二重积分练习题

2 0 2
0
f ( x, y ) dy
(C) (D)

1
0
dx
f ( x, y )dy


2 0
d 2cos f (r cos , r sin )rdr
sin 2
答 ( (3 分)[8]设 f(x,y)为连续函数，则积分
)

(A) (B) (C) (D)
1
0
dx
x2
0
f ( x, y )dy dx
7 D
由 x=0,y=0, x y
1 ,x+y=1 所围成的区域，则 I1，I2，I3 的大小顺序是 2
(B)I3＜I2＜I1; (D)I3＜I1＜I2. 答 ( )
(A)I1＜I2＜I3; (C)I1＜I3＜I2;
(5 分)[12]设 I
dxdy ，则 I 满足 1 cos 2 x sin 2 y x y 1
(B)I1＜I2＜I3; (D)I3＜I1＜I2.
答 ( ) (3 分)[14]设有界闭域 D1 与 D2 关于 oy 轴对称， 且 D1∩D2=,f(x,y)是定义在 D1∪D2 上的连续 函数，则二重积分
f ( x , y)dxdy
2 D
(A) 2
f ( x , y)dxdy
2 D1
D
(3 分)[3]设 D : 0 y
a 2 x 2 , 0 x 0 ，由二重积分的几何意义知

D
a 2 x 2 y 2 dxdy ___________.
(3 分)[4]设 D：x2+y2≤4,y≥0,则二重积分
sin( x y
3
2
)d __________。
x cos(2 xy)dxdy
D
其中 D:0 x

4
, 1 y 1
(3 分)[12]计算二重积分
( x y)dxdy
D
其中 D 为由 y=x,x=0,y=1 所围成的区域。 (3 分)[13]计算二重积分
( x 6 y)dxdy
D
其中 D 是由直线 y=x,y=5x 及 x=1 所围成的区域。 (3 分)[14]计算二重积分
D1
（A）2
（B）4
（C）8
（D）
1 2
答 ( )
(3 分)[5]设 f(x,y)是连续函数，则二次积分

0
1
dx
1 x 2
x 1
f ( x, y )dy f ( x, y )dx dy
1 2 y 2 1
1
(A) (B) (C) (D)


1
0
1
dy
dy
y 1
f ( x,y )dx
f ( x, y )dx
答 ( )
2 2
dy
0
1
x2
(4 分)[9]若区域 D 为(x－1) +y ≤1,则二重积分 (A)
f ( x, y)dxdy 化成累次积分为
D


0
d
2cos
0 2cos
F (r , )dr
(B) (D) 2



d
xy d
D
其中 D：|x|+|y|≤1. (4 分)[18]计算二重积分
xy dxdy
2
其中 D:
1 y x,1 x 2 x
(4 分)[19]计算二重积分
( x
D
3
2
y 2 )dxdy
其中 D 是由直线 y=x,y=x+a,y=a 及 y=3a(a>0)所围成的区域。 (4 分)[20]计算二次积分
2
xy dxdy =
D
（A）0；
（B）
32 3
（C）
64 3
（D）256
答 ( ) (3 分)[4]设 D1 是由 ox 轴，oy 轴及直线 x+y=1 所圈成的有界闭域，f 是区域 D：|x|+|y|≤1 上 的连续函数，则二重积分
f ( x , y
2 D
2
)dxdy __________ f ( x 2 , y 2 )dxdy
D
(4 分)[5]设区域 D 是 x2+y2≤1 与 x2+y2≤2x 的公共部分，试写出 下先对 r 积分的累次积分_________________. (3 分)[6]设 D：0≤x≤1,0≤y≤2(1－x),由二重积分的几何意义知
f ( x, y)dxdy 在极坐标系
D
1 x dxdy =_______________. 2
2cos
0
F (r , )dr
(C)

2 2
d
0
F (r , )dr

2 0
d
2cos
0
F (r , )dr
其中 F(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)r. 答 ( (3 分)[10]若区域 D 为 x2+y2≤2x，则二重积分 )
( x y)
D

1
0
dy 1
3 y 2 y2
f ( x, y )dx 可交换积分次序为
2
(A) (B)

1
0
dx
2x
0
2x
f ( x, y )dy dx
1
2
3
3 x 2
0
1
f ( x, y )dy
3 3 x 2

1 2 0
dx
0 3 x 2 2x 3
f ( x, y )dy 1 dx f ( x, y )dy dx
xydxdy
D
其中 D：x≤y≤
x,1≤x≤2.
(3 分)[9]计算二重积分
cos( x y)dxdy
D
其中 D 是由直线 x=0,y=π和 y=x 围成的区域。 (4 分)[10]计算二重积分
( x
D
2
y 2 y )dxdy
其中 D 是由直线 y=x,y=x+1,y=1 及 y=3 所围成的区域。 (3 分)[11]计算二重积分
1 2 2 y
2
2 x
0
f ( x, y ) dy
可交换积分次序为

1
0 1
dy f ( x, y )dx dy
0 1
y
0 2 x
f ( x, y )dx

0 1
dy
x2
0
f ( x,y )dx dy
1
2
0
f ( x, y )dx
dy
0
2 y y 2 x

1
2
dy
0
2 y
f ( x, y )dx dy
1
0
0
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y
f ( x, y )dx
的积分次序。 (3 分)[4]设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分
dx
0
1
1
2
1 x
f ( x, y )dx dx
1
e
1
ln x
f ( x, y )dy
的积分次序。 (4 分)[5]计算二重积分
D

y
三、计算 (78 小题,共 331.0 分) (3 分)[1]设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分


