辅助角公式专题练习
(精品三角函数辅助角公式练习题
三角函数辅助角公式练习题
1.已知函数 ，则下列等式成立的是（）
A、 B、
C、 D、
2.sin15°cos30°sin75°的值等于（）
A. B. C. D.
5.已知函数y= cos2x+ sinx·cosx+1（x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
6.已知函数
将f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
3.函数y＝sin（ －2x)的单调增区间是（）
A.［kπ－ ，kkπ＋ ］(k∈Z)D.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
4.已知函数f(x)＝ (sinx－cosx)
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
辅助角公式的应用(含答案)
辅助角公式的应用一、单选题(共9道，每道11分)1.函数的一条对称轴是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.已知，则函数的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.设函数的图象关于点成中心对称，且，则的值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.已知函数在上单调递减，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.已知函数，，且f(x)在区间上递减，则的值是( )A.3B.2C.6D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.关于函数，说法正确的是( )A.函数f(x)关于直线对称B.函数f(x)向左平移个单位后是奇函数C.函数f(x)关于点对称D.函数在区间上单调递增答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.若在上的最小值为-3，则a的值是( )A.4B.-3C.-4D.-6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.已知函数的图象关于直线对称，则函数的一个对称中心是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练(主观题安徽2012高考数学)1⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m 求m 的值。
1(,)。
6 2 (1)求的值;1 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x) 2cos xsin(x —)(1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。
1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。
(1)右 COSX4 13 ，求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos^si n (- )(0 2 2 )，其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。
(1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一上的值域。
12 24.已知函数 f (X )2a cos 2 x bsin xcosx 弓，且f(0)5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 26.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x37.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期;f (x)g (x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。
4对称，求当x0,-时，y g(x)的最大值。
3 29.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(—)的值；(2)求f (x)的最值。
310.已知向量 mn (si nA cos A)，n (、、3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。
《辅助角公式应用》专题(简单题)
《辅助角公式应用》专题2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 授之以鱼，不若授之以渔。
化下列代数式为一个角的三角函数1sin 22αα+；cos αα+；a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。
2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
小结：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
【求值】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最大值。
2.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 53.2)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
4.已知)4x y πθ+=+，)4x y πθ-=-，求证：221x y +=【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+=的单调递增区间。
（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈已知函数()3f x x x =-，求：（1）求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围.（2）求函数()f x 的单调区间、对称中心.（3）函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的？【求值】已知函数f(x)=x sin 32-+sinxcos x 。
辅助角公式11579
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中
华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
进
程的里程碑。
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
辅助角公式专题练习
cos x)a 2b 2(3) sin cos (4)¥ cos(3如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=对称，那么a=辅助角公式专题训练•知识点回顾as in x b cosx 402~b 2 (a -sin x■- a 2 b 2 sin(x )cosa其中辅助角由 、a 2 b 2 确定，即辅助角 的终边经过点（a,b ）sinb■. a 2 b 2二.训练1.化下列代数式为一个角的二角函数(1) -sincos(2) •. 3 sincos ；22(A) 2 (B) 2 (C) 1 ( D) -13、已知函数的值域4、函数的值域5、求5sin 12cos 的最值n6.求函数y = cos x + cos x + 的最大值7.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，贝卩的单 调递增区间是（过程（）A. B. C. D.（果 过程.a 2 b 2 sin(x )参考答案asi nx bcosx1. (6)_b_a 2b 2cosx)2.［答案］C …nn［解析］y = 2sin -3 — x — cos — + xn=cos x + ~ (x € R).n■/ x € R,「. x + — € R,「. y min =— 1.3.答案：B 解析因为==当是，函数取得最大值为 2.故选B 4.答案Ccos其中辅助角由sinaa 2b 2 b确定，即辅助角的终边经过点（a,b ）7t 7t=2cos + x — cos + x6 6［解析］法3n 1Tcos x +— +2sin7tn n—cos — — x — — = 3cos nx +石ny =cos x +cos x cosT —sin. n x sin 33 2cos x —*nx = -3cos x — Jsin x 2 2 解析，由题设的周期为，•••, 由得，，故选C5.解：可化为 y 1 a 2sin(2x)。
