二重积分习题及答案

解
x r cos 在极坐标系下 y r sin 所以圆方程为 r 1, 1 直线方程为 r , sin cos
x2 y2 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
D

2
0
d
1
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
2
D1 , D2 两部分, 则
I d xd y
D1
1 1 1 x
1 D1 1
y
D2
d xd y
x2 0
o D2
1 x
d x 2 d y d x
1
1
2 dy 3
(2) 提示:
I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号. 解 采用直角坐标 ( x y )dxdy 4 dx
D
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1
1 x 2 0
0
( x y )dy 8 3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域 关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
y
o
D 1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,
利用对称性 , 得
x y e
D1
x2 y2
d xd y

1 1
D2
xyex
x
2
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y
x d x d y 0 0
2 1
4. 计算二重积分
(1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1， 0 y 1 D
(2) I ( x y 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域
2 2 D
在第一象限部分.
解: (1) 作辅助线 y x 把与D 分成
2 2
6 2 2 x y 2 y r 2 sin
x 3 y 0 1

( x y )dxdy d
2 2 D
6
3
r 2 rdr 15( 3 ). 2 sin 2
4 sin
8
计算 ( x y )dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
x 2 y 2 2 y ， x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0 ， y 3 x 0 所围成的平面闭区域. 解 y 3x 0 2
3
x y 4 y r 4 sin
偶性.
6
证明

b
a
dx ( x y )
a
x
n 2
1 b n 1 f ( y )dy ( b y ) f ( y )dy . n1 a
b
证

b
a
dx ( x y )n 2 f ( y )dy
a b b a y
x
y x
D
dy ( x y )n 2 f ( y )dx
D
y 1
作辅助线 y x 将D 分成
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
2 2 ( x y ) dxdy , D : x y 1 D
x
3. 计算二重积分 (1) D为圆域 (2) D由直线
I ( x x ye
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
围成 .
x2 y2
解: (1) 利用对称性.
I x d x d y x ye
2 D
D
d xd y
1 ( x 2 y 2 ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0
1 求 x e
D
2 y2
dxdy ，其中 D 是以( 0,0), (1,1),
( 0,1) 为顶点的三角形.
解 e
y2
dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x
D
2 y2
e
dxdy dy x e
0 0
2
1
y
2 y2
dx
e
0
1
y
2
2 1 1 2 y3 y y 2 dy e dy (1 ). 0 6 e 3 6
1 n1 b f ( y )dy[ ( x y ) ]y a n1 1 b n1 (b y ) f ( y )dy. a n1
b
a
a
b
7
写出积分 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}.
2
计算积分 I dy e dx dy e dx .
1 4 1 2 1 2
1 2
y
y x
1
y
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x

1
x
2
x
e dy
y x
y x2

1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2