2
0
dy 1 f ( x, y )dx
2
y
y
的积分次序。 (3 分)[2]设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分
2 0
dx
2x
x
f ( x, y )dy
的积分次序。 (3 分)[3]设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分
xydxdy
D
其中 D 是由双曲线 y (3 分)[15]计算二重积分
1 ，直线 y=x 及 x=2 所围成的区域。 x
x dxdy
D
y
其中 D 是由直线 y=2x,y=x,x=2 及 x=4 所围成的区域。 (3 分)[16]计算二重积分
y dxdy
D
其中 D：|x|+|y|≤1. (3 分)[17]计算二重积分
lim f (i ,i ) i (其中入是Δσi(i=1,2,…,n)的最大直径)存在，则称此极限
0
i 1
n
值为______________的二重积分。 (4 分)[2]若 D 是以(0，0)，(1，0)及(0，1)为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知
(1 x y) =___________.
f ( x, y)dxdy 可
D

0
1
dx
x2 x
f ( x, y )dy
(B)

0
1
dx
x2
x
f ( x, y )dy

1
0
dy
y2
y
f ( x, y )dx
(D)

1
0
dy
y2 y
f ( x, y )dx
答 ( )
(3 分)[7]设 f(x,y)为连续函数，则二次积分
题目部分，(卷面共有 100 题,405.0 分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16 小题,共 53.0 分) (2 分)[1] (3 分)[2]二重积分 （A）
xydxdy
D
(其中 D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为
1 6
（B）
1 12
2
（C）
1 2
（D） 答 (
1 4
)
(3 分)[3]若区域 D 为 0≤y≤x ,|x|≤2,则
( x 1)ydxdy
D
其中 D 是由曲线 x 1 (4 分)[24]计算二重积分
y ,y=1－x 及 y=1 所围成的区域。
1 x
D
2
1
4
dxdy
其中 D 是由 y=x,y=0,x=1 所围成的区域。 (4 分)[25]计算二重积分
xy dxdy
D
其中 D 为
与 x=0 所围成的区域。
r 3dr r 3dr
答 ( )
(D) 2

2 2
(cos sin )d
2cos
0
(4 分)[11]设 I1
[ln( x y)] dxdy,I ( x y)
7 2 D D
7
dxdy,I 3 sin ( x y ) dxdy 其中 D 是
x 2 y 2 dxdy 化成累次积分为
(A)


2 2
d
2cos
0
(cos sin ) 2r cos rdr
2cos
(B)
0
(cos sin )d
0
r 3dr
(C) 2

2 0
(cos sin )d
2cos
0
(B) e 1; (D)π. 答 ( )
(4 分)[16]设 D：x2+y2≤a2(a＞0),当 a=___________时，

D
a 2 x 2 y 2 dxdy .
(A)1
3 (B) 2
3
3 (C) 4
3
1 (D) 2
3
答 (
)
二、填空 (6 小题,共 21.0 分) (4 分)[1]设函数 f(x,y)在有界闭区域 D 上有界，把 D 任意分成 n 个小区域Δσi(i=1,2,…,n),在 每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi,ηi),如果极限

2 I 2 3 1 (C) D I 2
(A) (4 分)[13]设 x y
(B) 2 I 3 (D) 1 I 0 答 ( )
1 其中 D 是由直线 x=0,y=0, 2
及 x+y=1 所围成的区域， 则 I1， I2，
I3 的大小顺序为 (A)I3＜I2＜I1; (C)I1＜I3＜I2;
( x y
D
2
)dxdy
其中 D：0≤y≤sinx,0≤x≤π. (3 分)[6]计算二重积分
xydxdy
D
其中 D 是由曲线 y=x2,直线 y=0,x=2 所围成区域。 (3 分)[7]计算二重积分

D
x ydxdy
其中 D 为由 y=x,y=2x,x=4 所围成的区域。 (3 分)[8]计算二重积分
1
y 1
f ( x, y )dx
0 1
1 y 1
f ( x, y )dx f ( x, y ) dx dy
1 2 y 2 1 1
0
dy
1
f ( x, y )dx

2
0
dy
y 2 1
1
f ( x, y )dx
答 ( ) ,y≥x2 上连续， 则二重积分
(3 分)[6] 设函数 f(x,y)在区域 D： y2≤－x 化累次积分为 (A) (C)

0
dx
3 x
0
(2 x y )dy
(4 分)[21]计算二重积分
xydxdy
D
其中 D 是由 y=x,xy=1,x=3 所围成的区域。 (4 分)[22]计算二重积分
( x
D
2
y 2 x)dxdy
其中 D 是由 y=2,y=x,y=2x 所围成的区域。 (4 分)[23]计算二重积分
2 D1
(B) 4
f ( x , y)dxdy
2 D2
(C) 4
f ( x , y)dxdy
xe
D
－
(D)
1 f ( x 2 , y )dxdy 2 D2
答 ( )
(3 分)[15]若区域 D 为|x|≤1,|y|≤1,则 (A) e; (C) 0;
cos( xy )
sin( xy )dxdy
(4 分)[26]计算二重积分
xdxdy
D
其中 D 是由抛物线 y (4 分)[27]计算二重积分
1 2 x 及直线 y=x+4 所围成的区域。 2
e
D
x y
dxdy
其中 D 为由 y=x,y=0,x=1 所围成的区域。 (4 分)[28]计算二重积分