丄x轴于点^△BEC^^ OFAAF丄x轴于点F,BE OEOF AF，设点B为（a, -）,A 为（b, f ）a b则OE=-a, EB=1, OF=b, AF=2, a b可代入比例式求得a2b22，即a2根据勾股定理可得:OB/• tan / OAB= -----OA•••/ OAB大小是一个定值，因此/ OAB的大小保持不变故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.k-1 3-k&使关于x的分式方程X- 1=2的解为非负数，且使反比例函数y=尤图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为().A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：分别根据题意确定k的值，然后相加即可.•••关于x的分式方程I =2的解为it + 1 3-k非负数，••• x= 2 >0解得：心1 ,••反比例函数y=女图象过第一、三象限，••• 3- k>0，解得:k v 3 ,• -1 <k< 3，整数为-1,0,1, 2, • x旳或1，•和为-1+2=1，故选,B.考点：反比例函数的性质.9.如图，YABDC的顶点A,B的坐标分别是A (0, 3),B 1, 0 ，顶点C,D在双曲线ky 上，边BD交y轴于点E,且四边形ACDE的面积是ABE面积的3倍，贝U k的值x为：()【答案】A【解析】【分析】过D作DF//y轴，过C作CF//X轴，交点为F，利用平行四边形的性质证明DCF ABO,利用平移写好C,D的坐标，由四边形ACDE的面积是ABE面积的3倍，得到DB 2BE,利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D的坐标，列方程求解k .【详解】解：过D作DF// y轴，过C作CF //X轴，交点为F ,则CF DF ,QY ABDC ,CDF , BAO的两边互相平行，AB DC,CDF BAO,Q DFC BOA 90 ,DCF ABO,CF BO, DF AO,k设C(m,—),mk由A(0, 3),B 1, 0结合平移可得：D(m 1,- 3),mQ四边形ACDE的面积是ABE面积的3倍，1—(DE CA)h BD13 — h BE BE ,2Q h BD h BE , AC BD,DE AC 3BEDE BD BE4BE,C. 3D. 12DB 2BE,k QD(m 1,3), B(1,0),X E 0,m一m 1 1小由中点坐标公式知：0,2m 2 ,k Q D(m 1,), m 1k k 3 ,2 1 2k 6.故选A .【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式, 掌握以上知识点是解题关键.2 110.方程x 23x 1 0的根可视为函数 y=x+3的图象与函数y —的图象交点的横坐 x 标，则方程x 3 2x 1 0的实根x o 所在的范围是（ ）据四个选项中X 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例 函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程 x 3+2x-1=o 的实根x 所在范围.【详解】1 解：依题意得方程 x 3 2x 1 0的实根是函数y x2 2与y的图象交点的横坐标,xA . 0<x o < —4【答案】C 【解析】 【分析】1 1B . — <x o <4 3 1 1C. 一 <x o <3 2D . 1<X o <12首先根据题意推断方程 x 3+2x-仁0的实根是函数 y=x 2+2与y-的图象交点的横坐标，再根x这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限.当x=!时, y 2 x22-1, y14，此时抛物线的图象在反比例函数下方;416x1 当x=—时, y 2 x22舟，y13，此时抛物线的图象在反比例函数下方；3x1 当x=—时, y 2 x221, y12，此时抛物线的图象在反比例函数上方；2x当x=1时，y 2 x23, y -x1，此时抛物线的图象在反比例函数上方.1 1二方程x3 2x 1 0的实根x o所在范围为：—vx°v •3 2故选C.【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力•解决此类识图题，同学们要注意分析其中的关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势.1-k11. 函数y= 与y=2x的图象没有交点，则k的取值范围是（）xA. k<0B. k<1C. k>0D. k>1【答案】D【解析】【分析】由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解.由此可求出k的取值范围.【详解】1-k 1-k 1-k令=2x,化简得：x2= ;由于两函数无交点，因此v 0,即卩k> 1.x 2 2故选D.【点睛】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程(组)无解.12. 如图，过点C 1,2分别作x轴、y轴的平行线，交直线y x 5于A、B两点,k若反比例函数y (x 0)的图象与VABC有公共点，贝U k的取值范围是()xQc . 25 A. 2 k —4、XB. 2 k 6C. 2 k 4D. 4 k 6【答案】A【解析】【分析】由点C的坐标结合直线AB的解析式可得出点A、B的坐标，求出反比例函数图象过点C时的k值，将直线AB的解析式代入反比例函数解析式中，令其根的判别式△为可求出k的取值范围，取其最大值，找出此时交点的横坐标，进而可得出此点在线段AB上，综上即可得出结论.【详解】解：令y = -X+ 5 中x= 1,贝y y = 4,二B (1 , 4);令y= -x+ 5 中y= 2,则x= 3,•- A (3, 2),当反比例函数y kxk (x> 0)的图象过点C时，有2 =1解得：k= 2,将y= - x+ 5代入y k 2中，整理得：X2-5X+ k= 0 , x•••△=( -5) 2-4k >025 5当k= 时，解得：x =4 25•/ 1 v v 3,2k 25•••若反比例函数y (x> 0)的图象与A ABC有公共点，则k的取值范围是2< k<x 4故选：A .【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数图象过点A 、C 时的k 值以及直线与双曲线有一个交点时 k 的值.13. 如图，在平面直角坐标系中，点 ky= (x>0)的图象与线段 AB 相交于点x13连接OC,如图，利用三角形面积公式得到S AAOC = S AOAB =，再根据反比例函数系数k 的2 一1 3 几何意义得到—|k|=，然后利用反比例函数的性质确定22••• BA 丄x 轴于点A , C 是线段AB 的中点,o 13…S A AOC = — S OAB =—,2 2 而 S ZAOC = — |k| ,21 3 二 2|k|= 3，B 在第一象限，BA 丄x 轴于点A ,反比例函数C ,且C 是线段AB 的中点，若△OAB 的面积为3,则kB . 