辅助角公式专项训练答案
辅助角公式专项训练答案1. 已知sinα = 5/13，求cosα的值。
解答：根据辅助角公式，我们可以得到cosα = √(1 - sin^2α) = √(1 - (5/13)^2) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13所以cosα的值为12/132. 已知tanα = 3/4，求sinα的值。
解答：根据辅助角公式，我们可以得到sinα = tanα / √(1 +tan^2α) = (3/4) / √(1 + (3/4)^2) = (3/4) / √(1 + 9/16) = (3/4) / √(25/16) = (3/4) / (5/4) = 3/5所以sinα的值为3/53. 已知cosβ = -12/13，求sin(180° - β)的值。
解答：根据辅助角公式，我们知道sin(180° - β) = sinβ =±√(1 - cos^2β) = ±√(1 - (-12/13)^2) = ±√(1 - 144/169) =±√(25/169) = ±5/13所以sin(180° - β)的值为5/13或-5/134. 已知tanθ = 2，求cos(90° - θ)的值。
解答：根据辅助角公式，我们知道cos(90° - θ) = sinθ = √(1 - cos^2θ) = √(1 - (2/1)^2) = √(1 - 4) = √(-3)。
由于√(-3)是虚数，所以cos(90° - θ)的值不存在。
5. 已知cotφ = -3/4，求sin(270° - φ)的值。
解答：根据辅助角公式，我们知道sin(270° - φ) = cosφ =±√(1 - sin^2φ) = ±√(1 - (1/cot^2φ)) = ±√(1 - (1/(-3/4))^2) = ±√(1 - 16/9) = ±√(-7/9)。
辅助角公式及其应用
高频考点专题 辅助角公式及其应用模块一：辅助角公式辅助角公式：() sin cos y a b αααϕ=+=+，其中tan baϕ=，ϕ所在的象限由a b ，的符号确定． 考向一 利用辅助角公式化简求值1cosxsinx 等于( ) A ．cos ()6x π-B ．cos ()3x π-C ．cos (+)6x πD ．()3x π+2、6cos1544-=___________________________．3、sin1212ππ＝ .4、将下列各式写成()sin A x ωϕ+的形式： cos x x -；(2)4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5、(1)将函数()3sin 3cos f x x x =+写成 ()sin()f x A x ϕ=+的形式为____（2）将函数()sin f x x x =-写成()sin()f x A x ϕ=+的形式为_____6、用辅助角公式化简下列各式：（1cos x x +；（2）x x +；（3）1cos sin 22x x -；7、用辅助角公式化简下列各式：（1)sin cos x x -； （2）cos sin x x -；考向二辅助角公式在三角函数中的简单应用1、把函数cos y x x =的图象向左平移m 个单位．若所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.6π B.3π C.23πD.π2、函数12sin 25sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是( ) A.5 B.12 C.13 D.153、若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35C ．45D ．45-4、若m x x -=+4cos sin 3，求实数m 的范围。
5、已知函数()2sin 2cos ,,62f x x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求函数()f x 的值域.考向三 辅助角公式在三角函数中综合应用1.函数()sin cos()6f x x x π=++的最小值和最小正周期分别是( )A．πB ．1-，πC．2πD ．1-，2π2.设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值．3.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+-+<<，其图象过点(6π，1)2．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0，]4π上的最大值和最小值．4.已知函数2()sin cos cos 2222x x xf x =+-．（Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0A x B A ωϕ++>，0ϕ>，[0ϕ∈，2))π的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数()17,12f x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在上的最大值和最小值．。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练5(1)若 COSX 石，X i ，，求 f (X )的值;求m 的值。
(1 )求函数f (X)的最小正周期及取得最大值时X 的取值集合; (2)求函数f (X)图像的对称轴方程。
4.已知函数 f (x) 2acos 2 x bsinxcosx 3，且 f (0) 3， f(-)-。
2 2 4 2(1 )求f(x)的单调递减区间；(2)函数f (X)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？1.已知函数f(x)73 . in x 41 COS X 。
4 (2)将函数f (X)的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称, 2.已知函数 f(X )sin 2XS in 2 2 COS XCOS 」si n(— )(0 2 2 )，其图像过点1(6,2)。
(1)求的值; ⑵ 将y f (X )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 一 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的2 图像，求函数 y g(x)在区间0,— 上的最值。
43.已知函数f (x)2cos xsin(x ——。
4对称，求当x 0, 时，y g(x)的最大值。
329.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。
(1 )求f(§)的值；(2)求f (x)的最值。
10.已知向量 mn (si nA,cosA)，n (、_3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。
(1)求角A 的大小；(2)求函数f(x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。
5.设 f (x) COS (X 2cos 2 X, x 2 (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。
6.已知f(x) COS (2x 扌 2S "(x 4)S "(x (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程;(2)求函数f (x)在区间 一，一 上的值域。
12 27.已知函数 f (x) cos(- x)cos( x), g(x) 3 3 1sin2x 〕。
辅助角公式练习(含解析)
本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.
