立体几何证明方法汇总

E B

C

D A

P

① 中位线定理

例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；

（２）若2,42CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积．

练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1；

2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证：//1BD 平面

DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。

（1）证明：//PA BDE 平面；

（2）求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 E

A 1

B 1

C 1

D 1D

C B A

_ H

_ G

_ D

_ A

_ B

_ C

E

F

G

P

A

B

C

D

F

E

A B C D E

F

例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形）

练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。求证：AF ∥平面PCE ；

②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面

P

A

B

C

D

M

N

③ 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ；

④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11

AB D ．

D 1

C 1B 1A 1

A B

C

D

E

F

③比例关系

例题3、P 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是PB 、BC 上的点，且

NC

BN PM BM =,求证：MN//平面

PCD(利用比例关系)

练习：如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF .（Ⅱ）若点M 在线段

AC 上，且满足1

4

CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ；

④面面平行-线面平行

例题4、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。（Ⅰ）求证：平面ABE//平面CDF

（II ）求证：AE//平面DCF ；（利用面面平行-线面平行）

练习：1、如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，

F ，

G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．

（1）求证：；EFG PA 面//； （2）求三棱锥P EFG -的体积． D A

C

B

E F M

1A 1

C 1

B E

F

G

A

C

B

E

B

A

C

N

D

F

M

2、如图,在直三棱柱

111

ABC A B C -中,0

90ACB ∠=，

,,E F G 分别是11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥.

(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面；

3、如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直, ,//,22AD CD AB CD CD AB AD ⊥==. 在EC 上找一点M ,使得//BM 平面ADEF ,请确定M 点的位置,并给出证明．

4、（2012山东文）如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.

(Ⅰ)求证：BE DE =；

(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .

例题： 如图，已知四棱锥ABCD P -。 若底面ABCD 为平行四 边形，E 为PC 的中点，在DE 上取点F ，过

AP 和点F 的平面与 平面BDE 的交线为FG ，求证：FG AP //。

证明：连AC 与BD ，设交点为O ，连OE 。

练习：1、如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M ．求证：//AD MN ；

2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，

AB=2。

AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点。（1）证明：EF ∥A 1D 1；

3.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(面面垂直性质) （2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BE BF 的值。（线面平行的性质 2

1

） D

A

B

C P M

N