1C. 2 D . 3k 的值.A.-3【答案】D 【解析】 【分析】【详解】而 k >0,k=3.故选：D . 【点睛】k此题考查反比例函数系数 k 的几何意义，解题关键在于掌握在反比例函数 y= 图象中任取x一点，过这一个点向 x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| .k 在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（）xA . 3B . 5 C. 6 D . 8【答案】B 【解析】 【分析】根据点（1, 3）在反比例函数图象下方，点（ 3, 2）在反比例函数图象上方可得出 k 的取值范围，即可得答案• 【详解】•••点（1, 3）在反比例函数图象下方，••• k>3,•••点（3, 2）在反比例函数图象上方， • —<2，即 k<6,33<k<6,故选：B. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.2 一15.如图，在平面直角坐标系中，函数y kx 与y的图象交于 A 、B 两点，过A 作yx4轴的垂线，交函数 y的图象于点 C,连接BC,则△ABC 的面积为（）x14.反比例函数yA . 2【答案】C 【解析】 【分析】连接0C,根据图象先证明 △AOC 与A COB 的面积相等，再根据题意分别计算出 A AOD 与△ODC 的面积即可得 A ABC 的面积. 【详解】连接0C,设AC 丄y 轴交y 轴为点D , 如图，2 •••反比例函数y 二 为对称图形，x•••0为AB 的中点，二 S A AOC F S COB ,24 •.•由题意得A 点在y=-上，B 点在y= 上，xxC1 1…S A AOD = X OC K AD= xy=1 ；2 211S^OD =X OC X 0D=xy=2: 2 2S ZA OC = S^AOD + S A .COD =3 ,•- S A ABC = S^AOC +S A COB =6. 故答案选C. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌 握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算C. 6 D .816.如图，点A , B 是双曲线y 18图象上的两点，连接 AB ，线段AB 经过点O ，点xkC 为双曲线y在第二象限的分支上一点，当 VABC 满足AC BC 且x和1 丿“ .r •/ AC BC, OA OB •••OC 丄 AB , •••/ CFO=Z COA =Z AEO = 90° °•••/ COF ^Z AOE = 90°, / AOE +Z EAO= 90° ° •••/ COF =Z OAE, • △ CF3A OEA,SCOF (OC )2 s^OE (O A )，AC: AB 13:24 时，k 的值为（）•25 A.-16【答案】B 【解析】 B .25C.25D . 25【分析】 如图作AE 丄x 轴于E, CF 丄x 轴于F .连接OC .首先证明△CF3A OEA,推出S COF S AOE OC 2（OA ），因为CA : AB = 13:24, AO = OB ,推出 CA : OA = 13: 12,推出 CO OA =5: 12,S COF 可得出S — SAOE（OC ）2 __25 OA 14425，因为S" 9，可得沁=-，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题. 【详解】CF 丄x 轴于F .连接OC.•/ CA: AB= 13: 24, AO= OB,••• CA：OA= 13 : 12,••• CO: OA= 5: 12,S COF ,OC\2 25()=-SAOE 144• ' Sm oE= 9,• - S A COF= 2516• |k| 25 "2 16•/ k v 0,258故选：B.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.217.若反比例函数y 2m 1 x m 2的图象在第二、四象限，贝U m的值是（）1A. -1或1B.小于一的任意实数C. -1D.不能确定2【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程m221且2m 1 0求解即可.【详解】解: Q y2（2m 1）x m 2是反比例函数,2 m2 1 , 2m 10, 解之得m1.又因为图象在第二，四象限，所以2m 1 0 ,1解得m ，即m的值是1.2故选：C .【点睛】k对于反比例函数y — k 0 .（ 1） k 0,反比例函数图像分布在一、三象限；（2）xk 0，反比例函数图像分布在第二、四象限内.18.已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx - k 与反比例函数ky=—在同一坐标系内的大致图象是（）【解析】【分析】依据抛物线 y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，即可得到k v 0,进而得出k次函数y=kx - k 的图象经过第一二四象限，反比例函数 y=的图象在第二四象限，据此即x可作出判断•【详解】•••抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，=4- 4 （k+1） > 0,解得k v 0,.一次函数y=kx - k 的图象经过第一二四象限，k反比例函数y=k 的图象在第二四象限，x故选D .【点睛】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与 x 轴的交点情况确定出 k 的取值范围是解本题的关键•k19. 如图，矩形 ABCD 的顶点A , B 在x 轴的正半轴上，反比例函数 y —在第一象限x内的图象经过点D，交BC 于点E .卄 m , CE 右 AB 4 ,BE2 AD，OA3 4，则线段BC 的长度为（))f ||\ocXf jdA . 13 B.-2C. 2D. 2虫【答案】B【解析】【分析】设OA 为4a ,则根据题干中的比例关系，可得 AD=3a , CE=2q BE=a,从而得出点 D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得 a 的值，进而得出 BC 长.【详解】 设 OA=4a ••• D(4a , 3a), E(4a+4, a)将这两点代入解析得;k 4a 41解得：a=-2 3 ••• BC=AD=-2故选：B 【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点 D 、E 的坐标，然后代入解析式求解•20. 若函数y m ^的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，贝U m 的取值范围是x( )A . m > - 2B . m v - 2 C. m >2D . m v 2【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得 m+2v 0,从而得出m 的取值范围.【详解】•••函数y m -2的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，x•. m+2 v 0, 解得m v -2. 故选B .根据BE4 得：A D =3a ，CE =2a BE =a3ak 4a。