10．
【解析】
【分析】
由题意可知 是函数的最小值，化简函数 （ ， ），利用 求 .
【详解】
（ ， ），
由题意可知， 是函数的最小值，
，
当 时，函数取值最小值，
，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到 ，并且已知 ， .
（2）根据（1）中求出的正弦型函数，求出在区间 的值域.
【详解】
（1）
单调递增 ，
解得： ，
所以 单调递增区间为
（2）由（1）知
因为 ，所以
所以
【点睛】
本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简，以及正弦型函数的单调区间和值域，属于简单题.
13．（1）0；（2）最小正周期为 ；（3）最大值为2， 取得最大值的x的集合为 .
故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的“辅助角公式”，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
运用辅助角公式和两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】
原式 .故选C.
【点睛】
本题考查了辅助角公式和两角差的余弦公式，考查了特殊角的三角函数值.
4．A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式，把函数 的解析式化为正弦型函数解析形式，最后利用正弦型函数的单调性求出 在区间 上的最大值，选出正确答案.
【详解】
，向左平移 ，得 ，又 为偶函数，令 ，得 ，由于 ， ，∴ 最小值为 ，
故选：A.
【点睛】
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辅助角公式专题训练2013.3
一．知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =
++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·。
记
a a b
2
2
+=cos θ，
b a b 22
+=sin
θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+
由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*
cos ,θ=
sin θ=来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终
化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
二．训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1
）1sin 22
αα+； （2
cos αα+；
（3）sin cos αα- （4
）
sin()cos()6363
ππ
αα-+-．
（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5
3.若函数()(1)cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为 ( )
A ．1
B ．2
C 1
D 2
4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈
5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-
π
8
对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
x ＋
π3的最大值是________．
7.2)cos()12
12
3x x π
π
+
++
=
，且 02
x π
-<<，求sin cos x x -的值。
8.求函数f x k x k x x ()cos(
)cos()sin()=+++--++61326132233
2πππ
(,)x R k Z ∈∈的值域。
6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4
π
=x 处
取得最小值，则函数)4
3(
x f y -=π
是 （ ）
A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称
C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
6.D
9.
若sin(50)cos(20)x x +++=o o 0360x ≤<o o ，求角x 的值。
11.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1
(cos(),)32
b x π=+-r ,
(sin(),0)3
c x π
=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值.
（本题中可以选用的公式有21cos 21
cos ,sin cos sin 222
a αααα+=
=）
参考答案
1.（6
）
sin cos )
)
a x
b x x x x ϕ+==+
其中辅助角ϕ
由cos sin ϕϕ⎧
=⎪
⎪
⎨⎪=
⎪⎩
确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b
2.[答案] C
[解析] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π
6∈R ，∴y min ＝－1.
3.答案：B
解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3
x π
-
当3
x π=
是，函数取得最大值为2. 故选B
4.答案 C
解析 ()2sin()6
f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
5.解：可化为y a x =++122sin()θ。
知x =-π
8
时，y 取得最值±12+a ，即
7. [答案]
3
[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋3
2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡
⎦
⎤
32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3
＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π
3
＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －1
2sin x ＝3cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6，
当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y max ＝ 3. 10.解：。
)2
x 2sin(4]
6
sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)
x 23sin(32)x 23cos(2)x 23
sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π
+=π
+π+π+π=+π
++π=+π
+-π-π++π+
π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。
11. 解:21()
cos ()sin()cos()23233
h x x x x πππ
=+--+++
=
2
1cos(2)
1233sin(2)2232
x x ππ++-++ =
1212
cos(2)sin(2)22323
x x ππ+-++
=
22[cos(2)sin(2)]222323
x x ππ+-++
=
11
cos(2)2212
x π++
max
()2.2
h x ∴=+
这时1111
22,.1224
x k x k k Z ππππ+==-∈.
12.如图3,记扇OAB 的中心角为45︒
,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ.
PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.
222l MQ PQ =+
=2
2sin
(cos sin )θθθ+-
=31
(sin 2cos 2)22
θθ-+
=
13sin(2)22
θϕ-+,其中
11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11
arctan 2ϕ=.
04
π
θ<<Q ,111
arctan
2arctan .222
πθϕ∴<+<+
2min
322l
∴=-
,min 1
2
l -=. 所以当11
arctan 422
π
θ
=
-时, 矩形的对角线l
的最小值为
12-.
θ
N
B
M
A
Q
P
O
图3。