(专题精选)初中数学反比例函数易错题汇编附答案解析
（专题精选）初中数学反比例函数易错题汇编附答案解析一、选择题1．已知反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ∆的面积为3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ，然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0，∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∃∈-≤⎢⎥⎣⎦，y 2=2k x ，∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ，①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1OC?AC 2=11x ?y k =322=， ∴6k=-，故①正确；②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()121212120k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线ky x =上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，则k 的值为:（ ）A ．6-B ．4-C ．3-D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明,DCF ABO ∆≅∆利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ． 【详解】解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ， 则,CF DF ⊥ABDC QY ，,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC =CDF BAO ∴∠=∠， 90,DFC BOA ∠=∠=︒Q ,DCF ABO ∴∆≅∆ ,,CF BO DF AO ∴==设(,),k C m m由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,3)kD m m++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，11()322BD BE DE CA h h BE ∴+=⨯⨯， ,,BD BE h h AC BD ==Q3DE AC BE ∴+=， 4,DE BD BE BE ∴++= 2,DB BE ∴=(1,3),(1,0),0,E kD m B x m++=Q ∴ 由中点坐标公式知：110,2m ++= 2m ∴=- ，(1,)1kD m m ++Q ，3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=- 故选A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0ky x x=>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()10y x x=>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变大后变小【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 12=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -． 【详解】 ∵点A 是函数(0ky x x=>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，∴矩形ACOB 的面积为k ， ∵点E 、F 在函数1y x=的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12=， ∴四边形OFAE 的面积11122k k =--=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变， 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．4．如图，点P 是反比例函数(0)ky k x=≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M . 连接OP . 若POM ∆的面积等于2. 5，则k 的值等于 （ ）A ．5-B ．5C ． 2.5-D ．2. 5【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数k 的几何意义得到12|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k 的值． 【详解】解：∵△POM 的面积等于2.5， ∴12|k|=2.5， 而k ＜0， ∴k=-5， 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．5．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32my x+=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m >C ．32m >-D ．32m <-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32my x+=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0，∴32 m<-，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．6．如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=12×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=12（BD+AC）•CD=12×（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．【详解】∵A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1），如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=12×4=2，∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，∵S梯形ABDC=12（BD+AC）•CD=12×（1+2）×2=3，∴S△AOB=3，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数()0ky k x=≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S=12|k|是解题的关键．7．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变【答案】D 【解析】 【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到BE OE OF AF =；设B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=22为定值，即可解决问题． 【详解】解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ， 则△BEO ∽△OFA ， ∴BE OEOF AF=， 设点B 为（a ，1a-），A 为（b ，2b ），则OE=-a ，EB=1a-，OF=b ，AF=2b ，可代入比例式求得222a b =，即222a b =， 根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b bb++==++=222214()24b b b b ++=22∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变. 故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．8．如图，,A B 是双曲线ky x=上两点，且,A B 两点的横坐标分别是1-和5,ABO -∆的面积为12，则k 的值为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】C 【解析】【分析】分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，根据S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE =12，故可得出k 的值． 【详解】分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，∵双曲线ky x=的图象的一支在第二象限 ∴k<0，∵A ，B 两点在双曲线ky x =的图象上，且A ，B 两点横坐标分别为：-1，-5， ∴A （-1，-k ），B （-5， 5k-）∴S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE=1||11||(||)(51)1||525225k k k k ⨯+⨯-+⨯⨯-⨯⨯=12||5k =12， 解得，k=-5 故选：C ． 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．9．如图，点P 是反比例函数y =kx（x <0）图象上一点，过P 向x 轴作垂线，垂足为M ，连接OP ．若Rt △POM 的面积为2，则k 的值为（ ）A ．4B ．2C ．-4D ．-2【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△POD=12|k|=2，然后去绝对值确定满足条件的k的值．【详解】解：根据题意得S△POD=12|k|，所以12|k||=2，而k＜0，所以k=-4．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解析】分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A （1，1），∴OA=， ∴BO=，∵直线AC 的解析式为y=x ，∴直线BD 的解析式为y=-x ，∵OB=，∴点B 的坐标为（−，）， ∵点B 在反比例函数y=的图象上， ∴，解得，k=-3，故选C ．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x=>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）A ．1B ．22C 2D ．2【答案】A【解析】【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的值，本题得以解决．【详解】Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA ⊥x 轴，1AB =，45BAC BAO ︒∴∠=∠=，2OA OB ∴==，AC =，∴点C 的坐标为⎝，Q 点C 在函数()0k y x x=>的图象上，12k ∴==， 故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．若A （-3，y 1）、B （-1，y 2）、C （1，y 3）三点都在反比例函数y=k x （k ＞0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ． y 1＞y 2＞y 3B ． y 3＞y 1＞y 2C ． y 3＞y 2＞y 1D ． y 2＞y 1＞y 3 【答案】B【解析】【分析】反比例函数y=k x（k ＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y 随x 的增大而减小，而A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上的点，可得y 2＜y 1＜0，C （1，y 3）在第一象限双曲线上的点y 3＞0，于是对y 1、y 2、y 3的大小关系做出判断．【详解】∵反比例函数y=k x（k ＞0）的图象在一、三象限， ∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵A （-3，y 1）、B （-1，y 2）在第三象限双曲线上，∴y 2＜y 1＜0，∵C （1，y 3）在第一象限双曲线上，∴y 3＞0，∴y 3＞y 1＞y 2，故选：B ．【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k ＞0，时，在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，y 随x 的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．13．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x =上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO ===∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．14．矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y k x=(x ＞0)上，OA ＝2，AB ＝4，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．325D ．425【答案】C【解析】【分析】 根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB ，根据勾股定理得到OB 22OA AB =+=25，过C 作CD ⊥x 轴于D ，根据相似三角形的性质得到CD 85=，OD 45=， 求得C (8545，)于是得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCO 是矩形，∴∠A ＝∠AOC ＝90°，OC ＝AB ，∵OA ＝2，AB ＝4，∴过C 作CD ⊥x 轴于D ，∴∠CDO ＝∠A ＝90°，∠COD+∠COB ＝∠COB+∠AOB ＝90°，∴∠COD ＝∠AOB ，∴△AOB ∽△DOC ，∴OB AB OA OC CD OD ==， ∴2542CD OD==， ∴CD 855=，OD 45=， ∴C(455，855)， ∴k 325=， 故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．15．如图，若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x=-<交于点(),1A m ，则AOB V 的面积为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．1.5【答案】C【解析】【分析】 先根据题意求出A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出B 点坐标，则问题可解.【详解】解：由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x =-<交于点(),1A m ∴21m=-则m=-2 把A （-2,1）代入到2y x n =-+，得()122n =-⨯-+∴n=-3∴23y x =--则点B （0，-3）∴AOB V 的面积为132=32⨯⨯ 故应选：C【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思想．16．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A ．y=﹣6xB ．y=﹣4xC ．y=﹣2xD ．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13 BCOAODSS= VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°=3，∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．17．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠COF＝∠OAE，∴△CFO∽△OEA，∴2()COFAOES OCS OA∆∆=，∵CA：AB＝13：24，AO＝OB，∴CA：OA＝13：12，∴CO：OA＝5：12，∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．18．若反比例函数()2221my m x -=-的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A ．-1或1B ．小于12的任意实数C ．-1D ．不能确定 【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程221m -=-且210m -<求解即可．【详解】解：22(21)m y m x -=-Q 是反比例函数，∴221m -=-，210m -≠，解之得1m =±．又因为图象在第二，四象限，所以210m -<， 解得12m <，即m 的值是1-． 故选：C ．【点睛】 对于反比例函数()0k y k x=≠．（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．19．反比例函数21k y x+=的图象上有两点()11,A a y -，()21,B a y +，若12y y <，则a 的取值范围（ ）A ．1a <-B ．1a >C ．11a -<<D ．这样的a 值不存在【答案】C【解析】【分析】由210k +>得出在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解．【详解】 210k +>Q ，∴在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，11a a -<+Q ，12y y <，∴点A ，B 不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上，10a ∴-<且10a +>，11a ∴-<<，故选C ．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，注意反比例函数的图象有两个分支．20．若函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣2B ．m ＜﹣2C ．m ＞2D ．m ＜2 【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m 的取值范围．【详解】 ∵函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+2＜0，解得m ＜-2．故选B ．。
中考数学反比例函数(大题培优 易错 难题)含答案解析
中考数学反比例函数(大题培优易错难题)含答案解析一、反比例函数1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，∴A的坐标是（2，3），代入y= 得3= ，解得：k=6（2）解：OD=2+2=4，在y= 中令x=4，解得y= ．则C的坐标是（4，）．设AC的解析式是y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线AC的解析式是y=﹣ x+（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），∴顶点坐标为：（1，a﹣1），又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴0≤a≤1（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，∵y= +2x﹣4∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，∴1≤a≤2；∴a的最大值是2，a的最小值1【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.3．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.4．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.5．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．所以双曲线的解析式为y=﹣．设点B的坐标为（m，﹣m）．∵点B在双曲线上，∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．∵点B在第四象限，∴m=2．∴B（2，﹣2）．将点A、B、C的坐标代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．（2）解：如图1，连接AC、BC．令y=0，则x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（3，0），∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∵点D是直线AB与x轴的交点，∴D（1，0），∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；（3）解：存在，理由：如图2，由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），∴平移后点A（﹣，），B（，），∴点A关于y轴的对称点A'（，），连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，由对称性知，∠APE=∠BPE，∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，∵B（，），A'（，），∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，∴P（0，﹣）．【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.6．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y= （m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．【答案】（1）解：∵双曲线y= （m≠0）经过点A（2，﹣3），∴m=﹣6．∴双曲线的表达式为y=﹣．∵点B（n，2）在双曲线y=﹣上，∴点B的坐标为（﹣3，2）．∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），∴解得，∴直线的表达式为y=﹣x﹣1（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣1）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．8．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点．（1）证明四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在y= 的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．【答案】（1）解：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴OA=4，OB=3，OC=2，∴AB= =5，BC=5，∴AB=BC，∵D为B点关于AC的对称点，∴AB=AD，CB=CD，∴AB=AD=CD=CB，∴四边形ABCD为菱形（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y= 的图象经过D点，∴4= ，∴k=20，∴反比例函数的解析式为：y=（3）解：∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，AN=BM，∴AN是BM经过平移得到的，∴首先BM向右平移了3个单位长度，∴N点的横坐标为3，代入y= ，得y= ，∴M点的纵坐标为：﹣4= ，∴M点的坐标为：（0，）【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．9．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.（1）请直接写出二次函数的解析式.（2）判断△ABC的形状，并说明理由.（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),∴解得∴抛物线表达式：（2）解：△ABC是直角三角形.令y=0,则解得x1=8,x2=-2,∴点B的坐标为(-2,0),由已知可得,在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,又∴BC=OB+OC=2+8=10,∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形（3）解：∵A(0,4),C(8,0),AC= =4 ,①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标10．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．11．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D 在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；（2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP（2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DB=DP（3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB，∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH=BQ∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4 ，AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】（1）DB=DP，理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°，根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP；（2）利用ASA判断出△CDP≌△GDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP；（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出点H，点M，点Q，点C四点共圆，根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ，然后判断出△ACM∽△BMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。
反比例函数易错题
反比例函数易错题1.反比例函数定义如图，A 为反比例函数xk y =图象上的一点，AB 垂直x 轴于B 点，若3=AOB S △，则k 的值为 ( )A. 6 B ．3 C ．+3或-3 D ．+6或-6易错点：反比例函数的基本概念和几何意义不清楚口诀： K 值与三角形矩形面积有关，自变量位于分母或指数为1。
解析：下面我们举一反三练习，此题可变为下列形式，该如何解？ 例1：6．如图，直线y=mx 与双曲线xky =交于A,B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM.若ABM S △=2，则k 的值是 ( )A ．2B ．m-2C ．mD ．4例2：若函数y=-2x m+2是反比例函数，则m 的值是 ．2.反比例函数性质 函数x y =1(x≥0)，xy 42=(x>0)的图象如图所示，则下列结论：①两个函数图象的交点A 的坐标为(2，2);②当x>2时，2y >1y ；③当x=l 时，BC=3； ④当x 逐渐增大时，1y 随着x 的增大而增大，2y 随着x 的增大而减小．其中正确结论的序号是____________.易错点：反比例函数性质不清口诀： K ＜0二四象限函数增，K ＞0一三象限函数减。
解析：下面我们举一反三练习，此题可变为下列形式，该如何解？ 例1：已知A(-1,y 1)、B(2,y 2)两点在双曲线32my x+=上，且y 1 >y 2，则m 的取值范围是( )．A ．m ＞0 B. m ＜0C. 32m ＞- D ．32m -＜例2：若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）．A 、y 1＞y 2＞y 3B 、y 1＜y 2＜y 3C 、y 1＝y 2＝y 3D 、y 1＜y 3＜y 23.反比例函数与一次函数:如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝xk的图象交于M 、N 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．易错点：一次函数反比例函数性质不清 口诀： 交点坐标建方程，比较大小看图像。
人教九年级数学下册第26章; 反比例函数 易错题 精练( 含答案解析)
解：∵矩形 CDEF 的面积＝100，CF＝x，∴CD＝ 100 x
∴ y 1.75x 4.5 (x 100 2) ＝6.25x＋ 900 （0＜x≤25）．
x
x
2.反比例函数 y k ，当 x 的值由 4 增加到 6 时，y 的值减少 3，求这个反比例函数． x
解：当 x＝4 时， y k ；当 x＝6 时， y k ；
在操作加工前的温度为 15℃，加热 5 分钟后温度达到 60℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料的温度低于 15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止
(
1 4
,
y2
1 )、（，2 ）y3
不在同一象限内，因而不能由
1
1 4
1 2
，就断定
y1
y2
y3
．
正解：∵ k a2 1 (a2 1) 0 ，
∴y 随 x 的增大而增大，且函数图象分布在第二、四象限内．
∵ 1 1 ， 4
∴ y1 y2 ．
∵
(1，y1
）
y
y
y
y
10
10
5
5
12
O2
10 x O 2
2 10 x O 2
2 10 x O 2
y 10 x
x
A． B． C．
D．
12
分析： y 与 x 的函数关系式为 y 10 ，且自变量的取值范围是 2≤x≤10，所以只能是 A．
x
答案：A 3． 某地上年度电价为 0．8 元，年用电量为 1 亿度，本年度计划将电价调至 0．55～0．75
“分式方程”与“反比例函数”易错题选析
“分式方程”与“反比例函数”易错题选析
杨仔平
【期刊名称】《广西教育》
【年(卷),期】2007(000)04C
【摘要】解方程：1-1/2-x=5-x/x-4
【总页数】1页(P32)
【作者】杨仔平
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.反比例函数与一次函数综合考题选解 [J], 张培婵
2.“二次函数”易错题选析 [J], 黄勤峰
3.“一次函数”易错题选析（人教版《数学》八年级） [J], 杨仔平
4."教、学、评"一体化设计易出现的误区及分析——以反比例函数概念课为例 [J], 应佳成
5.从反比例函数的易错题谈函数的学习 [J], 刘军
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第十六章分式和第十七章反比例函数试题选解
1.分式
1
4+m 表示一个整数时，字母m 可以取的整数值共有 个. 2.当x 时，分式2142x x +-的值是负数. 3.下列分式变形正确的是（ ） A.y x =22y
x B.n m n m +-=))(()(2
n m n m n m -+-=222)(n m n m -- C.1212+--x x x =11-x D.a b =2a ab 4.在分式
ab
b a 2-中，字母a,b 值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A.扩大为原来的2倍 B.不变 C.缩小为原来的21 D. 缩小为原来的41 5.若a=32，则12
73222+---a a a a 的值等于 . 6.当a=21时，代数式12
-a a -111---a a
的值为 . 7.某人的上山的速度为m 千米/时，下山的速度为n 千米/时，则他上下山的平均速度为 .
8.解分式方程
x x 1--13-x x +1=0，如果设x
x 1-= y,将原方程化为关于y 的整式方程为 . 9.若分式方程a x a x =-+1
有增根，则a 的值为 ；若该方程无解，则a 的值为 . 10.当x = 时，2x-3与3
45+x 互为倒数. 11.分式m x x +-212，若不论x 取何值分式总有意义，则m 的取值范围是 12.a b b a a 222
⋅÷ = ； n m n m mn 2923=-⨯ ；b a b a ab ab a +=--+)(2222 13.若分式方程3
13+=-+x x x a 的解是负数，则a 的取值范围是 . 14.已知211=-y x ，则y
xy x y xy x ---+2252的值为 . 15已知
21)2)(1(32++-=+--x B x A x x x ，则A= ,B= . 16.当a = 时，分式1
22++a a a 的值为0；若分式21+x ，12-x x 的和等于2，则x = . 17.若（m-n ）x=m 2-n 2的解是x=m+n 则m 与n 的关系是 .
18.已知x,y 满足x 2+y 2=4x+6y-13，求224331⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x xy x y 的值为 . 19.若b
a c c a
b
c b a k +=+=+=，则k= . 20.已知2=
a ，分式
b a 2
2+= ；计算=-⋅-⋅-678)1()()(b a . 26.计算:(1)12-+x x ·6
1222--+-x x x x -9622-+x x (2)解分式方程 221+--x x =x -21
（3）)(11n m x n n x m m ≠+=+ (4))22
5(423---÷--x x x x
27.A 、B 。
两地相距80km ，甲骑车从A 地出发1h 后，乙 从A 地出发，已知甲的速度是乙速度的
3
2，结果甲比乙提前20min 到达B 地.求甲、乙二人的速度.。